第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动：《数系的扩充》说课课件(江苏省宿迁中学陆明明)
第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-归纳推理说课稿
教学设计说明一、本节课数学内容的本质、地位和作用的分析推理是根据一个或几个已知的事实（或假设）来确定一个新的判断的思维方式. 数学、哲学和心理学等学科对其都有研究，它更是人类思维的基本形式. 人们在日常活动和科学研究中经常使用的推理有合情推理和演绎推理. 合情推理是人类发现新知的一个重要途径. 它既有猜测和发现结论的作用，又有探索和启发思路的作用. 本节课所学习的归纳推理是合情推理的一种. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的思维过程，通过归纳推理可以发现新知识，获得新结论.推理与证明的内容属于数学思维方法的范畴，贯穿数学教学的始终，遍布数学知识的每个领域. 旧教材将其渗透在具体的数学内容中分散处理，如：综合法和分析法放在“不等式”一章，“反证法”作为“简易逻辑”的一部分，“合情推理”更是很少涉及. 新课程将其统一纳入教材，集中讲授，我认为这对学生系统掌握其方法是很有必要的. 尤其是“合情推理”这一新加入内容，有助于学生从单纯的解答现成的问题，扩展到能够独立的提出一些问题. 很多大数学家（比如拉格朗日，波利亚）都强调合情推理是他们发现新问题的重要手段，波利亚更是在其名著《数学与猜想》中拿出很多章节对合情推理的模式进行一一总结. 如果学生掌握了这些方法，并能够在今后有意识的使用它们，不仅能培养其言之有据，论证有理的思维习惯，而且对开发学生创新性思维，为社会培养创新型人才都有很强的现实意义.二、教学目标分析新课程中，合情推理分为归纳推理和类比推理两讲，本节课是第一部分，对它是初步了解. 所以我把教学重点放在对归纳推理的概念理解和应用上.而提高学生从特殊到一般的归纳能力则是本节课的教学难点，教学的关键是引导学生自己探索、观察、发现、归纳.归纳推理作为发现新知的一种途径，有时探索的过程是漫长而曲折的，课堂上设置了有一定难度的“汉诺塔问题”，正是希望学生通过一番“辛苦”的努力才能得到结论. 这样的安排有利于提高学生的数学素养和锻炼学生的意志品质.根据以上想法，结合我校学生的实际情况，我制定了如下教学目标：(1)了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单的推理.(2)培养学生的归纳探索能力，提高学生的创新意识.(3)培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的钻研精神.三、教学问题诊断分析本节课的教学中，有几处需要注意：（1）结论的开放性归纳推理很大程度上是一种创造性思维，教学中每个学生作出的推理可能并不一致，在这里有些时候结论是开放的，不是唯一的，只要“合情”，就应该认为是对的，应当鼓励学生积极地创造性的思维. 当然面对推出的不同结论，可以比较哪些结论是更具有研究价值的，哪些思考是更有深度的.（2）过程的复杂性归纳推理有时不是一蹴而就的，并不是所有的问题只看三五个特殊情形，就能得出一般性结论，有些问题则需要多看几个，在归纳的同时也能培养学生在探究问题的过程中锲而不舍的精神.（3）结论的正确性归纳推理所得的结论不是一定都正确. 课堂练习2就是这样的例子：课堂练习2：设2f f f的值，并=++∈，计算(1),(2),,(10)f n n n n()41,N*归纳出一般性结论.学生容易做出“()f n为质数”的结论，但这是不对的，实际上(40),(41)f f都是合数. 甚至有的问题很难举出反例说明它是错误的，也不容易证明结论的正确性，比如哥德巴赫猜想. 课上有意安排这样的例子，目的是使学生能辩证地看待归纳推理这种方法.（4）处理好推理和证明的关系数学上为保证结论正确，总是强调要证明结论，但合情推理部分重在“推理”，重在得出新结论，“证明”不是本节课要解决的问题. 课上例题中的“汉诺塔问题”就是这样，学生在短时间内能够得出一般性的结论，已实属不易，若再要求证明，则难度过高，时间上也不允许，而且会让学生抓不住“推理”这个重点，所以处理上更宜放在课后让学有余力的学生思考.四、本节课的教法特点以及预期效果分析本节课在教学设计中我主要关注了以下两个方面：（1）紧扣教材又不拘泥于教材因为授课所用教材为人教B版，所选实例、例题和练习题大部分都来自该教材，仅“汉诺塔问题”来自人教A版，原因是B版此处所举例题为学生熟知的哥德巴赫猜想，这样学生可能不能充分体验从特殊到一般这样一种自己发现结论的思维过程，故换之.本节课在紧扣教材的基础上，又没有照搬教材，而是经过个人的思考，重新组合，适当调整. 比如课堂练习2，我把它作为开放题处理，让学生充分发散思维，得出多种结论.（2）“以学生为中心”在教学设计时，我对每个教学环节都进行了仔细地推敲，看逻辑是否自然，是否符合学生的认知水平，学生能否接受，如何接受，能接受到什么程度.首先，利用有趣的故事吸引学生的注意力，激发学习兴趣. 改编自华罗庚先生猜帽子颜色的问题是很经典的推理问题，它能使学生很快进入情境，积极迅速地投入到课堂内容中来. 当然华先生的原文为3个学生，5顶帽子. 思维难度较大，作为引入不太合适. 我将其改为2个学生，3顶帽子，使之更适应学生实际，更适合课堂教学.接着从学生熟悉的实例出发，引出概念；以问题的形式启发学生思考，引导学生观察、发现、归纳；鼓励学生发言，允许学生犯错，对学生发言及时点评. 这种教学方式顺应学生的思维习惯，概念形成过程更加自然，使学生觉得大部分内容都是自己想出来的，印象会更深刻.“汉诺塔问题”作为数学上的经典问题，内容有趣，学生听完题就跃跃欲试；题意简单明确，学生容易上手；而过程却并不轻松，能很好地锻炼学生的能力. 而且，我考虑到不同学生在动手实践能力和抽象思维能力上可能各有所长，鼓励学生采取不同的处理方式，这样最大程度地照顾到每个学生，让他们按照自己擅长的方式研究问题，感受数学发现的乐趣.以上就是我对“归纳推理”这节课的教学设计进行的说明. 不妥之处，恳请各位专家和老师批评、指正.。
数系扩充说课稿
数系的扩充说课稿江苏省新海高级中学宋秀云数系的扩充是高中数学选修1-2第三章第一节的内容。
从教材安排来看,其内容虽然比较简单浅显,但却蕴涵着丰富的数学文化.这是因为数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索.数系扩充的过程既体现了数学的发现和创造的过程,也体现了数学发生、发展的客观需求.因此我认为本节课的教学重点应是数系扩充的源由和过程，通过合理安排教学内容，让学生亲历数系扩充的过程, 并在此基础上明确数集的每一次扩充,既是客观实际的需要,又是数学内部发展的需要，感悟引入虚数、扩充实数集合的必要性、迫切性和合理性。
新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，来建构新的知识体系。
根据新课程的这一理念，我认为，《数系的扩充》这节课在教学内容上应在合理使用教材的同时恰当渗透分类讨论、转化化归等数学思想,在教学方法上应采取各种措施充分调动学生的积极性，促其主动参与、自主探究、合作交流，使学生的思维伴随着知识的生成尽可能与教者同步，使教学的课堂成为生动活泼、民主和谐的生态园地。
我是这么想的，也是这么做的。
本节课，我的教学过程大致分为如下五个阶段：1、创设情境，引出问题在本节课的开始，通过一个轻松的拆分数字的游戏设计具体境,逐步引出问题:某些方程在实数范围内无解.2、发现问题，探求新知这一部分我安排了三个环节:(1)前车之鉴:以方程求解为主线,引领学生回顾数系的三次扩充的过程,为进一步扩充做铺垫.(2)数系的扩充之我见.组织学生讨论并明确三个问题:(1)为什么要扩充数系?(2)数系扩充是怎样进行的?(3)扩充后的数集之间有何关系?为数系的再一次扩充作好准备.(3)结合数学史感受引入虚数单位及其规定的合理性对于虚数单位的第二条规定不能广而告之,而应通过学生的切身体会总结而出.3、深入探究，建构概念1、复数的概念:通过让学生举虚数单位i与实数进行四则运算的例子,发现并统一数的形式,从而生成复数的概念,指出复数的实部与虚部,区分实数,虚数,纯虚数.2、两个复数相等的充要条件让第二个学生回顾在举例之前的顾虑即不愿意与他人重复,并说明如何避免与别人重复,引出复数相等,并组织学生讨论得到两个复数相等的充要条件.通过学生活动,共同发现建构概念,自然流畅,易于接受理解.通过前面几个环节，学生已基本掌握了本节课的相关知识，此时我带领学生体验运用新知识去解决问题的乐趣，进入本节课的下一个环节——当堂训练，巩固提高。
第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动《数列极限》说课稿
《三角函数诱导公式》教学设计（人教A版高中课标教材数学必修4第一章1.3节）“三角函数的诱导公式(第一课时)”教学设计一、教学内容与内容解析“三角函数的诱导公式”是普通高中课程标准实验教科书人教A版必修4第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六，是三角函数的主要性质.学生在前面已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，这节课在此基础上，继续学习公式二至公式四.三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体.通过简单问题的提出、诱导公式的发现、问题的解决，体会由未知到已知的转化，为以后的三角函数求值、化简、简单证明以及后续学习的三角函数图像和性质等知识打好基础．诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用. 诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用.本节课的重点是诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单函数式的求值与化简，提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识，把过去渗透在具体数学内容中的重要的方法以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们.二、教学问题诊断分析在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习.在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公式.在教学中可能会遇到如下几个问题：1．在利用多媒体引导学生从特殊到一般的学习过程中，部分学生认为只要记住公式，会做题就可以，对公式的推导重视不够.为了尽量避免这种情况的出现，我采用小组讨论制，考虑到学生的个体差异，把“强”、“中”、“弱”合理搭配，安排组长监管收集讨论的结果，记录收集每一阶段的过程材料.2．角α的任意性，怎样向学生交代清楚是这节课我一直思考的问题.为了解决这个问题我自己利用几何画板制作教学课件，通过用角终边的任意一点的拖动，显示三角函数值在各个象限的变化，让学生明白角α不局限为第一象限的角，它具有任意性，从而突破了难点.3．公式的记忆也是个难点.特别是十字口诀更是理解不深.对于幻灯片中的公式，教师对照几何画板课件逐字逐句的分析，让其明白公式中的角是任意的，而记忆时将其看成锐角.另外，反思学习过程时，体会角的终边的对称性与三角函数值之间的关系也有利于公式的记忆.三、目标和目标解析（一）教学目标1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式,会利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值与化简.2.通过诱导公式的推导过程，体会数形结合及转化思想的运用.3.培养学生由特殊到一般的归纳意识，学会用联系的观点看待问题.（二）目标解析在初中学生已经学习过关于原点、x轴以及y轴对称的点的坐标的内在联系，并且前面学生能运用三角函数的定义和公式一进行三角函数求值，但对于任意角的三角函数之间存在的联系还不清楚，或者只有一点模糊的感性认识．数学课程标准强调：“学生要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用．通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程．”所以，根据课程标准、教材的特点、对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标．根据教学内容的结构特征及教学目标，本节课采用了“问题——发现——归纳——类比”的教学方法和“自主探究——小组合作”的学习方式.由问题驱动，通过诱导公式二至四的探究，概括得到诱导公式的特点，提高对数学内部关联的认识，理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想，培养学生的探究能力.教学目标实现过程：1．利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.2．由特例(18030)︒+︒与30°(36030)︒-︒与30°，(18030)︒-︒与30°的关系提出问题，启发学生的思维，引导他们分析角的终边对称关系，利用定义进行推导得到公式二，再利用多媒体动态演示，使学生对“α为任意角”的认识自然合理.之后如法炮制公式三、四，通过联想，类比、方法迁移，学生很轻松的发现公式，每小组积极发言并且通过实物展台展示交流，发现任意角α与(180)α︒+，α-，(180)α︒-三角函数值的关系，体会了从特殊到一般的归纳推理过程，使学生的思维得到科学训练，有助于培养学生的概括“卡西欧杯”第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动能力和创新能力.3．采用问题设疑，观察演示，步步深入，逐层引导，探究合作的教学方法，旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律（公式），培养学生的创新意识和创新精神.通过引导学生探索并发现公式，将发现与证明合为一体，体现了“数形结合”的思想方法.4．通过例1和变式，把诱导公式（一）、（二）、（三）、（四）的应用进一步拓广，发展学生的思维能力和计算能力.例2的扩展让学生认识到公式的实用性和学习的必要性.本节课的教学设计力求体现“问题性”、“科学性”与“思想性”，以多媒体为辅助手段，采用教师为主导学生为主体的启发式与探究式相结合的方法，使学生快乐地学习.三、教学支持条件分析在进行本节课的教学时，学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是学生理解、归纳公式二至公式四的基础，因此教学时应充分注意利用这一有利条件，引导学生多进行归纳与概括.另外，信息技术的使用也为突破教学难点、启发学生思维、增加课堂容量提供了有力的支持.五、教学过程设计 （一）创设问题情境师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示． 问题1：（1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切） （2）任意角的三角函数的定义是什么？ （3）公式一的内容与作用是什么？ 问题2:已知1sin 30,2︒=如何求sin 210,sin330,sin150︒︒︒的值. 教师引导：能否再把0°～360°间的角的三角函数，化为我们熟悉的 0°～90°间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的问题.【设计意图】通过复习旧知，为新知识的学习打下基础.特别是各象限三角函数的符号，对于诱导公式记忆起关键作用.提出的新问题，引导学生进一步思考，激起学生们的兴趣. (二)探索开发新结论教师引导：为了解决以上问题，我们采用各个击破的方法.首先看21030180︒=︒+︒，如果我们知道一个任意角α与(π＋α)三角函数值的关系，问题就解决了.探究一：任意角α与(π＋α)三角函数值的关系. 问题3：①α与 (π＋α)角的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）②设α与(π＋α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2，则点P 1与P 2位置关系如何？（关于原点对称） ③设点P 1(x ，y )，那么点P 2的坐标怎样表示？（P 2(－x ，－y )）④sin α与sin(π＋α)，cos α与cos(π＋α)，tan α与tan(π＋α)的关系如何？ 经过探索，归纳成公式()()()sin πsin cos πcos tan πtan αααααα+=-+=-+= ------公式 二1sin 210sin(30180)sin 302︒=︒+︒=-︒=-.【设计意图】公式二的三个式子中，ααsin )πsin(-=+是第一个解决的问题，由于方法及思路都是未知的，所以采取教师引导，师生合作共同完成办法．通过脚手架式的层层提问，引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.同时，试图通过环环相扣的问题给学生传递“由宏观到微观考虑问题”的思维习惯，从而达到“授人以渔”的目的.后两个均由学生类比讨论完成．学生活动：小组讨论，代表发言交流． 问题4：公式中的角α仅是锐角吗？【设计意图】课前提问的问题是以30︒引入的，之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式的角α，有些同学肯定会有这样的疑问，所以这个问题的解决好，就是突破难点的关键.引导学生互相讨论，交流可以使学生记忆更深刻.师生活动：演示几何画板课件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相应的三角函数值，拖动其终边上任意点，再让学生观察每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关系，从而验证了猜想，使学生更好的理解了这个公式．【设计意图】通过多媒体演示，发现变化规律，从而总结出三角函数的诱导公式．类比第一个问题的解决方法，我们再来解决后面的两个问题.观察33036030︒=︒-︒，由公式一知330︒的终边与30-︒的终边相同，所以我们必须知道一个任意角α与(-α)三角函数值的关系. 探究二：任意角α与(-α)三角函数值的关系. 问题5：①α与(－α)角的终边位置关系如何？(关于x 轴对称)②设α与(－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如何(关于x 轴对称) ③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？[P 2(x ，－y )］④sin α与sin(－α)，cos α与cos(－α) ，tan α与tan(－α)关系如何？ 经过探索，归纳成公式()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=--------------公式 三1sin 330sin(36030)sin(30)sin 302︒=︒-︒=-︒=-︒=-.【设计意图】通过学生自主探究与合作交流，完成由角的终边点的对称性得到公式的过程，充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，让学生参与教学活动.让学生体验数与形的关系，尝试自主探究的乐趣.教师引导：那15018030︒=︒-︒，我们须知α与(π－α)的三角函数值的关系，同学们继续发挥聪明才智解决它吧！探究三：α与(π－α)的三角函数值的关系． 问题6：①α与(π－α)角的终边位置关系如何？(关于y 轴对称)②设α与(π－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如何？(关于y 轴对称) ③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？[P 2(-x ，y )］④sin α与sin(π－α)，cos α与cos(π－α) ，tan α与tan(π－α)关系如何？ 经过探索，归纳成公式()()()sin πsin cos πcos tan πtan αααααα-=-=--=- ------公式 四 1sin150sin(18030)sin 302︒=︒-︒=︒=【设计意图】与探究二的教法相同，学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视，及时反馈、矫正、讲评．采用合作学习有助于观察的多种方式的呈现，通过学生多角度的观察所得到结论的交流，让学生感受数学美和发现规律（公式）的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律.同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事. (三)总结概括新结论师生活动：为了更好的使学生们把自己的研究成果记忆牢靠，师生共同大声朗读这四组公式. 三角函数的诱导公式公式一：sin(2π)sin ,cos(2π)cos tan(2π)tan (Z),k k k k αααααα+=+=+=∈， 公式二：sin()sin cos()cos tan()tan .αααααα-=--=-=-，， 公式三：sin(π)sin cos(π)cos tan(π)tan .αααααα-=-=--=-，， 公式四：sin(π)sin cos(π)cos tan(π)tan .αααααα+=-+=-+=，， 说明：公式中的α指使公式两边有意义的任意一个角． 问题7：你能用一句话概括公式一、二、三、四吗？为了让学生更好的记忆公式，通过幻灯片展示，猜想验证，如果把角α看成锐角，2π,π,π,k αααα+-+-分别位于第一、二、三、四象限，由课前提问各象限内三角函数值的符号，学生可以试着叙述.师生活动：总结概括公式一、二、三、四：ααα-±∈±,π,Z)(π2k k 的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.公式特点：“函数名不变，符号看象限”【设计意图】逐步理解十字口诀含义，并且训练学生的概括能力.(四)巩固应用结论例1 求下列三角函数值：师生活动：学生板书，教师巡视，纠正错误． （1）cos225︒；（2）11πsin3；（3）16πsin()3-；（4）cos(2040)-︒ 分析：先将不是0～2π范围内角的三角函数，转化为0～2π范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0～π2范围内角的三角函数的值. 解：（1）2cos 225cos(18045)cos 452︒=︒+︒=-︒=-． （2）11πππ3sinsin(4)sin 3332π=-=-=-． （3）16π16πππ3sin()sin sin(5π)(sin )33332-=-=-+=--=． （4）cos(2040)cos 2040cos(6360120)-︒=︒=⨯︒-︒=1cos120cos(18060)cos602︒=︒-︒=-︒=-． 问题8：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是什么？（学生大胆说，互相讨论）①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化大于2π的正角的三角函数为0～2π内的三角函数； ③化0～2π内的三角函数为锐角的三角函数． 变式：已知α是第三象限的角且1sin 3α=-，求sin(π)α+，sin(π)α-（学生口答） 【设计意图】在得到诱导公式后，在此让学生去实践解决问题，，一般情况下，1、2小题都能很快解决，只是到了第3、4小题时，条件变化稍复杂一些，同学们就会出现思维障碍，需及时引导他们去进行角的转化，在实践中体会诱导公式在解题过程中的应用，使任意一个角都转化为他们所熟知的锐角，体会从未知到已知的化归思想，从而为总结出解题的一般步骤埋下伏笔.变式是为了让学生进一步理解公式中角的任意性而设立.例2 化简()cos(180)sin 360sin(180)cos(180)αααα︒++︒--︒-︒-．（学生板书）解：[]sin(180)sin (180)sin(180)(sin )sin ααααα--︒=-︒+=-︒+=--=，[]cos(180)cos (180)cos(180)cos αααα-︒-=-︒+=︒+=-，所以原式=cos sin 1sin (cos )αααα-=-．变式：已知π1sin()63α-=，求5πsin()6α+的值. 【设计意图】在例题的选取与设计上，主要体现“由易到难，由简单到复杂，层层推进”的想法，例1体现在求值上，例2主要体现在化简上，使学生明白公示的应用所在.变式需要利用诱导公式进行一下变形再求值，对于初学者有点难度，需要教师从旁指导.练习是递进，体现化归思想、整体思想、使学生思维得到锻炼，体验学习的乐趣，从而达到初步掌握知识应用的目的.(五)课堂小结问题9 ：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？主要提示从以下三方面 （由学生完成） 1．四组诱导公式及公式的记忆方法 2．求任意角的三角函数的步骤：上述过程体现了由未知转化为已知的化归思想. 3．公式中的α的任意性.【设计意图】通过提问的形式，引导学生概括归纳已有知识，发现知识规律及其结构特征，形成知识系统；深化对诱导公式内涵和实质的理解，挖掘知识形成过程中所体现归纳和转化的思想方法，形成知识网络和方法网络，培养学生的抽象概括能力，．（六）作业布置： 1．思考题给定一个角α，终边与角α的终边关于直线y x =对称的角与角α有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？能否证明？2．27页练习2、3【设计意图】通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力；思考题的设置为了下节课学习公式五、六做预习准备的.教会学生利用所学知识进行数学学习，这是本节内容的一个提高与拓展.任意负角的三角函数任意正角的 三角函数用公式 三或一用公式一0~2π的三角 函数用公式 二或四锐角的三角函数。
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[转帖]第五届全国高中数学青年教...[转帖]第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动《几类不同增长函数模型》说课，浙江省杭州二中詹爽姿doc高中数学浙江省杭州第二中学詹爽姿一．内容和内容解析本节课是高中数学〔必修1人教A版〕第三章中?几类不同增长的函数模型?的第一课时.比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义，是本章的一个重要内容．对不同函数模型在增长差异上的研究，教科书围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点．教科书运用选自投资方案和制定奖励方案两个咨询题，引出函数模型增长情形比较的咨询题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情形的差异，讲明了不同函数类型增长的含义。
在前两章，教材安排了函数的性质以及差不多初等函数，本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此本节内容的研究从内容上看，是对前面所学习的几种差不多初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时为后面连续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础。
因此本节内容，既是第二章差不多初等函数知识的连续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.本节内容所涉及的数学思想方法要紧包括：由实际咨询题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决咨询题过程中函数与方程的思想。
二．目标和目标解析本节课的教学任务为：〔1〕创设一个投资方案的咨询题情形，让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质，体会直线上升和指数爆炸；〔2〕创设一个选择奖励模型的咨询题情形，让学生在观看和探究的过程中，体会对数增长模型的特点；〔3〕通过建立和运用函数差不多模型，让学生初步体验数学建模的差不多思想，进展学生的创新意识和数学应用意识.结合以上任务分析，本节课的教学目标应确定为：〔1〕利用函数图象及数据表格，并借助信息技术，能比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异；通过实例的解决体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义；〔2〕恰当运用函数的三种表示方法〔解析法、列表法、图象法〕，表达实际咨询题中的函数关系，认识函数咨询题的研究方法〔观看—归纳—猜想—证明〕；〔3〕经历建立和运用函数差不多模型的过程，初步体验数学建模的差不多思想，能够体会数学的作用与价值，初步形成分析咨询题、解决咨询题的能力.这部分内容教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数模型为对象，将前面差不多学习过的内容以及处理咨询题的思想方法紧密结合起来，使之成为一个系统的整体．因此教学中应当注意贯彻教科书的那个意图，让学生经历函数模型应用处理的完整过程，同时在过程中认识不同增长的差异。
2020学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义课件苏教版选修2_2
3.3 复数的几何意义
第3章 数系的扩充与复数的引入
1. 了 解 复 平 面 的 建 立 方 法 、 相 关 概 念 及 复 数 的 几 何 意 义． 2.理解复数模的概念、求法及几何意义． 3．掌握复数加 法和减法的几何意义及应用．
1．复平面的定义 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做_实__轴___， y 轴叫做_虚__轴___．实轴上的点都表示_实__数___．除原点外，虚轴上 的点都表示_纯__虚__数___． [注意] (1)与点 Z(a，b)建立一一对应关系的向量是以原点 O 为 起点，点 Z(a，b)为终点的向量． (2)在复平面上，虚轴是 y 轴，虚轴上的点表示的复数不都是纯虚 数，但表示纯虚数的点都在 y 轴上．
3.已知复数 z1＝ 3－i，z2＝cos θ＋isin θ， (1)求|z1|及|z2|，并比较大小； (2)设 z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点 Z 的集合是什么图形？
解：(1)|z1|＝ ( 3)2＋(－1)2＝2， |z2|＝ cos2θ＋sin2θ＝1.所以|z1|>|z2|. (2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得 1≤|z|≤2. 因为|z|≥1 表示圆|z|＝1 外部及圆上所有点组成 的集合，|z|≤2 表示圆|z|＝2 内部及圆上所有点 组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以 O 为圆心，以 1 和 2 为半径的圆所夹的圆环，包括边界(如图所示)．
(2)由题意，知mm22－ ＋83mm＋ －1258<＝00，，①② 由②得 m＝－7 或 m＝4. 因 m＝－7 不适合不等式①，m＝4 适合不等式①， 所以 m＝4. 故当 m＝4 时，复数 z 的对应点位于 x 轴的负半轴上．
数系的扩充(教案及教学设计说明)
课题：数系的扩充授课教师：吴晶教材：苏教版选修1-2第三章第一节【教材分析】教材地位和作用：数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.教材处理办法：精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点：数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标：了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识.情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学方法：开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价.学习方法：自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结.教学手段：结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台.【教学程序】以问题为载体，以学生活动为主线.创设情境→建构数学→知识运用→归纳总结→巩固作业创设情境：用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路-------笛卡尔.名人名言引入，投影出为数系扩充作出贡献的一些数学家的照片和名字.让学生把自己所了解的一些数学家作简要介绍，教师适时总结：他们都是科学巨匠，他们都曾为人类文明的进步做出过巨大贡献，同时，他们也为数的概念的发展做出过巨大贡献.回忆学过的数的类型.建构数学：数的概念来源于生活，为了计数的需要产生了自然数；为了表示相反意义的量，有了负数；为了解决测量、分配中的等分问题，有了分数；为了度量（例如边长为1km 的正方形田地的对角线长度）的需要，产生了无理数.数的概念的发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学科学本身发展的需要.矛盾是事物发展的根本动力.看以下几个方程：1x 2x1201x 22=+===+x规定：（1）i 2=-1 虚数单位：i（2）实数可以与i 进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.找到了方程012=+x 的解.试一试：依据规定，写出实数3与i 进行四则运算后得到的数.设计意图：适当了解一些与数系扩充有关的数学伟人和数学史，激发学生学习兴趣，引入新课.设计意图：认识到数系扩充的必要性. 发展学生求知、求实、勇于探索的情感和态度，体会数学体系的系统性和严密性.复数),(i R ∈+=b a b a z ，复数集：C 实部：a 虚部： b 复数),(i R ∈+b a b a ⎩⎨⎧=≠=)0)(0()0(时是纯虚数虚数实数a b b .练习 用文氏图表示N 、Z 、Q 、R 、C 的关系N →Z →Q →R →C ,这就是近代数学在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而得到的数系的一般扩充过程.知识运用： 例1 写出复数6i,i 25,i ,πsin i ,0,i 322+-的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.例2 实数m 是什么值时，复数)1()1(-+-=m m m z i 是 (1) 实数? （2）虚数? （3）纯虚数? （4）6+2i? 解：(1) 当m-1=0即m=1时，复数z 是实数.(2) 当m-1≠0即m ≠1时，复数z 是虚数.(3) 当m （m-1）=0 且m-1≠0即m=0时，复数z 是纯虚数. (4) 如何解决，请同学们讨论后给出解决方案.两复数相等的充要条件),,,(.,i i R ∈⎩⎨⎧==⇔+=+d c b a d b c a d c b a .例3 已知)2()(y x y x -++i=)3()52(y x x ++-i .求实数y x ,的值. 解：根据两复数相等的充要条件，可得⎩⎨⎧+=--=+yx y x x y x 32522，解得⎩⎨⎧-==23y x .评述：把复数问题转化为实数问题. 试一试：仿照例3自编题目，并求解.复数相等的内涵：复数b a +i ),(R ∈b a 可用有序实数对),(b a 表示. 练习：1、说出下列复数中，哪些是实数，哪些是虚数.).,(i )(,π,i ),31(i ,i 72223R ∈+-+b a b a2、实数m 是什么值时，复数)1()1(2-++=m m m z i 是(1) 实数? （2）虚数? （3）纯虚数?3、已知)()(y x y x -++i=42-i.求实数y x ,的值.归纳总结： 1、数系的扩充 2、复数的基本概念 3、复数相等的充要条件挑选好一个确定的研究对象，锲而不舍，你可能永远达不到终点，但是一路上准可以发现一些有趣的东西------克莱因.设计意图：巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息． 设计意图：学生发现自己的方案与课本中的结论完全一致，自信心大增且记忆更牢固.设计意图：及时巩固概念，让学生体会到互动式学习的快乐，理解转化的思想在解题中的应用，并为复数的几何意义的理解打好基础.巩固作业:1.搜集与本节课有关的数学史知识，感受知识的发生、发展.2.完成习题3.1 1-4.【板书设计】数系的扩充）规定：（1）（2),,,(i i )0)(0()0(),,(i R C R ∈⎩⎨⎧==⇔+=+⎩⎨⎧=≠=∈+=d c b a db ca d cb a a b b ba b a b a z 时是纯虚数虚数实数复数；虚部：实部：复数集：复数3例.23,3252⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧+=--=+y x y x y x x y x 解得条件，可得要解：由两复数相等的充教学设计说明一 确定教学目标的主要依据(1)依据教学大纲和教材内容的特点，确定第一个教学目标； (2)数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，有利于发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识，由此确定第二个教学目标；(3)数系扩充的过程体现了数学发生发展的客观需求和背景，学生将在学习过程中认识数学的应用价值.重点：数系扩充的过程和方法，复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入. 二 教学的过程设计说明 1 情境引入激发学生学习兴趣，引入新课.指出“矛盾是事物发展的根本动力”，以此为契机，自然顺畅地展开研究.设计了从N 到R 的三次扩充历程的回顾，在面对求解方程012=+x 的问题时，为解决矛盾创造一个新数，自然成了学生的一种心理预期，是学生提出了解决问题的想法.2 新课推进从简单而又深刻的问题出发，到引出虚数单位、复数的有关概念，再到复数相等的充要条件，构成了一条稳妥、科学的理论构建的知识线.3 例题讲解及练习掌握基本解题方法，巩固本节课所学的知识，反馈课堂教学信息.精心设计了环环相扣、步步深入、层层渐进的练习题，既巩固了知识，又构成了思维训练问题链.知识线与问题链巧妙交叉、搭配组合，使学生的认知水平、理解能力、思维品质、解决问题的操作能力、数学思想的树立与意志品质的优化，均得到长足的发展提高.4 课堂小结与作业 对前面研究的问题，进行总结、反思、交流，使学生体会数学解决问题的方法，深入体会复数扩充的思想和应用价值.三 板书设计说明合理布局，重点突出.将主要概念一一呈现，与课件交相辉映.本节课将数系扩充的知识与复数知识有机地结合起来，通过教学，让学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学科学中的科学价值、人文价值，开阔视野，寻求数学科学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，提高自身的文化素养和创新意识.。
江苏省宿迁市高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入
第1课时 数系的扩充【教学目标】1.经历数的概念的发展和数系的扩充的过程，体会数学发现和创造的过程；2.理解复数的概念以及复数相等的充要条件.【问题情境】在自然数集中，方程04=+x 无解，为此引入负数，自然数集扩充到整数集； 在整数集中，方程023=-x 无解，为此进入分数，整数集扩充到有理数集； 在有理数集中，方程022=-x 无解，为此引入无理数，有理数集扩充到实数集； 现在，在实数集中，我们又面临方程012=+x 无解、负数不能开平方的问题.这表明，数的概念需要进一步发展，实数集需要进一步扩充.那么，实数集应该怎样扩充呢？【合作探究】1.我们引入一个新数i ，叫做虚数单位，并规定：（1）2i =_______.（2）_______可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的______,_______运算律仍然成立.2.形如_______________的数叫做复数.其中实部是_________虚部是_________.3.()()()⎩⎨⎧=≠=+=____________00__________0__________时为特别地，当a b b bi a z 4.设,,,a b c d 都是实数，则di c bi a +=+的充要条件是_________________.5.复数可以比较大小吗？【展示点拨】例1. 写出复数i i i i 6,25,3421,0,32,4++--的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.例2. 实数m 取什么值时，复数()()i m m m z 11-+-=是：（1） 实数；（2）虚数；（3）纯虚数例3. 已知()()()()i y x x i y x y x ++-=-++3522，求实数y x ,的值.【学以致用】1.若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数x =_________.2.i 是虚数单位，31i +的实部是_________,虚部是__________.3.已知复数2(1)i()z a a a R =+-∈满足0z <，则a 的值为__________.4.若x 是实数，y 是纯虚数，且满足212i x y -+=，则x =_________,y =_________.5.已知复数22276(56)i()1a a z a a a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为（1）实数； （2）虚数 ；（3）纯虚数第1课时 数系的扩充【基础训练】1、复数i z 31-=的实部是__________，虚部是_________2、已知()i i y x y x 422-=-++，其中R y x ∈,，则x =__________，y =___________.3、有下列复数()22,215lg ,cos 2,13,2,23i i i i i i ++---π，其中是纯虚数的是___________________________,是实数的是________________________.4、若复数()()i m m m z 112++-=是虚数，则实数m 满足__________________;若复数z 是纯虚数，则实数m =_________________5、若复数()()0653222=+-+--i a a a a ，则实数a =_______________6、有下列命题：①若C z ∈，则02≥z ；②若R a ∈，则()i a 1+是纯虚数；③任何数的偶次幂都不小于0；④虚部为0的数一定是实数；⑤若复数0≠z ，则0>z 或0<z .其中真命题的序号为________________________【思考应用】7、已知R m ∈，复数()()i m m m m z 3212-++-=，当m 为何值时， （1）R z ∈？（2）z 是虚数？（3）z 是纯虚数？（4）i z 52+=？8、已知集合()(){}{}3,1,6513,2,122-=+-+--=N i m m m m M ，且∅≠N M ，求实数m 的值.9、设i 为虚数单位，复数()()θθsin cos 512i i z ++=为纯虚数，求θtan 的值.10、设i 为虚数单位，mi m z i z ++=+=1,sin cos 21αα，若21z z =，求实数m 的值.【拓展提升】11、已知关于x 方程0122=-++ki xi x 有实数根，求实数k 的值，并求出此方程的实数根.12、在复数集中解方程14=x。
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原理
数的发展历史
教师
学生
认知障碍与 学习困难
如何？
创造
是什么？
教法特点
认知 冲突 提炼 方法
问题 驱动
建构 新知
形成 理论
教学设计流程
回顾反思 数学运用 建构理论 创设情境
教学设计流程之创设情境
将10分成两部分，使 两Biblioteka 的乘积等于40．5 15
卡当（1501—1576） 意大利数学家、医生
• 教学难点：
数系扩充的过程与原则
教学目标分析
知识与技能
过程与方法
情感态度 价值观
教学目标分析
理解
复数的概念
知识与技能
掌握
复数相等的充要条件
教学目标分析
经历 感知 数的发展历程
过程与方法
体会
感悟
基本方法
掌握
建构
基本理论
教学目标分析
体会 感知
情感态度 价值观
形成
教学问题诊断分析
需要 为什么？
15
15
课堂预设与生成之建构理论
你能写出卡当要找的数吗？
你还能写出其他含有i的数吗？
复数的代数形式：
a+bi(a,b ∈ R)
写出一个形式，把刚才所有的数都包含在内？
教学设计流程之数学运用
例1 请你说出下列集合之间的关系 N，Z，Q，R，C．
C
R
Q Z
N
教学设计流程之数学运用
例2 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数， 哪些是虚数，哪些是纯虚数．
教学设计流程之建构理论
负整数
自然数
整数
分数
有理数
无理数
实数
＋ × 乘方
＋ × 乘方 －
＋ × 乘方 － ÷
＋ × 乘方 － ÷ 开方
3
这几次扩充有什么共同的特点？
教学设计流程之建构理论
数集经历了哪几次扩充？
每一次扩充分别解决了哪些问题？
数系扩充的 原则
这几次扩充有什么共同的特点？
教学设计流程之建构理论
a=c，
a+bi=c+di
b=d．
例4 已知 ( x y) ( x 2 y)i (2 x 5) (3x y)i 求实数x，y的值．
教学设计流程之回顾反思
教学设计流程之回顾反思
问题是数学的心脏. 数学是无穷的科学. 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.
苏教版选修1-2
数系的扩充
江苏省宿迁中学
陆明明
数系的扩充
1 2 3 4 5
教材内容分析
教学目标分析
教学问题诊断
教法特点
教学设计流程
教材内容分析
自然数
整数
有理数
实数
复数
教材内容分析
实数对
复数
点
向量
教材内容分析
虚数的引入
复数
复数的表示
复数的运算
代数表示
几何表示
代数运算
几何意义
教材内容分析
• 教学重点： 感受数系扩充的过程，理解复数的有关概念， 掌握复数相等的充要条件.
5 15
教学设计流程之创设情境
两数之和为10？之积为40？
为什么这个问题无解呢？
数系的扩充
实数集中有没有这两个数？
教学设计流程之建构理论
1
数集经历了哪几次扩充？
负整数
自然数
整数
分数
有理数
无理数
实数
＋ × 乘方
＋ × 乘方 －
＋ × 乘方 － ÷
＋ × 乘方 － ÷ 开方
2
每一次扩充分别解决了哪些问题？
1 4 4， 2-3i， 0， i 2 3 5 2i ， 6i，2i2
例3 实数m取什么值时，复数z=m(m-1)+(m-1)i 是 （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
教学设计流程之数学运用
对于复数 z1 a bi ，z2
c di(a, b, c, d R)
你认为在什么情况下相等呢？