-数学与应用数学-朱凯强

学号：20110401219 信阳师范学院华锐学院本科毕业论文系数学与计算机科学系专业数学与应用数学年级2011级姓名朱凯强论文题目求不定积分的若干方法指导教师张莹职称讲师2015 年 5月 6 日目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key Words (1)引言 (2)1 一般不定积分的解题方法 (2)1.1 分项积分法（直接积分法） (2)1.2 第一换元积分法（凑微分法） (3)1.3 第二换元积分法 (5)1.4 分部积分法 (7)2 特殊类型的解题方法 (10)2.1 三角函数有理式的积分 (10)2.2 一些含有根式的函数的积分 (12)2.3 简单无理数的积分 (14)3 不同解法间的比较 (15)4 小结 (16)参考文献 (17)求不定积分的若干方法学生姓名：朱凯强学号：院（系）：数学与计算机科学系数学与应用数学指导教师：张莹职称：讲师摘要：不定积分的计算，是求导的逆运算.不定积分的解题方法有很多种，需要我们灵活运用各种解题方法，将复杂的转化为简单的，从而能够简洁、准确的求出答案.本文主要介绍了不定积分的一般解题方法和特殊类型的解题方法.一般解题方法有直接积分法、第一换元法（凑微分法）、第二换元法、分部积分法.特殊类型的解题方法有三角函数有理式的积分、一些含根式的函数的积分、简单无理数的积分.最后比较了同一问题不同解法的难易.关键词：不定积分；三角函数；有理式函数；换元积分法Abstract: The calculation of indefinite integration, which is one of the inverse operations for differentiation. There are various kinds of types of indefinite integration, It’s obviously that we should have flexible and different solve methods to transform the sophisticated types into ordinary ones, so that we can obtain the answers concisely and accurately. We briefly introduced some common and particular settle measures of indefinite integration in my paper. Common settle measures including immediate integration method, the first substitution method, the second substitution method, and subsection integration method. Moreover, the integration of trigonometric function rationality, some integration of radical included function, as well the integration of ordinary rationality are adding to the sphere of particular settle measures. At the end of this paper, We made a comparison what the difficulties between same issues with different ways.Key Words: indefinite integral; trigonometric function; rational function; integrator method.引言在数学分析中，不定积分的计算作为微分中的一个重点，是求导的逆运算，也是积分学中最基础的部分，需要我们灵活掌握.相对于求导，不定积分的计算是有难度的，而且方法也不是唯一的，需要我们去灵活掌握解题方法，从中找出较为简易的方法.下面将对不定积分的若干解法，做出详细讲解和总结. 1一般不定积分的解题方法在平常学习中，我们经常使用到分项积分法、换元法等去解题.这些我们常用的解题方法比较简单，易懂.下面我们将要去探讨这些方法.1.1分项积分法（直接积分法）分项积分法是利用积分公式表和积分的基础性质来求解不定积分的.这种方法是求解不定积分中最基础的，同样也是其它解法的基础. 定理 1[1] 如果函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，1k 、2k 为两个任意的常数，那么g k f k 21+在I 上存在原函数，并且当1k 和2k 不同时为零时有dx x g k dx x f k dx x g k x f k⎰⎰⎰+=+)()(])()([2121证 这是因为 )')(()')(()]'()([2121⎰⎰+=+dx x g k dx x f k x g k dx x f k=)()(21x f k x f k +根据上述基本积分公式，可以求出一部分简单函数的不定积分.例1 求dx x x 2)33(⎰-+解C x dxdxdx x x x x x x x x ++-=++=++=+----⎰⎰⎰2)33(3ln 21]2)3()3([233)33(2222222）（首先我们先将二次元将为一次元，再根据上述定理1去括号，最后求出答案.例2 求⎰xx dx 22sin cos 解 ⎰x x 22sin cos dx Cx x dx x x dx xx x x ++-=+=+=⎰⎰tan cot )sec (csc sin cos sin cos 222222这一题，我们首先要熟练掌握基本积分公式，根据1sin cos 22=+x x ，我们可以进行简单的化简，最后根据定理1可以求出答案.例3 求⎰+-）（322y y 解C y y y dy y dy y dy y y ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰433232413122)2(从上面三个例题，我们可以初步了解利用分项积分法是求不定积分中最基础的，同时也是我们遇到不定积分时,第一个尝试求解的方法，只有分项积分法求解不出的时候，我们才会用其它方法求解.1.2 第一换元积分法（凑微分法）第一类换元积分法又被称作凑微分，就是通过变量替换后，简化变换成积分表中的积分，最后积分后再把变量替换回去.定理2[2] 已知C u F du u f +=⎰)()()(x u ϕ=可微，则有x x F dx x x f +=⎰)]([)(')]([ϕϕϕ证 因为)(')]([)(')()(')(')]([x x f x u f x u F dxx dF ϕϕϕϕϕ=== 所以式子成立.在实际计算过程中，利用式子的过程是Cx F C u F du u f x d x f dxx x f +=+===⎰⎰⎰)]([)()()()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ ))((x u ϕ=很明显，将原来关于x 的积分经过))((x u ϕ=的替换转换为关于u 的积分.一般在计算的时候，需要我们先从被积分式中分离出)('x ϕ和dx 的项，转变为)()('x d dx x ϕϕ=，之后又能够使得余下的构成)]([x f ϕ的形式，而且恰好能够利用积分的性质或者基本积分公式能够求解的形式.关于)(x ϕ的选择，需要我们灵活运用了，并没有规律可循，只有大量练习、总结，才能够熟练运用.下面我们将举例说明.例4 求⎰+dx x )83cos(解 已知⎰+=C x xdx sin cos根据该公式，我们可以将原积分化为du dx 31= 令83+=x u ，则C x C u du u dxx ++=+==+⎰⎰)83sin(31sin 31cos 31)83cos( 这是一个很简单的第一类换元积分法应用，从上面可以明显看出，找出u 的替换值，才是最关键的，不过转化的过程也很重要，需要我们大量的做题和思考.例5 求dx e e xx⎰+2 解 从积分表里可以知道C x dx x +=⎰||ln 1根据上述式子我们可以将式子转化为)2(212x x x x e d edx e e ++=+⎰⎰ 令x e u +=2，则C u du u dx e e x x +==+⎰⎰||ln 12再将x e u +=2带入可以得到C e e e x x x++=+⎰|2|ln 21.3第二换元积分法第一类换元积分法是变换)(x u ϕ=，将复杂的积分转化为简单的形式.但是有些积分却不能转化为简单、易求的形式.比如：dx x b ⎰+221这时候，我们将要用到第二类换元积分法.定理3 [3] 设)(t x ϕ=单调可微，且0)('≠t ϕ，如果C t dt t t f +Φ=⎰)()(')]([ϕϕ则 C x dx x f +Φ=⎰)]([)(ψ其中)(x t ψ=是)(t x ϕ=的反函数.证 我们假设)(')]([)('t t f t ϕϕ=Φ通过复合函数和反函数求导法则，我们可以知道)()]([)('1)(')]([)]([x f t f t t t f dxdt dt d dxx d ==⋅=Φ=Φ⎰ϕϕϕϕψ所以C x dx x f +Φ=⎰)]([)(ψ第二换元积分法与第一换元积分法的不同之处在于，第二换元法必须设计出所需要的变换方式，而且在最后计算出结果时需要以原积分变元的函数方式表示.例6 求dx x x ⎰++4141 解 首先将被积函数有理化，然后 令t x =+414,那么)1(414-=t x ，dt t dx 3= 带入原式可得C x x C t t dt t t dt t tt dxx cc x ++++=++=+=+-=++⎰⎰⎰2146265244)14(83)14(241)2361(41)3(411)1(41141 从上面这个例子，我们可以发现通过将换元被积函数里根式m b ax +有理化，并且令m b ax t +=，变换后也就是用ab t x m -=的形式，最后带入求积分.例7 求dx ex ⎰+21 解 首先令x e t +=2，所以|2|ln -=t x ，21-=t dx 代入原式得Ce x C e e C t t C t t dt tt dt t t dxe x xxx ++-=++=+-=+--=--=-=+⎰⎰⎰)2ln(2ln 21|2|ln 21||ln 21|2|ln 21]121[21)2(121 这一例子可以用第一换元积分法计算，也能用第二换元积分法计算，所以不定积分的计算方法是灵活多变的，需要我们慢慢去体会.1.4分部积分法前面我们利用换元积分法来求不定积分，但是如：⎰xdx x sin等类型的不定积分却求不出来，下面我们再利用一种新的方法求解.定理4[4] 假如)(x u 与)(x v 可导，不定积分⎰dx x v x u )()('存在，那么⎰dx x v x u )(')(也存在，所以⎰⎰-=dx x v x u x v x u dx x v x u )()(')()()(')(证)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=)()(')]'()([)(')(x v x u x v x u x v x u -=对上面两个公式两边求不定积分，得到下式⎰⎰-=dx x v x u x v x u dx x v x u )()(')()()(')(定理4得到证明.我们一般简写为：⎰⎰-=vdu uv udv下面我们将要通过例题，总结如何选择u 和dv 的一些规律.例8 求dx x x ⎰3ln 解 令x u ln =，31'xv =，则由定理4求得 C xx x dx x x x xdx dxx x +--=+⋅-=-=⎰⎰⎰--223223412ln 121ln 21ln 21ln 从上面的例子可以看出解题的关键在于找出u ，v 的取值，然后代入公式，就可以得出答案，但是有的需要我们连续几次分部积分才能求出结果，比如下面这道题.例9 求xdx x cos 2⎰解 首先令2x u =，x v cos '=，则⎰⎰⎰-==xdx x x x x d x xdx x sin 2sin sin cos 222 再令x u =，x v cos =，则Cx x x x x xdx x x x x xxd x x xdxx x x +-+=-+=+=-⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin 2222这个例子是分两部分计算的，u 和v 的值两次都不一样，运用了两次分部积分法，有的不定积分不仅需要用到分部积分法，还要运用到换元积分法，比如下面这道题.例10 求dy e y ⎰3解 设3y m =，那么3m y =dm e m dy e t y ⎰⎰=233令2m u =，m e v =，则Ce me e m dm e me e m dm me e m de m m m m m m m m m m++-=+-=-=⎰⎰⎰6636636332222再将3y m =带入得C y y e dy e y y ++-=⎰)22(333233不定积分的解法灵活多变，这道题运用了换元积分法和分部积分法，当我们遇到比较难解的题时，需要我们多掌握知识和方法解题.2特殊类型的解题方法2.1三角函数有理式的积分三角函数有理式是通过常数和三角函数经过有限次数的四则运算得到的函数,所有的三角函数都能够用x sin 和x cos 表示,所以三角函数有理式的积分也能够用)cos ,(sin x x R 表示，下面我们将要讨论)cos ,(sin x x R 的解题方法.例11 求⎰xdx x cos sin 解 令x t sin =，则C x C t tdtxdsix xdx x +=+===⎰⎰⎰22sin 2121sin cos sin 从上面例子我们总结一下，比如dx x x R )cos (sin ⎰、⎰dx x x R )sin (cos 、dx xx R ⎰)sec (tan 2这一类的积分，分别令x t sin =、x t cos =、x t tan =，就能把式子化为有理函数积分⎰dt t R )(的类型，再用一般求解方法求解就可以求出答案.例12 求dy yy ⎰42sin cos 1解 令y t tan =，则2221sin t t y +=，2211cos t y +=，dt t dy 211+= 241cos sin dy y y ⎰222221111()()11dt t tt t=+++⎰2242433(1)21(1)2131tan 2cot cot 3t dtt dtt t t Ct ty y y C+==++=--+=--+⎰⎰从例12可以总结发现，如同dy y y R ⎰)cos ,(sin22和dy y R ⎰)(tan 的积分，都可以令y t tan =，则2221sin tt y +=，2211cos t y +=，dt t dy 211+=， 代入式子，再利用一般积分的求法，求出答案.例13 求dx x ⎰-cos 8101解 令2tan xt =，则22222222112tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2coscos t t x xx x x x x +-=+-=+-=， 将 dt tdx 212+= 带入得C x C t dt t dtt t t dx x +=+⋅=+=++--=-⎰⎰⎰)2tan 3arctan(313arctan 322191221121145121cos 81012222 从上面这个例子可以发现对于如同dx x x R ⎰)cos ,(sin的积分，我们都可以令2tan x t =，把积分化为有理函数的积分，再求解就简单了许多，但是数学的解法从来都是多变的，对具体问题，则需要我们具体分析. 2.2一些含有根式的函数的积分如同[5]),(δβχα++x x x R m的积分，其中),(y x R 是x ，y 的有理函数，即：m 为自然数且0≠-βχαδ.可以令mm m tt t x x x t βαχδϕδβχα--==++=)(, 带入得dt t t t R )('),)((ϕϕ⎰这样就能得到有理函数的积分，然后再利用一般解题方法得出答案，下面我们将举例说明.例14 求dy y y y ⎰+-+++1)1(212解 令1+=y t ，带入得Cy y y y Ct t t t dt t t t t dt t t dyy y y +++-+++-+=++-++-=+++--=-+=+++++--⎰⎰⎰33132tan 332|21)11(|log 3)12(3tan 332|1)1(|log )12212(1221)1(2112122232上面例子我们懂得如何解题，如同[6]),(δβχα++x x x R m类型的积分，但是如同二项式r n m bx a x )(+的积分且p n m ,,为有理数，需要怎么计算？首先令n x t = ,则dtt bt a n dx bx a x pr rn m⎰⎰+=+)(1)( )11(-+=nm p然后令w ba t =则原式就化为dw w w pr ⎰+)1( 如果r 是整数并且p 的分母是l ，那么令l u w =，就能得到关于u 的有理函数的积分了,如果p 是整数并且r 的分母是l ，那么令l v w =+1，就能得到关于v 的有理函数积分了,如果p r +是整数并且r 的分母是l ，那么令l z ww=+1， 就能得到关于z 的有理函数积分了，总的来说，就是如果数nm r 1,+和r n m ++1其中任意一个是整数，那么形如二项式r n m bx a x )(+的积分都能够化为有理函数积分，下面举例说明.例15 求dx xx ⎰+413[7]解dx x x xx 31412134)1(1+=+⎰⎰- .31,41,21==-=∴r n m又因为21=+nm 为整数,所以原式可以化为有理函数积分. 令341x t +=，那么dtt t dx t x 33243)1(12)1(-=-=带入得Cx x x C t t dt t t dx xx++-+=+-=-=+⎰⎰34443436341)34)(1(73)74(73)(1212.3简单无理数的积分下面我们简单举例几个简单无理数的积分.例16 求dx b x ⎰+221 )0(>u [8]解 令u b x tan =，那么22,sec 2ππ<<-=u udu b dx则Cx b x C u u du udxb x +++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln cos 112222在这个例子中使用到了我们学过的三角公式uu t u u tan 1sec sin cot 12tan-=-=，将原始转化为有理函数式，再利用换元积分法求出了答案.例17 求dx xx x ⎰+-221解dx x x dxxx x ⎰⎰--+=-+])21([4512222首先令u x sin 2521=-，则 22,cos 25ππ<<-=u udu dx C x x x x C u u u Cuu u u duu duudxxx x ++-+--=+--=++-+=+=+=+-⎰⎰⎰2222214325552arcsin 872cos 5162sin 587)162sin 5cos 25(8541)2sin 541()2sin 521(1 上面例子都是利用三角函数置换后成为三角函数有理式，它们都有同一个特点，那就是将无理数积分转化成为有理数积分的.但是有的无理数积分不能转化为有理数积分，像这一类积分，我们可以用无穷数来表示.3不同解法间的比较每一道题的解法有很多种，我们用到的的方法不一定最简单的，所以下面我将对同一道题，做出不同的解法并且相互比较，选出相对最简单的方法.例18 求dx x ⎰+322 解方法 1（第二换元法）令32+=x t ，则dt dx 21=C C dt dxx t tx +=+==++⎰⎰2ln 22ln 22122122232 方法 2（直接积分法）C C C dxdx dx x x x xx x +=+⋅=+==⋅=++⎰⎰⎰2ln 22ln 2224ln 48482822223232 很明显可以看出，两种解题方法相对于例18，第二换元积分法更加简单，再有这种类型的数学题时，我们可以选择换元积分法更加合适、易懂.4小结不定积分的计算，是求导的逆运算.不定积分的解题方法有很多种，需要我们灵活运用各种解题方法，将复杂的转化为简单的，从而能够简洁、准确的求出答案.本文主要介绍了不定积分的一般解题方法和特殊类型的解题方法.一般解题方法有直接积分法、第一换元法（凑分法）、第二换元法、分部积分法.特殊类型的解题方法有三角函数有理式的积分、一些含根式的函数的积分、简单无理数的积分.最后比较了同一问题不同解法的难易.但是总的来说有都需要我们大量的练习，才能够做到灵活的运用，同时也需要我们去发散思维，用不同的解题方法去解同一道题，找到最简单的一种.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].4版.高等教育出版社.2010.176-181.[2]唐宗贤.徐玉民.高等数学[M].2版.国防工业出版社.2007.193-205.[3]华罗庚.高等数学引论[M].高等教育出版社.2009.309-314.[4]王萍.不定积分技巧点滴[J].上海工程技术大学教育研究.2006.2.[5]魏洪涛.康元宝.浅谈微积分教学中不定积分的计算方法与技巧[J].数学教学研究.2013.10.[6]王向东.数学分析概念与方法[M].上海科技文献出版社.1989.112-156.[7]白银凤.罗蕴玲.微积分及其应用[M].高等教育出版社,2001.78-114.[8]同济大学数学系.高等数学[M]. 北京高等教育出版社2007.80-121.。