ch1. 实数集与函数

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例5
S { x | x 为 区间 (0,1) 中的有理数} 试按上、下界的定义验证 sup S=1, inf S=0.
( 1)n E n 1, 2, 例6 数集 的上、下确界分别为 n 1 sup E , inf E 1. 2
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由上(下)确界的定义可见, 若数集 S 存在上(下)界， 注1 则一定是唯一的. 又若数集 S 存在上、下确界, 则有 inf S ≤sup S . 从上面一些例子可见， 数集 S 的确界可能属于S，也 注2 可能不属于S . 例7 设数集 S 有上确界. 证明
+
={n｜n为正整数}有下界而无上界.
例3 任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集； 由有限 个数组成的数集是有界集.
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2. 数集的上确界和下确界的定义 描述性定义 若数集 S 有上界,则显然它有无穷多个上界,其中 最小的一个上界常常具有重要的作用, 称它为数集 S 的上确界. 同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界. 定义2 设 S 是 R 中的一个数集， 若数 满足 （i）对一切 x S , 有 x , 即 是 S 的上界; （ii）对任何 , 存在 x 0 S , 使得 x 0 , 即 又 是 S 的 记为 sup S . 最小上界，则称数 为数集 S 的上确界，
以及无限区间的定义. 有限区间和无限区间统称为区间.
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2、邻域的定义 设 a R , 0, 点 a 的 邻域
U (a ; ) { x | x a | };
U a;
点 a 的空心 邻域

{ x 0 | x a | }.
U o (a; δ) 与 U(a; δ)

(
x0
S

)
x
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定义2 设 S 是 R 中的一个数集， 若数 满足 （i）对一切 x S , 有 x , 即 是 S 的上界; （ii）对任何 , 存在 x 0 S , 使得 x 0 , 即 又 是 S 的 记为 sup S . 最小上界，则称数 为数集 S 的上确界，
sup { S a } sup S a; (ii) 若 b R + , 定义 bS {bx | x S } , 则 sup {bS } b sup S .
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(i) 若 a R, 定义 S a { x a | x S }, 则 sup { S a } sup S a;
x a0 .a1a2 an 时，其中 0 ai 9, i 1, 2, n, an 0 a0 为非负整数， 记 x a 0 .a1 a 2 ( a n 1)999 9 , 而当 x a0 为正整数时， 则记 x ( a0 1).999 9 ,
2
注1 条件(i) 说明 是 S 的一个上界, 条件(ii)说明 比 小的数都不是 S 的上界,从而 是最小的上 界,即上确界是最小的上界. 注2 显然,条件 (ii) 亦可换成:
0, x0 S , x0 .
(

S
x0


)
x
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定义2 设 S 是 R 中的一个数集， 若数 满足 （i）对一切 x S , 有 x , 即 是 S 的上界; （ii）对任何 , 存在 x 0 S , 使得 x 0 , 即 又 是 S 的 记为 sup S . 最小上界，则称数 为数集 S 的上确界，
a b.
令
ab
则
a b
这与假设a<b矛盾，从而必有a≤b. 注：注意本例中 的用法，这是以后一直强调的一种证明问题 的方法. 5
1.1.2 区间与邻域 1. 区间的定义 义. 设a 、b ∈ R 且a＜b, 开区间（a, b）、闭
区间 [a, b]、半开半闭区间 [a, b）和（a, b ] 、有限区间的定 区间 a , 、 , a 、 , a 、(a, )、 (, ) R 满足绝对值不等式 x a 的全体实数 x 的集合称为点a 的 邻域．
证 (i ) x a S a , 其中 x S , 必有 x sup S , 于是
x a sup S a .
对于 0, x0 S , 使 x0 sup S , 从而
其中 a0 为整数， 0≤an≤9 (n=1,2…)为整数.
3
实数的性质： 1) 实数集R 对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的， 即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数. 2) 实数集是有序的，即任意两实数a、b必满足下述三个关系 之 一： a＜b, a ＝ b, a ＞b. 3) 实数的大小关系具有传递性，即若a＞b, b ＞c，则有a ＞ c . 4) 实数具有阿基米德(Archimedes)性， 即对任何 a , b R, 若b＞a＞0， 则存在正整数 n，使得 na＞b. 5) 实数集R具有稠密性， 即任何两个不相等的实数之间必有另 一个实数，且既有有理数，也有无理数.
inf S 是S 的下界, inf S 是A 的下界,
inf S inf A;
同理有 inf S inf B 于是有
inf S mininf A, inf B.
综上, 有
inf S mininf A, inf B.
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例10 设 S 是 R 中非空有上界的数集 ,
(i) 若 a R, 定义 S a { x a | x }, 则
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再证 inf S 0. 1 (i ) x S , x 1 0 ; n (ii) 0, x0 0 S , x0 .
因此 inf S 0.
虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的 存在性, 这是由于上界集是无限集, 而无限数集 不一定有最小值, 例如 (0, ) 无最小值.
yB; sup A y. 这样, sup A 又是 B 的一个下界,
而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A inf B.
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例9 (ii) A 和 B 为非空有界数集, S A B. 试证明: inf S min inf A , inf B . 证 x S , 有 x A 或 x B , 由 inf A
第1章 实数集与函数
§1.1 §1.2 实 数 集 函 数
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1.1 实数集
1.1.1 实数集及其性质
有理数可用分数形式 p （p、q为整数，q≠0）表示， 也可用有 q 限十进小数或无限十进循环小数来表示； 而无限十进不循环小 数则称为无理数. 有理数和无理数统称为实数. 规定 对于正有限小数（包括正整数）x ，当
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1.1.3
定义1
有界集·确界原理
1. 有界集的定义 设 S 为 R 中的一个数集, 若存在数 M(L), 使得 对一切 x S , 都有 x M x L , 则称 S 为有上界（下界） 的数集，数 M (L) 称为 S 的一个上界（下界）. 若数集 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集. 若S 不 是有界集，则称 S 为无界集. 例2 数集 N
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6）实数集具有完备性（连续性），即任一实数都对应数轴上唯 一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于 是，实数集 R 与数轴上的点有着一一对应关系. 以后的叙述中，常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看 作具有相同的含义. 例1 设a、b∈R，证明：若对任何正数 有a＜b+ , 则a ≤b . 证：（反证法）. 若结论不成立，有实数集的有序性，必有
sup S S max S .
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3.
确界原理
定理1.1 (确界原理) 设 S 为非空数集. 若 S 有上界，则 S 若 S 有下界，则 S 必有下确界． 必有上确界； 即：非空有界数集必有确界. 注: 在本书中确界原理是极限理论的基础, 作为公理， 不予证明.
例8 设A、B为非空数集，满足对一切 x A和y B, 有x y. 则数集A有上确界，数集B有下确界, 且 sup A inf B. 例9 设A、B为非空有界数集，S=A∪B.
和 inf B分别是 A ， B 的下界,有 x inf A 或 x inf B. x min inf A , inf B . 即 min inf A , inf B

是数集 S 的下界,
inf S min inf A , inf B .
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又 S A, S 的下界就是A 的下界,
例如 2.001 记为 2.000 999…；对于负有限小(包括负数) y， 再在所得无限小数之前加负号. 则先将 -y 表示为无限小数， 例如 -8 记为 -7.999 9…； 又规定数 0 表示为 0.0000…. 于是，任何实数x都可用一个确定的无限小数来表示:
x a 0 .a 1 a 2 a n ,
的差别 ？
点 a 的 右邻域 U (a; ) [ a, a ), 简记为 U (a); 点 a 的 左邻域 U (a; ) (a a ], 简记为 U (a ).
0 点 a 的空心 左、右邻域 U+ (a)、 U -0 (a) 的定义？
邻域 — U ( ); +邻域 — U ( ); -邻域 — U ( ).
等价定义：
定义2’ 设 S 是 R 中的一个数集， 若数满足 （i） x S , 有 x , （ii） 0, x0 S , 使得 x0 . 记为 sup S . 则称数 为数集 S 的上确界，
(

x0
S


)
x