高三数学高考模拟试题(2)_2
2024年新高考九省联考高三第二次模拟数学试题及答案
2024年高考第二次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}{}ln 3,1A x y x Bx x ==−=≤−，则()A B =R （ ）A ．{}13x x −<≤B ．{}1x x >− C ．{1x x ≤−,或}3x >D ．{}3x x >2.已知复数i z a b =+（a ∈R ，b ∈R 且a b ），且2z 为纯虚数，则zz=（ ） A ．1B ．1−C ．iD ．i −3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b + 在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A ． jB ． j −C ． 2jD ． 2j −4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A ．60 B ．114 C ．278 D ．3366.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A ． ()5,11,3 −−∪−+∞B ． [)5,1,3−∞−∪+∞C ． (][) ,21,−∞−∪+∞D ． [)()2,11,−−−+∞7.已知ABC ∆中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A ． 4πB ． 6πC ． 8πD ． 9π8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G 的四边均与椭圆22:164x y M +=相切，则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆MB ．椭圆M 的蒙日圆方程为2210x y +=C ．若G 为正方形，则G 的边长为D ．长方形G 的面积的最大值为18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得60分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A ．MN 的最小值是6 B ．若点5,22P，则MF MP +的最小值是4C ．113MF NF+= D ．若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1± 10.已知双曲线()222:102x y E a a−=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ）A ． 若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B． 若E E 的实轴长为1C ． 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅=D ． 当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ） A ．11B D 与EF 是异面直线B ．存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC ．1A F 与平面1B EBD ．点1B 到平面1A EF 的距离为45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为13.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.14. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的*n ∈N 都有321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，求数列{}n b 的前20项和20T ．16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X 的分布列；（2）若满足()0.6P X n ≥≤的n 的最小值为0n ，求0n ；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较01nn =−与0n n =哪种方案更优.17．（15分）如图,在三棱柱111ABC A B C −中,直线1C B ⊥平面ABC,平面11AA C C ⊥平面11BB C C .(1)求证:1AC BB ⊥;(2)若12AC BC BC ===,在棱11A B 上是否存在一点P ,使二面角1P BC C −−?若存在,求111B PA B 的值;若不存在,请说明理由.18．（17分）已知函数()ln =−+f x x x a ．(1)若直线(e 1)yx =−与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值； (2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，证明：12121ln()x x x x +>+．（e 为自然对数的底数）．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q,P 的距离之比()||0,1,||MQ MP λλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=,定点分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点F 与右顶点A,且椭圆C 的离心率为1.2e = (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D(点B 在x 轴上方),点S,T 是椭圆C 上异于B,D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分.BTD ∠（1）求||||BF DF 的取值范围；（2）将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.2024年高考第二次模拟考试高三数学全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．{13x x −<≤B ．{1x x >− C.{1x x ≤−,或}3x >D ．{3x x >【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可， 【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤−，又{}1B x x =>−R 则(){}1A B x x ∪=>−R ，故选：B.A ．1B ．1−C ．iD ．i −【答案】D【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=−+，又因为2z 为纯虚数，所以2220a b ab −= ≠，即0a b =≠（舍）或0a b =−≠， 所以i z a a =−，所以i z a a =+， 所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z −−−====−+++−. 故选：D3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A. jB. j −C. 2jD. 2j −【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t −−=，求得2t =−，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b j jj j+⋅⋅ ，计算即可得解. 【详解】由向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a与b共线，则240t −−=，所以2t =−，(1,2)a b +=−，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为： ()(1,2)(0,1)21a b j j j j j j+⋅−⋅⋅=⋅=， 故选：C4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>， 当a<0时，由1ab >，得10b a<<； 所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件. 因为01010a b ab a a>>>⇔− > ，所以1ab >， 所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题. 5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A.60 B.114 C.278 D.336【答案】D【解析】命题意图 本题考查排列与组合的应用.录用3人，有 353360C A = 种情况；录用4 人，有 4232354333162C C A C A −=种情况；录用 5 人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A −+−=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A. ()5,11,3 −−∪−+∞B. [)5,1,3−∞−∪+∞C. (][) ,21,−∞−∪+∞D. [)()2,11,−−−+∞【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥°，由此可求解. 【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a −+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=°.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形， 则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥°，故1sin sin 302r MPDPD ∠=≥°=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +−≥，解得[)5,1,3a∈−∞−∪+∞.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A. 4π B. 6πC. 8πD. 9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥−P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【详解】三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ，∴sin PA PQ θ==≤PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1， 直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°， 所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°， 则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径R OB =，∴三棱锥−P ABC 的外接球的表面积224π4π6πS R ==×=．故选：B ．8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相【分析】由椭圆标准方程求得,a b 后再求得c ，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a =2b =，则c ，离心率为e =A 正确；当长方形G 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，因此蒙，圆方程为2210x y +=，B 正确； 设矩形的边长分别为,m n ，因此22402m n mn +=≥，即20mn ≤，当且仅当m n =时取等号，所以长方形G 的面积的最大值是20，此时该长方形G 为正方形，边长为C 正确，D 错误． 故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的【分析】A ，根据12||=MN x x p ++结合基本不等式即可判断；B ，由抛物线定义知当,,P M A 三点共线时MF MP +；C ，D ，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A ，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x >， 因为这些MN 倾斜角不为0， 则设直线MN 的方程为32x ky =+，联立抛物线得2690y ky −−=， 则12126,9y y k y y +=⋅=−，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=， 则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确； 对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小， 即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确； 对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误； 对D ，1212123339()()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a −=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ） A. 若E的两条渐近线相互垂直，则a =B. 若EE 的实轴长为1C. 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅= D. 当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===，故A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a ==， 解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=°，则122221224PF PF a PF PF c −=+=， 整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=−==⋅=，故C 正确； D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF a QF QF a −=−= ，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +−=+=+， 所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥， 当且仅当84a a=，即a = 所以1F PQ周长的最小值为D 正确. 故选：ACD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ）【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =− ，根据数量积为0得到BC m ⊥ ，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =−=− ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误； B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z −−−−=，即224222x xy y z z =− =− −=−，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ， 设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⋅=⋅=++=⋅=⋅=+= ， 令1a =，则0,1b c ==−，则()1,0,1m =−， 因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=−= ，故BC m ⊥ ，BC //平面1APB ， 故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =，故1A F 与平面1B EB则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⋅⋅−+− ⋅=⋅−=−+= ， 令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n = ， 则点1B 到平面1A EFD 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240 【解析】【详解】因为二项式nx+ 的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x+，则二项式展开式的通项3662166C C 2r r r r r rr T x x −−+=， 令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r −−++ ≥ ≥ ，解得111433r ≤≤， 因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x −×==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0 【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+′.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ′′=−⇔++=−()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +−⇔++−=12cos cos 1,0x x a ⇔=−=±=.故答案为014. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+ 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D Ay y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =−时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论． 【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =−，圆()22114x y +−=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =−=+=−=+，当l y ⊥轴时，则1A Dy y ==，所以113131622AB CD+=+++=； 当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =−，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n −++=， 所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。
山西省大同市实验中学2023届高三上学期高考考前模拟(二)数学试题
山西省大同市实验中学2023届高三上学期高考考前模拟（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}02,{1}A xx B x x =≤≤=>∣∣，则A B =I （ ） A ．(],1-∞ B ．(]1,2 C ．(],2-∞ D ．[]0,22．若复数z 满足()()2+323i z z z z +-=+，则z =（ ） A ．11i 22+B ．11i 22-C ．22i +D ．22i -3．ABC V 中，90C ∠=︒，2AC =，P 为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．8B ．4C ．2D ．64．“01t <<”是“曲线2211x y t t +=-表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12966．过圆2264x y +=上的动点作圆22:16C x y +=的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ） A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π7．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =A ．1020B ．1010C ．510D ．5058．若关于x 的方程22e ln (eln )0()x a x x x a ++=∈R 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2)(2,)-∞-+∞U B ．(,2][2,)-∞-+∞U C ．(2,2)-D ．[2,2]-二、多选题9．“中国最具幸福感城市调查推选活动”由新华社《瞭望东方周刊》、瞭望智库共同主办，至今已连续举办15年，累计推选出80余座幸福城市，现某城市随机选取30个人进行调查，得到他们的收入、生活成本及幸福感分数（幸福感分数为0~10分），并整理得到散点图（如图），其中x 是收入与生活成本的比值，y 是幸福感分数，经计算得回归方程为 1.50114ˆ.51x y=+.根据回归方程可知（ ）A ．y 与x 成正相关B ．样本点中残差的绝对值最大是2.044C ．只要增加民众的收入就可以提高民众的幸福感D ．当收入是生活成本3倍时，预报得幸福感分数为6.04410．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1232f x f x +=-，当[]0,2x ∈时，()2f x x =-，设函数()()2e26x g x x --=-<<，则（ ）A ．函数()f x 图象关于直线2x =对称B ．函数()f x 的周期为6C ．()()202320221f f +=-D ．()f x 和()g x 的图象所有交点横坐标之和等于812．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P ，则下列说法正确的是（ ）A ．259P =B ．12133n n P P +=+ C ．点Q 移动4次后恰好位于点1C 的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为10111()232+三、填空题13．已知0,0a b >>，若不等式313ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为________．14．P 是抛物线28y x =上的动点，P 到y 轴的距离为1d ，到圆22:(3)(3)4C x y ++-=上动点Q 的距离为2d ，则12d d +的最小值为________．15．已知四面体ABCD ，平面ABD ⊥平面ABC ，DB BC ⊥，1DA DB ==，120ADB ∠=︒，且四面体ABCD 外接球的表面积为36π，则四面体ABCD 的体积为______．16．如图，一建筑工地有墙面α与水平面β垂直并交于l ，长为α内一点A 与平面β内一点B ，点,A B 距l 均为3米，,E F 分别为AB 的三等分点，若在平面α内一点P 向点,E F 连绳子，则PE PF +的最短长度为__________米.四、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=.（1）求sin sin AC的值 （2）若1cos 4B =，b ＝2，求△ABC 的面积S . 18．从①12n a S n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②23S a =，412a a a =；③12a =，4a 是2a ，8a 的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 不等于零，______． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若122n n n b S S +=-，数列{}n b 的前n 项和为n W ，求n W ．19．如图，在四棱锥E -ABCD 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，O ､M 分别为线段AD ､DE 的中点，四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE =DE ，AE ⊥DE.(1)求证：CM //平面ABE ；(2)求直线CM 与BD 所成角的余弦值；(3)点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长.20．某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率；(2)生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利100元，若是次品则亏损20元，则在（1）的前提下： ①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率；②记X ，Y 分别为生产1000件元件甲和1000件元件乙所得的总利润，试比较()E X 和()E Y 的大小.（结论不要求证明）21．已知函数()21e 2x f x ax =-，其中a R ∈．(1)若函数()f x 在()0,∞+上单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数()f x 存在两个极值点1x ，()212x x x <，[]212,e ∈x x 时，求12x x +的取值范围. 22．已知椭圆C 的方程为22142x y +=，过点203Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作直线与椭圆交于A ，B 两点.（1）求证：P A ⊥PB ；（2）求|P A|·|PB|的最大值.。
2025年新高考数学模拟试题二带解析
2025年新高考数学模拟试题（卷二）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合{}2{Z14},40A x x B x x x =∈-≤<=-≤∣∣，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}0,1,2,3D ．()0,42．已知复数z =z 的共轭复数为（）A ．22i-B ．22i+C ．11i44-+D ．11i44--3．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（）A ．12小时B ．78小时C ．34小时D ．23小时4．若π13πtan sin123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A B ．5-C ．9D ．55．二项式210(1)(1)x x x ++-展开式中4x 的系数为（）A ．120B ．135C ．140D ．1006．已知函数13x y m-=+（0m >且1m ≠）图像恒过的定点A 在直线()10,0x ya b a b+=>>上，若关于t 的不等式253a b t t +≥++恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．[]6,1-B ．[]1,6-C ．(][),16,-∞-⋃+∞D ．(][),61,-∞-⋃+∞7．已知F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，A 是E 的右支上一点，若=AF a ，OA b =，则E 的离心率为（）A ．2B ．2C D 8．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，()()0f x f x +-=，对任意,()0x ∈+∞，都有()()f x f x x '>，且()12f =，则不等式22[(1)]24f x x x -<-+的解集为（）A ．(,0)(2,)-∞+∞ B ．()0,2C ．()1,3D ．(,1)(3,)-∞+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．函数()()2sin 2(0)f x x ωϕω=+>，以下正确的是（）A ．若()f x 的最小正周期为π，则2ω=B ．若()()124f x f x -=，且12minπ2x x -=，则1ω=C ．当0,N ϕω=∈时，()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调且在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不单调，则1ω=.D ．当π12ϕ=时，若对任意的x 有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则ω的最小值为5810．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，P 分别是线段11C D ，线段1C C ，线段1A B 上的动点，且110MC NC =≠.则下列说法正确的有（）A ．1⊥MN AB B ．直线MN 与AP 所成的最大角为90°C ．三棱锥1N D DP -的体积为定值D ．当四棱锥11P D DBB -体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为9π11．已知圆22:(1)(1)4M x y +++=，直线:20+-=l x y ，P 为直线l 上的动点，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法正确的是（）A ．四边形MAPB 面积的最小值为4B ．线段AB 的最小值为C ．当直线AB 的方程为0x y +=时，APB ∠最小D ．若动直线1//l l ，1l 且交圆M 于C 、D 两点，且弦长CD ∈，则直线1l 横截距的取值范围为2,0)(4,2)⋃-第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为__________.13．过点()1,P a 作曲线ln y x x =的切线，若切线有且只有两条，则实数a 的取值范围是___________.14．已知函数()f x 定义域为(0,)+∞，(1)e f =，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，当21x x >时，有()()21121212e e x xf x f x x x x x ->-（e 是自然对数的底）.若(ln )2e ln f a a a >-，则实数a 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=.(1)求2a ，3a ，及{}n a 的通项公式；(2)证明：12311112na a a a ++++< .16．（15分）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在(]16,18的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在(]18,20的加盟店评定为“五星级”加盟店．(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额(),6.25X N μ ，其中μ近似为（1）中的样本平均数，根据X 的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设Y 为抽取的“五星级"加盟店的个数，求Y 的概率分布列与数学期望.参考数据：若()2,X N μσ ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．17．（15分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为12,A BC 的面积为2(1)求点1C 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AAAB =，平面1A BC ⊥平面11A B BA ，求二面角A BD C --的正切值．18．（17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 的右焦点F 且垂直于长轴的弦AB 的长为1，焦点F 与短轴两端点构成等边三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()P的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点E 在x 轴上且对任意直线l ，直线OE 都平分MEN ∠（O 为坐标原点）．①求点E 的坐标；②求EMN 的面积的最大值．19．（17分）已知函数()e 1xf x x =-．(1)若直线e 1=--y kx 与曲线()y f x =相切，求k 的值；(2)若()0,x ∀∈+∞，()ln f x x ax >-，求a 的取值范围．2025年新高考数学模拟试题（卷二）(解析版)第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
2024届甘肃省天水市甘谷一中高考模拟(二)数学试题
2024届甘肃省天水市甘谷一中高考模拟（二）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．8B ．32C ．64D ．1283．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 4．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5B ．11C ．20D ．255．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种6．已知平面ABCD ⊥平面,,ADEF AB AD CD AD ⊥⊥，且3,6,AB AD CD ADEF ===是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足,MB MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为（ ）A ．43B ．16C ．43π D ．8π7．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个8．若2m ＞2n ＞1，则（ ） A ．11m n＞ B ．πm ﹣n ＞1 C ．ln （m ﹣n ）＞0 D ．1122log m log n ＞9．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（） A ．-1B ．0C ．1D ．211．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．212+B ．12C ．212-D ．214-12．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022普通高等学校招生全国统一考试(新高考地区)仿真模拟训练(二)数学试题 (含答案)
2022普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－2，0，1，2}，B＝{y|y＝－x－1}，则A∩B＝()A．{1，2} B.{－2，0}C．{－2，0，1} D．{－2}2．已知a＋5i＝－2＋b i(a，b∈R)，则复数z＝a＋b i5＋2i＝()A．1 B.－iC．i D．－2＋5i3．函数f(x)＝sin xln（x2＋1）的大致图象是()4．已知(a＋2x)7的展开式中的常数项为－1，则x2的系数为()A．560 B.－560C．280 D．－2805．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝()A．6 B.8C．9 D．106．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a2＋2a3，S2是S1与mS3的等比中项，则m＝()A．1 B.9 761则实数a的最小值为()A．1－1e B.2－1eC．1－e D．2－e8．过点M(a，0)作双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的平行线，交双曲线的另一条渐近线于点N，O为坐标原点，若锐角三角形OMN的面积为212(a2＋b2)，则该双曲线的离心率为()A．3 B.3或6 2C．62D． 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某家庭2019年的总支出是2018年的总支出的1.5倍，下图分别给出了该家庭2018年、2019年的各项支出占该家庭这一年总支出的比例情况，则下列结论中正确的是()①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他A．2019年日常生活支出减少B．2019年保险支出比2018年保险支出增加了一倍以上C．2019年其他支出比2018年其他支出增加了两倍以上D．2018年和2019年，每年的日常生活支出和房贷还款支出的和均占该年总支出的一半以上10．直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的必要不充分条件是()2C．m2＋m－12＜0 D．3m＞111．在三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分别是棱BC，CD的中点，则下列结论正确的是()A．AC⊥BDB．MN∥平面ABDC．三棱锥A－CMN的体积的最大值为2 12D．AD与BC一定不垂直12．已知函数f(x)＝2x2－a|x|，则下列结论中正确的是()A．函数f(x)的图象关于原点对称B．当a＝－1时，函数f(x)的值域为[4，＋∞)C．若方程f(x)＝14没有实数根，则a＜－1D．若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则a≥0题号123456789101112答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(一题多解)已知平面单位向量i，j互相垂直，且平面向量a＝－2i＋j，b＝m i－3j，c＝4i＋m j，若(2a＋b)∥c，则实数m＝________．14．有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标M，甲、乙两人站在距离圆盘外的2米处，将小圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标M的概率分别为14与15，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标M被套上的概率为________．15．如图，圆锥的高为3，表面积为3π，D为PB的中点，AB是圆锥底面圆的直径，O为AB16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝30，c ＝20，若b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，则sin(2C －B )＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知D 是△ABC 的边AC 上的一点，△ABD 的面积是△BCD 的面积的3倍，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ.(1)若∠ABC ＝π2，求sin Asin C 的值； (2)若BC ＝2，AB ＝3，求AC 的长．18．(本小题满分12分)给出以下三个条件：(1)S n ＋1＝4S n ＋2；(2)3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )；(3)3S n ＝a n ＋1－2.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足________，记b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋nb n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .19．(本小题满分12分)如图，已知在斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB 1⊥A 1D 1，A 1B ＝AB ＝BB 1＝4，AD ＝2，A 1C ＝2 5.(1)(一题多解)求证：平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A -CA 1B 的余弦值．20．(本小题满分12分)2019年12月9日，记者走进浙江缙云北山村，调研“中国淘宝村”的真实模样，作为最早追赶电商大潮的中国村庄，地处浙中南偏远山区的北山村，是电商改变乡村、改变农民命运的生动印刻．互联网的通达，让这个曾经的空心村在高峰时期生长出400多家网店，网罗住500多位村民，销售额达两亿元．一网店经销缙云土面，在一个月内，每售出1 t 缙云土面可获利800元，未售出的缙云土面，每1 t 亏损500元．根据以往的销售统计，得到一个月内五地市场对缙云土面的需求量的频率分布直方图，如图所示．该网店为下一个月购进了100 t 缙云土面，用x (单位：t ，70≤x ≤120)表示下一个月五地市场对缙云土面的需求量，y (单位：元)表示下一个月该网店经销缙云土面的利润．(1)将y 表示为x 的函数；(2)根据直方图估计利润y 不少于67 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，将需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值时的概率(例如：若需求量x ∈[80，90)，则取x ＝85，且x ＝85的概率等于需求量落入[80，90)的频率)，求该网店下一个月利润y 的分布列和期望．21．(本小题满分12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆短轴的端点B 1，B 2与椭圆的左、右焦点F 1，F 2构成边长为2的菱形，MN 是经过椭圆右焦点F 2(1，0)的椭圆的一条弦，点P 是椭圆上一点，且OP ⊥MN (O 为坐标原点)．(1)求椭圆G 的标准方程； (2)求|MN |·|OP |2的最小值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x2ln x，函数f(x)的导函数为f′(x)，h(x)＝f′(x)－12x－mx2(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数h(x)存在单调递增区间，求m的取值范围；(3)若函数h′(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：e x1x22＞1.2022普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题参考答案1．解析：选B.因为y ＝－x －1≤0，所以B ＝{y |y ≤0}．因为A ＝{－2，0，1，2}，所以A ∩B ＝{－2，0}．故选B.2．解析：选C.由a ＋5i ＝－2＋b i(a ，b ∈R )及复数相等的定义可得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝ 5.所以z ＝a ＋b i5＋2i ＝－2＋5i 5＋2i ＝（－2＋5i ）（5－2i ）（5＋2i ）（5－2i ）＝9i9＝i ，故选C. 3．解析：选 B.由题意知函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．因为f (－x )＝sin （－x ）ln[（－x ）2＋1]＝－sin xln （x 2＋1）＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以C 不正确；又f (k π)＝0(k ∈Z ，k ≠0)，所以A 不正确；当x ∈(0，π)时，f (x )＞0，故D 不正确．故选B.4．解析：选B.由题意可知(a ＋2x )7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7⎝⎛⎭⎪⎫2x 12r a 7－r＝C r 72r a 7－rx r 2.因为展开式中的常数项为－1，所以令r ＝0，得C 0720a 7＝－1，所以a ＝－1.令r ＝4，得x 2的系数为C 47×24×(－1)7－4＝－560.5．解析：选D.分别过点A ，B ，P 向抛物线的准线x ＝－3作垂线，设垂足分别为A 1，B 1，P 1.由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|P 1P |＝12(|A 1A |＋|B 1B |)＝12(|AF |＋|BF |)＝2－(－3)＝5，所以|AF |＋|BF |＝10，故选D.6．解析：选B.设数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝a 2＋2a 3，得a 1＝a 1q ＋2a 1q 2，易知a 1≠0，所以2q 2＋q －1＝0，解得q ＝－1或q ＝12.当q ＝－1时，S 2＝0，这与S 2是S 1与mS 3的等比中项矛盾；当q ＝12时，S 1＝a 1，S 2＝32a 1，mS 3＝74a 1m ，由S 2是S 1与mS 3的等比中项，得S 22＝S 1·mS 3，即94a 21＝m ·74a 21，所以m ＝97.故选B.7．解析：选C.f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1.对任意的x ∈[1，＋∞)，f ′(x )≤a ＋e x 恒成立，即a ≥ln x ＋1－e x 对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立．设g (x )＝ln x ＋1－e x (x ≥1)，则g ′(x )＝1x －e x ＜0，因而g (x )在[1，＋∞)上单调递减，g (x )≤ln 1＋1－e ＝1－e ，所以实数a 的最小值为1－e.8．解析：选D.不妨设点N 在第一象限，如图，由题意知∠1＝∠2＝∠3，所以△OMN 是以∠ONM 为顶角的等腰三角形．因为△OMN 是锐角三角形，所以∠1＞45°，即有b a ＞1，进而e 2＝1＋b 2a 2＞2.由y ＝b a x 与y ＝－b a (x －a )，得y N ＝b 2，所以12×a ×b 2＝212(a 2＋b 2)，即9a 2(c 2－a 2)＝2c 4，所以2e 4－9e 2＋9＝0，得e 2＝32(舍)或e 2＝3，所以e ＝ 3.9．解析：选BD.设2018年的总支出为x ，则2019年的总支出为1.5x ，2018年日常生活支出为0.35x ，2019年日常生活支出为0.34×1.5x ＝0.51x ，故2019年日常生活支出增加，A 错误；2018年保险支出为0.05x ，2019年保险支出为0.07×1.5x ＝0.105x ，B 正确；2018年其他支出为0.05x ，2019年其他支出为0.09×1.5x ＝0.135x ，(0.135x －0.05x )÷0.05x ＝1.7，故C 错误；由题图可知，D 正确．10．解析：选BC.若直线2x －y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交，则|2×1－2＋m |22＋（－1）2＜1，解5＜m ＜ 5.A 项中，由m 2≤1，得－1≤m ≤1，因为{m |－1≤m ≤1}⊆{m |－5＜m ＜5}，所以m 2≤1不是－5＜m ＜5的必要不充分条件；B 项中，因为{m |m ≥－3}⊇{m |－5＜m ＜5}，所以m ≥－3是－5＜m ＜5的必要不充分条件；C 项中，由m 2＋m －12＜0，得－4＜m ＜3，因为{m |－4＜m ＜3}⊇{m |－5＜m ＜5}，所以m 2＋m －12＜0是－5＜m ＜5的必要不充分条件；D 项中，由3m ＞1，得0＜m ＜3，所以3m ＞1不是－5＜m ＜5的必要不充分条件．11．解析：选ABD.设AC 的中点为O ，连接OB ，OD ，则AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，又OB ∩OD ＝O ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC ⊥BD ，故A 正确；因为M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，所以MN ∥BD ，且MN ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ，故B 正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，V A －CMN 最大，最大值V A －CMN ＝V N －ACM ＝13×14×24＝248，故C 错误；若AD 与BC 垂直，因为AB ⊥BC ，AD ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ，又BD ⊥AC ，BC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB ，因为OB ＝OD ，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故D 正确．12．解析：选BD.由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝2（－x ）2－a|－x |＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数，其图象不关于原点对称，故A 选项错误；当a ＝－1时，f (x )＝2x 2＋1|x |，而x 2＋1＝|x |＋1|x |≥2，所以f (x )＝2x 2＋1|x |≥4，即函数f (x )的值域为[4，＋∞)，B 选项正确；由f (x )＝14，得x 2－a |x |＝－2，得x 2＋2|x |－a ＝0.要使原方程没有实数根，应使方程x 2＋2|x |－a ＝0没有实数根．令|x |＝t (t ＞0)，则方程t 2＋2t －a ＝0应没有正实数根，于是需Δ＜0或⎩⎨⎧Δ≥0，－2≤0，－a ≥0，即4＋4a ＜0或⎩⎨⎧4＋4a ≥0，－2≤0，－a ≥0，解得a ＜－1或－1≤a ≤0，综上，a ≤0，故C 选项错误；要使函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，需g (x )＝x 2－a |x |在(0，＋∞)上单调递增，需φ(x )＝x 2－a x ＝x －a x 在(0，＋∞)上单调递增，需φ′(x )＝1＋ax 2≥0在(0，＋∞)上恒成立，得a ≥0，故D 选项正确．13．解析：方法一：因为a ＝－2i ＋j ，b ＝m i －3j ，所以2a ＋b ＝(m －4)i －j .因为(2a ＋b )∥c ，所以(2a ＋b )＝λc ，所以(m －4)i －j ＝4λi ＋mλj ，所以⎩⎨⎧m －4＝4λ，－1＝mλ，所以m ＝2.方法二：不妨令i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则a ＝(－2，1)，b ＝(m ，－3)，c ＝(4，m )，所以2a ＋b ＝(m －4，－1)．因为(2a ＋b )∥c ，所以m (m －4)＝－4，所以m ＝2.答案：214．解析：小目标M 被套上包括甲抛掷的套上了、乙抛掷的没有套上；乙抛掷的套上了、甲抛掷的没有套上；甲、乙抛掷的都套上了．所以小目标M 被套上的概率P ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×15＋14×15＝25.答案：25 15.解析：如图，连接OD ，OC ，BC ，OP ，设圆锥的底面半径为r ，由题意得，πr 2＋12×2πr ×3＋r 2＝3π，得r ＝1，则OC ＝1，PA ＝2.因为点O ，D 分别为AB ，PB 的中点，所以OD ∥PA ，且OD ＝12PA ＝1，所以∠ODC 为异面直线PA 与CD 所成的角(或其补角)．过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，连接HC ，易得DH ⊥HC ，DH ＝12PO ＝32.由弧AC 与弧BC 的长度之比为2∶1，得△OCB 为等边三角ODC ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－12×1×62＝64，所以异面直线PA 与CD 所成角的正弦值为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫642＝104.答案：10416．解析：在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得b sin C ＝c sin B ．又b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以c sin B ＝c cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝202＋302－2×20×30×cos π3＝700，所以b ＝107，由b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得sin C ＝217.因为a ＞c ，所以cos C ＝277，所以sin(2C －B )＝sin 2C cos B －cos 2C sinB ＝2sinC cos C cos π3－(cos 2C －sin 2C )sin π3＝2×217×277×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2772－⎝ ⎛⎭⎪⎫2172×32＝3314. 答案：331417．解：(1)因为∠ABC ＝π2，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ，所以θ＝π6. 所以12AB ·BD sin π3＝3×12BC ·BD sin π6， 所以BC AB ＝sin A sin C ＝33.(2)因为12AB ·BD sin 2θ＝3×12BC ·BD sin θ， 即2AB cos θ＝3BC ，所以cos θ＝22，所以θ＝π4，∠ABC ＝3θ＝3π4，AC 2＝9＋2－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝17，所以AC ＝17.18．解：方案一：选(1)，已知S n ＋1＝4S n ＋2 ①， 当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2 ②，①－②得，a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n ， 当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2， 所以a 2＝8，满足a 2＝4a 1，故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1.c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n （n ＋1）n 2（n ＋1）2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.方案二：选(2)，已知3S n ＝22n ＋1＋λ ③， 当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ ④， ③－④得，3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1， 即a n ＝22n －1，当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1， 下同方案一．方案三：选(3)，已知3S n ＝a n ＋1－2 ⑤， 当n ≥2时，3S n －1＝a n －2 ⑥，⑤－⑥得，3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n ，当n ＝1时，3a 1＝a 2－a 1，而a 1＝2，得a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列， 所以a n ＝22n －1.下同方案一．19．解：(1)证明：方法一：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC .在△A 1BC 中，A 1B ＝4，BC ＝AD ＝2，A 1C ＝25， 所以A 1B 2＋BC 2＝A 1C 2，所以BC ⊥A 1B .又A 1B ，AB 1是平行四边形ABB 1A 1的两条对角线， 所以BC ⊥平面ABB 1A 1.因为BC ⊂平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1. 方法二：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC . 在平行四边形ABB 1A 1中，BB 1＝AB ， 所以四边形ABB 1A 1为菱形， 所以AB 1⊥A 1B .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ， 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC . (2)由(1)知BC ⊥平面ABB 1A 1，因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1，所以平面ABCD ⊥平面CDD 1C 1.在斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，由AB ＝BB 1＝4得四边形ABB 1A 1为菱形， 所以四边形CDD 1C 1为菱形．连接BD ，设AC ，BD 交于点E ，取DC 的中点O ，连接D 1O ，OE ，易证得D 1O ⊥平面ABCD ，故以OE ，OC ，OD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则C (0，2，0)，B (2，2，0)，A (2，－2，0)，A 1(2，0，23)，所以A 1C →＝(－2，2，－23)，AC →＝(－2，4，0)，BC →＝(－2，0，0)． 设平面AA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 1＋2y 1－23z 1＝0，－2x 1＋4y 1＝0，令x 1＝2，得y 1＝1，z 1＝－33，所以平面AA 1C 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－33.设平面BA 1C 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2－23z 2＝0，－2x 2＝0，令z 2＝1，得y 2＝3，所以平面BA 1C 的一个法向量为n ＝(0，3，1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3－3322＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332×02＋（3）2＋12＝14.由图可知二面角A -CA 1B 为锐二面角，故二面角A -CA 1B 的余弦值为14. 20．解：(1)依题意知，当x ∈[70，100)时， y ＝800x －500(100－x )＝1 300x －50 000； 当x ∈[100，120]时，y ＝800×100＝80 000.所以y ＝⎩⎨⎧1 300x －50 000，70≤x ＜100，80 000，100≤x ≤120.(2)由1 300x －50 000≥67 000，得x ≥90，所以90≤x ≤120.由直方图知需求量x ∈[90，120]的频率为(0.030＋0.025＋0.015)×10＝0.7， 所以利润y 不少于67 000元的概率为0.7. (3)依题意可得该网店下一个月利润y 的分布列为所以利润y 的期望E (y )×0.4＝70 900. 21．解：(1)因为椭圆短轴的端点B 1，B 2与左、右焦点F 1，F 2构成边长为2的菱形，所以a ＝2， 又椭圆的右焦点F 2(1，0)，所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆G 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当MN ⊥x 轴时，|MN |＝2b 2a ＝3，|OP |＝a ＝2， 此时|MN |·|OP |2＝12.②当MN 不垂直于x 轴且斜率不为0时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线MN 的方程与椭圆G 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1），化简并整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（1＋k 2）4k 2＋3.因为OP ⊥MN ，所以直线OP 的方程为y ＝－1k x ， 将直线OP 的方程与椭圆G 的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，得x 2P ＝12k 23k 2＋4，y 2P＝123k 2＋4，所以|OP |2＝x 2P ＋y 2P ＝12（1＋k 2）3k 2＋4，所以|MN |·|OP |2＝12（1＋k 2）4k 2＋3×12（1＋k 2）3k 2＋4＝144（1＋k 2）2（4k 2＋3）（3k 2＋4）＝144⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫4－11＋k 2. 令11＋k 2＝t ，因为k ∈R 且k ≠0，所以0＜t ＜1， |MN |·|OP |2＝144（t ＋3）（4－t ）＝144－t 2＋t ＋12＝144－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋494， 所以当t ＝12时，|MN |·|OP |2取得最小值，且(|MN |·|OP |2)min ＝57649. ③当MN 的斜率为0时，|MN |＝4，此时|OP |2＝b 2＝3， 所以|MN |·|OP |2＝12.由①②③可知，(|MN |·|OP |2)min ＝57649. 22．解：(1)易知函数f (x )＝12x 2ln x 的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x ln x ＋12x .令f ′(x )＞0，得x ＞e －12，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜e －12，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －12.(2)依题意得，h (x )＝x ln x －mx 2，若函数h (x )存在单调递增区间，则h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＞0在(0，＋∞)上有解，即存在x ＞0，使2m ＜ln x ＋1x .令φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx 2，当x ＞1时，φ′(x )＜0，当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0， 所以φ(x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， 所以φ(x )max ＝φ(1)＝1，所以2m ＜1，所以m ＜12. 故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.(3)证明：因为函数h ′(x )存在两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，所以h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且0<x 1＜x 2， 所以ln x 1＋1－2mx 1＝0，ln x 2＋1－2mx 2＝0，所以ln x 1＋2ln x 2＝2m (x 1＋2x 2)－3，ln x 1－ln x 2＝2m (x 1－x 2)，所以ln x 1＋2ln x 2＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)－3.要证e x 1x 22＞1，只需证ln x 1＋2ln x 2＞－1，即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)＞2(0＜x 1＜x 2)，即证ln x 1x 2＜2（x 1－x 2）x 1＋2x 2，即证ln x 1x 2＜2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，令t ＝x 1x 2，因为0＜x 1＜x 2，所以0＜t ＜1，即证ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．令g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2(t ∈(0，1))，则g ′(t )＝1t －6（t ＋2）2＝（t －1）2＋3t （t ＋2）2＞0在(0，1)上恒成立．所以g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2在(0，1)上单调递增，所以g (t )＜g (1)＝0－0＝0，所以ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．故e x 1x 22＞1得证．。
甘肃省武威第六中学2024届高三下学期高考模拟(二)(4月)数学试卷及答案
甘肃省武威第六中学2024届高三下学期高考模拟（二）（4月）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合．2{|0},{|}M x x x N x x a =−>=<，若()U M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0∞− B ．(],0−∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2．若i zz=，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） A ．直线y x =上 B ．直线y x =−上 C ．直线2y x =上D ．直线2y x =−上3．已知随机变量,X Y 满足()()22,,2,X N Y N μσμσ~~−，若()()()15,020.6P X P X P Y ≤=≥≤≤=，则()4P X ≥=（ ）A ．0.15B ．0.2C ．0.25D ．0.34．设0.40.8,a −=0.5log 0.8,b =0.4log 0.9c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点为,F A 是C 的一条渐近线上位于第一象限内的一点，延长线段AF 与C 的另一条渐近线交于点B ．若O 为坐标原点，,3AB OA OB OA ==，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y x =C ．y =D ．y = 6．某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人．现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（ ） A ．940B ．18C ．59D ．147．在ABC 中，()5sin ,tan 4tan 06A C A C −=+=，则B =（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．已知函数()4ln 12f x ax a x ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．(),1−∞−D ．(),2−∞−二、多选题9．某公司2023年的销售额为1000万元，2023年四个季度的销售额情况统计如图所示．其中第二季度销售额是第一季度销售额的2倍．则下列说法正确的是（ ） A ．该公司四个季度的销售额先增长再下降B ．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额都大于250万的概率为16C ．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额的和大于500万的概率为12D ．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额差的绝对值小于250万的概率为1610．已知,,,O A B C 是同一平面内的四点，且1,5,3,4,OA OB OC OA OC OB OC t ===⋅=⋅=∈R ，则（ ）A ．当点,AB 在直线OC 的两侧时，0OA OB ⋅= B ．当点,A B 在直线OC 的同侧时，2125OA OB ⋅=C ．当点,A B 在直线OC 的两侧时，OC tOA OB −−的最小值为3D ．当点,A B 在直线OC 的同侧时，100757OB OA OC =+11．函数()log 11(0,1)a y x a a =−+>≠的图象恒过定点P ，若点P 在直线10(0,0)mx ny m n +−=>>上，则（ ）A ．18mm ≥B ．22142m n +≥C ．214m n +>D ．12813m n +>+三、填空题12．若12nx y ⎛⎫−⎪⎝⎭的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则该展开式中37n n x y −−项的系数为 ．（用数字作答）13．记各项均为正数的数列{}n a 的前n 项积为29e n n −，则当1ln ln k k a a +的值最小时，对应k的一个值是 ．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34−的直线与C 交于,A B 两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为 ；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF = ．四、解答题15．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知90A C −=︒，且()sin 45B C =+︒． (1)求cos C ；(2)设b =ABC 的面积．16．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，平面11BCC B ⊥平面1,,,2ABC AC AB AC AB BC CC ⊥===，160BCC ∠=︒，过1AA 的平面与11,BC B C 分别交于点1,D D .(1)证明：四边形11ADD A 为平行四边形；(2)若CD DB λ=，则当λ为何值时，直线1BC 与平面11ADD A 所成角的正弦值最大？ 17．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为,l P 是C 上在第一象限内的点，且直线PF 的倾斜角为60︒，点P 到l 的距离为1． (1)求C 的方程；(2)设直线7x =与C 交于,A B 两点，D 是线段AB 上一点（异于,A B 两点），H 是C上一点，且//DH x 轴．若平行四边形DEMN 的三个顶点,,E M N 均在C 上，DH 与EN 交于点G ，证明：GHDH为定值． 18．某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中1班和2班进入最终的决赛．决赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得1分，答错或不答都得0分．已知1班的三名队员答对的概率分别为34、23、12，2班的三名队员答对的概率都是23，每名队员回答正确与否相互之间没有影响．用ξ、η分别表示1班和2班的总得分．(1)求随机变量ξ、η的数学期望()(),E E ξη； (2)若2ξη+=，求2班比1班得分高的概率．19．已知函数()2e 3e x xf x a =−．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当2x ≥时，()20f x a x +≥，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据不等式的解法求得{|0M x x =<或1}x >，得到U M ,结合()U M N ⊆，即可求解.【详解】由20x x −>，解得0x <或1x >，所以{|0M x x =<或1}x >，可得{|01}U M x x =≤≤, 因为()U M N ⊆，且{|}N x x a =<，所以1a >， 即实数a 的取值范围为()1,+∞. 故选；C. 2．A【分析】设()i ,R z a b a b =+∈，根据题意，得到i i a b b a +=+，求得a b =，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =−， 因为i zz=，可得i z z =，则i i a b b a +=+， 根据复数相等的定义，可得a b =，所以在复平面内，复数z 对应的点位于直线y x =上． 故选：A. 3．B【分析】先根据正态分布的性质求得3μ=，再利用正态分布的性质求解概率即可. 【详解】由()()15P X P X ≤=≥，得1532μ+==，则()21,Y N σ~， 由()020.6P Y ≤≤=，得()20.2P Y ≥=，因为()()223,,1,X N Y N σσ~~，所以随机变量,X Y 对应的正态密度曲线的形状相同，其对称轴分别为直线3,1x x ==， 从而()()420.2P X P Y ≥=≥=. 故选：B 4．D【分析】利用中间值“1”与,,a b c 比较得出1,0,1a b c ><<，再由作差比较法比较,b c ，利用换底公式和对数函数的单调性即得. 【详解】因为0.400.50.50.80.81,log 0.8log 0.51a b −=>==<=，所以a b >．同理.a c >又因0.5log y x =在定义域内为减函数，故0.50.5log 0.8log 0.9b =>， 而0.50.40.90.911log 0.9log 0.9log 0.5log 0.4−=−0.90.90.90.9log 0.4log 0.5log 0.5log 0.4−=⋅，因0.9log 0.50>，0.9log 0.40>，且0.90.9log 0.4log 0.50−>，故0.50.4log 0.9log 0.9>，即b c >，所以a b c >>． 故选：D. 5．D【分析】由题意，可求得,tan OA AB AOB ⊥∠=tan AOF ∠=，即可求得结果.【详解】由,3AB OA OB OA ==，得222OA AB OB +=，所以,tan OA AB AOB ⊥∠= 由2AOB AOF ∠=∠，得22tan 1tan AOF AOF ∠=−∠，解得tan 2AOF ∠=或tan AOF ∠=去），所以2b a =，从而C的渐近线方程为2y x =．故选：D6．C【分析】方法一：根据条件概率及全概率公式可得结果；方法二：缩小样本空间根据古典概型概率公式可得结果.【详解】法一：因为抽到的参加数学兴趣社团的学生可能来自于高三（1）班和（2）班， 设A =“抽到的学生来自高三（1）班”，B =“抽到的学生来自高三（2）班”、C =“抽到的是参加数学兴趣社团的学生”、则()()()()1110181,,,22404405P A P B P C A P C B ======， 由全概率公式得()()()()()11119242540P C P A P C A P B P C B =+=⨯+⨯=，所以()()()()()()115249940P A P C A P AC P A C P C P C ⨯====. 法二：由题得参加数学兴趣社团的学生共有10818+=人，由古典概型的概率公式， 则他来自高三（1）班的概率为105189=． 故选：C. 7．A【分析】根据两角和差的正弦公式，结合同角三角函数商关系进行求解即可. 【详解】由已知，得A 为钝角，B 和C 均为锐角． 设sin cos ,cos sin A C x A C y ==， 由()55sin sin cos cos sin 66A C A C A C −=⇒−=⇒56x y −=； 由sin 4sin tan 4tan 00sin cos 4sin cos 0cos cos A CA C A C C A A C+=⇒+=⇒+=⇒04=+y x ， 解得21,36x y ==−，所以()()211sin sin π=sin 362B AC A C x y =−−+=+=−=，所以，π6B =．故选：A 8．C【分析】先将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()g x 图像，即把问题转化为直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题；再证明()h x 为奇函数，然后求导后得到()h x 在区间()2,2−上为减函数；再求出曲线()y h x =在点()0,0处的切线方程为y x =−，求出0x =，02x <<，20x −<<时()h x 的范围；最后作出()h x 的图象和y ax =的图像，数形结合得到结果.【详解】将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()()22ln 2xg x f x ax x−=+=−+的图象，所以原题转化为“函数()2ln2xg x ax x−=−+有3个零点”， 即研究直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题． 因为()h x 的定义域为()2,2−，且()()22ln ln ln1022x xh x h x x x+−−+=+==−+， 所以()h x 为奇函数．因为()22222440222(2)4x x x h x x x x x x '+−+−⎛⎫=⋅=⨯=< ⎪−+−+−⎝⎭'， 所以()h x 在区间()2,2−上为减函数，且曲线()y h x =在点()0,0处的切线方程为y x =−． 当0x =时，2112xx x−+⨯=−+； 当02x <<时，2ln2xx x −<−+； 当20x −<<的，2ln2xx x−>−+， 作出()h x 的图象．如图：由图知：当1a <−时，直线y ax =与函数()2ln 2xh x x−=+的图象有3个交点． 故实数a 的取值范围是(),1∞−−． 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()g x 图像，即把问题转化为直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题；再根据函数的奇偶性和单调性作出函数图像. 9．AB【分析】根据题意和饼状图，可求出第一、二、三、四季度销售额，按照试验“任选两个季度的销售额”列举出所有的基本事件，分别就各选项中的事件，利用古典概型概率公式求解即得.【详解】对于A 项，由题意可得第一、二、三、四季度销售额分别为100万、200万、400万、300万元，故A 正确；对于B 项，任选的两个季度的销售额，可以为()100,200，()100,300，()100,400，()200,300，()200,400，()300,400，其6种情况，这两个季度的销售额均大于250万的只有()300,400一种情况，则概率为16，故B 正确；对于C 项，这两个季度销售额的和大于500万的有()()200,400,300,400，共2种情况，故概率为2163=，即C 错误； 对于D 项，这两个季度销售额差的绝对值小于250万的有()()100,200,100,300,()()()200,300,200,400,300,400共5种情况，故概率为56，即D 错误．故选：AB. 10．ACD【分析】依据,A B 在直线OC 的同侧或两侧分类研究，在两侧时由数量积和模的运算计算结果，可判断A 、C ；在同侧时利用数量积的三角形式求解可判断B ，结合平面向量基本定理，判断答案D. 【详解】设,AOC BOC αβ∠=∠=，由3OA OC ⋅=，1,5OA OC ==， 得34cos ,sin 55αα==；由4,1,5OB OC OB OC ⋅===，得4cos 5β=，3sin 5β=，当点,A B 在直线OC 的两侧时，如图①，cos sin αβ=， 所以π2αβ+=，即0OA OB ⋅=，故A 正确； 因为(OC tOA OB t −−=所以当3t =时，OC tOA OB −−的最小值为3，故C 正确； 当点,A B 在直线OC 的同侧时，如图②， ()24cos cos cos sin sin 25αβαβαβ−=+=， 所以2425OA OB ⋅=，故B 错误； 设OB OA OC λμ=+，则22OB OC OA OC OCOB OA OA OA OCλμλμ⎧⋅=⋅+⎪⎨⎪⋅=+⋅⎩， 即432524325λμλμ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得347100λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以374100OB OA OC =+，即100757OB OA OC =+，故D 正确． 故选：ACD. 11．BCD【分析】根据对数函数的性质可得定点，得出21m n +=，利用均值不等式判断A ，重要不等式判断B ，转化为二次函数判断C ，根据“1”的变形技巧及均值不等式判断D.【详解】由题得点()2,1P ，即121,0,012m n m n+=<<<<，所以21m n +=≥18mn ≤，当且仅当122m n ==时取等号，故A 错误；222(2)1422m n m n ++≥=，当且仅当122m n ==时取等号，故B 正确；22221121(1)124m n m m m ⎛⎫+=−+=−>−= ⎪⎝⎭，故C 正确；由21m n +=，2(1)3m n ++=，()()()41121118212244133133m n m n m n m n +⎡⎤⎛⎫+++⨯=⨯+++≥⨯+=⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，且取不到等号，故12813m n +>+，故D 正确． 故选：BCD12．15−【分析】由二项式系数相等即可得n 值，由二项展开的通项公式即可得37n n x y −−项的系数.【详解】12nx y ⎛⎫−⎪⎝⎭的展开式中第3项、第9项的二项式系数分别为28C ,C n n ，根据题意， 得28C C n n =，则2810n =+=，从而3773n n x y x y −−=，由通项公式知101101C ()2r rr r r T xy −+=−，所以3r =， 故所求项的系数为33101C 152⎛⎫⨯−=− ⎪⎝⎭.故答案为：15−.13．4（或5，答案不唯一）【分析】由积与项之间的关系求出102e nn a −=，再利用对数运算性质解不等式即可求解.【详解】由291231e n n n n a a a a a −−⋅=，得()()291(1)1231e 2n n n a a a a n −−−−=≥，则()102e2nn a n −=≥．又当1n =时，81e a =适合102e n n a −=， 所以102e nn a −=，则ln 102n a n =−．当4k ≤时，ln 0k a >；当5k =时，ln 0k a =；当6k ≥时，ln 0k a <， 所以当3k ≤或6k ≥时，1ln ln 0k k a a +>；当4k =或5k =时，1ln ln 0k k a a +=．综上，4k =或5k =． 故答案为：4（或5，答案不唯一）. 14．12/0.5 65/1.2【分析】根据已知条件结合直线斜率公式可得离心率；根据椭圆定义结合余弦定理可得第二空结果.【详解】设122F F c =，由112AF F F ⊥，得()22,,,0b A c F c a ⎛⎫− ⎪⎝⎭．由直线AB 的斜率为34−，得2324AB b k a c =−=−⋅，即()2223a c ac −=， 两边同除以2a ，得22320e e +−=，解得12e =或2e =−（舍去），所以2a c =，22223b a c c =−=， 设AB 的中点为21,E AF F θ∠=，在12Rt AF F 中，2132b AFc a ==，所以254,cos 25c AF θ==，连接1BF ，在12BF F △中，设2BF n =， 由椭圆的定义，得124BF a n c n =−=−．由余弦定理，得()222(4)(2)22cos πc n n c n c θ−=+−⨯⨯−，解得1514cn =， 所以2215151552222147c c c c EF AF AB ⎛⎫=−=−+= ⎪⎝⎭， 从而225525cos 7428EF c cDF θ==⨯=，故221528614255BF c DF c =⨯=． 故答案为：12，65..【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,,a b c 的一个等量关系或不等关系，转化为关于,a c 的齐次式求得. 15．(1)cos C =(2)4【分析】（1）先求出902B C =︒−，()sin 45B C =+︒，可得2cos2sin cos C C C =+，再利用二倍角的余弦公式结合平方关系即可得解；（2）由90A C =+︒，得sin cos A C =，结合2sin sin cos B C C =+，得2sin sin sin B C A =+，再利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出各边，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）由90A C =+︒，得180902B A C C =︒−−=︒−，则sin cos2B C =，()sin 45B C =+︒，所以2sin sin cos B C C =+， 即2cos2sin cos C C C =+，即()221cos sin sin cos 2C C C C −=+． 由sin cos 0C C +>，解得1cos sin 2C C −=． 又22cos sin 1C C +=，解得sin C =sin C =（舍去），从而cos C =（2）由90A C =+︒，得sin cos A C =，结合2sin sin cos B C C =+，得2sin sin sin B C A =+， 由正弦定理，得2b a c =+．又b c a =−，由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+−，即22)7a a =+−，解得1a =，所以ABC 的面积为)11sin 122ab C =⨯=． 16．(1)证明见解析 (2)1λ=【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理证明线线平行，即可得证；（2）取BC 的中点O ，利用面面垂直的性质定理证明OA BC ⊥，然后建立空间直角坐标系，求出平面11ADD A 的法向量，然后代入线面角的向量公式，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】（1）因为111//,AA BB BB ⊂平面11BCC B ，1AA ⊄平面11BCC B ， 所以1//AA 平面31BCC B ，又1AA ⊂平面11ADD A ，平面11ADD A ⋂平面111BCC B DD =，所以11//AA DD . 因为平面//ABC 平面111A B C ，平面11ADD A ⋂平面11111A B C A D =，平面11ADD A ⋂平面ABC AD =，所以11//A D AD ，所以四边形11ADD A 为平行四边形. （2）取BC 的中点O ，连接1,OC OA ，由12BC CC ==及160BCC ∠=︒，得1BCC 为等边三角形，所以1OC BC ⊥. 又平面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面1,ABC BC OC =⊂平面11BCC B ，所以1OC ⊥平面ABC .又OA ⊂平面ABC ，所以1OC OA ⊥，由AC AB ⊥及AC AB =， 得ABC 为等腰直角三角形，所以OA BC ⊥.以O 为坐标原点，1,,OA OB OC 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向， 建立如图的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0O A B C −，(1C ，所以()(1110,1,3,BC AA CC =−==， 设()()0,,011D t t −≤≤，则()1,,0AD t =−， 设平面11ADD A 的法向量为(),,m x y z =，则100m AA m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x ty ⎧=⎪⎨−+=⎪⎩，令y =,1x z ==−，所以平面11ADD A 的一个法向量为()3,1m t =−.设直线1BC 与平面11ADD A 所成的角为θ，则111sin cos ,2m BCm BC m BC θ−⋅===所以当0=t ，即D 为BC 的中点时，max (sin)θ， 故当1λ=时，直线1BC 与平面11ADD A 所成角的正弦值最大. 17．(1)2y x = (2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线定义得到1PF =，再根据条件得到1222p P ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得到方程24430p p +−=，即可求出结果；（2）设直线EN 的方程为()11,,x my n E x y =+，()22,N x y ，根据条件得到272t n mt +=−，从而有直线EN 的方程为()272t x m y t +=−+，得到直线EN 过点27,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又由题设知DH的中点坐标为27,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到G 为DH 的中点，即可解决问题. 【详解】（1）根据抛物线的定义，得1PF =，过点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，则1,2FQ PQ ==又,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以122p P ⎛+ ⎝⎭，代入22y px =，得21222p p ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得24430p p +−=，解得32p =−（舍去）或12p =，故C 的方程为2y x =．（2）设()7,D t ，显然，EN 与x 轴不平行，设直线EN 的方程为()11,,x my n E x y =+，()22,N x y ，联立2,,y x x my n ⎧=⎨=+⎩得20y my n −−=，则2Δ40m n =+>，且12y y m +=，因为四边形DEMN 为平行四边形，所以ME ND =，即()()1122,7,M M x x y y x t y −−=−−，所以12127,M M x x x y y t y −=−−=−，得到12M y y y t m t =+−=−，又()2121211772727M x x x my n my n m y y n m n =+−=+++−=++−=+−，即()227,M m n m t +−−，由点M 在C 上，得22()27m t m n −=+−，解得272t n mt +=−，所以直线EN 的方程为272t x my mt +=+−，即()272t x m y t +=−+， 所以直线EN 过点27,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 又将y t =代入2y x =，得()2,H t t ，所以DH 的中点坐标为27,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即G 为DH 的中点， 所以12GH DH =，故GHDH 为定值．18．(1)()2312E ξ=，()2E η= (2)1259【分析】（1）依题意可得ξ的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，即可求出数学期望，又23,3B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭，根据二项分布的期望公式计算可得；（2）结合（1）中结论，利用条件概率的概率公式计算可得. 【详解】（1）依题意可得ξ的可能取值为0、1、2、3，所以()3211011143224P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==−−−= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()321321321111111114324324324P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==−−+−⨯⨯−+−−⨯= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()32132132111211143243243224P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯−+⨯−⨯+−⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()321134324P ξ==⨯⨯=，所以随机变量ξ的分布列为所以()1111123012324424412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 又2班的总得分η满足23,3B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()2323E η=⨯=．（2）设“2ξη+=”为事件A ，“2班比1班得分高”为事件B ，则()223213333122122112C 1C 1C 12433433243P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯−+⨯⨯⨯−+⨯⨯− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭592427=⨯，()2231221C 1243354P AB ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()()1242712545959P AB P B A P A ⨯==⨯=， 所以2班比1班得分高的概率为1259． 19．(1)答案见解析(2))22e ,e ,2⎛⎤⎡−∞+∞ ⎥⎣⎝⎦【分析】（1）根据题意，求得()32e e 2x xa f x ⎛⎫=− ⎝'⎪⎭，分0a ≤和0a >，两种情况讨论，进而求得函数()f x 的单调区间；（2）设()22e 3e x x g x a a x =−+，根据题意，转化为不等式()0g x ≥在[2,)+∞上恒成立，求得()()2e e 2xx a g x a ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭'，分0a ≤，0a >，两种情况讨论，结合函数()g x 的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）解：由函数()2e 3e x x f x a =−，可得()232e 3e 2e e 2x x x xa f x a ⎛⎫=−='− ⎪⎝⎭，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在区间(),∞∞−+上为增函数；当0a >时，()3ln 22e e e a xx f x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭'，当3ln2a x <时，()0f x '<；当3ln 2ax >时，()0f x '>， 所以()f x 在区间3,ln 2a ∞⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递减，在区间3ln ,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）解：设()22e 3e x x g x a a x =−+，当2x ≥时，()20f x a x +≥，即()0g x ≥在[2,)+∞上恒成立，由()()222e 3e 2e e 2x x xx a g x a a a ⎛⎫=−+=−− ⎝'⎪⎭，①若0a ≤，则()0g x '>，从而()g x 在区间[2,)+∞上单调递增，所以()()4222e 3e 20g x g a a ≥=−+>，即()0g x ≥恒成立，此时符合题意．②若0a >，则()()ln ln 22e ee e a xax g x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭'， 当ln2ax <或ln x a >时，()0g x '>；当ln ln 2a x a <<时，()0g x '<，所以()g x 在区间,ln 2a ∞⎛⎫− ⎪⎝⎭和()ln ,a ∞+上单调递增，在区间ln ,ln 2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．（ⅰ）若ln 2a <，即20e a <<，当2x ≥时，()0g x '>，从而()g x 在区间[2,)+∞上单调递增，所以()()()()422222e 3e 2e 2e 0g x g a a a a ≥=−+=−⋅−≥，解得202e a <≤， 即当202e a <≤时，符合题意；（ⅱ）若ln 2ln 2aa ≤≤，即22e 2e a ≤≤，当2ln x a <<时，()0g x '<；当ln x a >时，()0g x '>，所以()g x 在区间()2,ln a 上单调递减，在区间()ln ,a ∞+上单调递增，所以ln x a =是()g x 的极小值点，也即最小值点，即()()2min ()ln ln 20g x g a a a ==−≥，此时()0g x ≥恒成立，符合题意；（ⅲ）若2ln 2a<，即22e a >，当2ln2a x <<或ln x a >时，()0g x '>；当ln ln 2ax a <<时，()0g x '<， 所以()g x 在区间2,ln 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()ln ,a ∞+上单调递增，在区间ln ,ln 2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以ln 2ax =是()g x 的极大值点，ln x a =是()g x 的极小值点，要使()0g x ≥恒成立，只需()()()()()2222e 2e 0ln ln 20g a a g a a a ⎧=−−≥⎪⎨=−≥⎪⎩，解得2e a ≥． 又因为22e a >，所以当22e a >时符合题意．综上可得，实数a 的取值范围为)22e ,e ,2∞∞⎛⎤⎡−⋃+ ⎥⎣⎝⎦． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
(新课标)高考数学模拟系列(二)试题 理 新人教A版
12023年高考模拟系列试卷（二） 数学试题【新课标版】（理科）1．本试卷分第一卷（阅读题）和第二卷（表达题）两局部。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一卷（选择题，共60分）一、此题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的1、设集合{}21,M x x x =-≤∈R ，{}21,02N y y x x ==-+≤≤，那么()RM N ⋂等于（ ）A ．RB ．{}|1x x R x ∈≠且C ．{}1D ．∅2、在复平面内，复数2013ii 1iz =+-表示的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、假设sin601233,log cos60,log tan 30a b c ===，那么（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4、设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1S 、2S 、4S 成等比数列，那么41a a 等于（ ） A ．6B ．7C ．4D ．35、已知点()1,0A -和圆222x y +=上一动点P ，动点M 满足2MA AP =，那么点M 的轨迹方程是（ ）A ．()2231x y -+=B ．223()12x y -+=C ．2231()22x y -+= D ．223122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭6、命题“存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-”的否认为（ ）A ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥- B ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- C ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- D ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≤- 7、设a b <，函数()()2y x a x b =--的图象可能是（ ）28、程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2023小，假设使输出的S 最大，那么判断框中应填入（ ） A ．10k ≤ B ．10k ≥ C ．9k ≤ D ．9k ≥9、图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，那么此几何体的体积是（ ）A ．1533π+B ．21533π+C ．3033π+D ．43033π+ 10、在9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．5376-B ．5376C ．84-D ．8411、如果点P 在平面区域220140x y x x y -+≤⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线（x －1）2＋(y －1)2＝1上，那么|PQ |的最小值为（ ）A ．5－1B ．355 C ．3515- D ．523－1 12、已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222()()x a y b b -+-=相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，假设A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，那么椭圆的离心率为 （ ）3A ．23B ．33C ．53D ．73第二卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13、由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为 。
2024年浙江省宁波第二学期高考模拟考试(宁波二模)数学试卷(含答案详解)
宁波市2023~2024学年第二学期高考模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z 满足()2i 5z +=，则z =（）A B C ．2D2．若α为锐角，4sin 5α=，则πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C D 3．已知平面,,,l αβγαβ⋂=，则“l γ⊥”是“αγ⊥且βγ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线:10l x y -+=与圆22:20C x y x m +--=相离，则实数m 的取值范围是（）A ．1m <B ．11m -<<C ．1m >D ．1m >-5．某校数学建模兴趣小组为研究本地区儿子身高()cm y 与父亲身高()cm x 之间的关系，抽样调查后得出y与x 线性相关，且经验回归方程为ˆ0.8529.5yx =+.调查所得的部分样本数据如下：父亲身高()cm x 164166170173173174180儿子身高()cm y 165168176170172176178则下列说法正确的是（）A ．儿子身高()cm y 是关于父亲身高()cm x 的函数B ．当父亲身高增加1cm 时，儿子身高增加0.85cmC ．儿子身高为172cm 时，父亲身高一定为173cmD ．父亲身高为170cm 时，儿子身高的均值为174cm6．已知数列{}n a 满足2n a n n λ=-，对任意{}1,2,3n ∈都有1n n a a +>，且对任意{}7,N n n n n ∈≥∈都有1n n a a +<，则实数λ的取值范围是（）A ．11,148⎡⎤⎢⎣⎦B ．11,147⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,157⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,158⎛⎤ ⎥⎝⎦7．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,===AB A B AA O 与上底面1111D C B A 以及棱,,,AB BC CD DA 均相切，则球O 的表面积为（）A ．9πB ．16πC ．25πD ．36π8．已知集合(){4,|20240P x y x ax =+-=且}2024xy =，若P 中的点均在直线2024y x =的同一侧，则实数a 的取值范围为（）A ．()(),20232023,-∞-+∞B ．()2023,+∞C ．()(),20242024,-∞-+∞ D ．()2024,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024届东北三省四市教研联合体高考模拟(二)数学试题(解析版)
2024年东北三省四市教研联合体高考模拟（二）数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}2N 60B x x x =∈--<，则A B = （）A.{}1,2 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1- D.{}1,0,1,2-【答案】B 【解析】【分析】本题解出一元二次不等式，再取解集范围内的自然数，从而求得B 集合的解集，再求其与集合A 的交集即可得出结果.【详解】{}{}{}2N 60N 230,1,2B x x x x x =∈--=∈-= ＜＜＜，又{}1,0,1,2,3A =-，{}0,1,2A B ∴⋂=.故选：B2.已知复数z 满足236i z z -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解.【详解】设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-，因为236i z z -=+，所以()()2i i 36i a b a b --+=+，即3i 36i a b -=+，所以3,2a b ==-，所以z 在复平面内对应的点坐标为()3,2，位于第一象限.故选：A .3.已知角α的终边与单位圆的交点34,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.45-B.35-C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知3cos 5α=，利用诱导公式运算求解.【详解】因为角α的终边与单位圆的交点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可知3cos 5α=，所以π3sin cos 25αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.4.根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得2 2.826χ=，依据0.05α=的独立性检验，结论为（）参考值：α0.10.050.01x α2.7063.8416.635A.x 与y 不独立B.x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.x 与y 独立D.x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05【答案】C 【解析】【分析】利用独立性检验的基本思想即可得解.【详解】零假设0H 为：x 与y 独立，由2 2.826 3.841χ=<，依据0.05α=的独立性检验，可得0H 成立，故可以认为x 与y 独立.故选：C .5.函数()31f x x =+在=1x -处的切线方程为（）A.46y x =+B.26y x =-+C.33y x =--D.31y x =--【答案】D 【解析】【分析】当0x <时()31f x x =-+，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()31f x x =+，则()()31112f -=-+=，当0x <时()31f x x =-+，则()23f x x '=-，所以()()21313f '-=-⨯-=-，所以切点为()1,2-，切线的斜率为3-，所以切线方程为()231y x -=-+，即31y x =--.故选：D6.等差数列{}n a 中，12020a =，前n 项和为n S ，若101221210S S -=-，则2023a =（）A.2026-B.2024- C.2- D.3-【答案】B 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列求和公式得到()112n n d S a n -=+，由101221210S S -=-求出d ，即可得到通项公式，再由通项公式计算可得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n dS na -=+，所以()112n n d S a n -=+，因为101221210S S -=-，即()()11121101222dd a a ⎡⎤--+-+=-⎢⎥⎣⎦，解得2d =-，所以()1122022n a a n d n =+-=-+，所以20232202320222024a =-⨯+=-.故选：B7.已知函数||12x y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象经过原点，且无限接近直线2y =，但又不与该直线相交，则ab =（）A.1-B.2-C.4-D.9-【答案】C 【解析】【分析】由题意可得0a b +=且2b =，求出a ，即可求解.【详解】因为函数1()(2xy f x a b ==+图象过原点，所以01()02a b +=，得0a b +=，又该函数图象无限接近直线2y =，且不与该直线相交，所以2b =，则2a =-，所以4ab =-.故选：C8.已知正四棱锥P ABCD -的侧棱长为2，且二面角P AB C --，则它的外接球表面积为（）A.16π3 B.6πC.8πD.28π3【答案】A 【解析】【分析】设正方形ABCD 中心为O ，取AB 中点H ，连接PO 、PH 、OH ，由正四棱锥的性质可知PH AB ⊥，OH AB ⊥，PO ⊥平面ABCD ，则PHO ∠为二面角P AB C --的平面角，设正方形ABCD 的边长为()0a a >，利用锐角三角函数求出a ，即可求出PO ，AO ，再设球心为G ，则球心在直线PO 上，设球的半径为R ，利用勾股定理求出R ，最后再由球的表面积公式计算可得.【详解】设正方形ABCD 中心为O ，取AB 中点H ，连接PO 、PH 、OH ，则PH AB ⊥，OH AB ⊥，PO ⊥平面ABCD ，所以PHO ∠为二面角P AB C --的平面角，即tan POPHO OH∠==，设正方形ABCD 的边长为()0a a >，则62PO a =，又122AO AC ==，2PA =，所以222PO AO PA +=，即2262422a a ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =，则PO =，1AO =，设球心为G ，则球心在直线PO 上，设球的半径为R ，则)2221R R=+，解得233R =，所以外接球的表面积22164π4ππ33S R ⎛==⨯= ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是确定二面角的平面角，利用锐角三角函数求出底面边长与高，再由正四棱锥的性质确定球心在PO 上.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.四名同学各投掷骰子5次，分别记录骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是（）A.平均数为5，中位数为2B.众数为2，中位数为3C.平均数为2，方差为2.4D.平均数为3，方差为2.8【答案】BD 【解析】【分析】推出A 、C 数据矛盾，利用特例说明B 、D.【详解】对于A ，若平均数为5，则点数和为5525⨯=，又中位数为2，则从小到大排列的前3个数不能大于2，即和不超过6，后2个数的和最大为12，显然不满足条件，故不可能出现平均数为5且中位数为2的数据，故A 错误；对于B ，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B 正确；对于C ，若平均数为2，且出现点数6，则方差221(62) 3.2 2.45s >-=>，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C 错误；对于D ，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为1(12336)35++++=，方差为2222221(13)(23)(33)(33)(63) 2.85s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦，所以可以出现点6，所以D 正确，故选：BD10.抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为4，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线C 分别交于点A ，B 和点M ，N ，则（）A.抛物线C 的准线方程是4x =-B.过抛物线C 的焦点的最短弦长为8C.若弦MN 的中点为()m,2，则直线MN 的方程为24y x =-D.四边形AMBN 面积的最小值为128【答案】BCD 【解析】【分析】首先表示出焦点坐标与准线方程，依题意求出p ，即可得到抛物线方程，从而判断A ，根据焦点弦的性质判断B ，利用点差法求出MN k ，即可判断C ，设直线AB 为()()20y k x k =-≠，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，由焦点弦公式表示出AB ，MN ，再由12AMBN S AB MN =及基本不等式计算面积最小值，即可判断D.【详解】抛物线()2:20C y px p =>焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2px =-，依题意可得4p =，则抛物线方程为28y x =，所以准线方程为2x =-，故A 错误；过抛物线C 的焦点且与x 轴垂直时弦长最短，最短弦长为28p =，故B 正确；设()11,M x y ，()22,N x y ，则2118y x =，2228y x =，所以()2212128y y x x -=-，即()()()1212128y y yy x x -+=-，又弦MN 的中点为(),2m ，所以124y y +=，所以12121282y y x x y y -==-+，即2MN k =，又弦MN 过焦点()2,0F ，所以弦MN 的方程为()22y x =-，即24y x =-，故C 正确；依题意直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 为()()20y k x k =-≠，由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 整理得()22224840k x k x k -++=，显然0∆>，所以2248A B k x x k ++=，所以22248848A B k AB x x p k k+=++=+=+，同理可得288MN k =+，所以()2222118188832222AMBN S AB MN k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322128⎛≥+= ⎝，当且仅当221k k=，即1k =±时取等号，故D 正确.故选：BCD11.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面体是阿基米德多面体其中的一种．如图所示，将棱长为3a 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a 的截角四面体，则下列说法中正确的是（）A.点E 到平面ABC 的距离为263a B.直线DE 与平面ABC 所成角的正切值为2C.该截角四面体的表面积为2D.该截角四面体存在内切球【答案】AC 【解析】【分析】如图，将该截角四面体补成正四面体P MNQ -.对于A ：由平面ABC ∥平面MNQ 可知点E 到平面ABC 的距离即为点S 到平面ABC 的距离，运算求解即可；对于B ：由DE ∥PN ，可知直线DE 与平面ABC 所成角即为PN 与平面MNQ 所成角PNS ∠，运算求解即可；对于C ：根据正三角的面积结合比例关系运算求解；对于D ：假设存在内切球根据对称性可知该球心为正四面体P MNQ -的中心O ，求点O 到平面ABC 的距离即可判断.【详解】如图，将该截角四面体补成正四面体P MNQ -，取底面MNQ 的中心S ，连接,PS NS ，可知PS ⊥平面MNQ ，则2sin 60QMNS ==︒，可得PS ==，对于选项A ：由题意可知：平面ABC ∥平面MNQ ，则点E 到平面ABC 的距离即为点S 到平面ABC 的距离233d PS a ==，故A 正确；对于选项B ：由题意可知：DE ∥PN ，则直线DE 与平面ABC 所成角即为PN 与平面MNQ 所成角PNS ∠，可得tan PSPNS SN∠==，所以直线DE 与平面ABC ，故B 错误；对于选项C ：由题意可知：2139399224MNQ QEF S S a a a ==⨯⨯⨯⨯=△△，则23332EFHILK MNQ QEF S S S =-=△△，所以该截角四面体的表面积为222333334424EFHILK QEF S S a a +=⨯+⨯=△，故C 正确；对于选项D ：若该截角四面体存在内切球，根据对称性可知该球心为正四面体P MNQ -的中心O ，可知OP ON OS ==-，因为222ON NS OS =+，即)2223OSa OS -=+，解得64OS a =，由选项A 可知：点S 到平面ABC 的距离22633d PS a ==，则点O 到平面ABC 的距离为12d OS a OS -=≠，所以该截角四面体不存在内切球，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将该截角四面体补成正四面体P MNQ -，结合正四面体的性质分析求解.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,a m = ，(),6b n = ，若3b a = ，则a b ⋅= ______．【答案】15【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示求出m 和n ，再利用向量数量积的坐标表示求解即可.【详解】 3b a =，即()(),,633n m =，∴3n =，2m =，∴()1,2a =，()3,6b =r ，∴132615a b ⋅=⨯+⨯= .故答案为：15.13.以双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点A 为圆心的圆与x 轴恰好相切于双曲线的右焦点F ，且与y 轴交于B ，C 两点．若ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是______．【答案】2【解析】【分析】由题设可得2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，根据圆A 与坐标轴的位置关系及ABC 为等腰直角三角形得到关于a 和c的齐次方程，即可求离心率.【详解】A 为双曲线上一点，不妨设A 在第一象限，(),0Fc ，A 与x 轴相切于双曲线的焦点F ，∴A 的横坐标为c ，将x c =代入22221x y a b -=得，22221c y a b -=，又222c a b =+，解得2b y a =±，∴2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴A 的半径r 为2b AF a =，点A 到y 轴的距离为AN c =,ABC 为等腰直角三角形，所以22cos 2AN c BAN b ABa∠===，所以2c =，即2c =所以210e -=，解得262e =， 1e >，∴2e =，即双曲线的离心率为262.故答案为：2+.14.已知函数()f x 满足：()1tan cos 2f x x=，则111(2)(3)(2024)232024f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】0【解析】【分析】借助三角恒等变换公式可得()1tan 0tan f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得解.【详解】()2222221cos sin 1tan tan cos 2cos sin 1tan x x x f x x x x x++===--，则()222222221111tan 1tan tan 1tan tan 01tan 1tan 1tan tan 11tan x x x x f x f x x x x x ++++⎛⎫+=+== ⎪---⎝⎭-，则111(2)(3)(2024)232024f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()111232024232024f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦0000=+++=L .故答案为：0.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，M 是BC 的中点，N 是1AB 的中点，P 是11B C的中点．（1）证明：//MN 平面1A CP ；（2）求点P 到直线MN 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）建立如图空间直角坐标系A xyz -，设平面1A CP 的一个法向量为(,,)n x y z =，利用空间向量法证明0MN n ⋅= 即可；（2）利用空间向量法即可求解点线距.【小问1详解】由题意知，1AA ⊥平面ABC ，60BAC ︒∠=，而AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，在平面ABC 内过点A 作y 轴，使得AB ⊥y 轴，建立如图空间直角坐标系A xyz -，则11(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,0,2)A B C A B，得33((1,0,1),(2222M N P ，所以11312),((,22AC A P MN =-==-- ，设平面1A CP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则112033022n A C x z n A P x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得1y z ==-，所以(1,1)n =- ，所以11()(1(1)022MN n ⋅=-⨯+-⨯+⨯-= ，又MN 不在平面1A CP 内即//MN 平面1A CP ；【小问2详解】如图，连接PM ，由（1）得(0,0,2)PM =- ，则2MN PM ⋅=-，2MN PM == ，所以点P 到直线MN的距离为d =16.近日，H 市流感频发，主要以1L 型流感为主，据疾控中心调查，全市患病率为5%．某单位为加强防治，通过验血筛查患1L 型流感的员工．已知该单位共有5000名员工，专家建议随机地按k （1k >且为5000的正因数）人一组分组，然后将各组k 个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这k 个人全部阴性，其中每个人记作化验1k次；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就要对该组每个人再分别化验一次．设每个人平均化验X 次．（1）若10k =，求和均值()E X ；（2）若按全市患病率估计，试比较4k =与5k =时哪一种情况下化验总次数更少.（参考数据：40.950.815≈，50.950.774≈，100.950.599≈）【答案】（1）分布列见解析，()0.501E X =（2）5k =时化验总次数更少【解析】【分析】（1）根据独立重复试验的概率计算公式、对立事件的概率计算公式求出X 的分布列即可；（2）根据独立重复试验的概率计算公式、对立事件的概率计算公式求出X 的分布列和均值()E X ，比较当4k =与5k =时()E X 的大小即可.【小问1详解】10k =，如果混管血样呈阴性，则110X =；如果混管血样呈阳性，则11111010X =+=，∴X 的所有可能取值为110，1110，1010.950.59910P X ⎛⎫==≈ ⎪⎝⎭，101110.950.40110P X ⎛⎫==-≈ ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为X1101110P 0.5990.401()1110.5990.4010.5011010E X =⨯+⨯=；【小问2详解】如果混管血样呈阴性，则1X k =；如果混管血样呈阳性，则11X k =+，∴X 的所有可能取值为1k ，11k +，10.95k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1110.95k P X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为X1k 11k +P 0.95k 10.95k-()()1110.95110.9510.95k k k E X k k k ⎛⎫=⨯++⨯-=+- ⎪⎝⎭，当4k =时，()4110.950.4354E X =+-≈，当5k =时，()5110.950.4265E X =+-≈， 0.4260.435<，∴当5k =时化验总次数更少.17.某校为激发学生对冰雪运动的兴趣，丰富学生体育课活动项目，设计在操场的一块扇形区域内浇筑矩形冰场.如图，矩形内接于扇形，且矩形一边AB 落在扇形半径OP 上，该扇形半径50OP =米，圆心角π3POQ ∠=．矩形的一个顶点C 在扇形弧上运动，记POC α∠=.（1）当π4α=时，求OCD 的面积；（2）求当角α取何值时，矩形冰场面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）(62533-（2）当π6α=时，矩形ABCD 的面积最大为【解析】【分析】（1）先在Rt OBC △中求出BC ，再在Rt OAD △中求出OD ，根据差角的正弦公式求出sin DOC ∠，利用面积公式求解即可.（2）在Rt OBC △中用α表示BC 和OB ，在Rt ADO △中求出OA ，则AB OB OA =-，将矩形的面积写成关于α的三角函数的形式，转化为三角函数求最值即可求解.【小问1详解】在Rt OBC △中，50OC =，π4BOC POC ∠=∠=，∴250sin 2BO BC OC C ⨯⋅∠===，∴AD =，在Rt OAD △中，sin AD DOA OD ∠=，即32522OD =，解得5063OD =， πππ3412DOC DOP POC ∠=∠-∠=-=，∴πππππππ62sin sin sin sin cos cos sin 123434344DOC -⎛⎫∠==-=-= ⎪⎝⎭，∴(62531150662sin 5022343OCD S OD OC DOC =⋅⋅⋅∠=⨯ ；【小问2详解】在Rt OBC △中，50sin BC α=，50cos OB α=，在Rt ADO △中，tan 3AD OA π==，所以OA AD α===，所以50cosAB OB OA αα=-=-，设矩形ABCD 的面积为S ，则S AB BC=⋅50cos 50sinααα⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭22500sin cosααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭132500sin 2226αα⎛=+- ⎝⎭3π25003n(2)366α=+-⎥⎣⎦，由π03α<<，得ππ5π2666α<+<，所以当ππ262α+=，即π6α=时，max 33125032500363S ⎛=-= ⎝⎭，因此，当π6α=时，矩形ABCD 的面积，最大面积为125033.18.如图，圆I 的半径为4，圆心()1,0I -，G 是圆I 上任意一点，定点()1,0K ，线段GK 的垂直平分线和半径IG 相交于点H ，当点G 在圆上运动时，动点H 运动轨迹为Γ．（1）求点H 的轨迹Γ的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与轨迹Γ有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，试探究：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y Γ+=：（2）存在，且()1,0M 【解析】【分析】（1）借助垂直平分线的性质、圆的半径与椭圆定义即可得；（2）联立曲线，消去y ，借助Δ0=可得k 与m 的关系，借助k 与m 可表示点Q 坐标，结合圆上的点的性质可得0MP MQ ⋅= ，代入数据计算即可得.【小问1详解】连接HK ，由题意可得HG HK =，又4IG HI GH =+=，故4HI HK +=，即点H 到定点()1,0I -、()1,0K 的距离之和为4，即点H 的轨迹为以()1,0I -、()1,0K 为焦点，4为长轴长的椭圆，即有2a =，1c =，则b ==22143x y Γ+=：；【小问2详解】由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得()2224384120k x kmx m +++-=，因为直线l ：y kx m =+与椭圆Γ有且只有一个公共点P ，所以()()()222Δ84434120km k m =-+-=，即22430k m -+=，所以0m ≠，此时24443P km k x k m =-=-+，22443P k k m y k m m m m -+⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭，所以43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由4y kx m x =+⎧⎨=⎩，得()4,4Q k m +，假设存在定点()00,M x y ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ，则0MP MQ ⋅= ，又0043,k MP x y m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()004,4MQ x k m y =-+- ，所以()()000043440k MP MQ x x y k m y m m ⎛⎫⎛⎫⋅=---+-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得()22000004314430k x m k y x y x m m ⎛⎫⋅-+---++-+= ⎪⎝⎭，所以0022000100430x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-+=⎩，解得0010x y =⎧⎨=⎩，故存在定点()1,0M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .【点睛】方法点睛：求解直线或曲线过定点问题的方法指导：（1）把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式00()y y k x x -=-，则直线必过定点00(,)x y ；若得到了直线方程的斜截式y kx m =+，则直线必过定点(0,)m ．19.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n +层球数是第n 层球数与1n +的和，设各层球数构成一个数列{}n a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：当0x >时，()ln 11xx x+>+（3）若数列{}n b 满足2ln(2)2ln n n n b a n=-，对于*n ∈N ，证明：11232n n b b b b n +++++<⨯ ．【答案】（1）()12n n n a +=（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得1n n a a n --=()2n ≥，利用累加法计算可得；（2）设()()ln 11x f x x x=+-+()0,x ∈+∞，利用导数说明函数的单调性，即可得证；（3）由（2）令1x n =()*n ∈N 即可得到11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，从而得到()12n n b n <+⨯，再利用错位相减法计算可得.【小问1详解】根据题意，12341,3,6,10,a a a a ==== ，则有213212,3,,n n a a a a a a n --=-=-= ，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()()112212n n n n n +=+-+-+++=，又11a =也满足，所以()12n n n a +=.【小问2详解】设()()ln 11x f x x x=+-+，()0,x ∈+∞，则()()()22110111x f x x x x =-=>+++'，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()00f x f >=，即()ln 101x x x+->+，即当0x >时，()ln 11x x x +>+.【小问3详解】由（2）可知当0x >时，()ln 11x x x +>+，令1x n =()*n ∈N ，则11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，所以()()()222222121ln(2)2ln ln 1ln 1ln 1ln n n n n n n n b n a n n n n n n n n ====<+⨯-+-+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎣⎦+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，所以()31122322324212n n b n b b b +++⨯⨯+⨯+++<++⨯ ，令()12322324212nn T n =⨯+⨯++++⨯⨯L ，则()2341222324212n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯L ，所以()12312222212n n n T n +-=+++++-+⨯ ()()11212212212n n n n n ++-=+-+⨯=-⨯-，所以12n n T n +=⨯，所以11232n n b b b b n +++++<⨯ .【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令1x n =()*n ∈N 得到11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，从而得到()12n n b n <+⨯.。
2023-2024学年上海市高考数学质量检测模拟试题(二模)含答案
2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（二模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若():1,2x α∈，[]:0,2x β∈，则α是β的______条件．【正确答案】充分非必要【分析】判断集合()1,2和[]0,2之间的关系，即可判断出答案.【详解】由于()1,2是[]0,2的真子集，故α是β的充分非必要条件，故充分非必要2.若34(sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为__________．【正确答案】34-【详解】分析：由纯虚数的概念得305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，结合221sin cos θθ+=可得解.详解：若34sin cos 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，又由221sin cos θθ+=，可得34sin cos 55θθ==-.所以sin 3tan cos 4θθθ==-.故答案为34-.点睛：本题主要考查了纯虚数的概念及同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为______函数．（填奇偶性）【正确答案】偶【分析】根据幂函数的概念设出()f x 的解析式()f x x α=，然后代点求出α，再用函数奇偶性定义判断奇偶性．【详解】因为函数()f x 是幂函数，所以可设()f x x α=，又f（2）=4，即2a=4，解得a=2，∴()2f x x =，∴()()22()f x x x f x -=-==，∴f（x）为偶函数．故答案为偶．本题主要考查了幂函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幂函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若双曲线经过点，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________．【正确答案】2219x y -=【分析】利用渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，代入点即可求解【详解】根据渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，因为双曲线过点，所以9219λ=-=，所以双曲线的方程为2219x y -=故2219x y -=5.已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③M 中有P 的元素；④存在x M ∈，使得x P ∉；其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.【正确答案】①④【分析】从命题的否定入手．【详解】命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则命题：“非空集合M 的元素不都是集合P 的元素”是真命题，说明集合M 中至少有一个元素不属于集合P ，或者M 中就没有集合P 中的元素，因此②③错误，①④正确．故答案为①④．本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．6.一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，则()E X =______．【正确答案】4.5【分析】求出X 可能取值和概率，再根据()E X 公式进行计算即可.【详解】从中任取3个球，共有()123，，，()124，，，()125，，，()134，，，()135，，，()145，，，()234，，，()235，，，()245，，，()345，，10中情况，所以X 可能取值为345，，，()1310P X ==，()3410==P X ，()635105===P X ，所以()1339345101052E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为.4.57.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ____.【正确答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=.考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan(42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______．【正确答案】32【分析】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O ，作出图形，分析可知ABC 为等边三角形，求出AB ，利用圆锥的侧面积公式以及球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O，如下图所示：设圆O 分别切AB 、AC 于点E 、D ，则D 为BC 的中点，由题意可得OD OE r ==，3AD r =，则322AO AD OD r r r OE =-=-==，又因为OE AB ⊥，所以，π6BAD ∠=，同理可得π6CAD ∠=，所以，π3BAC ∠=，又因为AB AC =，故ABC为等边三角形，故πsin 32AD AB ===，所以，圆锥的侧面积为2ππ6πAB BD r ⨯⨯=⨯=，因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为226π34π2r r =.故答案为.329.已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为110和910，供应商A 提供的该部件的良品率为910，供应商B 提供的该部件的良品率为710．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B 的概率为______（用分数作答）【正确答案】2728【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可.【详解】设“某件部件不是良品”为事件A ，“这个部件来自供应商B ”为事件B ，()11932810101010100P A =⨯+⨯= ，()93271010100P AB =⨯=，()()()2728P AB P B A P A ∴==.故272810.已知()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =，x ∈R 的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值是______．【正确答案】π8##1π8【分析】由周期求出ω，即可求出()f x 的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到ϕ的值.【详解】 ()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =的最小正周期为2ππT ω==，2ω∴=，π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，可得πsin 224y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，根据所得图像关于y 轴对称，可得ππ2π42k ϕ+=+，Z k ∈，解得ππ28k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，则令0k =，可得ϕ的值为π8．故π8．11.如图，椭圆的中心在原点，长轴1AA 在x 轴上．以A 、1A 为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、1D 、1C 四点，且112CD AA =．椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设AE EC λ=，当2334λ≤≤时，双曲线的离心率的取值范围为______．710e ≤≤【分析】由题意设()()1,0,,0A c A c -，则可设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据向量的共线求得E 点坐标，代入双曲线的方程22221x y a b-=，结合离心率化简可得2221e e λλ+=-，求出λ的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.【详解】设()()1,0,,0A c A c -，则设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(其中c 为双曲线的半焦距，h 为C .D 到x 轴的距离)，AE EC λ=，则AE EC λ∴= ，即(,)()2,E E E E x c y h x cy λ--+=，()()˙22,1211E E c c c y h x λλλλλλ-+-∴===+++，即E 点坐标为()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，设双曲线的方程为22221x y a b -=，将c a e =代入方程，得222221e x y c b-=①，将(,)2c C h ，E ()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭代入①式，整理得2˙2222222()121,(1441e h e h b b λλλλ--=-+=+，消去22h b ，得2221e e λλ+=-，所以22213122e e e λ-==-++，由于2334λ≤≤.所以22331324e ≤-≤+，故2710,710e e ≤≤≤≤710e ≤≤12.将关于x 的方程()2sin 2π1x t +=（t 为实常数，01t <<）在区间[)0,∞+上的解从小到大依次记为12,,,,n x x x ，设数列{}n x 的前n 项和为n T ，若20100πT ≤，则t 的取值范围是______．【正确答案】1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先根据三角函数的周期性得出12,x x 满足的关系，然后再根据12,x x 的对称性可得结果.【详解】由()2sin 2π1x t +=得()1sin 2π2x t +=，则方程()2sin 2π1x t +=的解即为函数()sin 2πy x t =+图象与直线12y =交点的横坐标，因为函数()sin 2πy x t =+的周期为πT =，所以135,,x x x 是以x 1为首项，π为公差的等差数列，246,,,x x x 是以x 2为首项，π为公差的等差数列，所以201234201210()90π100πT x x x x x x x =+++++=++≤ ，所以12πx x +≤，令π2π=π()2x t k k ++∈Z 得πππ=242k t x +-，因为[)0,x ∈+∞，所以[)2ππ,x t t +∈+∞，由函数()sin 2πy x t =+图象的对称性知，x 1与2x 对应的点关于函数()sin 2πy x t =+图象的某条对称轴对称，因为01t <<，所以当π0π6t <≤，即106t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线ππ=42t x -对称，此时满足12πx x +≤成立；当π5ππ66t <≤，即1566t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线3ππ=42t x -对称，此时由123πππ2x x t +=-≤得12t ≥，所以1526t ≤≤；当5πππ6t <<，即516t <<时，可知x 1与2x 对应的点关于直线5ππ=42t x -对称，此时不满足12πx x +≤；综上，106t <≤或1526t ≤≤.故答案为.1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）13.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．14.已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ⋂=，则A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直【正确答案】D【详解】选D.由α⊥β，α∩β＝l ，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 不正确；垂直于直线l 的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B 不正确；垂直于平面β的平面与l 的关系有l ⊂β，l ∥β，l 与β相交，故C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．15.已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2221xy a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为（）A.13B.14C.19D.12【正确答案】A 【分析】由152p+=得抛物线方程，M 在抛物线上求得M 坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线AM 平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线2px =-的距离也为5，即152p +=，解得8p =，所以抛物线的方程为216y x =，则216m =，所以4m =，即M 的坐标为14（，），又双曲线2221x y a-=的左顶点(),0A a -，一条渐近线为1y x a =，而41AM k a =+，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有411a a =+，解得13a =.故选：A16.已知函数()y f x =是定义域在R 上的奇函数，且当0x >时，()()()230.02f x x x =--+，则关于()y f x =在R 上零点的说法正确的是（）A.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内B.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内，两个在()2,3内C.有5个零点，都不在()0,2内D.有5个零点，其中只有一个零点在()0,2内，一个在()3,+∞【正确答案】C【分析】解法一：先研究0x >时，零点的情况，根据()()23y x x =--零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程()0f x =，也可以得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案.【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究(1)0x >的情况，()f x 是把抛物线()()23y x x =--与x 轴交点为()()2,0,3,0向上平移了0.02，则与x 轴交点变至()2,3之间了，所以在()2,3之间有两个零点；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.解法二：(1)直接解方程()()230.020x x --+=的两根也可以得两根为52x =，都在()2,3之间；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.故选：C.方法点睛：先求出0x >时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x （单位：万元）与月销量y （单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x /万元1234567月销量y /万件28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位）【正确答案】（1）0.99r =，线性相关程度相当高；75151ˆ147yx =+.（2）当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.【分析】（1）利用相关系数的公式求得r 的值，得出相关性相当高，再求得ˆb和ˆa 的值，即可求得回归直线的方程；（2）结合（1）中的回归方程，根据题意列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由表格中的数据，可得1(1234567)47x =⨯++++++=，1(28323545495270)437y =⨯++++++=，77722111()28,()820,()()150i i i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑，可相关系数为7()0.99i x x y y r --==∑，所以y 与x 的线性相关程度相当高，从而用线性回归模型能够很好地拟合y 与x 的关系，又由71721()()7514(i i i i x x y y r x x ==--==-∑∑，可得75151ˆˆ434147a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为75151ˆ147y x =+.【小问2详解】解：要使得月销售量突破70万件，则7515170147x +>，解得2269.0425x >≈，所以当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90,ACB PA ∠=⊥平面,1,ABCD PA BC AB F ===是BC 的中点.（1）求证:DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ,使//CG 平面PAF ,并求三棱锥A CDG -的体积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）112.【分析】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以90ACB DAC ∠=∠= ，所以DA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，则,PA DA ⊥又AC PA A ⋂=，故DA ⊥平面PAC .（2）取PD 的中点为G ，构造平行四边形，可证得//CG 平面PAF .此时，高为PA 的一半，所以体积为1111111332212A CDG G ACD ACD V V S h --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.【小问1详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，90,,ACB DAC DA AC PA ∴∠=∠=∴⊥⊥ 平面ABCD ,DA ⊂平面ABCD ，,PA DA ∴⊥又,AC PA A DA =∴⊥ 平面PAC ，【小问2详解】设PD 的中点为G ，连接,AG CG ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于点H ,则//GH AD ，且12GH AD =,由已知可得////FC AD GH ,且12FC AD GH ==,连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，//,GC FH FH ∴⊂ 平面,PAF CG ⊄平面PAF ,//CG ∴平面PAF ,G ∴为PD 的中点时,//CG 平面PAF ,设S 为AD 的中点,连接GS ,则//GS PA ,且11,22GS PA PA ==⊥ 平面ABCD ,GS ∴⊥平面ABCD ,11111··11332212A CDG G ACD ACD V V S GS --∴===⨯⨯⨯⨯= .19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a 元()0a >．（1）把全部运输成本y 元表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【正确答案】（1）(]()2100420,120a y v v v ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭（2）答案见解析【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域；（2）对210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求导，分两种情况讨论单调性，从而可求得最小成本时对应的速度.【小问1详解】由题意得，每小时运输成本为()32a v +,全程行驶时间为1004v 小时，所以全部运输成本(]()3210042001004(2),12a y v v v a v v ⎛⎫+⎪=∈+ ⎝=⎭；【小问2详解】由（1）知210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求导得3224100441004a v a y v v v -⎛⎫'=-+=⨯ ⎪⎝⎭，令30,40y v a '=-=，解得v =，120<，即304120a <<⨯时，0v <<，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝>⎭'递增，此时，当v =，y 有最小值；120≥，即34120a ≥⨯时，0120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；此时，当120v =，y 有最小值.综上，为了使全部运输成本最小，当304120a <<⨯时，汽车应以v =千米/小时行驶；当34120a ≥⨯时，汽车应以120v =千米/小时行驶.20.已知A B 、是平面内的两个定点，且8AB =，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系.（1）试求P 点的轨迹C 的方程;（2）直线()40R mx y m m --=∈与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求AEF △的面积的最大值.【正确答案】（1）221259x y +=（2）15【分析】（1）根据几何关系将距离转化为10PA PB +=，结合椭圆定义即可求解；（2）先判断直线过定点且斜率不能为0，则三角形的底为定值，即求三角形的高12y y -的最大值，联立直线与椭圆方程，将斜率转化为三角形式，结合三角公式化简，用基本不等式求解即可.【小问1详解】以AB 为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则()()4,0,4,0A B -，由题意得，108PA PB PA PM AB +=+==＞，所以P 点的轨迹是以,A B 为左右焦点，长轴长为10的椭圆，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，所以22221028a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得534a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以P 点的轨迹C 的方程为221259x y +=【小问2详解】由40mx y m --=得()4y m x =-过定点()4,0B ，显然0m ≠，联立()224,1259y m x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2297225810,Δ0y y m m ⎛⎫++-=> ⎪⎝⎭恒成立.所以12227272925925m m y y m m +=-=-++，212228181925259m y y m m =-=-++，所以12y y -===因为m 为直线斜率，所以令tan ,tan 0,m θθ=≠所以22122290tan 90tan 125tan 925tan 9sin y y θθθθθ-==⋅++2222290sin 190sin 19015.99cos 25sin sin 916sin sin 416sin sin θθθθθθθθθ=⋅=⋅=≤=+++当且仅当916sin ,sin θθ=即3sin ,4θ=时1215,4max y y -=()115815.24AEF max S =⨯⨯=△思路点睛：圆锥曲线的面积最值问题多采用直线与圆锥曲线联立方程组，运用韦达定理结合基本不等式计算的方法，本题为简化计算，还可以采用三角换元，将直线斜率与三角函数巧妙联系从而更快求解。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(二)(新高考九省联考题型)(2)
一、单选题二、多选题1.给出函数的一条性质：“存在常数，使得对于定义域中的一切实数均成立”，则下列函数中具有这条性质的函数是 （ ）A．B．C．D．2. 定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则（）A．B．C ．1D．3. 设实数列和分别是等差数列与等比数列，且，，则以下结论正确的是( )A．B．C．D．4.已知向量，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知，则（ ）A．B．C．D．6.双曲线的渐近方程为（ ）A．B．C．D．7. 已知正方形的中心在坐标原点，四个顶点都在函数的图象上．若正方形唯一确定，则实数的值为（ ）A．B．C．D．8.若集合，，那么（ ）A．B．C．D．9. 已知，若，则（ ）A．B．C．的最小值为8D ．的最大值为10. 已知函数是R 上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ）A．B ．点是函数的图象的一个对称中心2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）（新高考九省联考题型）(2)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）（新高考九省联考题型）(2)三、填空题四、解答题C ．函数在上单调递增D ．函数在上有3个零点11. 已知是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆E 上，则（ ）A ．点在x 轴上B ．椭圆E 的长轴长为4C ．椭圆E的离心率为D ．使得为直角三角形的点P 恰有6个12.已知函数，若为的一个极值点，且的最小正周期为，若，则（ ）A．B．C．为偶函数D．的图象关于点对称13. 已知，则____________．14.若，则________.15. 在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为矩形．请在下面给出的5个条件中选出2个作为一组，使得它们能成为“在BC 边上存在点Q ，使得△PQD 为钝角三角形”的充分条件___________．（写出符合题意的一组即可）①；②；③；④；⑤.16. 2022年初，新冠疫情在辽宁葫芦岛市爆发，市某慈善机构为筹措抗疫资金，在民政部门允许下开设“疫情无情人有情”线上抽奖活动，任何人都可以通过捐款的方式参加线上抽奖.在线上捐款后，屏幕上会弹山抽奖按钮，每次按下按钮后将会随机等可能的出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字中的一个.规定：若出现“利”字，则抽奖结束.否则重复以上操作，最多按4次.获奖规则如下：依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，获一等奖；不按顺序出现这四个字，获二等奖；出现“抗”“疫”“胜”三个字为三等奖.(1)求获得一､二､三等奖的概率；(2)设按下按钮次数为，求的分布列和数学期望.17.已知正项数列的前n项和满足.数列满足（1）求数列的通项公式；（2）试问:数列是否构成等比数列(注:是数列的前n 项和)?请说明理由；（3）若是否存在正整数n ，使得成立?若存在求所有的正整数n ；否则，请说明理由.18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，面积为，且.(1)求角的大小；(2)若，求证：.19. 教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；20. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，点是线段的中点，且.(1)求角；(2)求边的取值范围.21. 如图，多面体中，四边形为菱形，平面，且.(1)求证：；(2)求二面角的大小.。
高三文科数学模拟题二
高三数学模拟试题（二）一、选择题（5×10=50分）1． 在等差数列{}n a 中，,2,41==d a 则=3a （ ）A ．4B ．6C ．8D ．102．函数lg y x = ）A ．{|0}x x >B ．{|01}x x <≤C ．{|1}x x >D ．{|1}x x ≥3．要得到x x y 2cos 2sin +=的图象，只需将x y 2sin 2=的图象（ ）A ．向左移4π个单位B ．向左平移8π个单位C ．右平移4π个单位D ．向右平移8π个单位4．两平行平面之间的距离等于12，一直线与它们相交且夹在两平面间的线段长等于24，则该直线与这两个平行平面所成角等于（ ）A ．060 B ．090 C ．030 D ．045 5． 设1.52.42.46.0,7.0,6.0===c b a ，则c b a ,,大小关系正确的是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．a c b >>D ．c a b >>6．过抛弧线24y x =的焦点作直线l 交抛物线于A B 、两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．47．已知(1,3)a =-，OA a b =-，OB a b =+，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB 的面积为（ ）A ．4B ．2C ．D 8．函数()sin(2)f x x =-的一个单调增区间是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2,23ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,43ππ9．函数x y cos =在点)23,6(π处的切线斜率为（ ） A ．21-B ．23 C ．22-D ．23-10．数列{}n a 定义如下：*12211,3,22()n n n a a a a a n N ++===-+∈，则11a =( )A ．91B ．110C ．111D ．133二、填空题（5×5=25分）11．已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -//b ，则k =12．若函数2()(1)f x x a x a a =+-+=为偶函数，则_____13．双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2， 一个焦点的坐标为()0,2，则此双曲线的方程是14．一直线l 被两直线0653:064:21=--=++y x l y x l 和截得的线段MN 的中点P 恰好是坐标原点，则直线l 的方程为15．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+,若5)1(-=f ，则[])5(f f =___ 三、解答题（75分）16．（本小题满分13分）已知函数2()sin(2)cos .6f x x x π=-+（1）若()1,f θ=求θθcos sin 的值； （2）求函数()f x 的单调区间17．（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，首项31=a ，公差为整数，前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，首项.20,12,123221=+==b S b a b 且（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）令(),n n c n b n N +=⋅∈求{}n c 的前n 项和nTF E DB A P C18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ， E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点. （1）求证：EF BD ⊥；（2）试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF //平面PBD ，并说明理由.19．（本小题满分12分）设圆C 与两圆((22224,4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切（1）求C 的圆心轨迹L 的方程 （2）已知点),55M F ⎛ ⎝⎭，且P 为L 上动点，求||||||PF PM -的最大值及此时点P的坐标20．（本小题满分13分）设函数)()(23R x cx bx x x f ∈++=，已知)()()(x f x f x g '-=是奇函数． （1）求c b 、的值；（2）求)(x g 的单调区间与极值21．（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。
高三数学高考模拟试题精编(二)
课标全国卷数学高考模拟试题精编（十二）【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i2．“函数y ＝a x 是增函数”是“log 2a ＞1”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．(理)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各系数之和为A ，各二项式系数之和为B ，且A＋B ＝72，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(文)设集合A ＝{1，a 2，－2}，B ＝{2,4}，则“a ＝2”是“A ∩B ”＝{4}的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知实数4，m,1构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( ) A.22 B.3 C.22或 3 D.12或35．执行如图所示的程序框图，则输出的B 的值为( ) A ．63 B ．31 C ．15 D ．76．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．77．已知集合M ＝{x ||x ＋2|＋|x －1|≤5}，N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(－1，b ]，则b －a ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．3 D ．7 8．(理)如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (1,0)，B (1,2)，C (0,2)，曲线y ＝ax 2经过点B .现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影部分的概率是( ) A.23 B.12 C.34 D.47(文)已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx x ≤0f (x －1)＋1 x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值为( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－19．(理)一个班有6名战士，其中正副班长各一名，现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，正副班长中有且仅有一人参加，另一人要留下值班，则不同的分配方法有( ) A ．240种 B ．192种 C ．2 880种 D ．1 440种(文)双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±12x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x10．如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π B ．3π C.23π D ．2π11．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，……，依次循环的规律分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．98 B ．197 C ．390 D ．39212．定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ(λ∈R )，使得对任意的x ∈R ，都有f (x ＋λ)＝λf (x )，则称y ＝f (x )为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为假命题的是()A．若函数y＝f(x)是倍增系数λ＝－2的倍增函数，则y＝f(x)至少有1个零点B．函数f(x)＝2x＋1是倍增函数，且倍增系数λ＝1C．函数f(x)＝e－x是倍增函数，且倍增系数λ∈(0,1)D．若函数f(x)＝sin 2ωx(ω＞0)是倍增函数，则ω＝2kπ2(k∈N*)答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或粗虚线画出了某简单组合体的三视图和直观图(斜二测画法)，则该简单组合体的体积为________．14．数列{a n}满足a1＝3，a n－a n a n＋1＝1，A n表示{a n}的前n项之积，则A2 013＝________.15．(理)某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为________．(文)若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边长AB的长度等于________．16．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c .18．(理)(本小题满分12分)某食品店每天以每瓶2元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶，然后以每瓶3元的价格出售，如果当天卖不完，余下的酸奶变质作垃圾处理．(1)若食品店一天购进170瓶，求当天销售酸奶的利润y (单位：元)关于当天的需求量n (单位：瓶，n ∈N )的函数解析式；(2)根据市场调查，100天的酸奶的日需求量(单位：瓶)数据整理如下表：若以100170瓶酸奶，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列和数学期望EX .(文)(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a ，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b ，求关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m ，将球放回袋中，然后从袋中随机取一个球，该球的编号记为n .若以(m ，n )作为点P 的坐标，求点P 落在区域⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －5＜0内的概率． 19.(理)(本小题满分12分)如图：四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，三角形ADE 是等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ADE ，EF ∥AB ，CD ＝2AB ＝2AD ＝2EF ＝4，CG →＝23CF →(1)求证：AF ∥平面BDG ； (2)求二面角C －BD －G 的余弦值． (文)(本小题满分12分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3a ，BC ＝2a ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是A 1A ，C 1C 上一点，且AE ＝CF ＝2a . (1)求证：B 1F ⊥平面ADF ； (2)求三棱锥B 1－ADF 的体积； (3)求证：BE ∥平面ADF .20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点F 1，F 2和上下两个顶点B 1，B 2是一个边长为2且∠F 1B 1F 2为60°的菱形的四个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′.求证：k ·k ′为定值．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e (e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)使不等式2f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，梯形ABCD 内接于圆O ，AD ∥BC ，且AB ＝CD ，过点B 引圆O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于点E 、F . (1)求证：CD 2＝AE ·BC ；(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． 23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45ty ＝－1－35t(t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)求直线l 被曲线C 所截得的弦长．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －7|－|x －3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)当x ＜5时，不等式|x －8|－|x －a |＞2恒成立，求实数a 的取值范围．课标全国卷高考数学模拟试题精编（十二）参考答案1．D 2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，选D.2．A 函数y ＝a x 是增函数可知a ＞1，不能推出log 2a ＞1，若log 2a ＞1，则a ＞2，可推出a ＞1.3．(理)A 在二项式中令x ＝1得系数之和A ＝4n ，又B 为二项式系数之和，则B ＝2n ，故A ＋B ＝4n ＋2n ＝72，得n ＝3，选A.(文)A 由题意当a ＝2时，A ∩B ＝{4}；反之，当A ∩B ＝{4}时，a ＝±2，因此“a ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件，选A. 4．C ∵m 2＝4，∴m ＝±2.当m ＝2时，曲线为椭圆，∴e ＝c a ＝2－12＝22.当m ＝－2时，曲线为双曲线，∴e ＝ca ＝1＋21＝ 3.5．A 第一次循环：B ＝2×1＋1＝3，A ＝2；第二次循环：B ＝2×3＋1＝7，A ＝3；第三次循环：B ＝2×7＋1＝15，A ＝4；第四次循环：B ＝2×15＋1＝31，A ＝5；第五次循环：B ＝2×31＋1＝63，A ＝6，此时不满足A ≤5，终止循环，故输出的B 的值为63，选A. 6.B 不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0表示的区域为图中阴影部分．又ax －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，当a ＝0时，不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0所表示的平面区域的面积为12，不合题意，当a ＜0时，所围成的区域面积小于12，所以a ＞0，此时所围成的区域为三角形，如图所示，其面积为S ＝12×1×(a ＋1)＝2，解之得a ＝3.7．C 由数轴可知M ＝{x |－3≤x ≤2}，又M ∩N ＝(－1，b ]∴a ＝－1，b ＝2，∴b －a ＝3.8．(理)A 因为y ＝ax 2的图象过B 点，所以2＝a ×12，则a ＝2，故所求的概率是1－∫102x 2d x 2＝1－⎪⎪⎪23x 3102＝23.故选A . (文)B f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋1＝－3·32＋1＝－12.9．(理)B 不同的分配方法有：C 12C 34A 44＝192种．(文)A 由方程x 2＋my 2＝1得x 2－y 2－1m＝1，所以2－1m ＝2×2，解得m ＝－14，令x 2－14y 2＝0，得渐近线方程为y ＝±2x. 10．A如图所示，取BD 的中点E ，BC 的中点O ，连接AE ，OD ，EO ，AO.由题意，知AB ＝AD ，所以AE ⊥BD.由于平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊥BD ，所以AE ⊥平面BCD.因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，所以AE ＝22，EO ＝12，所以OA ＝32. 在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32.所以该球的体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π.故选A .11．D 将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第16×6＋2＝98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.12．B 对于选项A ，∵函数y ＝f(x)是倍增系数λ＝－2的倍增函数，∴f(x －2)＝－2f(x)，当x ＝0时，f(－2)＋2f(0)＝0，若f(0)，f(－2)任意一个为0，函数f(x)有零点，若f(0)，f(－2)均不为零，则f(0)，f(－2)异号，由零点存在性定理，在区间(－2,0)内存在x 0，使得f(x 0)＝0，即y ＝f(x)至少有1个零点，故A 正确；对于选项B ，∵f(x)＝2x ＋1是倍增函数，∴2(x ＋λ)＋1＝λ(2x ＋1)，∴λ＝2x ＋12x －1≠1，故B 不正确；对于选项C ，∵f(x)＝e －x 是倍增函数， ∴e－(x ＋λ)＝λe －x ，∴1e x ·e λ＝λe x ，∴λ＝1eλ∈(0,1)，故C 正确；对于选项D ，∵f(x)＝sin 2ωx(ω＞0)是倍增函数，∴sin [2ω(x ＋λ)]＝λsin 2ωx ，∴ω＝k π2(k ∈N *)，故D 正确．13．解析：本题中的组合体是一个三棱锥挖去四分之一个圆锥后剩下的部分，所以先求出三棱锥和圆锥的体积，然后按照要求相减即可．图中三棱锥的底面是一个腰长为4的等腰直角三角形，高为4；还原的圆锥的底面半径为2，高为4，所以这个组合体的体积V ＝13×12×4×4×4－14×13×π×22×4＝323－43π. 答案：323－43π14．解析：由a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝a n －1a n ，所以a 2＝3－13＝23，a 3＝－12，a 4＝3，所以{a n }是以3为周期的数列，且a 1a 2a 3＝－1，又2 013＝3×671，所以A 2 013＝(－1)671＝－1. 答案：－115．(理)解析：甲、乙两人恰好对门的概率为P ＝3A 22A 44A 66＝15.答案：15(文)解析：S △ABC ＝12AC ·BC sin 60°＝12AC ·2·32＝3，∴AC ＝2. 利用余弦定理AB ＝22＋22－2·2·2cos 60°＝2.答案：216．解析：由题意得f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，有f ′(x )＝3ax 2－3＜0，∴f (x )在[－1,1]上为减函数，∴f (x )最小值＝f (1)＝a －2≥0，解之得a ≥2(与条件a ≤0矛盾)，不符合题意； 当a ＞0时，令f ′(x )＝0可得x ＝±1a ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 时f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．由f (－1)＝4－a ≥0可得0＜a ≤4，又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ×1a a －3a ＋1＝1－2a ≥0可得a ≥4.综上可知a ＝4. 答案：417．解：(1)3(cos B cos C ＋sin B sin C )－1＝6cos B cos C ， 得3cos B cos C －3sin B sin C ＝－1.即3cos(B ＋C )＝－1，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13. (2)由于0＜A ＜π，所以sin A ＝223. 又S △ABC ＝12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.①由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13.② 由①②两式联立可得b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2. 18．(理)解：(1)y ＝⎩⎨⎧n －2(170－n ) (0＜n ＜170)170 (n ≥170)y ＝⎩⎨⎧3n －340 (0＜n ＜170)170 (n ≥170)(2)X 可取110,140,170.E (X )＝0.17×110＋0.23×(文)解析：(1)设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ＞0，b ＞0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b . 以下第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．事件A 中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)． 事件A 发生的概率为P (A )＝612＝12.(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P (m ，n )的所有可能情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．落在区域⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －5＜0内的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共4个，所以点P 落在区域⎩⎨⎧x －y ≥0x ＋y －5＜0，内的概率为14.19．(理)解：(1)连接AC 交BD 于H ，连接GH ，∵AB CD ＝12∴AH CH ＝12，即CH AC ＝23 ∴CH AH ＝CG GF ＝2 ∴GH ∥AF ∵GH ⊂平面BDG AF ⊄平面BDG ∴AF ∥平面BDG (2)如图建立空间坐标系，∵B (2,2,0)，C (0,4,0)，F (1,2，3) ∴CG →＝23CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－43，233 ∴DG→＝DC →＋CG →＝(0,4,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－43，233＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83，233 ∵DB→＝(2,2,0)设平面BDG 的法向量为n 1＝(x ，y,1) ∵⎩⎪⎨⎪⎧DB →·n 1＝0DG →·n 1＝0∴n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，1设平面BDC 的法向量为n 2，n 2＝(0,0,1) ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝153＝155 所以二面角C －BD －G 的余弦值为155. (文)解：(1)证明：∵AB ＝AC ，D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC .在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵B 1B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴AD ⊥B 1B . ∵BC ∩B 1B ＝B ，∴AD ⊥平面B 1BCC 1. ∵B 1F ⊂平面B 1BCC 1，∴AD ⊥B 1F .在矩形B 1BCC 1中，∵C 1F ＝CD ＝a ，B 1C 1＝CF ＝2a ， ∴Rt △DCF ≌Rt △FC 1B 1.∴∠CFD ＝∠C 1B 1F .∴∠B 1FD ＝90°.∴B 1F ⊥FD . ∵AD ∩FD ＝D ，∴B 1F ⊥平面AFD . (2)∵B 1F ⊥平面AFD ，∴VB 1－ADF ＝13·S △ADF ·B 1F ＝13×12×AD ×DF ×B 1F ＝52a 33. (3)连EF ，EC ，设EC ∩AF ＝M ，连DM ， ∵AE ＝CF ＝2a ，∴四边形AEFC 为矩形， ∴M 为EC 中点．∵D 为BC 中点，∴MD ∥BE .∵MD ⊂平面ADF ，BE ⊄平面ADF ，∴BE ∥平面ADF .20．解：(1)由条件知a ＝2，b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设过点F 2(1,0)的直线l 方程为：y ＝k (x －1)，设点E (x 1，y 1)，点F (x 2，y 2)， 将直线l 方程y ＝k (x －1)代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1， 整理得：(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，因为点F 2在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，Δ＞0恒成立，且x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.直线AE 的方程为：y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AF 的方程为：y ＝y 2x 2－2(x －2)，令x ＝3，得点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1x 1－2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 2x 2－2，所以点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2直线PF 2的斜率为 k ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2－03－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2 ＝14·y 2x 1＋x 2y 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝14·2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4.将x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3代入上式得：k ′＝14·2·4k 2－124k 2＋3－3k ·8k 24k 2＋3＋4k4k 2－124k 2＋3－2·8k 24k 2＋3＝－34k . 所以k ·k ′为定值－34.21．解：(1)由题意知f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增．当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，t 无解； 当0＜t ≤1e ＜t ＋2，即0＜t ≤1e 时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；当1e ＜t ＜t ＋2，即t ＞1e 时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，故f (x )min ＝f (t )＝t ln t . 所以f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ≤1et ln t ，t ＞1e.(2)由题意知2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 即a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，h ′(x )＜0，此时h (x )单调递减；当x ∈(1，e]时，h ′(x )＞0，此时h (x )单调递增．所以h (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，h (e )，因为存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使2f (x )≥g (x )成立，所以a ≤h (x )max ，又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2＋1e ＋3e ，h (e)＝2＋e ＋3e ，故h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞h (e)，所以a ≤1e ＋3e －2.22．解：(1)因为AD ∥BC ，所以∠EAB ＝∠ABC .又因为FB 与圆O 相切于点B ，所以∠EBA ＝∠ACB ，所以△EAB ∽△ABC ， 所以AE BA ＝ABBC ，即AB 2＝AE ·BC ， 因为AB ＝CD ，所以CD 2＝AE ·BC .(2)由(1)得AE ＝AB 2BC ＝258，因为AD ∥BC ，所以∠F AE ＝∠ACB ，又∠EBA ＝∠ACB ， 所以∠F AE ＝∠EBA ，∠F ＝∠F ，所以△FEA ∽△F AB ， 所以AE AB ＝EF AF ，所以EF ＝AE AB ·AF ＝154.23．解：(1)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45ty ＝－1－35t (t 为参数)化为普通方程为3x ＋4y＋1＝0.将曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为直角坐标方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.(2)由(1)可知曲线C 表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为22的圆，则圆心到直线l 的距离d ＝110，所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2r 2－d 2＝212－1100＝75.24．解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≤310－2x ，3＜x ＜7，－4，x ≥7图象如图所示：(2)∵x ＜5，∴不等式|x －8|－|x －a |＞2可化为8－x －|x －a |＞2， ∴|x －a |＜6－x 对x ＜5恒成立， 即x －6＜x －a ＜6－x 对x ＜5恒成立， ∴⎩⎨⎧a ＜6a ＞2x －6对x ＜5恒成立． 又∵x ＜5时，2x －6＜4，∴4≤a ＜6. ∴实数a 的取值范围为[4,6)．。
精品解析：2023年全国新高考数学仿真模拟卷(二)数学试题(原卷版)
（2）若___________；求花卉种植区域总面积．
从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（12分）
如图所示的四棱锥 的底面 是一个等腰梯形， ，且 ， 是 的中线，点 是棱 的中点．
（1）证明： 平面 ．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 为虚数单位， 、 ，复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3. 如图是一学校期末考试中某班物理成绩的频率分布直方图，数据的分组依次为 、 、 、 、 、 ，若成绩不低于70分的人数比成绩低于70分的人数多4人，则该班的学生人数为（ ）
A. 45B. 50C. 55D. 60
4. “ ”是“函数 是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知数列 中， ，且 （ ），则 （ ）．
A． B． C． D．
6. 将 的图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再将所得图像向左平移 个单位长度得到 的图像，则 （ ）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
2023年贵州省天之王教育高考数学模拟试卷(二)(理科)+答案解析(附后)
2023年贵州省天之王教育高考数学模拟试卷（二）（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.3. 已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，BC的中点，则( )A. B. C. D.4. 若，则( )A. B. C. D.5. 设，，，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.6. 已知偶函数在上单调递增，则的解集是( )A. B. C. D.7. 如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线BD与AE所成角的余弦值为( )A. B. C. D.8. 数学竞赛小组有4位同学，指导老师布置了4道综合题，要求每位同学只做其中1道题，则“每位同学所做题目各不相同”的概率为( )A. B. C. D.9. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. B. C. D.10. 函数在上零点的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 611. 已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则( )A. 9B. 7C. 6D. 512. 如图，为了在两座山之间的一条河流上面修建一座桥，勘测部门使用无人机测量得到如下数据：无人机P距离水平地面的高度为h，A，B两点的俯角分别为，则下列求A，B 两点间的距离的表达式中，错误的是( )A. B.C. D.13. 半径为2且与x轴y轴都相切的圆的标准方程为______ 写出一个符合题意的方程即可14. 若实数x，y满足则的最小值是______ .15. 若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是______ .16. 双曲线的右焦点为F，过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，点A关于原点O的对称点为P，，且，则双曲线C 的离心率为______ .17. 已知在等差数列中，，求数列的通项公式；设是数列的前n项和，求18. 近年我国新能源产业的发展取得了有目共睹的巨大成果年国务院在正式发布的《新能源汽车产业发展规划年》中提出，到2025年，新能源汽车新车销售量达到汽车新车销售总量的左右.力争经过15年的持续努力，使纯电动汽车成为新销售车辆的主流.在此大背景下，某市新能源汽车保有量持续增加，有关部门将该市从2018年到2022年新能源汽车保有量单位：万辆作了统计，得到y与年份代码如代表2018年的统计表如下所示.t12345y46请通过计算相关系数r说明y与t具有较强的线性相关性；若，则变量间具有较强的线性相关性求出线性回归方程，并预测2023年新能源汽车的保有量.参考公式：相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，参考数据：，，，19. 在三棱台中，平面ABC，，，，M为AC的中点.证明：平面；求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆的一个焦点为，且点F到C的左、右顶点的距离之积为求椭圆C的标准方程；过点F作斜率乘积为的两条直线，，与C交于A，B两点，与C交于D，E 两点，线段AB，DE的中点分别为M，证明：直线MN与x轴交于定点，并求出定点坐标.21. 已知函数，，若曲线与曲线在上有一个公共点P，且存在以P为切点的公共切线，求a的值；若曲线与曲线在上有两个公共点，求a的取值范围.22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为求圆C的普通方程与直线l的直角坐标方程；已知点，直线l与圆C交于A，B两点，求的值.23. 已知函数若对，恒成立，求实数k的取值范围；当时，记的最小值为m，且正数a，b满足，求的最小值.答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，，则故选：求出集合A，利用交集定义能求出本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则，解得，故实数a的取值范围是故选：根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，BC的中点，，错误，D正确．故选：利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：若，则故选：由已知结合二倍角的正切公式即可求解．本题主要考查了二倍角的正切公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：，，故故选：由已知先分别确定a，b，c的范围即可比较a，b，c的大小．本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为偶函数在上单调递增，故函数在上单调递减，由可得，解得故选：由已知结合函数的奇偶性及单调性即可求解不等式．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：如图，连接BF，，或其补角为异面直线BD与AE所成的角，根据题意知，，，且，，，且，在中，根据余弦定理得：故选：可连接BF，从而可得出或其补角为异面直线BD与AE所成的角，然后根据三棱柱为直三棱柱可得出，，然后可求出BD和EF，DF的值，然后根据余弦定理即可求出的值．本题考查了直三棱柱的定义，勾股定理，余弦定理，异面直线所成角的定义，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：数学竞赛小组有4位同学，指导老师布置了4道综合题，要求每位同学只做其中1道题，基本事件总数，“每位同学所做题目各不相同”包含的基本事件个数，则“每位同学所做题目各不相同”的概率为故选：基本事件总数，“每位同学所做题目各不相同”包含的基本事件个数，由此能求出“每位同学所做题目各不相同”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】D【解析】解：由三视图知，该几何体是上底面直径为2，下底面直径为4，高为3的圆台，截去部分的组合体，则该几何体的体积是故选：由三视图知该几何体是圆台，截去部分的剩余组合体，由此求出该几何体的体积．本题考查了空间几何体三视图应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：函数，可得，可得或，，可得，或，，因为，所以，，可得，0，；，，可得，，故函数在上零点的个数为5，故选：通过求解三角方程，推出x的解，结合x的范围，求解方程解的个数，可得结论．本题主要考查函数的零点的定义，正弦函数的图象，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意直线l的斜率必存在，抛物线C：的焦点为，设直线l：，则，得，设，，则，，又，则，，，故选：由题意直线l的斜率必存在，设直线l：，直线与抛物线联立后利用韦达定理得到，，，代入弦长公式即可求解．本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：如图所示：设点P在AB上的射影为C，设，A，B两点的俯角分别为，故，，所以，故，故A正确；由于，故B正确；在中，由于，，，利用余弦定理：，整理得：，故C错误，D正确．故选：直接利用解三角形知识中的三角函数关系式的变换及余弦定理判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：半径为2且与x轴y轴都相切的一个圆的标准方程为故答案为：由已知可得圆的圆心坐标与半径，则圆的标准方程可求．本题考查圆的标准方程，是基础题．14.【答案】1【解析】解：由约束条件作出可行域，如图所示：由可得，，由图可知，当直线平移到与直线重合时，在y轴上的截距最小，此时z的值最小，所以z的最小值为故答案为：作出不等式组对应的平面区域，由可得，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15.【答案】【解析】解：因为，所以，令，则，故不等式对任意恒成立，可以转化为：对任意恒成立，即在上恒成立，令，则，故时，，函数递减，时，，函数递增，所以：实数a的取值范围是：故答案为：根据已知条件转化为对任意恒成立，进而转化求解的最大值即可．本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设左焦点为，，易知四边形为矩形，设AB直线的倾斜角为，则根据双曲线倾斜角的焦半径公式可得：，又，，，又，，，，，又，在中，由勾股定理可得：，，故答案为：设左焦点为，则易知四边形为矩形，设AB直线的倾斜角为，则根据双曲线倾斜角的焦半径公式可得，又，从而可得，，再在中，由勾股定理，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，双曲线倾斜角的焦半径公式的应用，勾股定理的应用，化归转化思想，属中档题．17.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为d，则，化简整理，得，解得，，由题意及可得，当，即时，解得，当，即时，解得，则，【解析】先设等差数列的公差为d，再根据题干已知条件列出关于首项与公差d的方程组，解出与d的值，即可计算出等差数列的通项公式；先根据第题的结果将等差数列的通项公式与0比较大小，判断数列各项的正负性，在求数列的前30项和时先逐项代入，然后根据分组求和法，以及等差数列的求和公式即可推导出数列的前30项和．本题主要考查等差数列的基本运算，以及绝对值数列的求和问题．考查了方程思想，整体思想，转化与化归思想，不等式的运算，差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：，，，，与t具有较强的线性相关性；，，，关于t的线性回归方程为，取，可得预测2023年新能源汽车的保有量为万辆．【解析】由已知结合相关系数公式求得r值，结合题意得结论；求出线性回归方程，取求得的值即可．本题考查相关系数与线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】证明：平面ABC，平面，平面平面ABC，，M为AC的中点，，平面平面，平面，平面，，，由三棱台可得，又，M为AC的中点，，四边形是正方形，，又，平面；解：由题意可得AC，BM，两两垂直，以M为坐标原点，MA，MB，为坐标轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，则，，，，设平面的一个法向量为，，令，则，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，令，则，平面的一个法向量为，，平面与平面所成锐二面角的余弦值为【解析】由已知可证平面，进而再证四边形是正方形，进而可证平面；以M为坐标原点，MA，MB，为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面与平面的一个法向量，可求平面与平面所成锐二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查面面角的求法，属中档题．20.【答案】解：由题意，且，即，可得，所以椭圆的标准方程为：；证明：由题意可得直线，互相垂直，且斜率存在又不为0，设直线的方程为，设，，联立，整理可得：，可得，，所以AB的中点，同理可得，即，当时，M，N的横坐标相同，则M，N的横坐标为，这时直线MN与x轴的交点为，当时，则直线MN的斜率，所以直线MN的方程为：，令，因为，可得，综上所述：可证得直线MN恒过定点【解析】由椭圆的焦点可知c的值，再由焦点到左右顶点的距离之积可得b的值，进而求出a 的值，求出椭圆的方程；由题意可得直线，互相垂直，且斜率存在又不为0，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和，求出AB的中点M的坐标，同理可得N的坐标，当M，N的横坐标相等时，可得它们的横坐标，即求出与x轴的坐标，当M，N的横坐标不相等时，求出直线MN的方程，令，可得直线MN与x轴的交点为定值，即证得结论成立．本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，直线恒过定点的求法，属于中档题．21.【答案】解：设，则，所以，所以存在，使得，因为，存在以点P为切点的公切线，所以，又，，所以，所以，由可得或，当时，，当时，代入，可得，所以，所以，所以，若，则，所以，令，，，令得，所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以，所以方程，无解，所以舍去，所以，因为曲线与曲线在上有两个公共点，所以方程在上有两个根，即在上有两个根，设，，则有两个零点，函数，，令，则，令，，则有两个零点，，当时，令，得，所以只有一个零点，不合题意，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极小值也是最小值，所以，要使得有两个零点，则，所以，所以，当时，令得，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，所以，所以，由知方程无解，当时，，所以在上单调递增，所以至多有一个零点，当时，，所以，所以，所以无解，综上所述，a 的取值范围为【解析】设，则，即存在，使得，由，存在以点P 为切点的公切线，得，则，解方程组，即可得出答案．因为曲线与曲线在上有两个公共点，则在上有两个根，设，，则有两个零点，进而可得答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于难题．22.【答案】解：圆C 的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为：，由消去t 得直线l 的直角坐标方程为：；将直线l 的参数方程为参数代入圆的直角坐标方程，整理得，设，是方程的两根，由韦达定理可知，，，，设，【解析】将代入圆的极坐标方程即可得出圆的普通方程为：，由直线的参数方程消去t即可得出直线的直角坐标方程；将直线的参数方程代入到圆的普通方程可得出，然后根据韦达定理可得出，然后设，然后根据两点间距离公式即可求出的值．本题考查了圆的极坐标方程和普通方程的转化，两点间的距离公式，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题．23.【答案】解：对，恒成立，即，所以或，解得或，所以实数k的取值范围是；当时，，所以的最小值为，所以，所以，当且仅当，即，时取“=”，所以的最小值是【解析】利用绝对值不等式求出函数，再列不等式求出实数k的取值范围；求出时的最小值，代入利用基本不等式求解即可．本题考查了基本不等式与绝对值不等式的应用问题，是中档题．。
浙江省湖州市第二中学2024届高三下学期新高考模拟数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 若向量，，则与的夹角的余弦值为（ ）A．B．C．D．2. 为客观反映建设创新型国家进程中我国创新能力的发展情况，国家统计局社科文司《中国创新指数（CII ）研究》课题组研究设计了评价我国创新能力的指标体系和指数编制方法.中国创新指数（China Innovation Index ，CII ）中有4个分指数（创新环境指数、创新投入指数、创新产出指数、创新成效指数），下面是2005—2021年中国创新指数及分领域指数图，由图可知指数与年份正相关，则对4个分领域指数，在建立年份值与指数值的回归模型中，相关系数最大的指数类型是（）A ．创新环境指数B ．创新投入指数C ．创新产出指数D ．创新成效指数3. 已知，点为角的终边上一点，且，则角A．B．C．D．4. 如图所示，边长为2的正，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在点A 的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（）A．B．C．D．5. 在中，分别为角的对边，已知，的面积为2，则边长（ ）A．B．C．D．6. 在区间上为增函数的是（ ）A．B．C．D．7. 已知圆锥的表面积为，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）A．B．C．D．8. 有一组样本数据：，，，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：，，，2，那么这两组样本数据一定有相同的（ ）A ．众数B ．中位数C ．方差D ．极差浙江省湖州市第二中学2024届高三下学期新高考模拟数学试题 (2)浙江省湖州市第二中学2024届高三下学期新高考模拟数学试题 (2)三、填空题四、解答题9.设函数向左平移个单位长度得到函数，若在上恰有2个零点，3个极值点，则下列说法正确的是（ ）A ．在上单调递减B ．的取值范围为C ．若的图象关于直线对称，则D ．在区间上存在最大值10. 已知直四棱柱的底面为正方形，，P 为直四棱柱内一点，且，其中，，则下列说法正确的是（ ）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，存在点P，使得C ．当时，的最小值为D．当时，存在唯一的点P ，使得平面平面PBC11.已知抛物线的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD的中点，且，点M 是抛物线上间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A ，B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的有（ ）A ．抛物线焦点F的坐标为B ．过点N作抛物线的切线，则切点坐标为C ．在△FMN 中，若，，则t的最小值为D ．若抛物线在点M 处的切线分别交BT ，AT 于H ，G两点，则12. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面."解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列结论正确的是（ ）A ．直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等B．若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为C ．若四面体在点处的离散曲率为，则平面D ．若直四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面所成角的正弦值为13.已知等差数列满足，且，则______．14.双曲线的渐近线方程是____________．15.二项式的展开式中，各项的系数和是______，各项x 的次数和是______．16. 已知函数.在下列条件①､条件②､条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知.(1)求的值；(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值.条件①：；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为.17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且.（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值.18. 如图甲是由正方形ABCD，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿AB，BC，AC折起得三棱锥P-ABC，如图乙．(1)求证：平面平面；(2)过棱AC作平面ACM交棱PB于点M，且三棱锥和的体积比为1∶2，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．19. 已知函数.（1）若函数是偶函数，且，求的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数在上的最大、最小值；（3）要使函数在上是单调函数，求的范围.20. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近13年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．由散点图知，按建立关于的回归方程是合理的令，则，经计算得如下数据：(1)根据以上信息，建立关于的回归方程；(2)已知这种产品的年利润与、的关系为，据（1）的结果，求当年宣传费时，年利润的预报值是多少？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 21. 已知定义域为的函数是奇函数，为指数函数且的图象过点.（1）求的表达式；（2）若方程恰有2个互异的实数根，求实数的取值集合.。
贵州毕节大方县三中2024年高考模拟数学试题(二)
贵州毕节大方县三中2024年高考模拟数学试题（二）注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．51- B ．2 C ．3D ．52．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π3．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．34．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．5．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒6．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53)B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞C ．(1,53)D ．(,3)-∞7．已知函数()ln xf x x =，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221kx e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2e B ．eC ．24eD ．21e8．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( )A ．65B 5C 65D ．69．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．i -C ．1D ．i10．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23B ．33C 32D 2311．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |﹣2|MN |，则（ ） A ．λ＜﹣16 B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣1212．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2011年高考数学高考模拟试题河北正定中学 杨春辉一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合22{|log (1)0},{|0},2xS x x T x x-=+>=<+则S T ⋂等于 A ．（0，2） B ．（－1，2） C ．（－1，+∞） D ．（2，+∞）2．复数122,1z i z i =-=+，那么复数12z z ⋅在复平面上对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在821⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含x 的项的系数是（ ）A ．55B ．55-C ．56D ．56-4．若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则z y x =-的最小值为A ．0B ．6-C ．8D ．15．在等差数列}{n a 中，有12876=++a a a ，则此数列的前13项之和为 A ．24B ．39C ．52D ．1046．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题是 A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αC ．若α∥β，α∩γ=m ，β∩γ= n ，则m ∥nD ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β 7．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取最小值，则函数3()4y f x π=-是 A ．偶函数且图像关于点(,0)π对称 B ．偶函数且图像关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且图像关于点3(,0)2π对称 D ．奇函数且图像关于点(,0)π对称8．设11522log 3,2,5a b c ===，则A ．b a c << B.c b a << C ．a b c << D ．a c b <<9．将5名同学分配到A 、B 、C 三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，那么不同的分配方案有 A ．76 B ．100 C ．132 D ．15010．函数()|21|xf x =-，若实数,a b 满足a b <，并且()()f a f b =，则122ab --的取值范围是A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞ C．2,)+∞ D．2,)+∞11．过双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左焦点作直线FE 与圆222x y a +=相切于点E ,与双曲线的右支交于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为A ．BCD．12．四面体PABC 中，AC ⊥BC ，AC BC ＝1，PAB ∆是正三角形，且平面PAB ⊥平面ABC ，则四面体PABC 的外接球的表面积为 A ．43π B ．163π C ．4π D ． 16π 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）．13．设向量(sin ,2)a α= 与向量(cos ,1)b α=共线，则tan 2α= .14．不等式|21|x x a +-<的解集为∅，则实数a 的取值范围是 ．15．已知不平行于x 轴的直线(0)y kx b b =+>与抛物线22(0)x py p =>交于A 、B 两点，点A 、B 到y 轴的距离的差等于2k ，则抛物线的焦点坐标为 .16．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足1)()()2()2(=++++x f x f x f x f ，21)1(=f ，41)2(=f ，则(2011)f = 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，120C =︒，求11tan tan A B+的最小值. 18．（本题满分12分）在一块倾斜放置的矩形木块上钉着一个形如“等腰三角形”的五行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙……第5行6个铁钉之间有5个空隙（如图）．某人将一个玻璃球从第1行的空隙向下滚动，玻璃球碰到第2行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙，以后玻璃球按类似方式继续往下滚动，落入第5行的某一个空隙后，掉入木板下方相应的球槽．玻璃球落入不同球槽得到的分数ξ如图所示．（Ⅰ）求E ξ；（Ⅱ）若此人进行4次相同试验，求至少3次获得4分的概率． 19．（本题满分12分）四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PD ⊥AC ，E 是棱PA 的中点． （I ）求证：PC//平面EBD ；(II)求二面角E-BD-A 的大小．20．（本题满分12分）已知函数2(),,ax f x x e x R =∈其中e 为自然对数的底数， a R ∈.(Ⅰ)设1,[1,1]a x =-∈-，求函数()y f x =的最值；（Ⅱ）若对于任意的0a >，都有22'1()()axx ax a f x f x e a+++≤+成立，求x 的取值范围. 21．（本题满分12分）过椭圆C ：)0(12222>>==+b a b x a y 上一点P ，作圆O ：222b y x =+的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点．（I ）设P ),(00y x ，且000≠⋅y x ，求直线AB 的方程．（II ）若椭圆C 的短轴长为8，且1625||||2222=+ON b OM a ，求此椭圆的方程． （III ）试问椭圆C 上是否存在满足PB PA ⊥的点P ，说明理由．22．（本题满分12分）已知数列}{n a 满足).2(22,111≥-+==-n n a a a n n （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若数列}{n b 中24b =，前n 项和为n S ，且4()(*).n n S nb n a n n N -=+∈证明：1215(1).3n b n b +<参考答案：一、DADBC, CDBDA,CB 二、13．43-；14．1(,)2-∞；15．1(0,)2 16．13三、17．解：120,60,60.C A B B A =︒∴+=︒=︒-11sin cos cos sin sin()tan tan sin sin sin sin 2sin sin(60)A B A B A B A B A B A B A A +++===︒-===由题意，060A ︒<<︒，则30230150A ︒<+︒<︒， 所以当23090A +︒=︒，即30A =︒时，11tan tan A B+有最小值 18．解：（Ⅰ）从第1行开始，玻璃球从一个空隙向下滚动，碰到此空隙下方的一个铁钉后以12的概率落入铁钉左边的空隙，同样以12的概率落入铁钉右边的空隙．玻璃球继续往下滚动时，总有落入铁钉左边和右边空隙的两种结果．到最后落入某一个球槽内，一共进行了4次独立重复试验，设4次独立重复试验中落入左边空隙的次数为η，则1(4,)2B η ．(6)(0,4)(0)(4)P P P P ξηηηη======+=或0044404411111C ()()+C ()()22228==， (4)(1,3)(1)(3)P P P P ξηηηη======+=或1133314411111C ()()+C ()()22222==， (2)(2)P P ξη===22241163C ()()22168===． 则113642 3.5828E ξ=⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，此人一次试验获得4分的概率12P =，他进行4次相同试验可以看着他进行了4次独立重复试验，则至少3次获得4分的概率33144441115C ()()+C ()22216P ==． 19．解：（I ）证明：在矩形ABCD 中，设AC 、BD 交点为O ，则O 是AC 中点．又E 是PA 中点，所以EO 是△PAC 的中位线． 所以PC//EO ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又EO ⊂平面EBD ，PC ⊄ 平面EBD ．所以PC//平面EBD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 (II) 取AB 中点H ，则由PA ＝PB ，得PH ⊥AB ，所以PH ⊥平面ABCD ． 以H 为原点，建立空间直角坐标系H －xyz （如图）．设AB=2m,AD=n ，则A(m,0,0),B(,0,0),C(,n,0),D(,),(,0,)22m m m m n E --．所以(,,)PD m n = ，(2,,0)AC m n =-，3(2m BE =由PD ⊥AC ，得0PD AC ⋅= ， 即2220m n -+=，n =．所以，(2,0)BD m =设111(,,)x y z α=是平面EBD 的法向量，BE BD αα⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00BE BD αα⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩1111113002200m x y z mx z ⎧+⋅+=⎪⇒⎨⎪++⋅=⎩1111z y ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩不妨取11x =，则得到平面EBD的一个法向量(1,α=．由于)HP =是平面ABD 的法向量，故(0,0,1)β=- 是平面ABD 的一个法向量．设(1,α= 与(0,0,1)β=-夹角θ，θ的大小与二面角E-BD-A 大小相等．cos 2||||αβθαβ⋅===⋅，45θ=︒． 所以求二面角E-BD-A 的大小为45︒．20．解：（Ⅰ)当1a =-时，2()e x f x x -=⋅，()(2)e x f x x x -'=-⋅-⋅．当x 在[1,1]-上变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴[1,1]x ∈-时，max ()(1)e f x f =-=，min ()(0)0f x f ==． (Ⅱ)∵2()e ax f x x =⋅，2()(2)e ax f x x ax '=+，∴原不等式等价于：22221(2)axaxaxx ax a x e x ax e e a+++⋅≤+⋅+⋅, 即221()(1)3a x x x a +⋅+≥-, 亦即22131x x a a x -+≥+．∴对于任意的0a >，原不等式恒成立,等价于22131x x a a x -+≥+对0a >恒成立,∵对于任意的0a >时, 12a a +≥=（当且仅当1a =时取等号）． ∴只需22321x xx -≤+，即2320x x ++≥，解之得2x ≤-或1x ≥-. 因此，x 的取值范围是(,2][1,)-∞--+∞ . 21．解：（1）以O ，P 为直径的两个端点，构造圆的方程)0()(00=-+-y y y x x x （1）及222b y x =+ （2） 两式相减得AB 方程为200b y y x x =+（2）令002016,0y y b y x ===令016,0x x y == ||16||,||16||00y ON x OM ==∴1625||||2222=+∴ON b OM a 1625202202⨯=+∴y b x a 又P 点在椭圆上，1220220=+∴bx a y 162522⨯=∴b a4=b , 252=∴a∴椭圆方程为1162522=+x y (3)若PB PA ⊥，由切线定理|PA|=|PB|，知四边形必是正方形，b PO 2||=∴ 要使P 点存在，下列方程必有解 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+122222222b x ay b y x 0)2(222222≥--=⇒b a b a b x b a b a 2≥∴> 时，存在点P ；若b a 2<，这样的点P 不存在。