您的位置：360文档中心› 二次函数专题大综合

二次函数专题大综合

合集下载

初中数学二次函数经典综合大题练习卷

初中数学二次函数经典综合大题练习卷

1、如图9（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过A （-1，0）、B （0，3）两点，与x 轴交于另一点C ，顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式及点C 、D 的坐标；（2）经过点B 、D 两点的直线与x 轴交于点E ，若点F 是抛物线上一点，以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标；（3）如图9（2）P （2，3）是抛物线上的点，Q 是直线AP 上方的抛物线上一动点，求△APQ 的最大面积和此时Q 点的坐标．2、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资成本x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y 2与投资成本x 成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资成本的单位：万元）图① 图②（1）分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；（2）如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，请求出他所获得的总利润Z 与投入种植花卉的投资量x 之间的函数关系式，并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？d3、如图，为正方形的对称中心，，，直线交于，于，点从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿方向以个单位每秒速度运动，运动时间为．求：（1）的坐标为 ；（2）当为何值时，与相似？（3）求的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值及的最大值．4、如图①，正方形ABCD 的顶点A,B 的坐标分别为，顶点C,D 在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点E(4,0)出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P,Q 两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求正方形ABCD 的边长．（2）当点P 在AB 边上运动时，△OPQ 的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P,Q 两点的运动速度．（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．（4）若点P,Q 保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间的增大而增大；沿着BC 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间的增大而减小．当点沿着这两边运动时，使∠OPQ=90°的点有 个．5、如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．（1）求边的长；（2）当为何值时，与相互平分；（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？6、已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； (2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.7、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A(x 0，0)和点B(2，0)，与y 轴的正半轴交于点C ，其对称轴是直线x ＝－1，tan∠BAC＝2，点A 关于y 轴的对称点为点D ．(1)确定A.C.D 三点的坐标；(2)求过B.C.D 三点的抛物线的解析式；(3)若过点(0，3)且平行于x 轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M.N 两点，以MN 为一边，抛物线上任意一点P(x ，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S ，写出S 关于P 点纵坐标y 的函数解析式．(4)当＜x ＜4时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由．8、如图，直线AB 过点A(m,0)，B(0,n)(m>0,n>0)反比例函数的图象与AB 交于C ，D 两点，P 为双曲线一点，过P 作轴于Q ，轴于R ，请分别按(1)(2)(3)各自的要求解答闷题。

二次函数难题综合(附答案)

二次函数难题综合(附答案)

庞圣洁（二次函数难题）之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日一．选择题（共22小题）1．（•陕西模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M （﹣1,2）和点N（1,﹣2）,交x轴于A,B两点,交y轴于C．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上；④若a=1,则OA•OB=OC2．以上说法正确的有（）A．①②③④B．②③④ C．①②④ D．①②③2．（•泰安模拟）如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧）,动点P从A点动身,先达到抛物线的对称轴上的某点E,再达到x轴上的某点F,最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为（）A．B．C． D．3．（•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数,则c的取值范围是（）A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤14．（•天桥区一模）如图,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A,B两点,且点A的横坐标是﹣2,点B的横坐标是3,则以下结论：①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的极点一定是原点；②x＞0时,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增年夜而增年夜；③AB的长度可以即是5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时,ax2+kx＜b,其中正确的结论是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤5．（•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,若M=a+b﹣c,N=4a﹣2b+c,P=2a﹣b．则M,N,P中,值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．（•杭州模拟）关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,则下列结论：①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线y=2x2+ax+b﹣2的极点在第四象限．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（•无锡校级三模）已知抛物线y=﹣x2+1的极点为P,点A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结PA、PD,PD交AB于点E,△PAD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB=AD时相似 D．无法确定8．（•杭州模拟）下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时,有三个公共点；②m=3时,只有两个公共点；③若只有两个公共点,则m=3；④若有三个公共点,则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个9．（•黄石）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α,β,且α＜β,则α,β满足（）A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞210．（•盐城模拟）如图,分别过点Pi（i,0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线,交的图象于点Ai,交直线于点Bi．则的值为（）A．B．2 C．D．11．（•西湖区校级模拟）已知二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1,y1）,B（2,y2）C（4,y3）,则y1、y2、y3的年夜小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y212．（•乐山）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|,则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定13．（•包头）已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最年夜值,且ac=4,则二次函数的极点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（•蚌埠自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,Q （n,2）是图象上的一点,且AQ⊥BQ,则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣215．（•秀洲区一模）已知点A（x1,y1）,B（x2,y2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）上,若x1＜x2,x1+x2=1﹣a,则（）A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1与y2年夜小不能确定16．（•天河区一模）如图,二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A,B的坐标分别为（1,﹣3）,（6,1）,当y1＞y2时,x的取值范围是（）A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞117．已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函数值始终是正的,则a的取值范围（）A．a＞B．a＜0或a＞C．D．18．（•荣县校级二模）已知直线经过点A（0,2）,B（2,0）,点C 在抛物线y=x2的图象上,则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．119．（•下城区校级模拟）关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2,以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值,抛物线总经过点（1,0）；③若m＞6,抛物线交x轴于A、B两点,则AB＞1；④抛物线的极点在y=﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（）A．①②③④B．①②③ C．①②④ D．②③④20．（•湖州）已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c,0）,以该抛物线与坐标轴的三个交点为极点的三角形面积为S,则S可暗示为（）A．|2+b||b+1| B．c（1﹣c）C．（b+1）2 D．21．（•茂名）下列四个函数：①y=kx（k为常数,k＞0）②y=kx+b（k,b为常数,k＞0）③y=（k为常数,k＞0,x＞0）④y=ax2（a为常数,a＞0）其中,函数y的值随着x值得增年夜而减少的是（）A．①B．②C．③D．④22．（•碑林区校级一模）已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3,而且a,b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根,则实数m,n,a,b的年夜小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b二．解答题（共8小题）23．（•本溪）如图,直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为C,连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上,连接MB,当∠MBA+∠CBO=45°时,求点M的坐标；（3）点P从点C动身,沿线段CA由C向A运动,同时点Q从点B 动身,沿线段BC由B向C运动,P、Q的运动速度都是每秒1个单元长度,当Q点达到C点时,P、Q同时停止运动,试问在坐标平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻,以C、D、P、Q为极点的四边形为菱形？若存在,直接写出点D的坐标；若不存在,说明理由．24．（•黔南州）如图,在平面直角坐标系中,极点为（4,﹣1）的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点（点B在点C的左侧）,已知A点坐标为（0,3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问：当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最年夜？并求出此时P点的坐标和△PAC的最年夜面积．25．（•遵义）如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A （3,0）,B（﹣1,0）,与y轴交于点C．若点P,Q同时从A点动身,都以每秒1个单元长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点达到端点时,另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为极点的三角形为等腰三角形？若存在,请求出E点坐标；若不存在,请说明理由．（3）当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标．26．（•兰州）如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A（﹣1,0）,C（0,2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在,直接写出P点的坐标；如果不存在,请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最年夜？求出四边形CDBF的最年夜面积及此时E点的坐标．27．（•义乌市）如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C 三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l于点H,连结OP,试求△OPH的面积；②当m=﹣3时,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F．是否存在这样的点P,使以P,E,F为极点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．28．（•黄冈模拟）已知：如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3,0）、B（6,0）,与y轴的交点是C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x,y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点,过点P作PQ∥y 轴交直线BC于点Q．①当x取何值时,线段PQ的长度取得最年夜值,其最年夜值是几多？②是否存在这样的点P,使△OAQ为直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．29．（•武汉）如图,已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A,B两点．（1）直线AB总经过一个定点C,请直接出点C坐标；（2）当k=﹣时,在直线AB下方的抛物线上求点P,使△ABP的面积即是5；（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°,求点D到直线AB的最年夜距离．30．（•六盘水）如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点,并经过B点,已知A点坐标是（2,0）,B点的坐标是（8,6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的极点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC,并延长BC交抛物线于E点,连接BD,DE,求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P,与A,D两点构成△ADP,是否存在S△ADP=S△BCD？若存在,请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．庞圣洁（二次函数难题）参考谜底与试题解析一．选择题（共22小题）1．（•陕西模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M （﹣1,2）和点N（1,﹣2）,交x轴于A,B两点,交y轴于C．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上；④若a=1,则OA•OB=OC2．以上说法正确的有（）A．①②③④B．②③④ C．①②④ D．①②③【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】①二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1,2）和点N（1,﹣2）,因而将M、N两点坐标代入即可消去a、c解得b值．②根据图象的特点及与直线MN比力,可知当﹣1＜x＜1时,二次函数图象在直线MN的下方．③同②理．④当y=0时利用根与系数的关系,可获得OA•OB的值,当x=0时,可获得OC的值．通过c建立等量关系求证．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1,2）和点N（1,﹣2）,∴,解得b=﹣2．故该选项正确．②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c,a＞0∴该二次函数图象开口向上∵点M（﹣1,2）和点N（1,﹣2）,∴直线MN的解析式为y﹣2=,即y=﹣2x,根据抛物线的图象的特点肯定是当﹣1＜x＜1时,二次函数图象在y=﹣2x的下方,∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由①可得b=﹣2,a+c=0,即c=﹣a＜0,所以二次函数图象与y轴交于负半轴．故该选项正确．③根据抛物线图象的特点,M、A、C三点不成能在同一条直线上．故该选项毛病．④当a=1时,c=﹣1,∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣1当y=0时,0=x2﹣2x+c,利用根与系数的关系可得x1•x2=c,即OA•OB=|c|,当x=0时,y=c,即OC=|c|=1=OC2,∴若a=1,则OA•OB=OC2,故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．【点评】本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式简直定．2．（•泰安模拟）如图,抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧）,动点P从A点动身,先达到抛物线的对称轴上的某点E,再达到x轴上的某点F,最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为（）A．B．C． D．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与直线x=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得A′B′即是所求的长度．【解答】解：如图∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点,∴x2﹣x﹣=x﹣2,解得：x=1或x=,当x=1时,y=x﹣2=﹣1,当x=时,y=x﹣2=﹣,∴点A的坐标为（,﹣）,点B的坐标为（1,﹣1）,∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′,作点B关于x轴的对称点B′,连接A′B′,则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E,与x轴的交点是F,∴BF=B′F,AE=A′E,∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′,延长BB′,AA′相交于C,∴A′C=++（1﹣）=1,B′C=1+=,∴A′B′==．∴点P运动的总路径的长为．故选A．【点评】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数形结合与方程思想的应用．3．（•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数,则c的取值范围是（）A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤1【考点】二次函数的性质；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据分式的意义,分母不即是0,得出x2﹣2x+c≠0,再根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质,可知当二次项系数a＞0,△＜0时,有y＞0,此时自变量x的取值范围是全体实数．【解答】解：由题意,得△=（﹣2）2﹣4c＜0,解得c＞1．故选C．【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义,必需满足分母不即是0．难点在于分母是关于自变量x的二次函数,要使自变量x的取值范围是全体实数,必需满足△＜0．4．（•天桥区一模）如图,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A,B两点,且点A的横坐标是﹣2,点B的横坐标是3,则以下结论：①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的极点一定是原点；②x＞0时,直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增年夜而增年夜；③AB的长度可以即是5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时,ax2+kx＜b,其中正确的结论是（）A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】①由极点坐标公式判断即可；②根据图象获得一次函数y=kx+b为增函数,抛物线当x年夜于0时为增函数,本选项正确；③AB长不成能为5,由A、B的横坐标求出AB为5时,直线AB与x 轴平行,即k=0,与已知矛盾；④三角形OAB不成能为等边三角形,因为OA与OB不成能相等；⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称,作出对称后的图象,故y=﹣kx+b与抛物线交点横坐标分别为﹣3与2,找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．【解答】解：①抛物线y=ax2,利用极点坐标公式得：极点坐标为（0,0）,本选项正确；②根据图象得：直线y=kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时为增函数,则x＞0时,直线与抛物线函数值都随着x的增年夜而增年夜,本选项正确；③由A、B横坐标分别为﹣2,3,若AB=5,可得出直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,故AB不成能为5,本选项毛病；④若OA=OB,获得直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,∴OA≠OB,即△AOB不成能为等边三角形,本选项毛病；⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称,如图所示：可得出直线y=﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3,2,由图象可得：当﹣3＜x＜2时,ax2＜﹣kx+b,即ax2+kx＜b,则正确的结论有①②⑤．故选B．【点评】此题考查了二次函数综合题,涉及的知识有：抛物线极点坐标公式,一次函数与二次函数的增减性,关于y轴对称点的性质,利用了数形结合的思想,熟练对称性质及数形结合思想是判毕命题⑤的关键．5．（•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,若M=a+b﹣c,N=4a﹣2b+c,P=2a﹣b．则M,N,P中,值小于0的数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据图象获得x=﹣2时对应的函数值小于0,获得N=4a﹣2b+c的值小于0,根据对称轴在直线x=﹣1右边,利用对称轴公式列出不等式,根据开口向下获得a小于0,变形即可对P作出判断,根据a,b,c的符号判断得出a+b﹣c的符号．【解答】解：∵图象开口向下,∴a＜0,∵对称轴在y轴左侧,∴a,b同号,∴a＜0,b＜0,∵图象经过y轴正半轴,∴c＞0,∴M=a+b﹣c＜0当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c＜0,∴N=4a﹣2b+c＜0,∵﹣＞﹣1,∴＜1,∵a＜0,∴b＞2a,∴2a﹣b＜0,∴P=2a﹣b＜0,则M,N,P中,值小于0的数有M,N,P．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,根据图象判断出对称轴以及a,b,c的符号是解题关键．6．（•杭州模拟）关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,则下列结论：①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线y=2x2+ax+b﹣2的极点在第四象限．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】把方程的根x=2代入计算即可求出2a+b=﹣8,判定①正确；利用根与系数的关系求出a＜﹣8,b＞8,从而判定②正确；根据二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点,且极点坐标在第四象限,向上平移2个单元,与x轴纷歧定有交点,判定③毛病,向下平移2个单元,极点一定在第四象限,判定④正确．【解答】解：∵x=2是方程2x2+ax+b=0的根,∴2×4+2a+b=0,∴2a+b=﹣8＜0,故①正确；∵x=2是方程2x2+ax+b=0的两个根中较小的根,∴﹣＞2+2,＞2×2,∴a＜﹣8,b＞8,∴ab＜0,故②正确；∵方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,∴二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点,且对称轴在直线x=2的右边,∴二次函数y=2x2+ax+b极点坐标在第四象限,向上平移2个单元获得二次函数y=2x2+ax+b+2,与x轴纷歧定有交点,∴关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根毛病,故③毛病；向下平移2个单元获得二次函数y=2x2+ax+b﹣2,极点坐标一定在第四象限,故④正确；综上所述,正确的结论有①②④共3个．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,主要利用了一元二次方程的根的界说,根与系数的关系,二次函数图象与几何变换,③④两题考虑用二次函数的平移求解是解题的关键．7．（•无锡校级三模）已知抛物线y=﹣x2+1的极点为P,点A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结PA、PD,PD交AB于点E,△PAD与△PEA相似吗？（）A．始终不相似B．始终相似C．只有AB=AD时相似 D．无法确定【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】先求出点P的坐标,从而获得OP的长,再设点A的横坐标为m,暗示出AD,再暗示出OD、OF、PF、AF,然后根据△PEF和△PDO相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出EF,然后利用勾股定理暗示出PA2、PE、PD,从而获得=,再根据两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似解答．【解答】解：令x=0,则y=1,∴OP=1,设点A的横坐标为m,则AD=﹣m2+1,∵AB⊥y轴,AD⊥x轴,∴AF=OD=m,OF=﹣m2+1,PF=1﹣（﹣m2+1）=m2,在Rt△PAF中,PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2,在Rt△POD中,PD===,由AB∥x轴得,△PEF∽△PDO,∴=,即=,解得,PE=m2,∴PA2=PD•PE=m4+m2,∴=,∵∠APE=∠DPA,∴△PAD∽△PEA,即,△PAD与△PEA始终相似．故选B．【点评】本题是二次函数综合题,主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,相似三角形的判定与性质,勾股定理的应用,暗示出两个三角形的公共角的夹边成比例是解题的关键．8．（•杭州模拟）下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时,有三个公共点；②m=3时,只有两个公共点；③若只有两个公共点,则m=3；④若有三个公共点,则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】令y=0,可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0,得出判别式的表达式,然后根据m的取值进行判断,另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数,不要忘了考虑一次函数的情况．【解答】解：令y=0,可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0,△=（3m﹣1）2﹣8（m2﹣1）=（m﹣3）2,①当m≠3,m=±1时,函数是一次函数,与坐标轴有两个交点,故毛病；②当m=3时,△=0,与x轴有一个公共点,与y轴有一个公共点,总共两个,故正确；③若只有两个公共点,m=3或m=±1,故毛病；④若有三个公共点,则m≠3且m≠±1,故正确；综上可得只有②④正确,共2个．故选B．【点评】此题考查了抛物线与x轴交点的知识,同学们容易忽略m=±1时,函数是一次函数的情况,这是我们要注意的处所．9．（•黄石）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α,β,且α＜β,则α,β满足（）A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．【专题】压轴题；数形结合．【分析】先令m=0求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点,画出函数图象,利用数形结合即可求出α,β的取值范围．【解答】解：令m=0,则函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（1,0）,（2,0）,故此函数的图象为：∵m＞0,∴原极点沿抛物线对称轴向下移动,两个根沿对称轴向两边逐步增年夜,∴α＜1,β＞2．故选D．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点,画出函数图象,利用数形结合解答是解答此题的关键．10．（•盐城模拟）如图,分别过点Pi（i,0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线,交的图象于点Ai,交直线于点Bi．则的值为（）A．B．2 C．D．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据Ai的纵坐标与Bi纵坐标的绝对值之和为AiBi的长,分别暗示出所求式子的各项,拆项后抵消即可获得结果．【解答】解：根据题意得：AiBi=x2﹣（﹣x）=x（x+1）,∴==2（﹣）,∴++…+=2（1﹣+﹣+…+﹣）=．故选A【点评】此题考查了二次函数综合题,属于规律型试题,找出题中的规律是解本题的关键．11．（•西湖区校级模拟）已知二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1,y1）,B（2,y2）C（4,y3）,则y1、y2、y3的年夜小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；推理填空题．【分析】求出抛物线的对称轴,求出A关于对称轴的对称点的坐标,根据抛物线的开口方向和增减性,即可求出谜底．【解答】解：y=ax2﹣2ax+1（a＜0）,对称轴是直线x=﹣=1,即二次函数的开口向下,对称轴是直线x=1,即在对称轴的右侧y随x的增年夜而减小,A点关于直线x=1的对称点是D（3,y1）,∵2＜3＜4,∴y2＞y1＞y3,故选D．【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用,主要考查学生的观察能力和分析能力,本题比力典范,可是一道比力容易犯错的题目．12．（•乐山）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|,则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】根据图象特征,首先判断出M中的各代数式的符号,然后去绝对值．【解答】解：因为开口向下,故a＜0；当x=﹣2时,y＞0,则4a﹣2b+c＞0；当x=1时,y＜0,则a+b+c＜0；因为对称轴为x=＜0,又a＜0,则b＜0,故2a+b＜0；又因为对称轴x=﹣＞﹣1,则b＞2a∴2a﹣b＜0；∴M=4a﹣2b+c﹣a﹣b﹣c+2a+b+b﹣2a=3a﹣b,因为2a﹣b＜0,a＜0,∴3a﹣b＜0,即M＜0,故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号简直定．13．（•包头）已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最年夜值,且ac=4,则二次函数的极点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最年夜值,即抛物线的开口向下,因而a＜0．求抛物线的极点坐标利用公式法：y=ax2+bx+c的极点坐标为（,）,对称轴是x=；代入就可以求召盘点坐标,从而确定极点所在象限．【解答】解：极点横坐标x==,纵坐标y==；∵二次函数有最年夜值,即抛物线的开口向下,a＜0,∴,,即：横坐标x＞0,纵坐标y＜0,极点在第四象限．故选D．【点评】考查求抛物线的极点坐标、对称轴及最值的方法：14．（•蚌埠自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,Q （n,2）是图象上的一点,且AQ⊥BQ,则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．﹣2【考点】抛物线与x轴的交点；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】由勾股定理,及根与系数的关系可得．【解答】解：设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2．依题意有AQ2+BQ2=AB2．（x1﹣n）2+4+（x2﹣n）2+4=（x1﹣x2）2,化简得：n2﹣n（x1+x2）+4+x1x2=0．有n2+n+4+=0,∴an2+bn+c=﹣4a．∵（n,2）是图象上的一点,∴an2+bn+c=2,∴﹣4a=2,∴a=﹣．故选B．【点评】此题考查了二次函数的性质和图象,解题的关键是注意数形结合思想．15．（•秀洲区一模）已知点A（x1,y1）,B（x2,y2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）上,若x1＜x2,x1+x2=1﹣a,则（）A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1与y2年夜小不能确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】将点A（x1,y1）,B（x2,y2）分别代入y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）中得y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①；y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②；利用作差法求出y2﹣y1＞0,即可获得y1＞y2．【解答】解：将点A（x1,y1）,B（x2,y2）分别代入y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）中,得：y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①,y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②,②﹣①得：y2﹣y1=（x2﹣x1）[a（3﹣a）],因为x1＜x2,3﹣a＞0,则y2﹣y1＞0,即y1＜y2．故选B．【点评】本题难度较年夜,要充沛利用数据特点,进行计算．16．（•天河区一模）如图,二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A,B的坐标分别为（1,﹣3）,（6,1）,当y1＞y2时,x的取值范围是（）A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据函数图象,找出抛物线在直线上方的部份的自变量x 的取值范围即可．【解答】解：由图可知,当x＜1或x＞6时,抛物线在直线的上方,所以,当y1＞y2时,x的取值范围是x＜1或x＞6．故选B．【点评】本题考查了二次函数的图象,利用数形结合的思想解答即可,比力简单．17．已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函数值始终是正的,则a的取值范围（）A．a＞B．a＜0或a＞C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】依照a＞0和a＜0两种情况讨论：当a＞0时,图象开口向上,只要极点纵坐标为正即可；当a＜0时,抛物线对称轴为x=﹣1,根据对称性,只要x=5时,y＞0即可．【解答】解：当a＞0时,图象开口向上,极点纵坐标为=6a﹣3,当6a﹣3＞0,即a＞时,y＞0；当a＜0时,抛物线对称轴为x=﹣1,根据对称性,只要x=5时,y＞0即可,此时y=25a+10a+7a﹣3＞0,解得a＞,不符合题意,舍去．故选A．【点评】本题考查了二次函数开口方向,极点坐标,对称轴在实际问题中的运用,还考查了分类讨论的数学思想．18．（•荣县校级二模）已知直线经过点A（0,2）,B（2,0）,点C 在抛物线y=x2的图象上,则使得S△ABC=2的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】解：通过计算发现,当O与C重合时,S△ABC=2,据此推断出以AB为底边的三角形的高,从图上找到点C1、C2,再作CC3∥AB,使得C3与C到AB的距离相等,若求出C的坐标,则存在C3点,使得以AB为底的三角形面积为2．【解答】解：∵S△ABC=×2×2=2,可见,当O与C重合时,S△ABC=2,作CD⊥AB,∵AO=BO=2,可见,△ACB为等腰直角三角形,CD=2×cos45°=2×=．由图易得,到AB距离为的点有C、C1、C2,作CC3∥AB,则CC3的解析式为y=﹣x,将y=﹣x和y=x2组成方程组得,,解得,,,则C3坐标为（﹣1,1）,可见,有四个点,使得S△ABC=2．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质,知道平行线间的距离相等以及知道同底等高的三角形面积相等是解题的关键．19．（•下城区校级模拟）关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2,以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值,抛物线总经过点（1,0）；③若m＞6,抛物线交x轴于A、B两点,则AB＞1；④抛物线的极点在y=﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（）A．①②③④B．①②③ C．①②④ D．②③④【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由二次函数的解析式,找出二次项系数a,一次项系数b及常数项c,将a,b及c的值代入b2﹣4ac,利用完全平方公式化简后,根据完全平方式恒年夜于即是0,可得出b2﹣4ac年夜于即是0,进而确定出该抛物线与x轴有交点,故①正确；将x=1代入抛物线解析式,求出y=0,可得出此抛物线恒过（1,0）,故②正确；令抛物线解析式中y=0,获得关于x的一元二次方程,设方程的两个解分别为x1,x2,利用根与系数的关系暗示出x1+x2,x1x2,AB的长可以用|x1﹣x2|暗示,利用二次根式的化简根式=|a|变形后,再利用完全平方公式化简,将暗示出的x1+x2及x1x2代入,化简后根据m年夜于6,可得出AB的长年夜于1,故③正确；利用极点坐标公式暗示出抛物线的极点坐标,代入y=﹣2（x﹣1）2中经验,可得出抛物线的极点在y=﹣2（x﹣1）2图象上,故④正确,综上,获得正确的序号．【解答】解：二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2,∵a=2,b=﹣m,c=m﹣2,∴b2﹣4ac=（﹣m）2﹣8（m﹣2）=（m﹣4）2≥0,则抛物线与x轴有交点,故①正确；∵当x=1时,y=2﹣m+m﹣2=0,∴不论m取何值,抛物线总经过点（1,0）,故②正确；设A的坐标为（x1,0）,B（x2,0）,令y=0,获得2x2﹣mx+m﹣2=0,∴x1+x2=,x1x2=,∴AB=|x1﹣x2|===||,当m＞6时,可得m﹣4＞2,即＞1,∴AB＞1,故③正确；∵抛物线的极点坐标为（,）,∴将x=代入得：y=﹣2（﹣1）2=﹣2（﹣+1）=,∴抛物线的极点坐标在y=﹣2（x﹣1）2图象上,故④正确,综上,正确的序号有①②③④．故选A【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点,以及二次函数的性质,涉及的知识有：抛物线与x轴交点的判断方法,根与系数的关系,极点坐标公式,以及判断一个点是否在抛物线上,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．。

中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案

中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕1 .童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售, 经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,该款童装每件本钱30元,设降价后该款童装每件售价工元,每星期的销售量为〕'件.⑴降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装降价多少元？⑵当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少？【答案】〔1〕这一星期中每件童装降价20元；〔2〕每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【解析】【分析】〔1〕根据售量与售价x 〔元/件〕之间的关系列方程即可得到结论.〔2〕设每星期利润为W元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.【详解】解：〔1〕根据题意得,〔60-x〕 xl0+100=3xl00,解得：x=40,60 - 40 = 20 元,答：这一星期中每件童装降价20元：〔2〕设利润为w,根据题意得,w= 〔x- 30〕 [ 〔60-X〕xl0+100]= - 10x2+1000x - 21000=-10 〔x- 50〕 2+4000,答：每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【点睛】此题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题, 利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.2 .阅读：我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线〞.例如,点M 〔1, 3〕的特征线有：x=l, y=3,备用图问题与探究：如图,在平面直角坐标系中有正方形0A8C,点8在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线＞ =；*一〃?〕2+〃经过8、C两点,顶点.在正方形内部.〔1〕直接写出点.〔m, n〕所有的特征线：〔2〕假设点.有一条特征线是y=x+l,求此抛物线的解析式：〔3〕点P是48边上除点八外的任意一点,连接0P,将AOAP沿着0P折登,点4落在点々的位置,当点4在平行于坐标轴的.点的特征线上时,满足〔2〕中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在0P上？【答案】〔1〕 x=m, y=n, y=x+n - m, y= - x+m+n；〔2〕 y = - 〔x-2〕2 + 3 ；〔3〕抛物4线向下平移上二正或W距离,其顶点落在OP上. 3 12【解析】试题分析：〔1〕根据特征线直接求出点.的特征线：〔2〕由点.的一条特征线和正方形的性质求出点.的坐标,从而求出抛物线解析式；〔2〕分平行于x轴和y轴两种情况,由折卷的性质计算即可.试题解析：解：〔1〕・二点D 〔m,.〕,,••点.〔m, n〕的特征线是x=m, y=n, y=x+n - m,y= - x+m+n；〔2〕点.有一条特征线是y=x+l, .•.〃=m+l. •.•抛物线解析式为了 = !〔工一"?了+〃,.•.y = =〔x—〃?〕2+〃? + 1, ,四边形OA8C是正方形,且.点为正方4 4形的对称轴,.〔m, /?〕,「. 8 〔2m, 2m〕 ,y = —〔2m — m〕2 + n = 2m 9将c=m+l 带4入得到m=2, n=3；・・・.〔2, 3〕,・•・抛物线解析式为y = !〔x-2〕2+3.〔3〕①如图,当点A在平行于y轴的.点的特征线时：根据题意可得,D (2, 3),・ .0A=0A=4, 0M=2,N AOM=60°,「・N AOP=N AOP=30°,:MN笺空,抛物线需要向下平移的距离=3—李亨•②如图,当点4在平行于X轴的.点的特征线时,设A〔P,3 〕,那么OA=OA=4, OE=3,EA 二“2.32 =a,,AF=4-a,设P(4, c) (c>0),,在RS AFP 中,(4-V7)2+ (3-c) 2=c2, .•“」6T立,「.p (4, .16 —4" ) ,直线OP解析式为3 3y=匕Lx, ：.N (2, l") •.抛物线需要向下平移的距离=3-3 38-2>/7 _1 + 2>/7-3-- -3综上所述：抛物线向下平移) - 2琳或1 + 2"距离,其顶点落在0P上. 3 3点睛：此题是二次函数综合题,主要考查了折叠的性质,正方形的性质,解答此题的关键是用正方形的性质求出点.的坐标.3.在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为〃中国结〃.〔1〕求函数y=/x+2的图像上所有“中国结〞的坐标：〔2〕求函数y=±〔HO, k为常数〕的图像上有且只有两个“中国结〃,试求出常数k的值X与相应“中国结〞的坐标；〔3〕假设二次函数丫=〔公一3攵+2〕/+〔2攵2-4%+ 1〕%+公一% 〔k为常数〕的图像与x轴相交得到两个不同的"中国结",试问该函数的图像与x轴所围成的平而图形中〔含边界〕,一共包含有多少个“中国结〞？【答案】〔1〕〔0,2〕 : 〔2〕当k=l时,对应"中国结〞为〔1,1〕〔一1, -D ;当k=-l 时,对应"中国结"为〔1, 一1〕, 〔一1,1〕 ; 〔3〕 6个.【解析】试题分析：〔1〕由于X是整数,XHO时,JJx是一个无理数,所以XHO时,JJx+2不是整数,所以x=o, y=2,据此求出函数y=J^x+2的图象上所有“中国结〃的坐标即可.k〔2〕首先判断出当k=l时,函数/一〔k/0, k为常数〕的图象上有且只有两个〃中国xk结〃：〔1, 1〕、〔-1、-1〕：然后判断出当代1时,函数度一〔kHO, k为常数〕的图X象上最少有4个〃中国结〃,据此求出常数k的值与相应〃中国结〃的坐标即可.(3)首先令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k-1)]=0,求出X】、X2的值是多少；然后根据X】、X2的值是整数,求出k的值是多少：最后根据横坐标,纵坐标均为整数的点称之为"中国结",判断出该函数的图象与x轴所用成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结〞即可.试题解析：(l);x是整数,XHO时,、^x是一个无理数,xHO时,JJx+2不是整数,x=0> y=2,即函数y=Cx+2的图象上"中国结〞的坐标是(0, 2).(2)①当k=l时,函数度勺(k#0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：x (1, 1)、(-1、-1)：②当匕-1时,函数丫=&(HO, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：X(1, -1)、( -1, 1).③当修±1时,函数尸& (HO, k为常数)的图象上最少有4个〃中国结JX(I, k)、( - 1, - k)、(k, 1)、( - k, - 1),这与函数度土(kxo, k 为常数)的x图象上有且只有两个“中国结"矛盾,k综上可得,k=l时,函数y=— (k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, x 1)、( - 1、- 1)；k=-l时,函数y=七(k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, -1)、x (-1、1).(3)令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k- 1) ]=0, kx.= ---------.•・{ ik-\f x 2x) +1• k =——=-=——. x1 +1 x2 +1 整理,可得XlX2+2X2+l=0t/. xz (xi+2) = T,•••X】、X2都是整数,X)= 1 x, =—1｛- 或｛-玉+2 = _「^+2 = 1匹=T ②当｛X、= —1k ,,/ ------- = -1 ,l — kk=k-l,无解；练上,可得.3K=—, XF-3, x2=l t2y= (k2- 3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k3 3 3 3 3 3=[(-)2-3X-+21X2+[2X ( - ) 2-4x-+l]x+ (- ) 2--2 2 2 2 2 2①当x=-2时,1 13 1 1 3y= - - x2- — x+ — = " - x ( - 2) 2 - -x ( - 2) + —4 2 4 4 2 4_3~4②当X=-1时,=13③当x=0时,y=-,另外,该函数的图象与X轴所闱成的平面图形中x轴上的“中国结〞有3个: 〔-2, 0〕、〔 -1、0〕、〔0, 0〕.综上,可得假设二次函数y= 〔k2-3k+2〕 x2+ 〔2k2-4k+l〕 x+l?-k 〔k为常数〕的图象与x轴相交得到两个不同的"中国结〞,该函数的图象与x轴所围成的平面图形中〔含边界〕,一共包含有6个“中国结〞：〔-3, 0〕、〔-2, 0〕、〔 - 1, 0〕〔-1, 1〕、〔0, 0〕、〔1, 0〕.考点：反比例函数综合题4.如图,抛物线〕,= 公+ C的顶点为A〔4,3〕,与轴相交于点3〔0,—5〕,对称轴为直线/,点"是线段A8的中点.〔1〕求抛物线的表达式：〔2〕写出点M的坐标并求直线A3的表达式；〔3〕设动点尸,.分别在抛物线和对称轴I上,当以A,P,Q,例为顶点的四边形是平行四边形时,求.,.两点的坐标.【答案】〔1〕y = --x2+4x-5t〔2〕 A/〔2,-1〕, y = 2x-5：〔3〕点夕、.的坐 2标分别为〔6,1〕或〔2,1〕、〔4,—3〕或〔4』〕.【解析】【分析】〔1〕函数表达式为：〕,= a〔x = 4『+3,将点3坐标代入上式,即可求解：〔2〕 A〔4,3〕、B〔0-5〕,那么点加〔2,-1〕,设直线A8的表达式为：y = ^-5,将点4坐标代入上式,即可求解；〔3〕分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可. 【详解】解：〔1〕函数表达式为：y = a〔x = 4〕2+3,将点4坐标代入上式并解得：.=2故抛物线的表达式为：y = -l x2+4x-5:乙(2) 4(4,3)、B(0,-5),那么点M(2,-1),设直线A8的表达式为：y = /oc-5,将点A坐标代入上式得：3 =必一5,解得：k = 2,故直线A8的表达式为：y = 2x-5：( i \(3)设点.(4,s)、点P m,——nr +4/H —5 ,①当AM是平行四边形的一条边时,点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,同样点P；"?,-：〃,+4机一5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到0(4,s),即：团一2 = 4, —nr +4m-5-4 = s , 2解得：m = 6 ♦ s = —3,故点P、.的坐标分别为(6,1)、(4,-3)：②当AM是平行四边形的对角线时,由中点定理得：4+2 = 〃z+4, 3-1 = --//r +4w-5 + 5,2解得：〞1 = 2, 5 = 1 >故点尸、.的坐标分别为(2/)、(4,1)；故点尸、.的坐标分别为(6,1), (4,一3)或(2,1)、(分-3), (2,1)或(4,1).【点睛】此题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中(3),要主要分类求解,防止遗漏.5.如图,某足球运发动站在点0处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出 (点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y= at2 + 5t+c,足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.⑴足球飞行的时间是多少时,足球离地而最高？最大高度是多少？⑵假设足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x = 10t,己知球门的高度为2.44m,如果该运发动正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门？8【答案】(1)足球飞行的时间是一s时,足球离地而最高,最大高度是4.5m： (2)能.5【解析】(2)把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8,251・•・当 t=2.8 时,y=-a2・8?+5乂2・8令2・25 V2/4, •L . 乙^ 他能将球直接射入球门. 考点：二次函数的应用.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax?+2x+c 与x 轴交于A ( - 1, 0) B (3, 0)两 点,与y 轴交于点C,点D 是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；(2)请在y 轴上找一点M,使△BDM 的周长最小,求出点M 的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A, P, C 为顶点,AC 为直角边的三角形 是直角三角形？假设存在,请求出符合条件的点P 的坐标：假设不存在,请说明理由.试题分析：(1)由题意得：函数y=atz+5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 35),于是得0. 5二.到 n,求得抛物线的解析式为:3. 5=0.8 4+5X0. 8+c 、 y=-衰2+514,当t=|时,y 破大=4.5；1(2)把x=28代入x=10t 得t=2.8,当t=2.8时,y=- 竿2.82+5、2.8哈2・25V2.44,于是得 16 2到他能将球直接射入球门.解：(1)由题意得：函数y=a&5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 3.5),"0. 5二c• «, 、3. 5=0. 8 &2+5 X 0. g+c '3=解得：_ 251612・•・抛物线的解析式为：y=・•,y【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3；直线AC 的解析式为丫=3x+3； (2)点M 的 坐标为(0, 3)：7 20 1013〔3〕符合条件的点P 的坐标为〔或,2〕或〔“,-"〕, 3 93 9【解析】分析：〔1〕设交点式y=a 〔x+1〕 〔x-3〕,展开得到-2a=2,然后求出a 即可得到抛物线解 析式：再确定C 〔0, 3 〕,然后利用待定系数法求直线AC 的解析式：〔2〕利用二次函数的性质确定D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点W,连接DB 咬y 轴于M,如图1,那么B ,〔-3, 0〕,利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD 的值最小,那么此时△ BDM 的周长最小,然后求出直线DB ,的解析式即可得到点M 的坐标：〔3〕过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y=-lx +b,把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为再解方程组, 1得此时P 点坐标；当过点A 作AC 的垂线交抛物y=--x + 3 I 3线于另一点P 时,利用同样的方法可求出此时P 点坐标. 详解：〔1〕设抛物线解析式为y=a 〔x+1〕〔x-3〕, KP y=ax 2 - 2ax - 3a,,2a=2,解得 a=- 1,・•・抛物线解析式为y= - X 2+2X +3： 当 x=0 时,y= - x 2+2x+3=3,那么 C (0, 3), 设直线AC 的解析式为y=px+q.q = 0把 A ( - 1, 0) , C (0, 3)代入得〈q = 3直线AC 的解析式为y=3x+3；〔2〕 •/ y= - X 2+2X +3= - 〔x- 1〕 2+4, •1•顶点D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点B",连接DB ,交y 轴于M,如图1,那么夕〔-3, 0〕,MB=MB',/. MB+MD=MB /+MD=DB /,此时 MB+MD 的值最小, 而BD 的值不变,・•,此时△ BDM 的周长最小,y=-x 2 +2x + 31 y=- -x+3, 3易得直线DB ,的解析式为y=x+3, 当 x=0 时,y=x+3=3> ・ ・•点M 的坐标为〔0, 3〕；〔3〕存在.过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,把C 〔0, 3 〕代入得b=3,・ ,・直线PC 的解析式为y=- -x+3,过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,直线PC 的解析式可设为y=-点+b, 把A ( -1, 0)代入得1+b=0,解得b=- L 3 3・ •・直线PC 的解析式为y=- ：x- 1点睛：此题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数 的性质；会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解 方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短 路径问题：会运用分类讨论的思想解决数学问题.直线PC 的解析式可设为y=- —x+b,3解方程组?y=-x 2+2x + 31 ,解得?y=——x + 33x = 0)=3或,7x =一3 7 20 ,那么此时P 点坐标为〔一,—〕：2.39y =解方程组?y=-x 2+2x + 31 1 y=——x ——33x = -ly = 010x =—3 13那么此时P 点坐标为〔—, 3综上所述,符合条件的点p 的坐标为〔N, 310 T-?>•直线AC 的解析式为y=3x+3.7.如图,直线A8与抛物线C ：),=⑪2+21+.相交于人(—1,0)和点8(2,3)两点.⑴求抛物线.的函数表达式；⑵假设点M 是位于直线A3上方抛物线上的一动点,以M4、/W8为相邻两边作平行四边形 M4N8,当平行四边形M4N8的而积最大时,求此时四边形M4N8的而积S 及点M 的 坐标： ⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点尸,使抛物线.上任意一点夕到点尸的距离等于到 直线y ="的距离,假设存在,求出定点厂的坐标：假设不存在,请说明理由.41 27 【答案】〔1〕 y =—厂 + 2x + 3 ：〔2〕当 〃 =—,S ZMANB = 2S △ ABM =—,此时2 415 \ :⑶存在.当/A — 时,无论％取任何实数,均有= 理由见解析. \ 4 )【解析】【分析】 (1)利用待定系数法,将A, B 的坐标代入y=ax2+2x+c 即可求得二次函数的解析式； (2)过点M 作MH_Lx 轴于H,交直线AB 于K,求出直线AB 的解析式,设点M (a,- a?+2a+3),那么K (a, a+1),利用函数思想求出MK 的最大值,再求出△ AMB 面积的最大 值,可推出此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标：17(3)如图2,分别过点B, C 作直线y=—的垂线,垂足为N. H,设抛物线对称轴上存在 4点F,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y=—的距离,其中F (1, a), 4 连接BF, CF,那么可根据BF=BN, CF=CN 两组等量关系列出关于a 的方程组,解方程组即 可.【详解】(1)由题意把点(-1, 0)、(2, 3)代入 y=ax2+2x+c, .- 2 + c = 0得, ,4a + 4 + c = 3 解得 a=-l, c=3,,此抛物线c 函数表达式为：y=*2+2x+3：〔2〕如图1,过点M 作MHLx 轴于H,交直线AB 于K,MH4 〕>>将点〔・1, 0〕、〔2, 3〕代入y=kx+b中, 一k+b=0得,2y 解得,k=l, b=l,/.Y AB=X+1,设点M (a, -a2+2a+3),那么K (a, a+1), 贝lj MK=-a2+2a+3- (a+1)=-(a- - ) 2+—, 2 41 9根据二次函数的性质可知,当合二彳时,MK有最大长度丁, 2 4S A AMB以大=S A AMK+S A BMK=—MK*AH+ —MK> (x B-x H)2 2=—MK e (XB-XA)21 9=x — x32 4_27-—,8以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,27 27 1 15s 餐大=2S A AMB 4U=2X —=—,M (-, —).(3)存在点F,•/ y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4,「・对称轴为直线x=l.当y=0 时,xi=-l, X2=3,,抛物线与点x轴正半轴交于点C (3, 0),17如图2,分别过点B, C作直线y:一的垂线,垂足为N, H, 4抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=—的距4离,设 F (1, a ),连接BF, CF,IT1 17 5 17那么BF=BN二一-3二一,CF=CH=—, 4 4 4(5、(2-1)2+3—3)2 =由题意可列:(3 — 1)2+/=阴【点睛】此题考查了待定系数法求解析式,还考查了用函数思想求极值等,解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时,aABM的面积最大,且此时线段MK的长度也最大.8.如图,己知二次函数%=a' + "过(-2, 4) , ( - 4. 4)两点.〔1〕求二次函数力的解析式：〔2〕将为沿x轴翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线及,直线y=m 〔m>0〕交及于M、N 两点,求线段MN的长度〔用含m的代数式表示〕：〔3〕在〔2〕的条件下,力、及交于A、B两点,如果直线y=m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于C、D两点〔C在左侧〕,直线y=-m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于E、F两点〔E在左侧〕,求证：四边形CEFD是平行四边形.1yi =_/2_3%【答案】〔1〕2【解析】〔2〕 5 +范〔3〕证实见解析.试题分析：〔1〕根据待定系数法即可解决问题.〔2〕先求出抛物线yz的顶点坐标,再求出其解析式,利用方程组以及根与系数关系即可求出MN.〔3〕用类似〔2〕的方法,分别求出CD、EF即可解决问题.试题解析：⑴・•・二次函数月=°/ + "过〔-2, 4〕 , 〔-4, 4〕两点,4a - 2b = 416a -4b = 4解得:1a=~2=_1 2_ -「.二次函数力的解析式为一寸3X2-3% -# + 3)2 +9,二顶点坐标〔-3, >〕 , ,「将力沿x釉翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线〞,9.・・抛物线y2的顶点坐标〔-1, -、〕,•,・抛物线均为1 9y=#+i)2_] 消去y整理得到/ + 2x_8_2m = 0,设打,也是它的两个根,那么"21A〔q+ x2〕-似/2=、阳而千J5：〔3〕由y = my =一/2-3欠,消去y整理得到x +6%+2m = 0,设两个根为打,0那么y =-m1 9______ y =—〔x --CD」"I一亚15〔修+ OF - 4町2«36 -所,由2 2,消去丫得到x2 + 2x-8 + 2m = 0,设两个根为勺,％2,那么EF」X1 - "zlK,dl + 工2〕2 - 4XI%2=«36 - 8m, ... EF=CD, EFII CD,四边形CEFD 是平行四考点：二次函数综合题.9 .抛物避= a/ + M + c,假设a, b, c满足b=a+c,那么称抛物线,=.壮+必+ c为“恒定〞抛物线. 〔1〕求证："恒定"抛物线'=°/ +丘+,必过*轴上的一个定点人；〔2〕"恒定〃抛物线y = -于的顶点为P,与X轴另一个交点为B,是否存在以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形？假设存在,求出抛物线解析式：假设不存在,请说明理由.【答案】〔1〕证实见试题解析：〔2〕 y = \/^2 + 4v-^x + 3-V3 那么=- v取2 + y3.【解析】试题分析：〔1〕由"恒定〞抛物线的定义,即可得出抛物线恒过定点〔-1, 0〕:〔2〕求出抛物线F = W"一小的顶点坐标和B的坐标,由题意得出PAII CQ, PA=CQ：存在两种情况：①作QMXAC于M,那么QM=0P=\3,证实RtA QM〔^ RtA POA. MC=OA=1,得出点Q的坐标,设抛物线的解析式为,=矶" + 2〕2-\/3,把点A坐标代入求出a的值即可：②顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合：证实△0QS4 0PA,得出OQ=OP=\B,得出点Q坐标,设抛物线的解析式为' =以2+«3,把点C坐标代入求出a的值即可.试题解析：〔1〕由“恒定〃抛物线,二仙2 +%+ 4得：b=a+c,即a-b+c=0,二•抛物线y = ax2 + bx + c t当x=-l时,y=0, 恒定〞抛物线,=必+八+〔；必过乂轴上的一个定点 A 〔 - 1, 0〕：〔2〕存在：理由如下：：“恒定"抛物线卜"*丫一道,当尸0时,\8/-、6=0,解得：x=±l, V A ( - 1, 0) , /. B (1, 0):.・x=O 时,y=一\'3,顶点P 的坐标为(0, 一\3),以PA, CQ为边的平行四边形,PA、CQ是对边,「.PAII CQ, PA=CQ, .,.存在两种情况：①如图1所示：作QM_LAC 于M,那么QM=0P=y3, Z QMC=90°=Z POA,在RtA QMC 和RtA POA 中,: CQ=PA, QM=OP,J RtA QMC合RtA POA (HL) , /. MC=OA=1, OM=2, 丁点 A 和点C 是抛物线上的对称点,AM=MC=1, .,.点Q的坐标为(-2, 一\3),设以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a(% + 2)2-«3,把点A(-l, 0)代入得：aS% .•.抛物线的解析式为：丫 = \乃(% + 2)273,即,=\访2 + 4、%+3日②如图2所示：顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合,.•.点C坐标为(1, 0),CQII PA, /. Z OQC=Z OPA,在^ OQC 和4 OPA 中,: Z OQC=Z OPA, Z COQ=Z AOP,CQ=PA,OQC2△ OPA (AAS) ,「・0Q=0P=、3,「•点Q 坐标为(0, \§),设以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a%2 + g3,把点C(l, 0)代入得：a=-W, .•.抛物线的解析式为：?=一臼2 + 口；综上所述：存在以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形,抛物线的解析式为：«3/ + 4\,做+3\3,或y =-%即 + 0考点：1.二次函数综合题：2.压轴题：3.新定义：4.存在型：5.分类讨论.3 910 .二次函数y=—-x2+bx+c的图象经过A (0, 3) , B ( - 4,--)两点.(1)求b, c的值.3(2)二次函数y= -「xZ+bx+c的图象与x轴是否有公共点,求公共点的坐标：假设没有,请16说明情况.【答案】⑴j 8 : 〔2〕公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕. c = 3【解析】【分析】〔1〕把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；〔2〕利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点,由题意得到方程-3 o—X2+-X+3=0,通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标.16 89 3【详解】(1)把 A (0, 3) , B ( - 4,--)分别代入y=- - x2+bx+c,2 16c = 3得4 39------ x l6-4〃 + c =——16 26 = ?解得彳8 ；[c = 33 9〔2〕由〔1〕可得,该抛物线解析式为：y=- -x2+-x+3, 1 o 83 225-4x ( - -- ) x3= >0»16 6483所以二次函数y=- - x2+bx+c的图象与x轴有公共点, 163 9.「- -x2+-x+3=0 的解为：x产・2, X2=8,16 8公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕.【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征.注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系.。

专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题二二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 二次函数与线段最值问题1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的顶点记为A. 若点P是x 轴上一动点, 则的最小值是( )A. 8B.C. 9D.2.如图, 抛物线与x轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作轴, 垂足为C,PC交AB于点D, 求的最大值, 并求出此时点P的坐标;(3)将抛物线向左平移n个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n的值.3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y 轴于点C,.（1）求抛物线的解析式;（2）在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;（3）点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?题型2 二次函数与图形面积问题4.如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、.(1)求抛物线的函数表达式；(2)矩形的顶点P，Q在x轴上(P，Q不与A，B重合)，另两个顶点M，N在抛物线上(如图).①当点P在什么位置时，矩形周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；②判断命题“当矩形周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线经过,两点. P是抛物线上一点, 且在直线AB的上方.(1)请直接写出抛物线的解析式.(2)若面积是面积的 2 倍, 求点P的坐标.(3)如图, OP交AB于点C,交AB于点D. 记,,的面积分别为,,. 判断是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且，.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点，连结PB、PC.①如图1，过点P作轴交BC于点D，交x轴于点E，连结OD.设的面积为，的面积为，若，求S的最大值；②如图2，已知，Q为平面内一点，若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形，求点Q的坐标.题型3 二次函数与图形判定问题7.如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).8.如图, 已知点, 以点D为顶点的抛物线经过点A, 且与直线交于点B,.(1)求抛物线的表达式和点D的坐标.(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q为顶点的四边形是菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.9.如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；(3)点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：D解析：，平移后抛物线的解析式为,点A的坐标为.如图, 作点A关于 x轴对称的点连接交x轴于点P则此时有最小值，最小值为的长，易知，，的最小值是.2.答案： (1)(2)(3)解析： (1)对于,令, 则, 解得，,.令, 则,.设直线AB的解析式为,则解得直线AB的解析式为.抛物线顶点坐标为.(2)如图, 过点D作轴于点E, 则.，,.设点P的坐标为,则点D的坐标为，.，又，当时, 的值最大, 最大值为,此时,此时点P 的坐标为.(3)设抛物线的解析式为. 令,整理, 得,3.答案：（1）（2）（3）解析:（1）当时,,解得,,,.,,,抛物线的解析式为;（2）如图,作于E,,,设,则,,,解得,,,;（3）如图,作轴,交BC于F,则,,,,,由,可知,直线BC的解析式为,设,则,,,时,PF的最大值为,的最大值为.4.答案：(1)(2)①Р在时，矩形的周长最大，最大值为10；②命题是假命题解析：(1)解：将、代入中得，解得，抛物线的函数表达式为，(2)解：抛物线的对称轴为，设点，则，①P，Q关于对称，，则，矩形的周长为，当时，l的值最大，最大值为10，即Р在时，矩形的周长最大，最大值为10.②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3，宽为2，面积为6，当为正方形时，，解得，点Р的坐标为，点Q的坐标为，，正方形的面积；故命题是假命题.5.答案： (1)(2) 或(3) 存在，解析：(1)将，分别代入, 得解得所以抛物线的解析式为.(2)设直线AB的解析式为,将，分别代入, 得解得所以直线AB的解析式为.如图 (1), 过点P 作轴, 垂足为M,PM交AB于点N, 过点B 作, 垂足为E,所以因为，,所以.因为的面积是面积的 2 倍,所以, 所以.设,则,所以, 即,解得，,所以点P的坐标为或.(3) 存在.因为, 所以，, 所以,所以.因为，,所以.设直线AB交y轴于点F, 则.如图 (2), 过点P作轴, 垂足为H,PH交 AB于点G.因为, 所以.因为, 所以,所以,所以.设.由 (2) 可得,所以.又,所以当时, 的值最大, 最大值为.6.答案：(1)(2)见解析①6②或解析：(1)由题意，得，，此抛物线的解析式为：.(2)①由可得：设直线BC的解析式为：，则，，直线BC的解析式为：，设，则，，，当时，S的最大值为6.②在OB上截取，则，，又，，，，，运用待定系数法法可求：直线CF的解析式为：，直线BP的解析式为：，，解得或4，，，轴，ACPQ是以CP为边构成平行四边形，，点Q在x轴上，或.7.答案：(1)二次函数解析式为；点M的坐标为(2)(3)，，，解析：(1)把点，点代入二次函数得，，解得，二次函数解析式为，配方得，点M的坐标为；(2)设直线AC解析式为，把点，代入得，，解得，直线AC的解析式为，如图所示，对称轴直线与两边分别交于点E、点F.把代入直线AC解析式解得，则点E坐标为，点F坐标为，，解得；(3)连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为，，，，把代入解得，则点N坐标为，，，，，由此可知，若点P在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有，则有，，，，，，若点P在y轴右侧，作轴，，，，把代入，解得，；同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得，；②若有，则有，，，若点P在y轴右侧，把代入，解得；若点P在y轴左侧，把代入，解得；；.所有符合题意得点P坐标有4个，分别为，，，.8.答案： (1)(2)(3)存在, 点P的坐标为，, ，或解析： (1) 将代入, 得,将，分别代入, 得解得故抛物线的表达式为.抛物线的顶点D的坐标为.(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于对称轴对称.作直线AB, 交直线于点M, 则点M即为所求.令,解得,,故.设直线AB 的表达式为,将，分别代入, 得解得故直线AB 的表达式为,当时, , 故.(3)设,易得，①当时,该四边形是以BC为对角线的菱形, 则, 即, 解得,点P 的坐标为.②当时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即,解得, 故点P的坐标为或.③当时,该四边形是以PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,故点P 的坐标为或.综上可知, 点P的坐标为，,，或9.答案：(1)(2)当时，四边形CQMD是平行四边形(3)点Q的坐标为或解析：(1)设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得抛物线的解析式为，即.(2)点D与点C关于x轴对称，点，，设直线BD的表达式为，把，代入得，，解得，直线BD的关系表达式为，设，，，，当时，四边形CQMD为平行四边形，，解得，(不合舍去)，故当时，四边形CQMD是平行四边形；(3)在中，，，，当以点B、M为顶点的三角形与相似时，分三种情况：①若时，，如图1所示，当时，，即，，，，，，解得，，(不合舍去)，，，，，点Q的坐标为；②若时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，，③由于点M在直线BD上，因此，这种情况不存在，综上所述，点Q的坐标为或.。

二次函数中常见的几种综合题型

二次函数中常见的几种综合题型

二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。

1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。

2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。

1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。

①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。

二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。

1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。

二次函数综合试题及答案

二次函数综合试题及答案

二次函数综合试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = 3x^2 + 5C. y = 2x + 1D. y = -x^2 + 3答案：C2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为：A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2 / 4a)D. (b, -c)答案：C二、填空题1. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(-1, -4)，则a的值为______。

答案：a > 02. 二次函数y = x^2 - 2x + 3的最小值为______。

答案：2三、解答题1. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求该函数与x轴的交点。

解：令y = 0，得到方程2x^2 - 4x + 3 = 0。

使用求根公式，得到x1 = (2 + √10) / 2，x2 = (2 - √10) / 2。

因此，与x轴的交点坐标为((2 + √10) / 2, 0)和((2 - √10) / 2, 0)。

2. 某抛物线经过点(1, 1)和(2, 4)，且对称轴为直线x = 2。

求该抛物线的解析式。

解：设抛物线解析式为y = a(x - 2)^2 + k。

将点(1, 1)代入，得到a(1 - 2)^2 + k = 1，即a + k = 1。

将点(2, 4)代入，得到a(2 - 2)^2 + k = 4，即k = 4。

解得a = -3，k = 4。

因此，抛物线的解析式为y = -3(x - 2)^2 + 4。

四、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 100x + 5000，其中x为生产数量。

求该工厂生产多少件产品时，成本最低。

解：成本函数C(x) = 0.5x^2 - 100x + 5000是一个开口向上的二次函数，其顶点即为成本最低点。

二次函数(十二大题型综合归纳 )(学生版)--新九年级数学

二次函数(十二大题型综合归纳 )(学生版)--新九年级数学

二次函数(十二大题型综合归纳)题型1：二次函数的概念1以下函数式二次函数的是()A.y=ax2+bx+cB.y=2x-12-4x2C.y=ax2+bx+c a≠0D.y=x-1x-22二次函数y=2x x−3的二次项系数与一次项系数的和为()A.2B.-2C.-1D.-4题型2：二次函数的值3已知二次函数y=x2+2x-5，当x=3时，y=．4已知二次函数y=ax2+2c，当x=2时，函数值等于8，则下列关于a,c的关系式中，正确的是()A.a+2c=8B.2a+c=4C.a-2c=8D.2a-c=45二次函数y=ax2+bx-3a≠0的图象经过点2,-2，则代数式2a+b的值为．题型3：二次函数的条件6已知y=mx m-2+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为()A.0B.1C.4D.0或47关于x的函数y=a-bx2+1是二次函数的条件是()A.a≠bB.a=bC.b=0D.a=0题型4：列二次函数关系式8已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为．题型5：特殊二次函数的图像和性质9关于二次函数y =-34x 2-1的图像，下列说法错误的是()A.抛物线开口向下B.对称轴为直线x =0C.顶点坐标为0,-1D.当x <0时，y 随x 的增大而减小，当x >0时，y 随x 的增大而增大10抛物线y =34x 2与抛物线y =-34x 2+3的相同点是()A.顶点相同B.对称轴不相同C.开口方向一样D.顶点都在y 轴上11如果二次函数y =ax 2+m 的值恒大于0，那么必有()A.a >0，m 取任意实数B.a >0，m >0C.a <0，m >0D.a ，m 均可取任意实数12对于二次函数y =-3(x -2)2的图象，下列说法正确的是()A.开口向上B.对称轴是直线x =-2C.当x >-2时，y 随x 的增大而减小D.顶点坐标为2,013二次函数：①y =-13x 2+1；②y =12(x +1)2-2；③y =-12(x +1)2+2；④y =12x 2；⑤y =-12(x -1)2；⑥y =12(x -1)2．(1)以上二次函数的图象的对称轴为直线x =-1的是(只填序号)；(2)以上二次函数有最大值的是(只填序号)﹔(3)以上二次函数的图象中关于x 轴对称的是(只填序号)．14设函数y 1=x -a 12，y 2=x -a 22，y 3=x -a 3 2．直线x =b 的图象与函数y 1，y 2，y 3的图象分别交于点A b ,c 1，B b ,c 2 ，C b ,c 3，()A.若b <a 1<a 2<a 3，则c 2<c 3<c1B.若a 1<b <a 2<a 3，则c 1<c 2<c 3C.若a 1<a 2<b <a 3，则c 3<c 2<c 1 D.若a 1<a 2<a 3<b ，则c 3<c 2<c 115已知二次函数y =(x -m )2，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是．16已知关于x 的一元二次方程x 2-(2m +1)x +m 2-1=0有实数根a ，b ，则代数式a 2-ab +b 2的最小值为．题型6：与特殊二次函数有关的几何知识17在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a x-42+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB⎳x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．18在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P(3，1)、Q(9，1)，若抛物线y=(x-a)2与线段PQ有交点，则a的取值范围是．19二次函数y=-x+3的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围2+h t≤x≤t+2为．题型7：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质20下列抛物线中，与抛物线y=x2-2x+8具有相同对称轴的是()A.y=4x2+2x+4B.y=x2-4xC.y=2x2-x+4D.y=-2x2+4x21若抛物线y=x2+ax+1的顶点在y轴上，则a的值为()A.2B.1C.0D.-222抛物线y=x-1x+5图象的开口方向是(填“向上”或“向下”)．23当二次函数y=ax2+bx+c有最大值时，a可能是()A.1B.2C.-2D.324已知抛物线y=x2-2bx+b2-2b+1(b为常数)的顶点不在抛物线y=x2+c(c为常数)上，则c应满足()A.c≤2B.c<2C.c≥2D.c>225已知二次函数y=x2-2mx+m的图象经过A1,y1，B5,y2两个点，下列选项正确的是()A.若m<1，则y1>y2B.若1<m<3，则y1<y2C.若1<m<5，则y1>y2D.若m>5，则y1<y2题型8：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题26已知直线y=2x+t与抛物线y=ax2+bx+c a≠0，且点B、B m,n有两个不同的交点A3,5是抛物线的顶点，当-2≤a≤2时，m的取值范围是．27已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1，-2)，(-2，13)．(1)求抛物线解析式及对称轴．(2)关于该函数在0≤x<m的取值范围内，有最小值-3，有最大值1，求m的取值范围．28已知二次函数y=mx2-4m2x-3(m为常数，m>0)．(1)若点(-2，9)在该二次函数的图象上．①求m的值：②当0≤x≤a时，该二次函数值y取得的最大值为18，求a的值；(2)若点P(x，y)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤-3，求m的取值范围．题型9：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关信息29函数y=ax2+bx+c a≠0与y=kx的图象如图所示，现有以下结论：①c=3；②k=3；③3b+c+6=0；④当1<x<3时，x2+b-1x+c<0．其中正确的为．(填写序号即可)30如图，已知二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图象与x轴交于点A-1,0，与y轴的交点在0,-2和0,-1之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1，下列结论：①4a+2b+c>0；②4ac-b2<8a；③13<a<23；④b>c；⑤直线y=k i(k i>0，i=1，2，3，⋯，2023)与抛物线所有交点的横坐标之和为4046；其中正确结论的个数有()A.2个B.3个C.4个D.5个题型10：二次函数的应用31如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m ，两侧距地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞内部顶端离地面的距离为()A.7.5B.8C.649D.64732某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间x 与高度y 的关系为y =ax 2+bx ．若此炮弹在第5秒与第16秒时的高度相等，则在下列哪一个时间段炮弹的高度达到最高．()A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒33在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y (单位：米)与飞行的水平距离x (单位：米)之间具有函数关系y =-116x 2+58x +32，则小康这次实心球训练的成绩为()A.14米B.12米C.11米D.10米34某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m )．有下列结论：①AB =30m ；②池底所在抛物线的解析式为y =145x 2-5；③池塘最深处到水面CD 的距离为3.2m ；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为1.2m ．其中结论错误的是()A.①B.②C.③D.④35某建筑工程队借助一段废弃的墙体CD，CD长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，现有如下两份图纸(图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上)，设AB =x米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为y1平方米，y2平方米．(1)分别写出y1,y2与x的函数关系式；(2)小红说：“y1的最大值为384．y2的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．题型11：二次函数的解答证明题36已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．37如图，已知二次函数y=-12x2+bx+c的图象与x轴交于A1，0，B，与y轴交于点C0，-52．CD∥x轴交抛物线于点D．(1)求b，c的值．(2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交AB，CD于点F，G，且GE= 2GD，求点E的坐标．38在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)．(1)已知a=1．①若函数的图象经过0，3和-1，0两点，求函数的表达式；②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求b+c的最小值．(2)若函数图象经过-2，m，-3，n和x0,c，且c<n<m，求x0的取值范围．题型12：二次函数压轴题39在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-4x+c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为-5,0．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求三角形ACP面积的最大值；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。

综合问题题目

综合问题题目

ABC二次函数专题练习1. 抛物线y=ax 2 + bx + c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。

（1）求抛物线y= ax 2+ bx + c 的解析式； （2）求△AOC 和△BOC 的面积比；（3）在对称轴上是否存在一个P 点,使△PAC 的周长最小。

若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请你说明理由。

2. 抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.3．在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）， 已知A 点坐标为（0，3）． （1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ， C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.4．已知抛物线y ＝－12x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数x解析式，并探究S 的最大值．5．已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四形？若存在，请求出此时说明理由.6．一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象经过A （0，－2），B （1，0）两点，与反比例函数xk y 2错误！未找到引用源。

中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)

中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)

中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。

常考二次函数综合题整理(全)

常考二次函数综合题整理(全)

常考二次函数综合题整理 题型一最短路径问题1、如图，抛物线y=﹣12x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【变式】如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；题型二最大面积（线段最长）问题2、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？并求出这个最大值．3、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH△x轴于点H，与BC交于点M，连接PC，求线段PM的最大值.【变式】如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，过点P作PE△y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；题型三 存在点构成等腰三角形问题4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.5、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．【变式】已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,2C -，点A 的坐标是()2,0，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线1x =-.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且14PE OD =，求PBE ∆的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的下方，是否存在点M ，使BDM ∆是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型四 存在点构成直角三角形问题6、如图，抛物线2y ax bx 4=+-经过()A 3,0-，()B 5,4-两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．()1求抛物线的表达式；()2求证：AB 平分CAO ∠；()3抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM V 是以AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．●题型四存在点构成等腰直角三角形问题7、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE△x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．●题型四存在点构成平行四边形问题8、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．()B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.0,5（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．9、如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与直线AB：y=12x+12相交于点A（1，0）和B（t，52），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．10、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．11、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使△BQC=△BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．12、如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于△ACB 的2倍时，请直接写出点M的坐标【变式】如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE△BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型七 存在点使三角形相似问题13、如图，以D 为顶点的抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【变式】抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求△ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE△AC，当△DCE 与△AOC相似时，求点D的坐标．【变式】如图，抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ△PA交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型七二次函数与圆结合问题15、如图，△E的圆心E（3，0），半径为5，△E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与△E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．16、如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．（1）求抛物线m的解析式；（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP△x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.。

部编数学九年级上册专题22.4二次函数的综合(压轴题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案

部编数学九年级上册专题22.4二次函数的综合(压轴题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案

专题22.4 二次函数的综合【典例1】如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（1）求出A点坐标后，将点A、C代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；（2）连接OC，交对称x＝1于点Q，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，再求解即可；（3）分三种情况讨论：①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME；②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM；③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM；再利用中点坐标公式和两点间距离公式求解即可．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，C（4，﹣5），∴AD＝AB＝5，B（4，0），∴OA＝1，∴A（﹣1，0），将点A，C代入y＝﹣x2+bx+c，∴−16+4b+c=−5−1−b+c=0，解得b=2 c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）连接OC，交对称轴x＝1于点Q，∵PQ⊥y轴，∴AO∥PQ，∵AO＝PQ＝1，∴四边形AOQP是平行四边形，∴AP＝OQ，∴EQ+PQ+AP＝EQ+1+OQ若使EQ+PQ+AP值为最小，则EQ+OQ的值为最小，∵E，C关于对称轴x＝1对称，∴EQ＝CQ，∴EQ+OQ＝CQ+OQ，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，∵C（4，﹣5），∴OC∴EQ+PQ+AP，即EQ+PQ+AP+1；（3）存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形，理由如下：①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME，∴−1−2=1+x−5=m+y4+m2=9+(m+5)2，解得x=−4y=−2m=−3，∴M（1，﹣3）；②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM，∴−1+1=−2+xm=y−51+25=9+(m+5)2，解得x=y=m=−5+x=2y=m=∴M（1，﹣51，﹣5③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM，∴−1+x=−2+1 y=m−51+25=4+m2，解得x=y=m或x=0y=m=∴M（11，综上所述：M点坐标为（1，﹣3），(1，(1，，(1，−5+，(1，．1．（2022•新化县模拟）如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，1），若抛物线y＝x2+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是（ ）A．﹣1≤c≤0B．﹣1≤c≤12C．﹣1≤c≤916D．0≤c≤916【思路点拨】先通过待定系数法将AB所在直线解析式求出，然后通过数形结合方法，求出抛物线与直线相切及抛物线经过点A时c的值求解．【解题过程】解：设AB所在直线为y＝kx+b，将（﹣1，0），（1，1）代入y＝kx+b得k=12 b=12，∴y=12x+12，如图，当抛物线与线段AB相切时，令12x+12=x2+c，整理得x2−12x−12+c＝0，∴Δ＝（−12）2﹣4（−12+c）＝0，解得c=9 16，c减小，抛物线向下移动，当抛物线经过点A（﹣1，0）时，将（﹣1，0）代入y＝x2+c得0＝1+c，解得c＝﹣1，∴﹣1≤c≤916满足题意．故选：C．2．（2022•新河县一模）如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线x=32；②抛物线的最大值为98；③∠ACB＝90°；④OPA．①②④B．①②C．①②③D．①③④【思路点拨】用待定系数法求出函数的解析式即可对①②进行判断；利用勾股定理对③进行判断即可；求出直线AC的解析式，设P（t，−12t+2），再利用两点间距离公式求出OP的最大值即可．【解题过程】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）代入，∴a−b+c=016a+4b+c=0 c=2，解得a=−12 b=32c=2，∴y=−12x2+32x+2，∵y=−12x2+32x+2=−12（x−32）2+258，∴抛物线的对称轴为直线x=3 2，故①正确；当x=32时，抛物线有最大值258，故②不正确；∵B （﹣1，0），A （4，0），C （0，2），∴AB ＝5，AC ＝BC ∵AC 2＝AB 2+BC 2，∴△ABC 是直角三角形，∴∠ACB ＝90°，故③正确；设直线AC 的解析式为y ＝kx +m ，∴m =24k +m =0，解得k =−12m =2，∴y =−12x +2，设P （t ，−12t +2），∴OP∴当t =45时，OP 故④正确；故选：D ．3．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ≥0时，它们对应的函数值相等；当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y ＝x ，它的相关函数为y =x(x ≥0)−x(x ＜0)．已知点M ，N 的坐标分别为(−12，1)，(92，1)，连结MN ，若线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象有两个公共点，则n 的取值范围为（ ）A ．﹣3≤n ≤﹣1或1＜n ≤54B ．﹣3＜n ＜﹣1或1＜n ≤54C ．﹣3＜n ≤﹣1或1≤n ≤54D ．﹣3≤n ≤﹣1或1≤n ≤54【思路点拨】首先确定出二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【解题过程】解：如图1所示：线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象恰有1个公共点，∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x=−42×(−1)=2，∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1；∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n＝1，如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（−12，1），∴14+2﹣n＝1，解得：n=54，∴1≤n≤54时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤5 4，故选：C．4．（2022•江阴市校级一模）如图，抛物线y＝ax2−103x+4与直线y=43x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）A．MN+BN＜AB B．∠BAC＝∠BAEC．∠ACB﹣∠ANM=12∠ABC D．四边形ACBM的最大面积为13【思路点拨】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：BN=256，而MN=56，BN+MN＝5＝AB；（2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC＝∠BAE错误；（3）如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分线，∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD =12∠ABC ；（4）S 四边形ACBM ＝S △ABC +S △ABM ，其最大值为94．【解题过程】解：将点A （2，0）代入抛物线y ＝ax 2−103x +4与直线y =43x +b解得：a =23，b =−83，设：M 点横坐标为m ，则M （m ，23m 2−103m +4）、N （m ，43m −83），其它点坐标为A （2，0）、B （5，4）、C （0，4），则AB ＝BC ＝5，则∠CAB ＝∠ACB ，∴△ABC 是等腰三角形．A 、当MN 过对称轴的直线时，此时点M 、N 的坐标分别为（52，−16）、（52，23），由勾股定理得：BN =256，而MN =56，BN +MN ＝5＝AB ，故本选项错误；B 、∵BC ∥x 轴（B 、C 两点y 坐标相同），∴∠BAE ＝∠CBA ，而△ABC 是等腰三角形不是等边三角形，∠CBA ≠∠BCA ，∴∠BAC ＝∠BAE 不成立，故本选项错误；C 、如上图，过点A 作AD ⊥BC 、BF ⊥AC ，∵△ABC 是等腰三角形，∴BF 是∠ABC 的平分线，易证：∠CAD ＝∠ABF =12∠ABC ，而∠ACB ﹣∠ANM ＝∠CAD =12∠ABC ，故本选项正确；D 、S 四边形ACBM ＝S △ABC +S △ABM ，S △ABC ＝10，S △ABM =12MN •（x B ﹣x A ）＝﹣m 2+7m ﹣10，其最大值为94，故S 四边形ACBM 的最大值为10+94=12.25，故本选项错误．故选：C ．5．（2022•高青县一模）已知点A （2，4），B （0，1），点M 在抛物线y =14x 2上运动，则AM +BM 的最小值为 5　．【思路点拨】设点M （m ，14m 2），用含m 代数式表示BM =14m 2+1，可得点M 到点B 的距离与点M 到直线y ＝﹣1的距离相等，进而求解．【解题过程】解：设点M （m ，14m 2），则点M 到x 轴距离为14m 2，BM 14m 2+1，∴点M 到点B 的距离与点M 到直线y ＝﹣1的距离相等，∵点A 横坐标为x ＝2，∴点M 为直线x ＝2与抛物线交点，如图，设直线x ＝2与直线y ＝﹣1交点B '（2，﹣1），∴AB '为AM +BM 最小值，AB '＝4﹣（﹣1）＝5，故答案为：5．6．（2022•广西模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是 ．【思路点拨】分两种情况分别求得a的取值范围，再取两者的公共部分即可：当顶点C与D点重合时，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3；当顶点C与F点重合时，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y ＝a（x﹣3）2+2．【解题过程】解：∵顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，∴当顶点C与D点重合时，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3，∴a(−2−1)2+3≤0 a(−1−1)2+3≥0，解得−34≤a≤−13；当顶点C与F点重合时，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣3）2+2，∴a(−2−3)2+2≤0 a(−1−3)2+2≥0，解得−18≤a≤−225；∵顶点可以在矩形内部，∴−34≤a≤−225．故答案为：−34≤a≤−225．7．（2022•包河区校级三模）函数y=2mx 2−4mx−3(x≥0)−2mx2−4mx−3(x＜0)，其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G．（1）当m=12时，图象G与x轴的交点坐标为　（3，0）　．（2）若直线y＝m与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为　3或﹣1　．【思路点拨】（1）m=12，从而两个解析式是已知的，令y＝0，解方程即可；（2）分m＞0，m＜0两种情况，画出草图，令y＝m与二次函数联列得方程组，求解即可．【解题过程】解：（1）当x≥0时，对称轴为直线x=−−4m2×2m=1，当x＜0时，对称轴为直线x=−−4m2×(−2m)=−1，又当m=12时，函数y=x2−2x−3(x≥0)−x2−2x−3(x＜0)，当x≥0时，令x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x1＝3或x2＝﹣1（舍去），∴x≥0时，x＝3；当x＜0时，令﹣x2﹣2x﹣3＝0，∴x2+2x+3＝0，∵Δ＝9﹣12＜0，∴x＜0，无解，∴与x轴的交点坐标为（3，0）；（2）当m＞0时，图象大致如图1所示，当y＝m经过顶点时，恰有2个交点，∴当x＝﹣1时，y＝﹣2m+4m﹣3＝2m﹣3＝m，∴m＝3；∴当x＝1时，y＝2m﹣4m﹣3＝﹣2m﹣3＝m，∴m＝﹣1（舍去），当m＜0时，图象大致如图2所示，当y＝m经过顶点时，恰有2个交点，当x＝﹣1时，y＝﹣2m+4m﹣3＝2m﹣3＝m，∴m＝3（舍去），当x＝1时，y＝2m﹣4m﹣3＝﹣2m﹣3＝m，∴m＝﹣1，综上所述，m取值为3或﹣1．8．（2022•安顺模拟）如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y ＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积的最大值．【思路点拨】（1）根据y＝﹣x﹣1经过点A，可求出点A的坐标，将点A、C的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求出抛物线的解析；（2）联立抛物线和一次函数y＝﹣x﹣1的解析式列方程解出可得点D的坐标，过点P作PE∥y轴，交AD 于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），表示PE的长，根据三角形面积公式可得△APD的面积，配方后可得结论．【解题过程】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A，∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，∴x＝﹣1，∴A（﹣1，0），将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：a−2+c=0c=3，解得：a=−1 c=3，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，﹣5），过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，∴△PAD 的面积=12•PE •（4+1）=52（﹣t 2+3t +4）=−52（t −32）2+1258，当t =52时，△PAD 的面积最大，且最大值是1258．9．（2022•平桂区 一模）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）在第四象限内抛物线上存在一点M ，使S △MAB ＝S △CAB ，请求出点M 的坐标；（3）点N 在该抛物线上且到对称轴的距离为3个单位，点P 为点M ，N 之间（含点M 、N ）抛物线上的一个动点．求点P 纵坐标y P 的取值范围．【思路点拨】（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可；（2）设点M 的纵坐标为t （t ＜0），根据S △MAB ＝S △CAB ，可得12AB •OC =12AB •（﹣t ），求出t 的值，即可得M 点坐标；（3）利用点N 到对称轴的距离为3个单位求出点N 的横坐标，即可得点N 的坐标，再结合M 、D 两点的坐标即可求解．【解题过程】解：（1）∵二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过A （﹣1，0）、C （0，﹣3），∴1−b +c =0c =−3，解得：b =−2c =−3，∴抛物线解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3，把y ＝x 2﹣2x ﹣3配方，得y ＝（x ﹣1）2﹣4∴顶点D 的坐标为（1，﹣4）；（2）设点M的纵坐标为t（t＜0），∵S△MAB＝S△CAB，∴12AB•OC=12AB•（﹣t），∵抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0）、B（3，0），∵点C（0，﹣3），∴AB＝4，OC＝3．∴﹣t＝3，得t＝﹣3．当t＝﹣3时，x2﹣2x﹣3＝﹣3，解得x1＝0，x＝2，∴点M的坐标为（2，﹣3）；（3）∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴抛物线的对称轴为x＝1，∵点N到对称轴的距离为3个单位，∴点N的横坐标为﹣2或4，∴点N纵坐标为42﹣2×4﹣3＝5．∴点N的坐标为（﹣2，5）或（4，5）．∵点M的坐标为（2，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4），当N在对称轴的右侧时，﹣3≤y P≤5；当N在对称轴的左侧时，﹣4≤y P≤5；10．（2022春•浦江县期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，9），与坐标轴交于B、C、D 三点，且B点的坐标为（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、M，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）在（2）中的矩形周长最大时，连接BM，已知点P是x轴上一动点，过点P作PQ∥y轴，交直线BM 于点Q，是否存在这样的点P，使直线PQ把△BCM分成面积为1：2的两部分？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+9，将点B代入即可；（2）设M（m，﹣m2+2m+8），则N（2﹣m，﹣m2+2m+8），则矩形MNHG的周长＝﹣2（m﹣2）2+20，可求当m＝2时，矩形MNHG的周长有最大值20；（3）求出S△BCM＝24，设P（t，0），则Q（t，2t+4），分两种情况讨论：当S△BPQ＝8时，P（2，0）；当S△BPQ＝16时，P（2，0）．【解题过程】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+9，将点B（﹣2，0）代入，∴9a+9＝0，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8；（2）设M（m，﹣m2+2m+8），则N（2﹣m，﹣m2+2m+8），∴MN＝2m﹣2，MG＝﹣m2+2m+8，∴矩形MNHG的周长＝2（MN+MG）＝2（﹣m2+4m+6）＝﹣2（m﹣2）2+20，∴当m＝2时，矩形MNHG的周长有最大值20；（3）存在点P，使直线PQ把△BCM分成面积为1：2的两部分，理由如下：当m＝2时，M（2，8），设直线BM的解析式为y＝kx+b，∴−2k+b=0 2k+b=8，解得k=2 b=4，∴y＝2x+4，令y＝0，则﹣x2+2x+8＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴C（4，0），∴BC＝6，∴S△BCM=12×6×8＝24，设P（t，0），则Q（t，2t+4），当S△BPQ＝8时，12×（t+2）×（2t+4）＝8，解得t＝2或t＝﹣2（舍），∴P（2，0）；当S△BPQ＝16时，12×（t+2）×（2t+4）＝16，解得t＝2或t＝﹣6（舍），∴P（2，0）；综上所述，P点坐标为（2，0）或（2，0）．11．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB 上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E 处．（1）求抛物线解析式；（2）连接BE，求△BCE的面积；（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由点A的坐标可得出点E的坐标，由点A，E的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，再利用三角形的面积计算公式，结合S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE，即可求出△BCE的面积；（3）存在，由点A，B的坐标可得出OA＝OB，结合∠AOB＝90°可得出∠BAE＝45°，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），分点P在x轴上方及点P在x轴下方两种情况考虑：①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，则EM＝P1M，进而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将符合题意的m值代入点P的坐标中即可求出点P1的坐标；②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x 轴于点N，则EN＝P2N，进而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将符合题意的m值代入点P的坐标中即可求出点P2的坐标．【解题过程】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），∴点E的坐标为（﹣1，0）．将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，得：9a+3b+3=0a−b+3=0，解得：a=−1b=2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当x＝0时，y＝﹣1×（0）2+2×0+3＝3，∴点B的坐标为（0，3）．设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，得：3m+n=0n=3，解得：m=−1n=3，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，∴点C的坐标为（1，2）．∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0），∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE=12AE•OB−12AE•CD=12×4×3−12×4×2＝2，∴△BCE的面积为2．（3）存在，理由如下：∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），∴OA＝OB＝3．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠BAE＝45°.∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2，∴点P1的坐标为（2，3）；②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4，∴点P2的坐标为（4，﹣5）．综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．12．（2022•太原一模）综合与实践如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC 下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．【思路点拨】（1）分别令x＝0，y＝0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；（3）设F（﹣1，n），根据两点间距离公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，分三种情况：①当∠AFC＝90°时，②当∠CAF＝90°时，③当∠ACF＝90°时，分别建立方程求解即可．【解题过程】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8），令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则−4k+b=0 b=−8，解得：k=−2 b=−8，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），∵点D在点E的下方，∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，①当∠AFC＝90°时，∵AF2+CF2＝AC2，∴n2+9+n2+16n+65＝80，解得：n1＝﹣4n2＝﹣4+∴F（﹣1，﹣4﹣1，﹣4②当∠CAF＝90°时，∵AF2+AC2＝CF2，∴n2+9+80＝n2+16n+65，解得：n=3 2，∴F（﹣1，32）；③当∠ACF＝90°时，∵CF2+AC2＝AF2，∴n2+16n+65+80＝n2+9，解得：n=−17 2，∴F（﹣1，−172）；综上所述，点F的坐标为（﹣1，﹣4﹣1，﹣4+﹣1，32）或（﹣1，−172）．13．（2022•将乐县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y=−12有唯一的公共点A，与直线y=32交于点B，C（C在B的右侧），且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧．（ⅰ）求P，Q两点的坐标；（ⅱ）设直线y＝2x+m（m＞0）与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点．【思路点拨】（1）过点A作AM⊥BC交于M，由等腰直角三角形的性质求出AM＝BM＝2，从而求出M（1，32），A（1，−12），B（﹣1，32），再用待定系数法求解析式即可；（2）（ⅰ）联立方程组y=2xy=12x2−x，即可求P、Q点的坐标；（ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组y=2x+my=12x2−x，可得x1+x2＝6，y1＝2x1+m，y2＝2＝﹣2x1+m+12，求出直线PM的解析式后，求直线PM与CD的交点为（3，6+3mx1），求出QN的解析式后，求直线QN与CD的交点为（3，6+3mx1），从而所求得证．【解题过程】（1）解：过点A作AM⊥BC交于M，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AM＝BM=32−（−12）＝2，∵CD⊥x轴，D（3，0），∴C（3，32），∴M（1，32），A（1，−12），B（﹣1，32），设y＝ax2+bx+c（a≠0），∴a+b+c=−12a−b+c=329a+3b+c=32，解得a=12 b=−1 c=0，∴y=12x2﹣x；（2）（ⅰ）解：联立方程组y=2xy=12x2−x，解得x=0y=0或x=6y=12，∵P在Q的左侧，∴P（0，0），Q（6，12）；（ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组y=2x+m y=12x2−x，整理得x2﹣6x﹣2m＝0，∴x1+x2＝6，∴y1＝2x1+m，y2＝2＝﹣2x1+m+12，设直线PM的解析式为y＝k1x，∴2x1+m＝k1x1，∴k1＝2+mx1，∴y＝（2+mx1）x，∴直线PM与CD的交点为（3，6+3mx1），设QN的解析式为y＝k2x+b2，∴6k2+b2=12(6−x1)k2+b2=−2x1+m+12，解得k2=2−mx1b2=6mx1，∴y＝（2−mx1）x+6mx1，∴直线QN与CD的交点为（3，6+3mx1），∴直线PM，QN，CD交于一点．14．（2022春•兴宁区校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c即可得到答案；（2）过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，则P的坐标是（m，m2+2m﹣3），利用待定系数法求AC的解析式，表示M的坐标，用m的代数式表示PM的长度，根据三角形面积公式即可得到答案；（3）分两种情况：①如图2，四边形CDEB是菱形，②如图3，四边形CBDE是菱形，根据两点的距离公式和菱形的边长相等列方程可解答．【解题过程】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得：9−3b+c=0 1+b+c=0，解得：b=2c=−3，∴y＝x2+2x﹣3；（2）如图1，过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），设直线AC的解析式为：y＝kx+n，∴−3k+n=0 n=−3，∴k=−1 n=−3，∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，∵P点的横坐标为m，∴P的坐标是（m，m2+2m﹣3），则M的坐标是（m，﹣m﹣3），∴PM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，∵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，∴﹣3＜m＜0，∴S=12•PM•OA=32（﹣m2﹣3m）=−32m2−92m（﹣3＜m＜0）；（3）分两种情况：①如图2，四边形CDEB是菱形，设D（t，﹣t﹣3），则E（t+1，﹣t），∵四边形CDEB是菱形，∴CD＝BC，∴（t﹣0）2+（﹣t﹣3+3）2＝12+32，∴t＝∵t＜0，∴t=∴E（+1②如图3，四边形CBDE是菱形，设D（t，﹣t﹣3），则E（t﹣1，﹣t﹣6），∵四边形CBDE是菱形，∴CE＝BC，∴（t﹣1﹣0）2+（﹣t﹣6+3）2＝12+32，∴t＝0（舍）或﹣2，∴E（﹣3，﹣4）；综上所述，点E的坐标为（1﹣3，﹣4）．15．（2022春•兴宁区期末）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣2），点C（0，﹣5），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为线段AB上一点，且BE：EA＝3：1，P为直线AC上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）将点A（3，﹣2），点C（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）平移后的顶点坐标为（1，m﹣6），求出直线AC的解析式，由题意可知﹣4＜m﹣6＜﹣2，求出m的取值即可；（3）设P（t，t﹣5），Q（x，x2﹣2x﹣5），根据对角线分三种情况求解即可．【解题过程】解：（1）将点A（3，﹣2），点C（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，∴9+3b+c=−2 c=−5，解得b=−2 c=−5，∴y＝x2﹣2x﹣5，∴M（1，﹣6）；（2）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣6+m，∴平移后的顶点坐标为（1，m﹣6），∴抛物线的顶点在x＝1的直线上，设直线CA的解析式为y＝kx+b，∴3k+b=−2 b=−5，∴k=1b=−5，∴y＝x﹣5，当x＝1时，y＝﹣4，∴﹣4＜m﹣6＜﹣2，解得2＜m＜4；（3）存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：当y＝﹣2时，x2﹣2x﹣5＝﹣2，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（﹣1，﹣2），∴AB＝4，∵BE：EA＝3：1，∴AE＝1，∴E （2，﹣2），设P （t ，t ﹣5），Q （x ，x 2﹣2x ﹣5），①当BE 为平行四边形的对角线时，2−1=t +x −2−2=t−5+x 2−2x−5，解得t =x =或t =x =，∴Q ②当BP 为平行四边形的对角线时，−1+t =2+x −2+t−5=−2+x 2−2x−5，解得x =t =或x =y =∴Q ③当BQ 为平行四边形的对角线时，−1+x =2+t −2+x 2−2x−5=−2+t−5，此时无解；综上所述：Q16．（2022•肃州区模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，AB ＝4，交y 轴于点C ，对称轴是直线x ＝1．（1）求抛物线的关系式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使△ACP 的周长最小，并求此时点P 的坐标．（3）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动（到点B 停止），过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q ．设运动时间为t （t ＞0）秒．△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【思路点拨】（1）根据x轴上的点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，求得点A、B的坐标，再代入抛物线解析式，解方程组即可得出答案；（2）点B与点A关于抛物线的对称轴对称，根据两点之间，线段最短可知，抛物线的对称轴与BC的交点就是△ACP的周长最小时点P的位置，先求出直线BC的解析式，再求出点P的坐标；（3）分OQ＝BQ或OB＝BQ或OQ＝OB三种情况，分别求解即可．【解题过程】解：（1）∵x轴上的点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，∴A（﹣1，0），B（3，0），把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：−9+3b+c=0−1−b+c=0，解得b=2 c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图1，点A关于对称轴的对称点是点B，连接BC，交对称轴直线x＝1于点P．点P就是使△ACP 的周长最小的点．在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝mx+n，则：n=33m+n=0，解得：m=−1 n=3，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2．∴P（1，2）．（3）如图2，∵动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动（到点B停止），运动时间为t（t＞0）秒，∴OM＝2t，且0＜t≤3 2，∴M（2t，0），∵MN⊥x轴，∴点Q的横坐标为2t，当x＝2t时，y＝﹣x+3＝﹣2t+3＝3﹣2t，∴Q（2t，3﹣2t），∴QM＝3﹣2t，BM＝3﹣2t，∴BM＝QM，∵△BOQ为等腰三角形，∴OQ＝BQ或OB＝BQ或OQ＝OB：①当OQ＝BQ时，∵QM⊥OB，∴OM＝BM，∴2t＝3﹣2t，解得：t=3 4；②当OB＝BQ时，在Rt△BMQ中，∵BM＝QM，∠BMQ＝9°，∴△BQM是等腰直角三角形，∴∠OBQ＝45°，BQ=，∴OB，即3=3﹣2t），解得：t=③当OQ＝OB时，则点Q、C重合，此时t＝0，而t＞0，故不符合题意，综上述，当t=34秒或△BOQ为等腰三角形．17．（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（−12，0），B（3，72）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据待定系数法，将点A，点B代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；（2）设出点P的坐标，确定出PD∥CO，由PD＝CO，列出方程求解即可；（3）过点D 作DF ⊥CP 交CP 的延长线于点F ，过点F 作y 轴的平行线EF ，过点D 作DE ⊥EF 于点E ，过点C 作CG ⊥EF 于点G ，证明△DEF ≌△FGC （AAS ），由全等三角形的性质得出DE ＝FG ，EF ＝CG ，求出F 点的坐标，由待定系数法求出直线CF 的解析式，联立直线CF 和抛物线解析式即可得出点P 的坐标．【解题过程】解：（1）将点A （−12，0），B （3，72）代入到y ＝ax 2+bx +2中得：a−12b +2=0+3b +2=72，解得：a =−1b =72，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+72x +2；（2）设点P （m ，﹣m 2+72m +2），∵y ＝﹣x 2+72x +2，∴C （0，2），设直线BC 的解析式为y ＝kx +c ，∴3k +c =72c =2，解得k =12c =2，∴直线BC 的解析式为y =12x +2，∴D （m ，12m +2），∴PD ＝|﹣m 2+72m +2−12m ﹣2|＝|m 2﹣3m |，∵PD ⊥x 轴，OC ⊥x 轴，∴PD ∥CO ，∴当PD ＝CO 时，以P 、D 、O 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴|m 2﹣3m |＝2，解得m ＝1或2∴点P 的横坐标为1或2（3）①当Q 在BC 下方时，如图，过B 作BH ⊥CQ 于H ，过H 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，过B 作BN ⊥MH 于N ，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，∵H（m，n），∵C（0，2），B（3，72），=3−m−n=m，解得m=94n=54，∴H（94，54），设直线CH的解析式为y＝px+q，p+q=542，解得p=−13q=2，∴直线CH的解析式为y=−13x+2，联立直线CF与抛物线解析式得y=−x2+72x+2y=−13x+2，解得x=0y=2或x=236y=1318，∴Q（236，1318）；②当Q在BC上方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理得Q（12，72）．综上，存在，点Q的坐标为（236，1318）或（12，72）．18．（2022•武汉模拟）点P（﹣3，a）在抛物线y＝x2﹣6上，过点P的直线l1：y＝k1x+b1与抛物线交于另一点F．（1）直接写出a的值；（2）如图（1），当点F在第四象限时，若PF交x轴的负半轴于点S，交y轴的负半轴于点T，且PS+FT＝ST，求点F的坐标；（3）如图（2），过点P的另一条直线l2：y＝k2x+b2与抛物线交于另一点H，M，N分别为线段PF，PH 的中点，且k1+k2＝﹣4，求证：直线MN与经过原点的一条定直线平行．【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可；（2）设F（m，m2﹣6），利用待定系数法可得到直线PF的解析式为y＝（m﹣3）x+3m﹣6，利用已知条件可求得点S的坐标，将点S的坐标代入直线PF的解析式y＝（m﹣3）x+3m﹣6，即可求得m的值，则结论可求；（3）利用待定系数法可得直线PF的解析式为y＝k1x+3k1+3，与抛物线解析式联立，则得点P，点F的横坐标是方程x2﹣k1x﹣3k1﹣9＝0的两根，利用一元二次方程的根与系数的关系和中点坐标的特征可得点M 的坐标，同理可求得点N坐标，利用待定系数法求得直线MN的解析式，利用直线平行的特征可得直线MN 与直线y＝2x平行，则结论可得．【解题过程】（1）解：∵点P（﹣3，a）在抛物线y＝x2﹣6上，∴a＝（﹣3）2﹣6，∴a＝3．（2）解：设F（m，m2﹣6），直线PF的解析式为y＝k1x+b1，∴−3k1+b1=3mk1+b1=m2−6，解得：k1=m−3b1=3m−6，∴直线PF的解析式为y＝（m﹣3）x+3m﹣6．∵PS+FT＝ST，∴PF＝2ST．∴x F﹣x P＝2（x T﹣x S），∴m+3＝2（0﹣x S），∴x S=−m3 2．∴S（−m32，0）．将S（−m32，0）代入PF的解析式得：（m﹣3）（−m32）+3m﹣6＝0，解得：m＝33∵当点F在第四象限，∴m2﹣6＜0．当m＝3+m2﹣6＝0，不合题意，舍去，当m＝3m2﹣6＝9﹣0，∴F（39﹣（3）证明：∵直线y＝k1x+b1经过点P（﹣3，3），∴﹣3k1+b1＝3，∴b1＝3k1+3，∴直线PF的解析式为y＝k1x+3k1+3，联立：y=x2−6y=k1x+3k1+3，∴x2﹣k1x﹣3k1﹣9＝0．∴点P，点F的横坐标是方程x2﹣k1x﹣3k1﹣9＝0的两根，∴x P+x F＝k1．∵M为线段PF的中点，∴x M=x P x F2=k12，∴M（k12，k212+3k1+3），∵直线y＝k2x+b2经过点P（﹣3，3），∴﹣3k2+b2＝3，∴b2＝3k2+3，∴直线PH的解析式为y＝k2x+3k2+3，联立：y=k2x+3k2+3 y=x2−6，∴x2﹣k2x﹣3k2﹣9＝0．∴点P，点H的横坐标是方程x2﹣k1x﹣3k1﹣9＝0的两根，∴x P+x H＝k2，∵N为线段PH的中点，∴x N=x P x H2=k22，∴N（k22，k222+3k2+3），设直线MN的解析式为y＝kx+n，k+n=k212+3k1+3k+n=k222+3k2+3，解得：k=k1+k2+6 n=3−k1k22，∴直线MN的解析式为y＝（k1+k2+6）x+3−k1k2 2．∵k1+k2＝﹣4，∴直线MN的解析式为y＝2x+3−k1k2 2，∴直线MN与直线y＝2x平行，∵直线y＝2x是一条经过原点的直线，∴直线MN与经过原点的一条定直线平行．19．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；（2）过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．【解题过程】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴1+b+c=0c=3，解得b=−4c=3，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG=12 PG•AE=12×3×（﹣m2+5m﹣3）=−32（m2﹣5m+3）=−32（m−52）2+398，∵−32＜0，∴当m =52时，△OPE 面积最大，此时，P 点坐标为（52，−34）；（3）由y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，得抛物线l 的对称轴为直线x ＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L 向上平移h 个单位长度后顶点为F （2，﹣1+h ）．设直线x ＝2交OE 于点DM ，交AE 于点N ，则E （2，3），∵直线OE 的解析式为：y ＝x ，∴M （2，2），∵点F 在△OAE 内（包括△OAE 的边界），∴2≤﹣1+h ≤3，解得3≤h ≤4；（4）设P （m ，m 2﹣4m +3），分四种情况：①当P 在对称轴的左边，且在x 轴下方时，如图，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∴∠OMP ＝∠PNF ＝90°，∵△OPF 是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m=∴P②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1=m2∴P③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m=m2=P ④当P 在对称轴的右边，且在x 轴上方时，如图，同理得m 2﹣4m +3＝m ﹣2，解得：m =P综上所述，点P20．（2022•大方县二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B点的坐标为（4，0），抛物线的对称轴为直线x =32，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积为74时，求点D 的坐标；（3）过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，是否存在点D ，使得△CDE 中的某个角等于∠ABC 的2倍？若存在，请直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】。

专题13二次函数综合问题(共40题)【原卷版】

专题13二次函数综合问题(共40题)【原卷版】

专题13二次函数综合问题一．解答题（共40小题）1．（2022•孝感）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．（1）直接写出点B和点D的坐标；（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．2．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）直接写出A，B两点的坐标；（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．3．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD ＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．6．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD 为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB 与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．8．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．9．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．（1）求点C的坐标；（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．11．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．12．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．13．（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y 轴交于点C ，且tan ∠OAC ＝2．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作CD ∥x 轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连结PB 、PC ，若S △PBC ＝S △BCD ，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连结OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示的值，并求的最大值．14．（2022•衡阳）如图，已知抛物线y ＝x 2﹣x ﹣2交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C ．（1）写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y ＝﹣x +b 与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值；（3）P 为x P 作PM ∥y 轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使△CMN 与△OBC 相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022•宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．（1）求y关于x的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？16．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．17．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．18．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．19．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．20．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B （x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．21．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF ∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．22．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为 ；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．23．（2022•武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；（3）连接BD．①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD＝AE时，求BD+CE的最小值．24．（2022•云南）已知抛物线y ＝﹣x 2﹣x +c 经过点（0，2），且与x 轴交于A 、B 两点．设k 是抛物线y ＝﹣x 2﹣x +c 与x 轴交点的横坐标，M 是抛物线y ＝﹣x 2﹣x +c 上的点，常数m ＞0，S 为△ABM 的面积．已知使S ＝m 成立的点M 恰好有三个，设T 为这三个点的纵坐标的和．（1）求c 的值；（2）直接写出T 的值；（3）求的值．25．（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y 需求（吨）关于售价x （元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y 需求＝ax 2+c ，部分对应值如下表：②该蔬莱供给量y 供给（吨）关于售价x （元/千克）的函数表达式为y 供给＝x ﹣1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x 售价（元/千克）、成本x 成本（元/千克）关于月份t的函教表达式分别为x 售价＝t +2，x 成本＝t 2﹣t +3，函数图象见图2．请解答下列问题：（1）求a ，c 的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．26．（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B （3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式；（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定27．（2022•舟山）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．28．（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．29．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN 长度之和，请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．30．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME 的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．32．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c 向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．33．（2022•丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．34．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．35．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P 的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．Ⅷ36．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B 两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB'37．（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x 轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．38．（2022•南充）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．39．（2022•自贡）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．40．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF 周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM 的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．21 / 21。

二次函数综合试题及答案

二次函数综合试题及答案

二次函数综合试题及答案一、选择题1.下列四个函数中，不是二次函数的是（）A. y = 2x^2 + 3x - 1B. y = -x^2 + 5x + 2C. y = 3x + 4D. y = x^2 + 2x - 3答案：C2.若二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口朝上，且在x = -1处有最小值0，则a，b，c的值应满足的关系是（）A. a < 0，b < 0，c > 0B. a > 0，b > 0，c < 0C. a > 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b > 0，c < 0答案：C3.已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图象过点(1, 4)，且在x = 2处有最大值5，那么a，b，c的值应满足的关系是（）A. a = 1，b = 2，c = 3B. a = -1，b = -2，c = -3C. a = 1，b = -2，c = 3D. a = -1，b = 2，c = -3答案：C二、计算题1.求函数y = 2x^2 - 3x + 1的对称轴和顶点坐标。

解答：对称轴的公式为x = -b / (2a)，代入a = 2，b = -3，得x = 3/4。

将x = 3/4代入原方程得y = 2(3/4)^2 - 3(3/4) + 1 = 1/8。

所以对称轴为x = 3/4，顶点坐标为(3/4, 1/8)。

2.求函数y = x^2 + 4x - 5的零点。

解答：函数的零点即为方程x^2 + 4x - 5 = 0的解。

使用求根公式，得x = (-4 ± √(4^2 - 4 * 1 * -5)) / (2 * 1)= (-4 ± √(16 + 20)) / 2= (-4 ± √36) / 2= (-4 ± 6) / 2解得x1 = -5，x2 = 1。

所以函数的零点为-5和1。

二次函数与几何图形的综合问题(学生版)--初中数学专题训练

二次函数与几何图形的综合问题(学生版)--初中数学专题训练

二次函数与几何图形的综合问题目录一、热点题型归纳【题型一】 二次函数与图像面积的数量关系及最值问题【题型二】 二次函数与角度数量关系问题【题型三】 二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题【题型四】 二次函数与特殊三角形问题【题型五】 二次函数与相似三角形存在性问题【题型六】 二次函数与特殊四边形存在性问题【题型七】 二次函数与代数或几何综合问题二、最新模考题组练1.热点题型归纳题型一：二次函数与图像面积的数量关系及最值问题1【典例分析】1如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0两点，点C为二次函数的图象与y轴，B1,0的交点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为二次函数图象上的一点，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．2【提分秘籍】对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤是：①弄清其取值范围，画出符合条件的图形；②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性.④对于面积的最值问题选择合适的自变量，建立面积关于自变量的函数，并求出自变量的取值范围，用二次函数或一次函数的性质来解决.3【变式演练】1如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1，0两点．，B3，0(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，y>0？(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．(1)求抛物线的函数关系式．(2)设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．题型二：二次函数与角度数量关系问题1【典例分析】1如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点(与点B、C不重合)，作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO=∠PBC时，请求出点Q的坐标．2【提分秘籍】探究两个角相等的方法：①可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标；②通过构造两个三角形相似，再通过三角形相似的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标.3【变式演练】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c过点A-2,0,B4,0，x轴上有一动点P t,0，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接CE．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在线段OB上运动时(不与点O，B重合)当△CDE∽△BDP时，求t的值．(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使∠DCE=∠DEC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2如图，抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与y轴相交于点C，且经过A(1,0)，B(5,0)两点，连接AC．(1)求抛物线的表达式；(2)设P为x轴下方抛物线上一点，M为对称轴上一点，N为该抛物线对称轴与x轴交点，若∠MNP=∠OCA，求点P的坐标．题型三：二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题1【典例分析】1如图，已知经过A1,0两点的抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．，B4,0(1)求此抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若线段BC上有一动点M(不与B、C重合)，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．求当线段MN的长度最大时点M的坐标；2【提分秘籍】探究平面直角坐标系中线段的数量关系的方法：①先设点的坐标，再用点的坐标表示线段的长度，然后分析表示线段长度的代数式，得出线段之间的数量关系；②函数图象上点的坐标的表示方法：直线y=kx+b上点的坐标为(x，kx+b);抛物线y=ax2+bx+c上点的坐标为(x，ax2+bx+c)；双曲线y=k x上的点的坐标为y=x，k x③已知点A(x,y),B(m,n),若AB与x轴平行，则AB=|x-m|;若AB与y轴平行，则AB=|y-n|;若AB既不与x轴平行又不与y轴平行，则AB=(x-m)2+(y-n)2。

专题七 二次函数综合问题

专题七 二次函数综合问题

质求解.确定函数最值时,函数自变量的取值范围应确定正确.
(2)已知两个定点和一条定直线,要求在定直线上确定一点,使得这个点到两定点距离和最小,其变形问题有三角
形周长最小或四边形周长最小等.这类问题的解决方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点
与另一个定点,所得直线与已知直线的交点即为所求的点,然后通过求直线的表达式及其与定直线的交点坐标,
顶点的Rt△PEQ,且满足tan∠EQP=tan∠OCA.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

2
解:(3)存在.设点 P 的坐标为(m,- m +m+4),点 Q 的坐标为(t,-t+4),


由已知得 tan∠OCA=
= = .

①当点 Q 在点 P 的左侧时,如图②所示,分别过点 P,Q 作 x 轴的垂线,垂足分别为 N,M.
小值时,求点M的坐标及这个最小值.
思路分析:(3)可求MQ=OB=1,则求MC+MQ+BQ的最小值,只需确定MC+BQ的最小值,这可利
用
点
点O关于抛物线对称轴的对称点进行求解.
C
或
解:(3)如图②所示,过点 C 作 CF∥x 轴,交 y 轴于点 G,交抛物线于点 F,连接 OF,交抛物线的对称轴
x=-1 于点 M,过点 M 作 MQ⊥y 轴于点 Q,连接 MC,BQ,由对称性可知 MC=MF.

直线 BC 的表达式为 y=-x+4.
(2)点F是抛物线对称轴上一点,当FA+FC的值最小时,求出点F的坐标及FA+FC的最小值.
解:(2)如图①所示,∵点 A,B 关于抛物线的对称轴 x=1 对称,

二次函数综合题

二次函数综合题

二次函数综合题类型一㊀对称性㊁增减性问题1.已知二次函数y =ax 2-2ax.(1)二次函数图象的对称轴是直线x =㊀;(2)当0ɤx ɤ3时,y 的最大值与最小值的差为4,求该二次函数的表达式;(3)若a <0,对于二次函数图象上的两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),当t ɤx 1ɤt +1,x 2ȡ3时,均满足y 1ȡy 2,请结合函数图象,直接写出t 的取值范围.(2)当=解:(1)a 1>;0时,ȵ该函数图象的对称轴为直线x 1,ʑ当x =1时,y 有最小值为-a ,当x =3时,y 有最大值为3a ,ʑ3a -(-a )=4,ʑa =1,ʑ二次函数的表达式为y =x 2-2x.当a <0时,同理可得,y 有最大值为-a ;y 有最小值为3a ,ʑ-a -3a =4,ʑa =-1,ʑ二次函数的表达式为y=-x2+2x,综上所述,该二次函数的表达式为y=x2-2x或y=-x2+2x;(3)-1ɤtɤ2.ʌ解法提示ɔȵa<0,该函数图象的对称轴为直线x=1,ʑx<1时,y随x的增大而增大,x>1时,y随x的增大而减小,x=-1和x=3时的函数值相等.ȵtɤx1ɤt+1,x2ȡ3时,均满足y1ȡy2,ʑtȡ-1,t+1ɤ3,ʑ-1ɤtɤ2.2.在平面直角坐标系xOy中,点(m-2,y1),(m, y2),(2-m,y3)在抛物线y=x2-2ax+1上,其中mʂ1且mʂ2.(1)求出该抛物线的对称轴(用含a的式子表示);(2)当m=0时,若y1=y3,比较y1与y2的大小关系,并说明理由;(3)若存在大于1的实数m,使y1>y2>y3,求a的取值范围.解:(1)ȵy=x2-2ax+1,ʑ抛物线对称轴为直线x=--2a2=a; (2)y1>y2.理由如下:ȵm=0,y1=y3,ʑ点(-2,y1)与点(2,y3)关于抛物线对称轴对称,ʑ抛物线对称轴为直线x=-2+22=0,即a=0,ʑy=x2+1,ʑ抛物线开口向上,顶点坐标为(0,1),ʑy2=1为函数最小值,ʑy1>y2;(3)将(m-2,y1),(m,y2),(2-m,y3)分别代入y=x2-2ax+1,得y1=m2-4m-2am+4a+5,y2=m2-2am+1,y3= m2-4m+2am-4a+5,ȵy1>y2>y3,ʑm2-4m-2am+4a+5>m2-2am+1>m2-4m+ 2am-4a+5,解得m-1<a<1.ȵm>1,ʑ0<a<1.3.已知抛物线y=2x2-4mx+2m2-1.(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)若直线y =n 与该抛物线交于点A ,B ,且AB=2,求n 的值;(3)若抛物线y =2x 2-4mx +2m 2-1经过点P (t ,y 1),Q (t +1,y 2),y 1y 2<0,求y 1的取值范围.解:(1)ȵy =2x 2-4mx +2m 2-1=2(x -m )2-1,ʑ该抛物线顶点坐标为(m ,-1);(2)ȵAB =2,抛物线对称轴为直线x =m ,1,n ),(m +1,n )ʑ抛物线与直线y =n 的两个交点坐标为(m -,将(m +1,n )代入y =2(x -m )2-1得n =2-1=1;(3)ȵ抛物线y =2(x -m )2-1,a =2>0,ʑ抛物线开口向上,对称轴为直线x =m ,令2(x -m )2-1=0,解得x 1=m -22,x 2=m +22,ʑx 2-x 1=2>1.ȵy 1y 2<0,ʑy 1<0,y 2>0或y 1>0,y 2<0,如解图①,当y 1<0,y 2>0时,t <m +22<t +1,ʑm+22-1<t<m+22,第3题解图①当t=m时,y1取最小值为-1,ʑ-1ɤy1<0,如解图②,当y第3题解图②t<m-22<t+1,ʑm-22-1<t<m-22,将t=m-22-1代入y=2(x-m)2-1得y=2(m-22-1-m)2-1=2+22,ʑ0<y1<2+22,综上所述,-1ɤy1<0或0<y1<2+22.类型二㊀公共点问题考向一㊀定抛物线与动线段1.如图,已知直线y =2x +1与抛物线y =2x 2+bx +c 交于点A (0,1),B (3,7),点C (4,m )在该直线上.(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)将线段AC 沿着y 轴向上或向下平移,使平移后的线段AᶄCᶄ(点Aᶄ,Cᶄ分别为点A ,C 的对应点)与该抛物线只有一个公共点,设点Aᶄ的纵坐标为n ,求n 的取值范围.解:(1)将点A (0,1),B (3,7)代入y =2x 2+bx +c ,得c =1,2ˑ32+3b +c =7,{解得b =-4,c =1,{ʑy =2x 2-4x +1=2(x -1)2-1,ʑ该抛物线的顶点坐标为(1,-1);(2)将C(4,m)代入y=2x+1得,m=2ˑ4+1=9,ʑC(4,9),当x=4时,y=2x2-4x+1=2ˑ42-4ˑ4+1=17.①若线段AC向上平移,当线段AC向上平移17 -9=8个单位时,线段AᶄCᶄ与抛物线有一个交点Cᶄ(4,17),此时点Aᶄ的坐标为(0,9).若向上平移超过8个单位,则抛物线与线段AᶄCᶄ没有交点,ʑ1<nɤ9;②若线段AC向下平移,设线段AC向下平移a个单位,令2x+1-a=2x2-4x+1,整理得2x2-6x+a=0,令(-6)2-4ˑ2a=0,解得a=92,ʑn=1-92=-72,综上所述,n的取值范围为1<nɤ9或n=-72.2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+4x+c(a ʂ0)经过点A (3,-4)和B (0,2).(1)求抛物线的表达式和顶点坐标;(2)将抛物线在A ,B 之间的部分记为图象M (含A ,B 两点).将图象M 沿直线x =3翻折,得到图象N.若过点C (9,4)的直线y =kx +b 与图象M ㊁图象N 都相交,且只有两个交点,求b 的取值范围.解:(1)将点A (3,-4)和B (0,2)代入抛物线y =ax 2+4x +c (a ʂ0),可得9a +12+c =-4,c =2,{解得a =-2,c =2,{ʑ抛物线的表达式为y =-2x 2+4x +2.ȵy =-2x 2+4x +2=-2(x -1)2+4,ʑ抛物线的顶点坐标为(1,4);(2)设点B (0,2)关于x =3的对称点为Bᶄ,则点Bᶄ(6,2).如解图,若直线y =kx +b 经过点C (9,4)和Bᶄ(6,2),可得b =-2.若直线y =kx +b 经过点C (9,4)和A (3,-4),可得b =-8.当直线y =kx +b 平行x 轴时,b =4,综上所述,第2题解图考向二㊀动抛物线与定线段(直线) 1.已知:抛物线y=x2-2x+3a+1(a为常数).(1)当a=1时,求该抛物线的顶点坐标;(2)抛物线上有两点M(-1,yM ),N(2,yN),请比较y M与y N的大小;(3)在平面直角坐标系中,若该抛物线在xɤ3的部分与直线y=2x-3有两个交点,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,抛物线为y=x2-2x+4=(x-1)2+3,则该抛物线的顶点坐标为(1,3);(2)由题意易知抛物线的对称轴为直线x= --22ˑ1=1,ȵ抛物线开口向上,且1-(-1)=2,2-1=1,2>1,ʑy M>y N;(3)ȵ二次函数的图象在xɤ3的部分与一次函数y=2x-3的图象有两个交点,令x2-2x+3a+1=2x-3,整理得x2-4x+3a+4=0,由根的判别式得16-4(3a+4)>0,解得a<0,把x=3代入y=2x-3,得y=3ˑ2-3=3,把(3,3)代入y=x2-2x+3a+1得3=9-6+3a+1,解得a=-13,ʑa的取值范围为-13ɤa<0.2.(2021燕山区二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax-3a(aʂ0).(1)求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标;(2)已知点B(3,4),将点B向左平移3个单位长度,得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.解:(1)ȵ抛物线y=ax2-2ax-3a,ʑ抛物线的对称轴是直线x=--2a2a=1,令x=0,则y=-3a,ʑ抛物线与y轴交点坐标为(0,-3a); (2)y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x+1)(x-3),ʑ抛物线与x轴交于点A(-1,0),D(3,0),与y 轴交于点E(0,-3a),顶点坐标是(1,-4a).由题意得点C(0,4),B(3,4),①当a>0时,如解图①,显然抛物线与线段BC 无公共点;②当a<0时,若抛物线顶点在线段BC上,如解图②,则顶点坐标为(1,4),ʑ-4a=4,ʑa=-1;③当a<0时,若抛物线的顶点不在线段BC上,如解图③,ȵ抛物线与线段BC恰有一个公共点,ʑ-3a>4,ʑa<-43,综上所述,a的取值范围是a<-43第2题解图考向三㊀动抛物线与动直线1.(2021西城区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2a2x+1(aʂ0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B.(1)直接写出抛物线的对称轴;(2)若AB=4,求抛物线所对应的函数解析式;(3)已知点P(a+4,1),Q(0,a+1),如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.解:(1)抛物线的对称轴为直线x=a;ʌ解法提示ɔȵ抛物线y=ax2-2a2x+1(aʂ0),ʑ抛物线的对称轴为直线x=--2a22a=a. (2)由题意可知抛物线的对称轴为直线x=ʃ2,ʑa=ʃ2,ʑ抛物线所对应的函数解析式为y=2x2-8x+1或y=-2x2-8x+1;(3)当a>0时,如解图①,抛物线过点P(a+4, 1)时,则a+42=a,解得a=4,ʑQ(0,5),此时,抛物线与线段PQ有一个公共点.当a<0时,如解图②,抛物线过点P(a+4,1)时,a+4=0,解得a=-4,㊀图②第1题解图此时,Q(0,-3),抛物线与线段PQ有一个公共点;综上所述,当0<aɤ4或-4ɤa<0时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点.类型三㊀整点问题1.(2021顺义区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)与y轴交于点A.(1)求点A和抛物线顶点的坐标(用含a的式子表示);(2)直线y=-ax+3a与抛物线y=ax2-4ax+3a围成的区域(不包括边界)记作G.横㊁纵坐标都为整数的点叫做整点.①当a=1时,结合函数图象,求区域G中整点的个数;②当区域G中恰有6个整点时,直接写出a的取值范围.解:(1)ȵy=ax2-4ax+3a=a(x-2)2-a,ʑ抛物线的顶点的坐标为(2,-a).ȵ抛物线y=ax2-4ax+3a(a>0)与y轴交于点A,ʑA(0,3a);(2)①当a=1时,直线y=-x+3,抛物线y=x2-4x+3,可得直线y=-x+3与抛物线y=x2-4x+3的交点为(3,0),(0,3);则(1,1),(2,0)是区域G中的两个整点,即区域G中整点的个数为2个;②32<aɤ2.ʌ解法提示ɔ联立直线y=-ax+3a与抛物线y= ax2-4ax+3a,可得交点为(0,3a),(3,0),ʑ区域G由0ɤxɤ3,-aɤyɤ3a组成;当x=1时,与直线的交点为(1,2a),与抛物线的交点为(1,0),同理可得,当x=2时,与直线的交点为(2,a),与抛物线的交点为(2,-a),区域G中的整点不包括边界,整点有6个,如解图,当0<a< 1时,G中最多有1个整点;当a=1时,G中有2个整点;当1<aɤ1.5时,G中最多有5个整点;当1.5<aɤ2时,G中最多有6个整点;当2<aɤ3.5时,G中最多有13个整点;ʑ当32<aɤ2时,区域G中恰有6个整点.第1题解图2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2ax+ a-1(其中a是常数,a>0)与y轴交于点A.我们将横㊁纵坐标都是整数的点叫做 整点 .(1)求该抛物线的顶点坐标;(2)如果线段OA(包含端点)上的 整点 个数大于3个且小于8个,求a的取值范围;(3)若抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有6个整点,求a的取值范围.解:(1)ȵy=ax2-2ax+a-1=a(x-1)2-1,ʑ该抛物线的顶点坐标为(1,-1);(2)ȵ点A为抛物线与y轴的交点,ʑ点A的坐标为(0,a-1).ȵa>0,线段OA(包含端点)上的整点个数大于3个且小于8个,则a-1>2,且a-1<7,ʑa的取值范围为3<a<8;(3)当a=1时,抛物线的解析式为y=x2-2x,如解图,此时抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有4个整点,第2题解图当a=14时,抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有6个整点,当a=19时,抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有8个整点,ȵ抛物线的顶点坐标为(1,-1),ʑ要使抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有6个整点,则x=-2所对应的y值要大于0,且x =-1所对应的y值小于等于0,ʑ4a+4a+a-1>0,a+2a+a-1ɤ0,解得a>19,且aɤ14,ʑ当抛物线与x轴围成的区域(含边界)内有6个整点时,a的取值范围为19<aɤ14.。

二次函数代几综合专题

二次函数代几综合专题

二次函数代几综合（类型一）
———求面积最大值问题
1. 某拱桥横截面为抛物线形，将抛物线放置在平面直角坐标系中如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．
（1）求△ABC的面积；
（2）若动点D在第一象限的抛物线上，求△BDC面积最大时D点的坐标，并求出△BDC的最大面积。

(3) 若动点D在第一象限的抛物线上且抛物线的对称轴交CB于点P，
当S△DCP最大时，请求D点的坐标和△DCP的最大面积。

2、如图，二次函数y=x 2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．
（1）求抛物线的解析式
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．
（3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M，判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值或最小值并求出此时S △BDP的面积．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

二次函数专题训练1. 已知A,B 两点是抛物线y ＝x 2－(m －3)x －m 与x 轴的交点（A 在B右侧），x 1,x 2分别是A,B 两点的横坐标，且21x x -＝31） 当m ＞0时，求抛物线的解析式2） 若（1）中所求抛物线与y 交于C,问在y 轴上是否存在点D （不含与C 点重合的点），使得以D,O,A 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，请求出点D 坐标，若不存在，请说明理由。

2. 一条抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点，与x 轴交于另一点A ，已知A点横坐标是12，最高点的纵坐标是3 1） 求抛物线的解析式2） P 是抛物线上一点，且S △OAP ＝132，求点P 坐标。

3. 以x 为自变量的二次函数y ＝－x 2＋(2m ＋2) －(m 2＋4m －3)中，m为不小于零的整数，它的图象与x 轴交于A,B 两点，A 点在原点左边，B 点在原点右边 1） 求抛物线的解析式2） 一次函数的图象过点A ，与这个二次函数交于点C ，且S △ABC ＝10，求一次函数解析式。

4. 已知抛物线y ＝－x 2－(m －4)x ＋3(m －1)与x 轴交于A,B 两点，与y轴交于C1） 求m 的取值范围2） 若m ＜0，直线y ＝kx －1经过点A ，与y 轴交于D ，AD·BD ＝52求解析式3） 若A 点在B 点左边，在第一象限内，2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使直线PA 平分△ACD 的面积？若存在求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由。

5. 已知抛物线y ＝－x 2＋px ＋q 与x 轴相交于A(x 1,0),B(x 2,0)两点，其中x 1＜0,x 2＞0,1x ＜2x ,与y 轴相交于点C ，∠ACB ＝90º,AB ＝22,点D 是点C 关于x 轴的对称点1） 求抛物线的解析式2） 抛物线上是否存在点Q,使S △QCD ＝3,，若存在，求出点Q 坐标，若不存在，请说明理由。

6. 在直角坐标系中，二次函数y ＝21x 2＋43nx ＋2－m 的图象与x 轴交于A,B ，与y 轴交于点C ，其中点A 在点B 左边,∠ACB ＝90º,AOCO+COBO＝1 1） 求点C 坐标及这个二次函数的解析式2） 设计两种方案，作一条与y 轴不重合，与△ABC 的两边相交的直线，使截得三角形与△ABC 相似,且面积是△AOC 面积的四分之一?7. 抛物线y ＝－x 2－2kx ＋k 2（k 是不为零的常数）与x 轴交于A(x 1,,0),B(x 2,0)两点，其中x 1＜x 2,1x ＞2x ，交y 轴交于点C,且满足(OA －OB)2＝3(OC ＋1) 1） 求此抛物线的解析式及对称轴2） 过点D(0,－3)作x 轴的平行线交抛物线于M,N ，问：以MN 为直经的〇E 与直线y ＝－3x 是否有且只有一个公共点？试证明你的结论。

8. 已知抛物线y=2x 2＋mx ＋m ＋2与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，A 点在原点的左侧，B 点在原点的右侧，且满足OA OBOC +OBOAOC＝621, (1)、求此抛物线的解析式；（2）、若直线y ＝－x ＋3与该抛物线分别交于E,F 点，与x 轴交于D 点，那么这条抛物线上是否存在点，使S △OEF ＝S △ODP ?若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由。

9.二次函数y ＝x 2＋2mx ＋m 2＋3m －1的图象与x 轴交于A(x 1,0)，B(x 2,0)且x 1＜x 2，与y 轴负半轴交于C ，且2(OB －OA) ＝OA·OB ＋1，直线y ＝kx ＋b(b ＞0)与抛物线交于点M,N1） 求此抛物线的解析式；2） 若线段MN 被y 轴平分，直线y ＝kx ＋b 中的k 能否确定？若能确定，请求k ；若将题目中b ＞0去掉，请求k ，b 的范围3） 若线段MN 被x 轴平分，且过D （0，1），问直线y ＝kx ＋b 能否确定？若能确定，请求一次函数解析式4） MN 过D （0，2），且△MCN 的面积被y 轴平分，问直线y ＝kx＋b 能否确定？若能确定，请求一次函数解析式变式：已知二次函数y ＝mx 2＋mx ＋n 与x 轴交于A(―3,0),B(x 2，0),交y 轴正半轴于C ，且OCOB OA 511=+ 1） 求这个二次函数的解析式；2） 是否存在直线y ＝kx ＋b 与抛物线交于点M ，N ，使线段MN 被直线x ＝－1平分，若存在求出k,b 满足的条件，若不存在，请说明理由。

10. 二次函数y ＝x 2＋（m ＋4）x ＋m 2＋m －5的图象与x 轴交于A(x 1,0)，B(x 2,0)，与y 轴交于C ，且A 在原点左侧，在B 原点右侧，OA,OB,OC满足4=+OBOCOA OC 1)求此抛物线的解析式；2)抛物线上是否存在点P,使△PAB 的外心在△PAB 外，若存在，求P 点纵坐标的取值范围3）抛物线上是否存在点P,使△PAB 的外心在△PAB 外，若存在，求P 点横坐标的取值范围4）抛物线上是否存在点P,使△PAB 的外心在△PAB 内部，若存在，求点P 纵坐标的取值范围 11．二次函数y ＝－x 2＋(m －5)x ＋2m －6的图象，与x 轴交于两点A(x 1,0)，B(x 2,0) ，x 1＜0＜x 2，与y 轴交于点C ，若tan ∠CAO·tan ∠CBO ＝4 1)求此抛物线的解析式；2)是否存在过A ，B 两点的⊙P 交x 轴上方的抛物线于M ，N （其中M 在N 的左边），使NP ⊥BP ，若存在求⊙P 的半径12. 二次函数y ＝－x 2＋（k ＋6）x ＋k －1的图象,与x 轴交于两点A(x 1,0)，B(x 2,0)，0＜x 1＜x 2，与y 轴交于C 点,且OA 2＋OB 2－2OC ＝4 1） 求此抛物线的解析式；2） 点P （0，t ）是y 轴上的一个动点(t ≠0)，过A ，B ，P 三点作圆，当点P 在y 轴上运动时，试问：是否存在某一位置，使得这个圆的面积最小？13. 二次函数y ＝－x 2－mx ＋m 2＋m ＋1的图象,与x 轴交于A(x 1,0)，4)42(22-++-=m x m x y 4=+OB OC OA OC B(x 2,0) 两点 ，与y 轴交于C 点，x 1＜x 2，1x ≠2x ，OCOB OA 1111-=- 1） 求此抛物线的解析式； 2） 设有一条平行于x 轴的直线y=t ，交抛物线于M ，N,交y 轴于D ，是否存在某一时刻满足CM ⊥CN? 14. 二次函数y ＝x 2－(2m ＋4) x ＋m 2－4 ,m ＜1,与x 轴交于两点A(x 1,0)，B(x 2,0)，与y 轴交于C 点，x 1＜0＜x 2,OC 2=3AO·OB 1)求此抛物线的解析式；2)抛物线上是否存在点P,使△PAC 的内心在y 轴上，若存在，求P 点坐标3)抛物线上是否存在点P,使△PAC 的内心在x 轴上，若存在，求P 点坐标15.如图，开口向下的抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋c 与x 轴交于点A,B ，与y 轴交于C 点。

点A 在x 轴的正半轴，点B 在x 轴的负半轴，C 点在y 轴的正半轴。

OB=OC1） 求证：4a －ac ＝12） 如果点A 的坐标为(2,0)，求点B 的坐标 3） 在此抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PAC 的周长最小？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

16. 抛物线y ＝－x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1，与x 轴交于两点A(x 1,0)，B(x 2,0)，且A 点在轴的正半轴上，B 点在轴的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b 1） 求m 的取值范围 2） 若a:b ＝3:1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式3） 若2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存在点P 使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

17. 抛物线y ＝－x 2－(m ＋2)x －1－m, m 为常数，与x 轴交于A(x 1,0),B(x 2,0)两点，与y 轴交于C,x 2＜x 1＜0,满足tan ∠OAC －tan ∠OBC ＝1 1)求此抛物线的解析式；2)是否存在直线y ＝kx(k ≠0)，交抛物线于M,N,使以MN 为直径的⊙E 与x 轴相切，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由。

18. 抛物线y ＝x 2－(m －1)x ＋2m －1，与x 轴交于两点A(x 1,0)，B(x 2,0)，x 1＜0＜x 2，与y 轴交于C 点，OA ＞OB ，OCOA OB 211=-1）求此抛物线的解析式；2)设有一条平行于y 轴的动直线x=t ,t ＜0，是否存在某一时刻，能在这条直线上找到D ，使以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的D 点的坐标，若不存在，说明理由19. 抛物线y ＝x 2－(m ＋1)x －(m ＋2)，与x 轴交于两点A(x 1,0)，B(x 2,0)，x 1＜0＜x 2，与y 轴交于C 点，S △BOC ＝3 S △AOC 1)求此抛物线的解析式 2)设抛物线的对称轴交轴于D 点，在抛物线上是否存在P ，Q ，使得以A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形若存在，P ，Q 两点的坐标；若不存在，说明理由。

20. 抛物线y ＝－x 2－(2m ＋1)x －2(m －2), 与y 轴正半轴交于C 点，与x 轴交于两点A(x 1,0)，B(x 2,0)，x 1＜x 2，1x ＜2x ，且满足（OA ＋OB ）2＝３OC ＋71)求此抛物线的解析式2）是否存在一条直线与轴负半轴交于D ，与抛物线第一象限部分交于E ，使ADEC 是平行四边形，若存在，求出此直线的解析式；若不存在，请说明理由。

21.已知抛物线y ＝－x 2＋(m ＋1)x ＋2（m －1），与x 轴交于两点A(x 1,0)，B(x 2,0)，x 1＜0＜x 2，与y 轴交于C 点，且cot ∠CAO ＋cot ∠CBO ＝21)求此抛物线的解析式２）设抛物线的顶点M ，问以CM 为直径的圆与抛物线是否有其它的交点，若有，求交点坐标；若没有，说明理由。

22.已知直线y ＝kx －4 (k.>0)与x 轴和y 轴分别交于A,C 两点；开口向下的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A ，C 两点，且与x 轴交于另一点1）A ，B 两点到原点O 的距离AO ，BO 满足OA=3OB ， 且A ，B 两点的距离为4，求这条直线和抛物线的解析式2）是否存在这样的抛物线，使得tan ∠ABC=35， 且△ABC 的外接圆截得y 轴所得的弦长等于5？若存在， 求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

相关文档
最新文档