学生版练习

圆锥曲线椭圆1. 椭圆定义：（1）第一定义： 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹（2）椭圆的第二定义: （利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的位置关系:当 时,点P 在椭圆外; 当 时,点P 在椭圆内; 当 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 注意点：1.要有用定义的意识问题1：已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB=______________2.求标准方程要注意焦点的定位问题2椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则=m ______________考点1 椭圆定义及标准方程 1.短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF2的周长为______________2.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为______________题型2 求椭圆的标准方程[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.4.已知方程),0(,1sin cos 22πθθθ∈=+y x ,讨论方程表示的曲线的形状5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.考点2 椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）[例3 ] 在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ______________ ．1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为______________2.已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+n y m x 的离心率为______________题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）[例4 ] 已知实数y x ,满足12422=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值1.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点则1234567PF P F PF P F PF P F P F ++++++=________________考点3 椭圆的最值问题题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值[例5 ]椭圆191622=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________． 1.椭圆191622=+y x 的内接矩形的面积的最大值为 ______________2. P 是椭圆12222=+b y a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF⋅的最大值与最小值3.已知点P 是椭圆1422=+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ，O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________． 考点4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题[例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且3=． （1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范围．1. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22。

一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l 经过A 与曲线E 交于M 、N 两点。

（1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（2）设直线l 的斜率为k ，若∠MBN 为钝角，求k 的取值范围2.椭圆221369x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是 ______________ 3.在ABC △中，90A ∠=，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =______________4. 已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF, 则此椭圆的离心率为 _________.5.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e =______________6.已知A 、B 分别是椭圆12222=+b y a x 的左右两个焦点，O 为坐标原点，点P22,1(-）在椭圆上，线段PB 与y 轴的交点M 为线段PB 的中点。

（1）求椭圆的标准方程；（2）点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC ，求sin sin sin A B C +的值。

6. 已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy .(Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,双曲线1. 双曲线的定义（1）第一定义： 当21212||F F a PF PF >=-时, P 的轨迹当21212||F F a PF PF <=-时, P 的轨迹当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹（2）双曲线的第二义: ;图8与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为 ，离心率为注意点：1.注意定义中“陷阱” 问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为xy 23±=，则离心率为 考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义[例1 ] (2004·广东) 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为2. P 是双曲线)0,0(122>>=-b a b a 左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF∆的内切圆的圆心的横坐标为 题型2 求双曲线的标准方程[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．1.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为2.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.3.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为考点2 双曲线的几何性质题型1 求离心率或离心率的范围[例3] 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为1.已知双曲线221x y m n -=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e 为2. 已知双曲线)0,0(122>>=-b a b a 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是题型2 与渐近线有关的问题[例4]若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为1.过点P （1，1）与双曲线221916x y -=只有一个交点的直线共有 条变：（1）P （3，4） （2）P （3，0） （3）P （4，0） （4）P （0，0）抛物线1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )：2.抛物线的焦半径、焦点弦 ①)0(22≠=p px y 的焦半径)0(22≠=p py x 的焦半径② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为③ AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x ，=B A y y ，||AB =3. px y 22=的参数方程为py x 22=的参数方程为注意点：1.要有用定义的意识问题1：抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 考点1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换[例1 ]已知点P 在抛物线y2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为1.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 2. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线240x y --=上1. (2009届天河区普通高中毕业班综合测试（一）)若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合,则p 的值2. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） 考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证[例3 ]设A 、B 为抛物线px y 22=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.1.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A2. 如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P = 3、设O 是坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA为．4.在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标圆锥曲线1． 直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：2． 有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k 2|y 2－y 1|，其中求|x 2－x 1|与|y 2－y 1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2， |y 2－y 1|＝y 1＋y 22－4y 1y 2. (2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3． 弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．考点一 圆锥曲线的弦长及中点问题例1 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．1. 椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是____________． 考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．考点三 圆锥曲线中的最值范围问题例3 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) 的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．1． 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________． 2． 设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________．3． 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．4．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．5．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值．6．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.。