2012年河南省洛阳市示范高中联考测试(理数)

2012年洛阳市 示范高中联考高三理科数学试卷第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数212m z -=+ii （m R ∈，i 是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是( )A ．12log y x =B ．21xy =- C ．212y x =-D ． 3y x =-3．阅读右侧的算法框图，输出结果S 的值为A ．1 BC. 12 D ．4．先后连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量（m ，n ）与向量（-1，1）的夹角90θ>︒ 的概率是（ ）A ．12B ．13C ．712D ．5125．已知tan 2α=，则2cos 2(sin cos )ααα-的值为 （ ）A ．3-B ．3C ．2-D ．26．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．正视图 侧视图 俯视图（A ）624+ （B ）64+ （C ）224+ （D ）24+7．.由曲线32,x y x y ==围成的封闭图形的面积为A.121 B.41C. 31D.1278．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++的值是A ．24B ．19C ．36D ．409已知抛物线222222(0)1x y y px p a b=>-=与双曲线)0,0(>>b a 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．215+ B ．12+ C ．13+ D ．2122+10．三棱锥ABC S -的顶点都在同一球面上，且4,22=====SC BC SB AC SA ，则该球的体积为 A ．π3256B ．π332 C ．π16 D ．π6411．若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+++=0,20,2)()(2x x x b a x x f ，则关于x的方程x x f =)(的解的个数是 A ．1B ．2C ．3D. 412．如图，在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，AB ∥DC ，1AD DC ==，2AB =，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设AP AD AB λμ=+（λ，R μ∈），则λμ+取值范围是A ．[1,2]B ．[2,4]C ．[2,)+∞D ．(],1-∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+301,094y y x y x ，则x －3y 的最大值是 _______ .14．函数()sin cos ()f x x x x R =+∈的图象向左平移m ()m R +∈个单位后，得到函数()y f x '=的图象，则m 的最小值为____ ___15．若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 16．下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据：因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ．参考公式: 回归直线的方程是：∧∧+=a x b yˆ， 其中 x b y a x xy y x xb ni ini i i∧∧==∧-=---=∑∑,)())((211；其中i y 是与i x 对应的回归估计值.参考数据： 18)(312=-∑=i i x x ，18))((31=--∑=i i i y y x x .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， q=（a 2，1），p=（c b -2， C cos ）且q p //．求： （I ）求sin A 的值；（II ）求三角函数式1tan 12cos 2++-CC的取值范围．18．（本小题满分12分）某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。

（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E F 、分别为CD PB 、的中点，AE =（Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面PAB ．（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)22,1(P ，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）动直线),(031:R n m n ny mx l ∈=++交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T 。

若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分） 已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当12a 时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当0=a 时，对于任意的,2n N n +∈≥且，证明：不等式1111321(2)(3)(4)()42(1)n f f f f n n n +++++-+请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且,,CB CA OB OA ==⊙O 交直线OB 于E ，D ，连接CD EC ,．（I ）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （II ）若,21tan =∠CED ⊙O 的半径为3，求OA 的长．23. (本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程．已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （Ⅰ）设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ； （Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设()ln(|1||2|3)f x x m x =-+--（m R ∈）（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若当714x ≤≤，()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．高三理科数学答案1-5 ABDDA 6-10 AAABB 11-12 CA13. -1 14.2π 15.22154x y += 16.185cm17.解：（I ）∵q p //，∴c b C a -=2cos 2， …………（2分） 根据正弦定理，得C B C A sin sin 2cos sin 2-=，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， …………（4分）1sin cos sin 2C A C ∴=，0sin ≠C ，21cos =∴A ， 又0A π<< 3π=∴A ；sin A =23…………（6分） （II ）原式C C C CC C C CC cos sin 2cos 21cos sin 1)sin (cos 211tan 12cos 2222+-=+--=++-=， …………（8分）)42sin(22cos 2sin π-=-=C C C ， …………（10分）∵π320<<C ，∴πππ1213424<-<-C ，∴1)42sin(22≤-<-πC ，∴2)42sin(21≤-<-πC ，∴)(C f 的值域是]2,1(-． …………（12分）18.解（I ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ， 则1221()(1)(1)(1)23318P A =---=………………………………4分 （II ）ξ的可能值得为0，1，2，3，4，54121(0)(1)(1),2348P ξ==--=1344112121(1)(1)(1)(1),223238P C ξ==--+-= 22213441121127(2)()(1)(1)(1),22322324P C C ξ==--+-=33222441121121(3)()(1)(1)()(1),2232233P C C ξ==--+-=4334121121(4)()(1)()(1),2322316P C ξ==-+-=4121(5)(),2324P ξ=== ……………………………………………………………9分所以随机变量ξ的分布列如下：………………………10分故117131801234548824316243E ξ=+++++= ………………………12分19. 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是菱形，∴2AD CD AB ===．在ADE ∆中，AE 1DE =，∴222AD DE AE =+．∴90AED ∠=︒，即AE CD ⊥．又AB CD //， ∴AE AB ⊥．…………………2分 ∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AE ．又∵PA AB A = ，∴AE ⊥平面PAB ，………………………………………4分 又∵AE ⊂平面AEF ，平面AEF ⊥平面PAB ． ………………………………6分 （Ⅱ）解法一：由（1）知AE ⊥平面PAB ，而AE ⊂平面PAE ， ∴平面PAE ⊥平面PAB ………………………6分 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥．由（Ⅰ）知AE CD ⊥，又PA AE A = ∴CD ⊥平面PAE ，又CD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面PAE ．…………………………8分 ∴平面PAE 是平面PAB 与平面PCD 的公垂面．所以，APE ∠就是平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的平面角．……9分在Rt PAE ∆中，222347PE AE PA =+=+=，即PE 10分又2PA =，∴cos APE ∠=．所以，平面PAB 与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．…………12分理（Ⅱ）解法二：以A 为原点，AB 、AE 分别为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示．因为2PA AB ==，AE(0,0,0)A 、(0,0,2)P、E、(1C ，…………6分则2)PE =- ，(1,0,0)CE =-，AE = ．………7分 由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAB ，故平面PAB 的一个法向量为1(0,1,0)n =．……………………8分设平面PCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =， 则2200n PE n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即200z x -=-=⎪⎩，令2y =，则2n =． …………………10分∴121212cos ,n n n n n n ===．所以，平面PAB 与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．……………12分20．（1）1222=+y x ………………………4分（2）i ）若n=0，1 ,0:22=+=y x x l 圆ii ）若m=0,916)31( ,31:22=++-=y x y l 圆且过定点（0,1）………………………6分iii ）222222104160(2)033922mx ny n m m n x mnx n x y ⎧++=⎪≠⇒++-=⎨⎪+=⎩时设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2），则以AB 为直径的圆的方程为（x-x 1）（x-x 2）+（y-y 1）（y-y 2）=0 …………………8分∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+)2(918)2(32)2(916)2(3422222122221222212221n m m n y y n m n y y n m n x x n m mn x x 且 ∴圆方程为：0)2(91815)(32)2(3422222222222=+--++++++n m m n y n m n x n m mn y x将（0,1）代入显然成立，故存在T （0,1）符合题意。