钢结构讲义4

一. 弯曲屈曲
静力法：据曲线平衡状态求解微分 求临界力的方法 方程。属于精确法。 z 能量法：属于近似法。 P 列平衡方程 Py M 静力法： P M 即： EIy Py 0 V y 注意：对实心截面，可以不考虑剪力 y 影响，薄壁截面不能忽略。 能量法稳定准则：杆件从直杆平衡状态转变为无限 临近的曲杆平衡状态时，外荷势能的变化和杆件中应变 能的变化总量不变。 即： V U 0 应变能的变化 外荷势能的变化
曲杆平衡
N
cr
受压构件的承载力常决定于稳定
2
EI
2
因而为了提高临界力，应采用较为开展的截面型式 即提高回转半径 i 。 通常采用实腹式截面和格构式截面。 实腹式：沿构件全长都是连续分布的。 格构式：由柱肢和缀材组成截面，缀材沿构件全长 是间隔分布的。
(d)格构式构件截面 1
l
I i A
2
§4.3 轴心受压构件的临界力 理想轴心受压构件丧失稳定，或者称屈曲，有三种 情况： 弯曲屈曲：杆件纵轴线发生弯曲变形 扭转屈曲：杆件各截面绕纵轴线扭转变形 弯扭屈曲：既有各截面绕纵轴线的扭转，又有纵 轴线的弯曲变形 需算出三种屈曲情况的屈曲临界力，然后取小值， 作为轴压构件的临界力。 确定轴心受压构件的临界力时，采用下列假设： ① 杆件为两端铰接的理想直杆； ② 轴心压力作用于杆件两端，且为保向力（即弯 曲时，轴心压力方向不变）。 ③ 屈曲时变形很小，忽略杆长的变化。 ④ 屈曲时轴线挠曲成正弦半波曲线，截面仍保持 平面。
V M 应变能为：U dz dz 2 EI 2 l l
2
N y2 Vg 1 y
式中：M N cr y
2 cr
N N 故： U y dz 2 y dz 2 EI
剪切角： V
1
V dM

N cr y
2 cr
1
dz

N
cr
y
y1
1
2
2
将
t

2 h t h2 b 故： e H V 4Ix
S为剪切中心，若实际外力通过剪切中心，不会产 生扭矩，否则，有扭矩产生。 注意：剪心仅与截面有关，是截面特性，与外荷无关。
h
常用截面剪切中心的位置： ⓐ 双轴对称截面，剪切中心与形心重合； C S ⓑ 单轴对称截面，剪切中心在对称轴上， S C S 具体位置通过计算确定； C ⓒ 矩形板中线相交于一点的截面，剪切 S 中心在交点。 C C 2. 扭转的形式 S 荷载作用线未通过剪切中心时，产生的扭转分为自 由扭转和约束扭转。 非圆截面扭转时，原来为平面的横截面不再成为平 面，有的凹进而有的凸出，这种现象称为翘曲。 M 如果扭转时轴向位移不受任何 约束，截面可自由翘曲，称为自由 M 扭转或圣维南扭转（纯扭转）。
V N cr N cr (ds dz )
N
dy ds a
y
dz l N cr ( dz ) cos l 1 N cr (1 cos )dz cos l 1 2 N cr 2 sin dz cos 2 l 据假设③，有： cos 1
k 3
b t
i 1 i
n
3 i
M t t Gt 最大剪应力为： t It
② 闭口薄壁构件的自由扭转 剪力流的分布如图，沿构件截面成封 闭状，沿壁厚均匀分布，方向与截面中心 线相切。τt 为常数。
o Mt
t
t
ds
总扭转力矩为： M t
tds t ds
y
2
二. 扭转屈曲 沿截 1. 剪切中心（弯曲中心） 面宽 度均布 梁受横向荷载时，截面会产生剪应力 薄壁截面梁剪应力的计算宜用剪力流理论，认为剪 应力沿板件厚度均布，方向与各板件平行。 与材料力学的计算方法相比较，薄壁构件腹板上剪 应力的计算是相同的，但在计算翼缘剪应力时，无论大 VS 小和方向都有质的区别。 由 计算 t I 计算翼缘时，S取计算处以外面积对中和轴的面积矩 翼缘中剪应力的合力为零，故腹板中剪应 力的合力即为全截面剪应力的合力，此合力通 过截面形心。 若梁受的横向荷载也通过形心（实质是通 过剪切中心），则梁只产生弯曲。
x
若荷载平行于y轴作用, τf1 H 上翼缘和下翼缘中的剪力和 V 均为H，形成一个力偶Hh。 S 整个截面剪力和为V(实 e 际上是腹板的剪力和)，平行 H b 于y 轴。 若不产生扭矩，需 Hh Ve 0 V b2 th 1 V h 1 而 H bt bt (bt ) f1 4Ix 2 2 2 Ixt
说明杆件有两种稳定的平衡状态，这称为平衡的分 枝。属于第一类稳定问题，以曲线稳定平衡状态为临界 状态。 偏心受压杆在荷载开始作用时，杆件就发生弯曲， N>Ncr N 荷载低于临界荷载时，杆件随时处于 弯曲的平衡状态。 而在达临界荷载后，平衡状态被破坏。 杆件仅存在一种弯曲平衡状态，属于 第二类稳定问题。 设计轴心受力构件时，应同时满足第一极限状态和 第二极限状态的要求。 强度 第一极限状态为承载力极限状态，包括 稳定 第二极限状态是限制构件正常使用时的变形。
t t
自由扭转时，各截面的翘曲变形相同，纵向纤维保 持直线且长度不变，截面上只有剪应力，无纵向正应力。 如果由于支承情况或外力作用 方式使构件扭转时截面的翘曲受到 x z 约束，称约束扭转（弯曲扭转）。 y Mz 约束扭转时，构件产生弯曲变形， 截面上将产生纵向正应力，称翘曲正应力。由此伴生的 弯曲剪应力，称为翘曲剪应力。 ① 开口薄壁构件的自由扭转 自由扭转时截面上的剪力流沿壁厚方向线性变化， 在壁厚中部剪应力为 1 tw 零，在两壁面处达最 tw 大值τ1 ，方向与壁 厚中心线平行。
实腹式组合截面要保证局部稳定 格构式截面要保证单肢稳定
§4.2 轴心受力构件的强度和刚度 轴心受力构件的强度承载力是以全截面的平均应 力达到屈服应力为极限。 由于柱要通过螺栓连接其它构件，柱截面有削弱， 因此需进行净截面强度计算。

N
A
f
或

N'
n
A
f
n
对于高强螺栓摩擦型连接，还需 N f 验算构件的毛截面强度： A 为满足轴心受力构件的正常使用要求，构件应具 有一定的刚度要求，以保证构件不会产生过度的变形。 轴心受力构件刚度的保证是通过构件长细比来确 定的： l 0 i

ρ 为剪力中心至微元段ds的中心线的距离， ds 为截面中心线所围面积A的2倍
则：
经计算，闭口截面的抗扭能力较开口截面大的多。
Mt M t 2tA 或： 2 At
③
开口薄壁截面构件的约束扭转 悬臂端截面可自由翘曲，而固 定端截面完全不能翘曲，中间 x z 各截面受到不同程度的约束。 y Mz 截面翘曲剪应力形成翘曲扭矩，再加上自由扭转 产生的扭矩，与外扭转相平衡。 即约束扭转平衡微分方程：
t
l/ 2 l/ 2
l
l
②
y 单轴对称截面构件 绕非对称轴 λx=lox/ix 而绕对称轴的λy，应采用计及扭转效应 x 的换算长细比λyz (后面阐述)。 容许长细比 的取值可查表， 受压构件 ＝150 多数情况下 ＝250（有重级工作制吊车 的厂房） 受拉构件 ＝350（有中、轻级工作制 吊车的厂房）
根据弹性力学理论，作用在构件上的自由扭矩 Mt为： M t G I t 式中： Mt ：作用扭矩； G：剪切模量； φ ：截面的扭转角； φ' ：单位长度的扭转角，即扭转率； It：截面的抗扭惯性矩，又称扭转常数。 当截面由几个狭长矩形板组成时， It由下式计算：
I
t
式中：bi、ti：任意矩形板的宽度和厚度； k：考虑热轧型钢在板件交接处凸出部分的 有利影响，其值由试验确定。 角形截面k＝1.0； 槽形截面k＝1.12； 工字形截面k＝1.25； T形截面k＝1.25。
dy 而 tg dz

1 sin tg tg 2 2 2
2


故：V
1 dy dz 2 N ( ) 2 dz
cr l
N ( y) dz 2
cr 2 l
ds
l
l
a
dz
ds-dz
如图， 据假设①、②、③，有：
z
△
杆件应变能包括弯曲应变能和剪切应变能 变形由两部分组成，y1由M引起，y2由V引起， z Vg1称为剪切角， g1称为单位剪切角。

1
N cr E l I cr 、i 2 A A i 上式仅当σcr≤ fp 时，才正确。
cr
得：N
2
EI
2
l
2
当σcr> fp 时，钢材进入弹塑性 阶段，应采用切线模量理论更合适， 2 E 即： cr 2
σ a tga = Et ε

Et 式中： E
V、U代入 V U 0
N
cr
l
l
中整理得：

( y)
l
2
dz
2
1 EI
y
l
2
dz
( y)
1 l
dz
ห้องสมุดไป่ตู้
据假设④，令 y
y
代入上式整理后得： N
cr
m
sin
z
2
l
EI
2
符合边界条件
1 1
2
l

EI
2
对于实腹式截面，剪切应变能所占比例较小，可忽略
l
经实验验证
Et：对应于临界应力的切线模量
Et
2
( f y )
( f y f p) f
E
p
画出临界应力和长细比的关系（称为柱子曲线） 若：