第二章 杆件的内力.截面法(第1、2、3节)

外 无外力段
力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变 无变化
FS 图
FS
特
征
x
FS >0
FS
FS
x
x
FS <0 增函数
FS
FS FS1
C
x
FS2
x
降函数 FS1–FS2=P
FS
C x
M
斜直线
曲线
自左向右折角 自左向右突变
图M
M
M
M
M
与 M M1
特
x
x
x
x
xm
x
求：外力偶矩Me ( N·m)
解：PMe
n 30
P1000Me3n0
由此求得外力偶矩：
Me
Me
P103 00 P
M e
n
954 (N .9 m) n
若传递功率单位为马力（PS)时, 由于PS=735.5N·m/s
Me
702P4(N.m) n
杆件的内力.截面法
对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称 轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。 若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变 形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯 曲形式称为对称弯曲。
注意 1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正 的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力为正 （拉力）； FN值为负，说明轴力为负（压力）。
2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖 面线形式；并注上 符号 或 。
杆件的内力.截面法
二、外力偶矩的计算
已知：P—传递的功率,（kw）
n—转速,（r/min）
F C
集中力偶 m处有突变 斜的直线 斜的直线
在C处无变化 C
弯矩图 的特征
一般斜直线 下凸的二 上凸的二 次抛物线 次抛物线
或
最大弯矩 所在截面 可能位置
在FS=0的.截面
在C处有尖角 在C处有突变
m
与
或
m
同
在剪力突变 在紧靠C的某
的截面
一侧截面
剪力、弯矩与外力间的关系
征 增函数 降函数 盆状
同 M2 伞. 状 折向与P反向 M1M2m
直线、二次直线）； 3．求控制截面内力，并采用同一比例的纵坐标注明在图上；
4．用正确的曲线（注意形状、凹向、变化趋势）将这些控制点连接起来。
4．确定
FS
和
max
M。 max
.
一段梁 上的外 力情况
表 2-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
无荷载
q=0
向下的均 向下的均
布荷载 布荷载
q>0
q<0
集中力
（2）取
m
取左部分部分作为研 F
F
究对象.
m
（3）代 弃去部分对研究对象 F
m FN
的作用以截开面上的内力 m
代替,合力为FN .
（4）平 对研究对象列平衡方程
式中：FN 为杆件任一横截面 mm上的内力.与杆的轴线重合， 即垂直于横截面并通过其形心,
FN = F
称为轴力(axial force)。
杆件的内力.截面法
由剪力方程和弯矩方程确定剪力图、弯矩图的一般步骤： （1）求支座反力。 （2）在梁上建立Ox坐标（原点O一般取在梁的左端点，x轴 自左至右为正）； （3）根据截荷情况分段列出FS(x)和M(x)方程。在集中力 （包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力 方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和 弯矩方程的分段点。 （4）求控制截面内力，作FS、M图。一般情况下，每段的两 个端点截面为控制截面。在有分布载荷的段内，FS=0的截面 处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面 的内力值标在坐标的相应位置处 。分段点之间的图形可根据 剪力方程和弯矩方程绘出。并注. 明FS max和M max数值。
杆件的内力.截面法
建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设， 这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为 正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯 矩正负号也作同样判断。
1.截面法(Method of sections)
（1）截
m
在求内力的截面m-m 处,F
F
假想地将杆截为两部分.
m
杆件的内力.截面法
纵向对称面
变形后的轴线
轴线
杆件的内力.截面法
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内这种弯曲称 为非对称弯曲。
平面弯曲：梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相 重合，这种弯曲称为平面弯曲。
对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。
杆件的内力.截面法
❖在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小 而剪力图无改变。
.
杆件的内力.截面法
利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利 用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步 骤如下： 1．求支座反力；
2．根据外力作用情况，分段判断剪力图和弯矩图的曲线性质（常数、一次
杆件的内力.截面法 注意x取值范围等号的取法： 1.若载荷为集中力(剪力图中有突变)，剪力方程中x的取值没有等号； 2.若载荷为集中力偶(弯矩图中有突变)，弯矩方程中x的取值没有等号；
3.对于某一截面，在无限接近的范围内，左右相等才有“＝”,即 剪力图和弯矩图为连续时才有等号。
(0<x<l)
(0≤x≤a),(a≤x≤l)
.
杆件的内力.截面法
总结
❖以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处，及支座截面处 为界点将梁分段.分段写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和弯矩 图. ❖在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。 ❖在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 且弯矩M最大值发生于FS=0处。 ❖集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小; 弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。