等差数列前n项和(一)公开课
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高中数学新教材《4.2.2等差数列的前n项和(1)》公开课优秀课件(好用)
n(a1 an ) 2
50 (7 101) 2
2700
(2)若a1
=2，a
2
=
5 2
，求S10
解：Sn
na1
n(n 1) 2
d
S10
10 2 10 (10 1) 2
1 2
85 2
(3)若a1
1 2
,d
1 6
,
Sn
5, 求n.
解:
由Sn
na1
n(n 1) 2
d,得
5 1 n n(n 1) ( 1).
在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
Sn
na1
n（n 2
1)
d
an a1 (n 1)d
结论：知 三 求 二
三、巩固新知
1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列
｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
s21
(1
21) 2
21
1
这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和， 很有创意，用数学式子表示就是：
1+ 2+ 3+ 4+……+探21究了以上两个实 21+20+19+18+……+际们1问对题数的 列求 求和 和， 有我 了 对齐相加（其中下第二行的式一子定与的认第识一，行那的么
能否将“倒序相加
n 2n n2
2
2
3解：原式＝1 3 5 …+2n 1 2+4+6+…+2n
n
1
2n
2
高二数学《等差数列的前n项和》公开课获奖课件
10 10 1 S10 10 500 50 7250 万元 2
答
提升
作业
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) Sn na1 d 2
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法； 3.公式的应用(知三求一)；
n(n 1) 故S n 2
n个
倒 序 相 加 法
合 作 探 究
问题3：已知等差数列｛an｝,求前n项和 Sn .
Sn a1 a2
a3
an，
①
2Sn a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1 ，
Sn an a n1 an2
a1，
②
n(a1 an ) 2Sn n(a1 an )， 即Sn . 2 上页 思考：还有别的推导方法吗？
又 a1 an a2 a n1 a3 an2
an a1，
下页
问题3：求等差数列{an }的前n项和， 即Sn a1 a2 a3 .... an ?
例1
总结
例 题 讲 解
例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学 实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间， 在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了 保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该 市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入 分析：①找关键句；②求什么，如何求； 的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10. 故，该市在未来10年内的总投入为：
答
提升
作业
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) Sn na1 d 2
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法； 3.公式的应用(知三求一)；
n(n 1) 故S n 2
n个
倒 序 相 加 法
合 作 探 究
问题3：已知等差数列｛an｝,求前n项和 Sn .
Sn a1 a2
a3
an，
①
2Sn a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1 ，
Sn an a n1 an2
a1，
②
n(a1 an ) 2Sn n(a1 an )， 即Sn . 2 上页 思考：还有别的推导方法吗？
又 a1 an a2 a n1 a3 an2
an a1，
下页
问题3：求等差数列{an }的前n项和， 即Sn a1 a2 a3 .... an ?
例1
总结
例 题 讲 解
例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学 实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间， 在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了 保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该 市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入 分析：①找关键句；②求什么，如何求； 的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10. 故，该市在未来10年内的总投入为：
《等差数列的前n项和》公开课课件
n N , n 6, 即S6最大。
*
思考与探索
1、等差数列{an}的公差为d，前项和为sn 。那 么数列sk ，s2k –sk ，s3k – s2k 成等差吗？ 2、等差数列的项数若为2n(n∈N*) ， 则 s2n = ,且s偶 – s奇= , s奇/s偶= 。 3、等差数列的项数若为2n-1(n∈N*) ， 则 s2n-1 = ,且s奇–s偶 = , s奇/s偶= 。
等差数列的前n项和
复习：
(1 ) 等差数列的通项公式d
(2)如何利用通项公式求项数n? 头尾差除以公差再加1
an a1 n 1 d
(3)在等差数列{an }中，a1 an = a2 an1 = a3 an2 =
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
讲授新课 1.对于一般等差数列,如何求和?(点题) 设等差数列的首项为a1,末项为an,前n项和为sn,求sn. 解:sn=a1+a2 + a3 +……+an (1) sn=an+an-1+an-2+……+a1 (2) (1)+(2)得 2sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+……+(an+a1) ∵ a1+an= a2+an-1= a3+an-2=……= an+a1 ∴2sn= =(a1+an)n
14 (7 98) S14 735 2
例题讲解
例2．已知一个等差数列的前10项的和是310， 前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项 和的公式吗？
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
等差数列的前n项和1课件
当a1=0时，前n项和的特例
总结词
等差数列的首项为0时，前n项和公 式简化为n倍的末项an。
详细描述
当等差数列的首项a1=0时，前n项和公 式S_n=(a1+an)n/2简化为S_n=nan， 即n倍的末项an。
当an=0时，前n项和的特例
总结词
等差数列的末项为0时，前n项和公式 退化为前n-1项的和。
前n项和公式的应用
应用一
求等差数列的前n项和。
应用二
解决与等差数列有关的实际问题，如计算存款利 息、计算工资总额等。
应用三
通过前n项和公式推导等差数列的其他性质，如中 项性质、对称性质等。
03
等差数列前n项和的几何意义
几何意义的解释
等差数列的前n项和表示为数轴上等差数列中前n个点的纵坐标之和，即从第一个 点到第n个点的垂直距离总和。
在经济中的应用
金融分析
在金融分析中，等差数列的前n 项和可以用于计算复利、折旧等
经济指标。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项 和可以用于描述数据分布、计算
平均值、方差等统计量。市场 Nhomakorabea销在市场营销中，等差数列的前n 项和可以用于预测销售量、制定
销售计划等。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
当等差数列的末项an=0时，前n项和 公式S_n=(a1+an)n/2退化为 S_n=S_{n-1}，即前n项和等于前n-1 项的和。
05
等差数列前n项和的实际应用
在数学中的应用
数学证明
等差数列的前n项和公式常 用于数学证明中，例如证 明一些数学定理和性质。
组合数学
等差数列的前n项和在组合 数学中也有广泛应用，如 在计算组合数的公式中。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)
数列定义
数列是由一系列数字按照一定 顺序排列而成的集合。
数列的元素
数列中的每个数字称为数列的 元素。元素的位置用自然数表 示。
通项公式
通项公式是根据数列的特点和 规律，通过公式来表示数列中 的任意一项。
等差数列的特点和公式
等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差恒定的数列。在这个部分中，我们将研究等差数 列的特点和等差数列公式，以及如何判断一个数列是否为等差数列。
《等差数列的前n项和》 课件（全国讲课比赛一等 奖）
欢迎大家来到我的《等差数列的前n项和》课件！在这个课件中，我们将探索 数列的定义、等差数列的特点和公式、等差数列的前n项和公式，以及一些例 题和实际应用。
数列的定义
数列是由一系列数字按照一定顺序排列而成的集合。在这个部分中，我们将学习数列的定义、数列的元 素和通项公式，以及如何表示一个数列。
总结与展望
通过本课件，我们学习了等差数列的定义、特点和公式，推导了等差数列的 前n项和公式，并应用到了实际问题中。希望大家能够通过本课件加深对等差 数列的理解，并能够灵活运用等差数列的知识。
1
等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和，a1表示第一项， an表示第n项。
2
证明前n项和公式
我们可以通过数学归纳法来证明等差数列的前n项和公式。
3
具体例题演示
让我们通过一些具体的例题来加深对等差数列的前n项和公式的理解。
应用实例
等差数列的特点
等差数列的每一项与前一项之间的差恒定。
等差数列的公式
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)
对学生的答疑解惑
01
解答学生在学习过程中遇到的疑 惑和问题，帮助他们更好地理解 和掌握等差数列的前n项和。
02
针对学生的不同学习需求和问题 ，提供个性化的指导和建议。
下节课预告：等差数列的性质探究
• 预告下节课的学习内容，引导学生对等差数列的 性质进行探究和思考，激发他们的学习兴趣和好 奇心。
THANKS。
详细描述
首先，将等差数列的项倒序排列，然后将其与原数列相加。由于倒序数列与原数列的对 应项相加都等于同一个常数（等差数列的首项加末项），因此，这些相加的结果都相互 抵消，除了第一项和最后一项。因此，等差数列的前n项和可以通过求第一项和最后一
项的和，然后乘以项数n再除以2来得到。
错位相减求和
总结词
错位相减法是一种通过将等差数列的每 一项乘以一个递增或递减的系数，然后 求和来找到等差数列的和的方法。
等差数列的前n项和公式的扩 展
推广到等差数列的任意项和
总结词
等差数列的任意项和公式是等差数列前n项和公式的一种扩展，它可以计算等差数列中任意一项的值。
详细描述
等差数列的任意项和公式是基于等差数列的通项公式和前n项和公式推导出来的。通过设定等差数列的首项、公 差以及项数，可以计算出任意一项的值。这个公式在解决一些数学问题时非常有用，特别是那些需要精确计算等 差数列中某一项的值的问题。
要点二
详细描述
首先，将等差数列的每一项拆分成两个部分，通常是一个 常数和一个递增或递减的等差数列。然后，将这些拆分后 的项重新组合成新的数列，并求和。由于相邻的拆分项会 相互抵消，因此最后只剩下首项和末项的和。因此，等差 数列的前n项和可以通过求首项和末项的和，然后乘以项 数n再除以2来得到。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
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THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
3.3等差数列前n项和公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
7,27, 37, 47, , 14 7,
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14
S14
14 (7 98) 2
735.
Sn
n（a1 2
an )
答：集合M共有14个元素，它们和等于735.
第8页
等差数列前n项和练习1
S 1. 依据以下条件，求对应等差数列 an
C组: 在等列前多少项和最大?
第16页
数列{an}前n项和Sn=100n-n2 (n∈N*) (1)判断数列{an}是什么数列? (2)设bn=│an│,求数列{bn}前n项和.
第17页
第18页
第19页
第20页
A ab 2
第3页
高斯求和故事
等差数列 1,2,…50,51,…100和
Sn=1+2+…+100
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101
Sn=
100 •101 2
=5050
第4页
等差数列前n项和公式推导
等差数列 a1, a2 , a3 , …，an , …，前n项和
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
n
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
10 (5 95) 2
500.
Sn
n（a1 2
an )
(2)a1 100, d 2, n 50;
5（ 0 50 1)
Sn
na1
n（n 2
1)
d
S50 50 100
2
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14
S14
14 (7 98) 2
735.
Sn
n（a1 2
an )
答：集合M共有14个元素，它们和等于735.
第8页
等差数列前n项和练习1
S 1. 依据以下条件，求对应等差数列 an
C组: 在等列前多少项和最大?
第16页
数列{an}前n项和Sn=100n-n2 (n∈N*) (1)判断数列{an}是什么数列? (2)设bn=│an│,求数列{bn}前n项和.
第17页
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第19页
第20页
A ab 2
第3页
高斯求和故事
等差数列 1,2,…50,51,…100和
Sn=1+2+…+100
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101
Sn=
100 •101 2
=5050
第4页
等差数列前n项和公式推导
等差数列 a1, a2 , a3 , …，an , …，前n项和
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
n
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
10 (5 95) 2
500.
Sn
n（a1 2
an )
(2)a1 100, d 2, n 50;
5（ 0 50 1)
Sn
na1
n（n 2
1)
d
S50 50 100
2
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
成立。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法 ，通过一系列的推导和变换，证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正 确性。将等差数列的项表示为坐 标平面上的点，利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出 现在首项小于0，公差小于0的情 况下，此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列：1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列：1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列：2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其 中a1是第一项，d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出 现在首项大于0，公差大于0的情 况下，此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘 以项数，即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的 和乘以项数再除以2，即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和可 以用于描述一系列数据的分布特征 ，例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一 系列金融数据的累加值，例如股票价 格、债券收益、投资回报等。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法 ，通过一系列的推导和变换，证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正 确性。将等差数列的项表示为坐 标平面上的点，利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出 现在首项小于0，公差小于0的情 况下，此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列：1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列：1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列：2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其 中a1是第一项，d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出 现在首项大于0，公差大于0的情 况下，此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘 以项数，即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的 和乘以项数再除以2，即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和可 以用于描述一系列数据的分布特征 ，例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一 系列金融数据的累加值，例如股票价 格、债券收益、投资回报等。
《等差数列前n项和公式》优秀课件(公开课)
2021/1/21
（一）创设问题
德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事：小高斯上小学 四年级时，一次教师布了一道数学习题："把从1到100 的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一 思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯 是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如大家也懂 得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
n(n 1) d 2
2021/1/21
例1 等差数列 10，6，2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54， 根据等差数列前 n项和公式，得
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
2021/1/21
课堂小结：
1. 数列{an}前 n项和公式的概念
2. 等差数列前 n项和公式的推导过程
3. 等差数列前 n项和公式及公式应用
2021/1/21
谢谢再见
2021/1/21
即 Sn=n(a1+an)/2 即前n项的和与首项末项及项数有关 若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？
（一）创设问题
德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事：小高斯上小学 四年级时，一次教师布了一道数学习题："把从1到100 的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一 思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯 是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如大家也懂 得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
n(n 1) d 2
2021/1/21
例1 等差数列 10，6，2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54， 根据等差数列前 n项和公式，得
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
2021/1/21
课堂小结：
1. 数列{an}前 n项和公式的概念
2. 等差数列前 n项和公式的推导过程
3. 等差数列前 n项和公式及公式应用
2021/1/21
谢谢再见
2021/1/21
即 Sn=n(a1+an)/2 即前n项的和与首项末项及项数有关 若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列，其中首项a=1，公差d=1；负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列，其中首项a=-1，公差d=-1；斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列，其中首项a=0，公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”，其 中a是首项，n是项数，d是公差 （任意两个相邻项的差）。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等，即a_n=a_(n+2m)，其中 m是整数；递增性是指如果公差d>0，则数列是递增的；递减性是指如果公差 d<0，则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$
第二章 2.3 第1课时 等差数列的前n项和(优秀经典公开课比赛课件)
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2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
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内容标准
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路． 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an， Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 3.能用an与Sn的关系求an.
学科素养
发展逻辑推理 提升数学运算 应用数学建模
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01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练
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[基础认识] 知识点一 等差数列前 n 项和公式 阅读教材P42－43，思考并完成以下问题 (1)高斯求和的故事我们一定耳熟能详，高斯是怎样求出 1＋2＋3＋…＋100 的结果的 呢？
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法二：设等差数列{an}的公差为 d， ∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4， ∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×2 2d＝d， ∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B.
[答案] B
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提示：高斯用 1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50 迅速求 出了等差数列前 100 项的和． 高斯的算法妙在“等和性” 1＋2＋3＋4＋…＋98＋99＋100 与 100＋99＋98＋…＋3＋2＋1 相等，对应项相加也相 等．
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[例 1] (1)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，则 a5＝( )
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2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
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内容标准
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路． 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an， Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 3.能用an与Sn的关系求an.
学科素养
发展逻辑推理 提升数学运算 应用数学建模
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01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练
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[基础认识] 知识点一 等差数列前 n 项和公式 阅读教材P42－43，思考并完成以下问题 (1)高斯求和的故事我们一定耳熟能详，高斯是怎样求出 1＋2＋3＋…＋100 的结果的 呢？
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法二：设等差数列{an}的公差为 d， ∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4， ∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×2 2d＝d， ∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B.
[答案] B
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提示：高斯用 1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50 迅速求 出了等差数列前 100 项的和． 高斯的算法妙在“等和性” 1＋2＋3＋4＋…＋98＋99＋100 与 100＋99＋98＋…＋3＋2＋1 相等，对应项相加也相 等．
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[例 1] (1)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，则 a5＝( )
等差数列的前n项和第一课时ppt课件
S= n&##43;1
2S n(n 1), S n(n 1)
2
问题4：设等差数列 {an} 的首项 为a1，公差为d，如何求等差数列 的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?
解： 倒序相加
S=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an
S=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1 因为a1+an=a2+an-1=a3+an-
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100
S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100,∴S=5050.
问题3:
求和:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
(1)已知d=3,an=20,Sn=65, 求a1和n以及此数列的后6项和； (2) 已知an=11-3n,求Sn.
(3)已知a11=-1，求S21.
三.小结
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
--------方程思想
问题1:怎样才能快速地计算出 一堆钢管有多少根？
5+9=14 6+8=14 7+7=14 8+6=14 9+5=14
2S n(n 1), S n(n 1)
2
问题4：设等差数列 {an} 的首项 为a1，公差为d，如何求等差数列 的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?
解： 倒序相加
S=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an
S=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1 因为a1+an=a2+an-1=a3+an-
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100
S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100,∴S=5050.
问题3:
求和:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
(1)已知d=3,an=20,Sn=65, 求a1和n以及此数列的后6项和； (2) 已知an=11-3n,求Sn.
(3)已知a11=-1，求S21.
三.小结
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
--------方程思想
问题1:怎样才能快速地计算出 一堆钢管有多少根？
5+9=14 6+8=14 7+7=14 8+6=14 9+5=14
等差数列前n项和课件(公开课)
n(a1 an )
即Sn
n(a1 2
an )
4、推导公式
等差数列的前n项和的公式： Sn
n(a1 2
an )
由于an a1 n 1d,
故
Sn
na1
n(n 1) 2
d
还可以化为
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
5、应用
Sn
n(a1 an ) 2
Sn
解：(2)等差数列数列{an}中， a1 5, an 80, d 1 an a1 (n 1) d 80 5 n 1 n 76
76 (5 80)
S76
2
3230
5、应用
Sn
n(a1 an ) 2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
例1 (1) 计算 5 6 7 79 80
即：Sn a1 a2 a3 an
4、推导公式
还有更好 的办法吗？
假如最上面一层有很多 支铅笔，老师说有n支。 问：这个V形架上共放 着多少支铅笔？
问题就是：
Sn 1 2 3 n ?
若用首尾配对相加法可以吗？
需要分类 讨论
配对时n是奇数还是偶数会有不同的结果
(2)在等差数列{an}中，d 4, S5 70,
(1)解：数列{an}中， a1 5, an 80, d 1
S76
76 (5 2
80)
an a1 (n 1) d 80 5 n 1
S76
765
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(2)a1 100 , d 2, n 50;
2
n（n 1) S n na1 d 50 （50 1) 2 S50 50 100 (2) 2550
2.等差数列－10，－6，－2，2，…的前___项的和为54？
答案: n=9，或n=-3（舍去）
上页
下页
课堂小结
10 10 1 S10 10 500 50 7250 万元 2
答
上页
下页
课堂练习
1. 根据下列条件，求相应的等差数列
an 的Sn
n（a1 an ) Sn 2
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10 10 (5 95) 500 . 2
那么，对一般的等差数列，如何求它的 项和呢？ 前n项和
上页 下页
倒序相加法 已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，公差是 d, 项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
Sn a1 a2 a3 an
a1 a1 d a1 2d a1 n 1 d
1 3 5 …+ 2n 1 2 解： 2 n 2n 2 n 2 1 3 5 …+ 2n 1 2+4+6+…+2n 3 解：原式＝ n 1 2n 1 n 2 2n 2 n n n 1 n 2 2
又 Sn an a n1 an2 a1
①
2Sn a1 an ＋ a1 an ＋ a1 an ＋… ＋ a1 an n(a1 an ) 2Sn n(a1 an ), 即Sn 2 上页 下页
各项组成新 an an d an 2d n 1 d ② an 的等差数列
求和公式
等差数列的前n项和的公式： n(a1 an ) Sn 不含d 2
思考：（1）公式的文字语言； （2）公式的特点；
可知三 求一
由于an a1 n 1 d , 故
n(n 1) Sn na1 d 2
上页 下页
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
计算： 1
分析：这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 和.
2
3 (n 1) n ①
2 ＋1 ②
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋
2 1 2 3 (n 1) n n (n 1)
n (n 1) 1 2 3 (n 1) n 2
上页
n 1 2n 1
下页
例题讲解
例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在 中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出 了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年 的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测 算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万 元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金 都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10 年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入 分析：①找关键句；②求什么，如何求； 的资金构成等差数列{an}，且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1=500,d=50,n=10. 故，该市在未来10年内的总投入为：
a1 n an
n(a1 an ) Sn 2
上页
下页
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
a1 n a1 an (n-1)d
n(n 1) Sn na1 d 2
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
上页 下页
例题讲解
例1、计算 （1） 1+3+5+7+„+39 400 n2 （2） 1+3+5+„+（2n-1） 法二： （3）1-2+3-4+5-6+„+（2n-1）-2n -n
课堂小结 课堂练习 例题讲解 公式记忆 公式推导 创设情景
上页
下页
创设情景
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发 现了一个堆放铅笔的V形架， V形架的最下面一层放 一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一 支，最上面一层放100支. 老师问：高斯，你知道这 个V形架上共放着多少支铅笔吗？ 问题就是： 计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
（两个） 1．等差数列前n项和的公式；
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) Sn na1 d 2
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；
3.公式的应用(知三求一)；
上页 下页
课后作业
1. 在等差数列 {an }中 , a4 70, a21 100 ． （1）求首项 a1 和公差d，并写出通项公式；
上页 下页
创设情景
平行四 三角形 边形
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每 一层都比它下面一层 多放一支，最上面 一层有很多支铅笔， 老师说有n支。问： 这个V形架上共放 着多少支铅笔？ 问题就是： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n 若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
上页 下页
倒序相加法
（2）数列中有多少项属于区间 [18,18]？ 2.在等差数列 {an } 中， 5 1 a , d , Sn 5，求n及 an ； （1）已知 1
6 6
（2）已知 d 2, n 15, an 10 ，求a1 及 Sn ．
上页
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