9-1相关分析

r 表示样本相关系数
r LXY LXX LYY
n
医学统计学
LXY 表示X与Y的离均差乘积和
LXX 表示X的离均差平方和
n
LYY 表示Y的离均差平方和
LXY
n n 1 n ( xi x )( yi y ) xi yi ( xi )( yi ) xi yi nx y n i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 n n 2 1 2 2 2 ( xi x ) xi ( xi ) xi nx n i 1 i 1 i 1 i 1 2 n 2 1 n 2 ( yi y ) yi ( yi ) yi 2 n y n i 1 i 1 i 1 i 1
1、将X、Y分别从小到大（或从大到小）编秩，若遇 到同组相同观察值时，取其平均秩次。 2、计算差值d。
3、求d 2。 4、代入公式进行计算。
6 53.5 rs 1 1 0.6758 2 2 n( n 1) 10 (10 1)
6 d 2
（三）等级相关系数的假设检验
的形式描述出来，用来反映两变量之间相关关系形态。
正相关 负相关
医学统计学
日数（Y） 30 25 20 15 10 5 0 0 2 4 剂量 6 8 10
（二）计算相关系数
r
n
医学统计学
LXY LXX LYY
n i 1
LXY ( xi x )( yi y ) xi yi nx y
无相关
（二）样本相关系数 1、定义
医学统计学
用来说明具有直线关系的两变量间相关的密切 程度与相关方向的指标。 r 表示样本相关系数 表示其总体相关系数

Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y ) E[( X E ( X ))(Y E (Y ))] D( X ) D(Y )
说明：相关系数没有单位，其值为-1≤≤1。 值为 正表示正相关， 值为负表示负相关， 的绝对值等 于1为完全相关，=0为无（零）相关。
二、散点图与样本相关系数
医学统计学
（一）散点图 它是以直角坐标系的横轴代表变量X，纵轴代表变 量Y，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描 述出来，用来反映两变量之间相关关系形态。
例1 随机抽取15名健康成人，测定血液的凝血酶浓 度（单位/毫升）及凝固时间（秒），数据如下表所 示。据此资料做出散点图。
解 1、建立检验假设
医学统计学
H 0 : 0, 即药物剂量与症状消除的日数没有关系； H1 : 0, 即药物剂量与症状消除的日数有关系。
2、计算统计量
n 10, r 0.9102, v n 2 10 2 8
3、确定P值，作出推断结论
r0.05/ 2(8) 0.6319, r r0.05/ 2(8) , P 0.05
（一）等级相关系数的计算
rs 1 n( n2 1) 6 d 2
医学统计学
其中，n表示样本含量；d表示X、Y秩次之差。 rs值界于-1与1之间，其意义同相关系数r。
医学统计学
（二）实例
例9-2 为了研究舒张压与胆固醇的关系，对10个人进 行检测，结果如下表所示，试计算等级相关系数rs。
患者编号 1 剂量X(mg) 3 9 日数Y(d) 2 3 5 3 4 12 4 5 9 5 6 14 6 6 16 7 7 22 8 8 18 9 8 24 10 9 22 合计 59 151
（一）散点图
医学统计学
它是以直角坐标系的横轴代表变量剂量，纵轴代
表变量日数，将两个变量间相对应的变量值用坐标点
和英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身高、
臂长做了测量，发现：儿子身高（Y，英寸）与父亲 身高（X，英寸）存在线性关系：
ˆ 33.73 0.516 X Y
相关与回归简介
量之间关系的统计分析方法。
医学统计学
相关与回归是研究数值型自变量与数值型因变 相关与回归统计分析的目的： 就是如何根据统计数据确定变量之间的关系 形态及其关联的程度，并探索出其内在的数量规 律性。 变量间关系问题：年龄 ~身高、肺活量~体重、 药物剂量与动物死亡率等。
按α =0.05的水准，拒绝H0，接受H1，可以认为药物 剂量与症状消除日数之间有正相关的关系。
医学统计学
线性相关分析流程图
一对变量
正态随机双变量
绘值散点图 计算相关系数
r 的假设检验
相 关 未 必 真 有 联 系
四、等级相关
医学统计学
等级相关又称秩相关（rank correlation）是一种 非参数统计方法。 适用对象： ①定量数据不是正态变量或总体分布未知；数据一 端或两端有不确定值的资料 ②定序数据。 目的：用等级相关系数rs来说明两个变量间相关关系 的密切程度与相关方向的。
水稻产量
气候情况、浇水、除虫等 当一个或几个相互联系的变量取一定数值时， 与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按 某种规律在一定的范围内变化，变量间的这种相互 关系，称为具有不确定性的相关关系。
医学统计学
相关关系，又可称为线性相关 适用对象：用于双变量均是正态分布的数值数据。 研究目的：分析两变量间直线相关关系及相关的密切 程度。
rs 1 6 d 2
n( n2 1)
地区 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计
舒张压
X 10.7 10.0 12.0 9.9 10.0 14.7 9.3 11.3 11.7 10.3 秩次 5 7 Y
胆固醇
秩次 6 10 2 5 7 7.5 1 9 4 8 7.5 3
2 2 ( x x ) ( y y ) i i
( n 1)
i 1 2
n1
n
( n 1)

S xy
(x
i 1
n
i
x)
2
n1

( y
i 1

i
S xy Sx S y
y)
2
( n 1)
相关系数没有单位，其值为-1 r 1。
医学统计学
散点呈椭圆形分布，
i 1 i 1 i 1 2 y i 2651 10
10
10
10
医学统计学
x
x
i 1
i 1 n
x y
i 1 i
10
i
1003
i
n
n i 1 n
59 5.9 10
y
y
i 1
n
i
n
151 15.1 10
LXY xi yi nx y 1003 10 5.9 15.1 112.1 LXX xi nx 389 10 5.92 40.9
医学统计学
第九章 相关分析与回归分析
9.1 相关分析
主要内容

一、相关分析的基本概念 二、散点图和样本相关系数 三、相关系数的假设检验 四、等级相关分析
历史背景：
医学统计学
十九世纪英国人类学家 F.Galton首次在《自
然遗传》一书中，提出并阐明了“相关”和“相关
系数”两个概念，为相关论奠定了基础。其后，他
n
n
LXX
LYY

n
2
n
2
r
LXY LXX LYY

( xi x )( yi y )
i 1
n
医学统计学
(x
i 1
n
n
i
x ) 2 ( yi y ) 2
i 1
n

(x
i 1 n i 1
n
i
x )( yi y ) /( n 1)

S xy
2 2 ( x x ) ( y y ) i i i 1 i 1 n n
1.1 1.2 14 13
1.1 0.9 15 16
医学统计学
15名健康成人凝血时间与凝血酶浓度散点图
18 17
¨ÄÄ ±ÄÄ ÄÄÄ
16
15
14
13
12 .5
.6
.7
.8
.9
1.0
1.1
1.2
1.3
ÄÄÄÄ ¨ÄÄ ¨ÄÄ/Ä ÄÄÄ
医学统计学
正相关
负相关
无相关
非线性相关
完全正相关
完全负相关
无相关
一、相关关系的基本概念
（一）变量间的关系
医学统计学
实践发现，变量之间的关系形态可分为两种类 型，即函数关系和相关关系。 例如：正方形面积 S 与边长 x 之间的关系：
S x2
当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确 定值与之相对应，这种关系为确定性的函数关系。
医学统计学
例如 一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系： 施肥量
XY 27 15 48 45 84 96 154 144 192 198 1003
X2 9 9 16 25 36 36 49 64 64 81 389
医学统计学 Y2
81 25 144 81 196 256 484 324 576 484 2651
解
n 10, xi 59, xi2 389, yi 151,
按变量的个数分类：
医学统计学
相 关 与 回 归
一元相关与回归分析 研究的是两个变量之间的关系，称为简 单相关与简单回归分析，即一元相关与 一元回归分析。
多元相关与回归分析 研究的是两个以上变量之间的关系，称 为多元相关与多元回归分析分析。
按变量之间关系形态分类： 线性相关与线性回归分析 相关与回归 非线性相关与非线性回归分析