成都高新实验中学高届高三月考数学试题及答案word版

CDASB 成都高新实验中学高2012及8月月考数学试题(文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的． 1.设,,则A., B.,C.,,D.,,2．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5，124.5)内的频率为A.0.2B.0.3C.0.4D.0.53．在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为 A.10 B.8 C.6 D.5 4．函数13+=-x y的图象关于直线0=-y x 对称的图象像大致是5．“3>x ”是“1>x ”的A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件 6．设集合S ＝｛x ｜5<x ｝，T ＝｛x ｜037<-+x x ｝.则T S ⋂＝ A.｛x ｜－7＜x ＜－5 ｝ B.｛x ｜ 3＜x ＜5 ｝C.｛x ｜ －5 ＜x ＜3｝D.｛x ｜ －7＜x ＜5 ｝ 7．曲线在点,处的切线方程为A. B. C ． D ．8．已知向量,,,,且与共线,那么的值为A. 1B. 2 C ．3 D ．49.函数f (x )＝x 3－3x ＋1在[－3,0]上的最大值、最小值分别是A ．1，－1B ．1，－17C ．3，－17D ．9，－19 10.若的内角、、满足,则A. B.C ．D ．11．高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、、、、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为 A ．B.C ．D ．12.设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =A ．4B ．42C ．8D ．82二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．的展开式中的系数是 .14．若，且，则＝ .15．若函数ax x x f -=3)(在区间(－2,2)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．16．设S 为实数集R 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。

下列命题：○1集合{3S a b =+ a,b 为整数}为封闭集；○2若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ○3封闭集一定是无限集； ○4若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分l2分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S 。

18．（本小题满分l2分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（II ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

19．（本小题满分12分）设函数()sin cos 3cos()cos ().f x x x x x x R π=-+∈ （1）求()f x 的最小正周期；（II ）若函数()y f x =的图象按3,42b π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭平移后得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在(0,]4π上的最大值。

20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.21．（本小题共l3分）已知函数)(2131)(23R x x m x x f ∈+-=．(1)若)(x f 在1=x 处取得极大值，求函数)(x f 的单调区间；(2)若关于x 的方程)1(31)(≤-=m mx x f 有三个不同的根，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分13分。

（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如图，椭圆的中心为原点0，离心率e=2，一条准线的方程是22x = （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在定点F ，使得PF 与点P 到直线l ：210x =的距离之比为定值；若存在，求F 的坐标，若不存在，说明理由。

成都高新实验中学高2012及8月月考数学试题(文科)参考答案一、BCDAB CABCD AC 二、13. 240； 14.34； 15. ),12[+∞； 16. ○1○2 则1x y T -=-∉，所以T 不是封闭集.故填①②.17．解：设{}n a 的公比为q ，由题设得 12116,630.a q a a q =⎧⎨+=⎩ …………4分解得113,2,2, 3.a a q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 …………8分当113,2,32,3(21);n nn n a q a S -===⨯=⨯-时当112,3,23,3 1.n nn n a q a S -===⨯=-时…………12分18．解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。

（I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+ …………3分 ()()()()0.8.P C P A B P A P B =+=+= …………6分 （II ）,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=…………9分123()0.20.80.384.P E C =⨯⨯=…………12分19．解：（I ）21()sin 232f x x x =+ 13sin 2cos 2)2133sin 2223sin(2)3x x x x x π=++=++=++ …………………………………………………………………………4分故()f x 的最小正周期为2.2T ππ==……………………………………6分 （II ）依题意3()()4g x f x π=-+ 33sin[2()]4322sin(2) 3.6x x πππ=-+++=-+……………………………………………………………………9分当[0,],2[,],()4663x x g x ππππ∈-∈-时为增函数， 所以()[0,]4g x π在上的最大值为33()4g π=………………………12分20.（I ）证明：如图，由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AB ，由PA=AB 知PAB ∆为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 的中点，故AE ⊥PB 由题意知BC ⊥AB ，又AB 是PB 在面ABCD 内的射影， 由垂线定理得BC ⊥PB ，从而PC ⊥平面PAB ，因AE ⊥BP ，AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面PBC 。

…………6分 （II ）解：由（I ）知BC ⊥平面PAB ，又AD//BC ，得AD ⊥平面PAB ，故AD ⊥AE 。

在PAB Rt ∆中，PA=AB=2，.1212122=+==AB PA PB AE 从而在2.2,22==+=∆CD BC BE CE CBE Rt 又中，所以CED ∆为等边三角形， ……………………8分 取CE 的中点F ，连接DF ，则.CE DF ⊥因BE=BC=1，且BC ⊥BE ，则EBC ∆为等腰直角三角形，连接BF ，则BF ⊥CE ， 所以BFD ∠为所求的二面角的平面角。

……………………10分 连接BD ，在RFD ∆中，.3,2221,263sin22=+====⋅=CD BC BD CE BF CD DF π所以.332cos 222-=⋅⋅-+=BF DF BD BF DF BFD 故二面角B —EC —D 的平面角的余弦值为.33- …………………………12分 解法二：（I ）如图，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系A —xyz. 设D （0，a ，0），则)0,,2(),0,0,2(a C B )22,0,22(),2,0,0(E P . 于是)0,,0(),22,0,22(a BC AE == )2,,2(-=a则0,0=⋅=⋅，所以AE ⊥平面PBC. ……………………………6分 （II ）解：设平面BEC 的法向量为n ，由（I ）知，AE ⊥平面BEC ，故可取)22,0,22(1--==EA n ……………………………7分 设平面DEC 的法向量),,(2222z y x n =，则02=⋅DC n ，.02=⋅DE n 由 ||=1，得)0,1,2(),0,1,0(C D从而),22,1,22(),0,0,2(-==DE DC 故⎪⎩⎪⎨⎧=+-=02222,02222z y x x 所以.2,0222y z x ==可取)2,1,0(,122==n y 则 ……………………………10分 从而.33||||,cos 212121-=⋅⋅=n n n n n n ……………………………11分所以二面角B —EC —D 的平面角的余弦值为.33-……………………………12分21.解：(1)f ′(x )＝x 2－(m ＋1)x ， ……………………………1分 则由题意，得f ′(1)＝12－(m ＋1)×1＝0，即m ＝0. ……………………………2分 ∴f (x )＝13x 3－12x 2，f ′(x )＝x 2－x .由f ′(x )＝x 2－x ＝0解得x ＝0或x ＝1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．………………5分 (2)设g (x )＝f (x )＋mx －13＝13x 3－m ＋12x 2＋mx －13，则g ′(x )＝x 2－(m ＋1)x ＋m ＝(x －m )(x －1)． 令g ′(x )＝0，得x ＝m 或x ＝1.① 当m ＝1时，g ′(x )＝(x －1)2≥0，g (x )在R 上单调递增，不合题意．…………………7分………………………9分因为方程f (x )＝13－mx (m ≤1)有三个不同的根，即函数g (x )＝f (x )＋mx －13与x 轴有三个不同的交点，所以⎩⎨⎧－m 36＋m 22－13>0m －12<0……………………………10分解得m <1－ 3. ……………………………12分综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，1－3)． ……………………………13分22．（本题14分）解：（I ）由22,22,2c a e a c=== ……………………………2分 解得2222,2,2a c b a c ===-=，故椭圆的标准方程为221.42x y += ……………………………4分 （II ）设1122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，则由2OP OM ON =+得112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即 ………………………5分因为点M ，N 在椭圆2224x y +=上，所以2222112224,24x y x y +=+=，故222222121212122(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++2222112212121212(2)4(2)4(2)204(2).x y x y x x y y x x y y =+++++=++ …………………………7分设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知12121,2OM ON y y k k x x ⋅==-因此121220,x x y y += ……………………………10分 所以22220.x y += ……………………………11分 所以P 点是椭圆22221(25)(10)+=上的点，该椭圆的右焦点为(10,0)F ，离心率2,:2102e l x ==直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点(10,0)F ，使得|PF|与P 点到直线l 的距离之比为定值。