流体力学 2章讲稿

第二章 流体运动学只研究流体运动, 不涉及力、质量等与动力学有关的物理量。

§2.1 流体运动的描述 两种研究方法:(1)拉格朗日(Lagrange)法: 以流场中质点或质点系为研究对象, 从而进一步研究整个流体。

理论力学中使用的质点系力学方法，难测量，不适用于实用理论研究。

(2)欧拉(Euler)法: 将流过空间的流体物理参数赋予各空间点（构成流场），以空间各点为研究对象，研究其物理参数随时间t ，位置（x ，y ，z ）的变化规律。

易实验研究，流体力学的主要研究方法。

两种研究方法得到的结论形式不同，但结论的物理相同。

可通过一定公式转换。

1. 拉格朗日法有关结论质点： r=r （t ） dtd r V = dtd dtd V r a==22x=x （t ） dt dx u=22dtx d a x=y=y （t ） dtdy v=22dty d a y=p=p （t ） T=T （t ） .. .. .. .. .. .. .. .. 质点系：x=x （t,a,b,c ） p=p （t,a,b,c ） T=T （t,a,b,c ） .. .. .. .. .. .. .. ..(a, b, c)是质点系各质点在t ＝t 0时刻的坐标。

(a, b, c)不同值表不同质点2. 欧拉法物理量应是时间t 和空间点坐标x, y,z 的函数u ＝u(x, y, z, t) p ＝p(x, y, z, t) T ＝T(x, y, z, t) 3. 流体质点的随体导数！！流体质点的随体导数：流体质点物理参数对于时间的变化率。

简称为质点导数。

例：质点速度的随体导数（加速度）dtd V 质点分速度的随体导数dtdu质点压力的随体导数dtdp 质点温度的随体导数dtdT.. .. .. .. .. .. 质点导数是拉格朗日法范畴的概念。

流体质点随体导数式---随体导数的欧拉表达式dt d V =zw yv xutt ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V V V V V V Vdt du =zu wyu v xu ut u u t u ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VdtdT =zT wyT vxT utTT tT ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V普遍形式：dtdF =zF wyF vxF utF F tF ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VFt)(∇⋅+∂∂=V证其一： dt d V =VV V ∇⋅+∂∂t由dtd V =tt ∆-→∆VV 'lim因 V=V （x ，y , z,t ）V ’=V （x+Δx ，y+Δy ,z+Δz,t+Δt ）所以 V ’=V++∆∂∂x xV +∆∂∂y yV z z∆∂∂V tt∆∂∂+V代入上式得dtd V ==∆∆∂∂+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆→∆ttzz yxxt tV V yV V limV V V zV yV xV tV ∇⋅+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=twvu可见, 在欧拉法中质点速度的随体导数(即加速度)由两部分组成。

其中t∂∂V 称作当地速度变化率(即当地加速度), 表示同一地点, 流体速度对于时间的变化率•,它是由流场的不定常性引起。

对于定常流t∂∂V ＝0 。

而VV∇⋅称作速度的迁移变化率(即迁移加速度), 它是由流场的不均匀性引起的。

仿上易证普遍形式：dtdF =FtF ∇⋅+∂∂V =（Ft)∇⋅+∂∂V（1） （2）（1）称作F 的当地变化率，(2) 称作F 的迁移（或换位）变化率。

)(∇⋅+∂∂V t又称作质点导数算子质点导数式是拉格朗日法与欧拉法的转换关系式之一！！§2.2 输运公式一．系统: 连续的流体质点系，其体积由τ0表示，其边界面由A 0表示。

系统的特点:(1) 系统随流体运动。

其体积及边界面的大小和形状都可随时间变化; (2) 系统的边界面上无质量交换;(3) 系统的边界面上可以有动量和能量的交换; (4) 系统的边界面上受外界的作用力。

系统亦属于拉格朗日法范畴的概念。

二.控制体：流体流过的, 相对于某坐标系固定不变的任何所选定的体积。

控制体的封闭边界面称之为控制面。

控制体由τ表示, 控制面由A 表示。

控制体特点:(1) 相对于坐标系是固定的;(2) 控制面上可以有质量、动量和能量的交换; (3) 控制面上受外界的作用力。

（4）占据控制体的流体随时间而变化。

控制体属欧拉法范畴的概念 一．输运公式：流体系统的物理量对于时间的变化率（系统导数）的欧拉法表达式。

输运公式则是把拉格朗日法中与欧拉法间的又一重要转换关系式 ⎰⎰⋅+⎰⎰⎰∂∂=⎰⎰⎰A dA d t d dt d )(0n V φτφτφττ 输运公式或⎰⎰⎰0ττφd dt d ＝⎰⎰⎰∂∂2ττφd t+dA A ）（入n V ⋅⎰⎰φ+dAA ）（出n V ⋅⎰⎰φφ：单位体积内所含的某种物理量（矢量或标量）。

证明：为简便，令⎰⎰⎰=0ττφd I则⎰⎰⎰0ττφd dtd dtdI =因dI ＝I'-I ⎰⎰⎰='0ττφd ⎰⎰⎰-0ττφd⎰⎰⎰='ττφd │t+dt ⎰⎰⎰-ττφd │t=(⎰⎰⎰2ττφd │t+dt ⎰⎰⎰+3ττφd │t+dt )-(⎰⎰⎰1ττφd │t ⎰⎰⎰+2ττφd │t )因 ⎰⎰⎰2ττφd │t+dt ⎰⎰⎰-2ττφd │t dt d t )(2⎰⎰⎰∂∂=ττφ│t ≈⎰⎰⎰∂∂ττφdt d t)(│t⎰⎰⎰3ττφd │t+dt =⎰⎰⎰3ττφd │t +)(3⎰⎰⎰∂∂ττφd t│t dt（后项为高阶小量）≈⎰⎰⎰3ττφd │t而 ⎰⎰⎰3ττφd │t =dtdA A )(2n V⋅⎰⎰φ│t⎰⎰⎰1ττφd │t =dtdA A )(1n V ⋅-⎰⎰φ│t综合上述各式, 得到dI ＝⎰⎰⎰∂∂ττφdt d t)(+（dAA )(1n V ⋅⎰⎰φ+dAA )(2n V⋅⎰⎰φ）dt＝⎰⎰⎰∂∂ττφdt d t)(+dA A )(n V ⋅⎰⎰φdt最后得到 ⎰⎰⎰0ττφd dtd dtdI =＝⎰⎰⎰∂∂ττφd t+dAA )(n V ⋅⎰⎰φ或⎰⎰⎰0ττφd dtd ＝⎰⎰⎰∂∂ττφd t-dA V n A 入入⎰⎰φ+dA V n A 出出⎰⎰φ输运公式的物理意义: 某物理量的系统导数, 等于单位时间内控制体中所含物理量φ的增量与通过控制面流出的物理量代数值之和。

或等于单 位时间内控制体中所含物理量φ的增量，加上出口面上流出的物理量减去入口面上流入的物理量。

§2.3 流线与迹线一.迹线：流体质点的运动轨迹。

（属拉格朗日研究法范畴的概念） 由拉格朗日法中流体质点运动的微分方程 dt dx ＝u(t)dtdy ＝v(t)dtdz ＝w(t)dtwdz v dy udx === 迹线的微分方程解得 x ＝x(t)＋c 1 y ＝y(t)＋c 2 z ＝z(t)＋c 3 迹线的参数方程 消去t, 可得流体质点的迹线例题：已知速度场V ＝kx i －ky j ，求t=0时处于x=5,y=5的流体质点的迹线解： 据已知条件 u ＝kx v ＝－ky由流体质点运动的微分方程得dx ＝udt ＝kxdt dy ＝vdt ＝－kydt 解得 lnx ＝kt ＋c 1 lny ＝－kt ＋c 2 代入初始条件得 c 1=ln5=c 2 5ln +=kt ex 5ln +-=kt ey消去t 得迹线 xy ＝25 柱坐标下迹线的微分方程dtV dz V rd V dr zr===θθ 自证！！二．流线：流场中的曲线，同一瞬时，其上各点的切线方向与该点的速度方向一致。

流线属欧拉法范畴的概念。

流线微分方程wdz vdy udx ==证明：设d r 为过流线上一点的一段微元矢量弧长,V 为流线上该点的速度。

由于流线上一点微元矢量弧长与这点的切线方向一致,据流线的定义有 V ×d r ＝0＝(udy －vdx)k ＋(wdx －udz)j ＋(vdz －wdy)i 于是 udy －vdx ＝0 wdx －udz ＝0 vdz －wdy ＝0 得到wdz v dy u dx ==不难分析，上述流线方程仅含两个独立方程。

式中流线上的速度u 、v 、w 均是坐标和时间的函数。

柱坐标系下流线方程为zrV dz V rd V dr ==θθ 自证！！流线性质:(1) 流线具有瞬时性，不同时刻可能有不同流线；（2）流线一般不相交，因为空间每一点只能有一个速度。

但驻点（速度为零点）、速度奇点（速度无穷大O 点）和流线相切点流线可相交或相切；(3) 流场中每一点都有流线通过，形成流谱；(4) 不定常流场中流线随时间而变化，定常流场中流线不随时间变化，且与迹线重合。

二维平面流场，流线方程为 vdy u dx =例 题： 已知速度场为 θe Vrc =c 为常数求： 1）过x ＝1，y ＝1, z ＝0的流线方程2）t ＝0•时过x ＝1 ,y ＝1, z ＝0的质点的迹线方程 解： 1) 由已知速度场知： v r ＝0 v θ＝r cv z ＝0代入柱坐标下的流线方程zrV dz V rd V dr ==θθ得==θθV rV d dr r==θθV rV d dz z所以流线方程为 r ＝const ＝c 1 z ＝const ＝c 2 因 r ＝22yx+ , 当过x ＝1、y ＝1、z ＝0时, r ＝2 ，代入上式得 c 1＝2, c 2＝0因此，过x ＝1、y ＝1、z ＝0的流线方程为 r ＝2z ＝0即此流线为z ＝0平面上半径为2的圆。

2) 迹线方程的柱座标形式为dtV dz V rd V dr zr===θθ即 dtV drr = dt r V d θθ= dtV dzz =由已知得0=dr dt rcd 2=θ 0=dz积分得 r ＝const ＝c 1 22c t rc +=θz ＝const ＝c 3因 t ＝0•时过x ＝1 ,y ＝1, z ＝0 即r ＝24πθ=z ＝0所以 c 1＝2c 2＝4πc 3＝0迹线方程为 r ＝242πθ+=t c z ＝0此迹线为z ＝0平面上半径为2的圆，在此圆上做等速运动。

可看出，流线与迹线重合，正是由于速度场是定常的。

二．流管：同一时刻由流线围成的管状曲面。

流管特性：(1) 流管具有瞬时性，不同时刻可能有不同流管，但定常流场中流管不随时间变化；（2）流管不相交，流体不可能穿过流管侧面；（3）流管不能在流场内部中断，流管只可能始于或终于流场边界，如物面、自由面；或者成环形；或者伸展到无穷远处。

§2.4 流体微团的速度分解与流体的变形速率张量 一. 流体微团运动的几何分析t 时, 任取一正交微元六面体流体微团，dt 后运动到新位置且发生变形如图以OBDC 流体平面为例，分析矢量边OB 、CD 的变化。