2014年高考复习文科数学试题(99)

2014年高考复习文科数学试题(99)本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。

答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题卷交回. 4. 参考公式：（１）锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． （２）样本数据12,,,n x x x 的方差，2211()n i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A.1B.1-C.0D.0或1-2．已知R 是实数集，{}2|20M x x x =->，N 是函数y x =的定义域，则R C N M =I （ ） A. (1,2)B. [0,2]C. ∅D. [1,2]3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．c a b >>C ． a b c >>D ．b a c >>4．设0x 是方程3log 3x x =-的根，且0(,1)x k k ∈+，则k =（ ） A ．（0，1） B ．（1，3） C ．（3，4） D ．（4，+）5．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ） A. 22(1)1x y -+= B. 22(1)1x y ++=C. 22(1)1x y +-=D. 22(1)1x y ++=6. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题：①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l ．其中正确的命题有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个∞7．函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=--+（R x ∈）是（ ）A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为π2的奇函数D. 周期为π2的偶函数8．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A. 15-B. 16-C. 17-D. 18-9.执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ） A ．715816P <≤ B ．1516P > C ．715816P ≤< D ．3748P <≤10．定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，若1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 则()f x 的最大值等于（）A. 2B. 1C. 34D. 12[来二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．11．已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A 的纵坐标为35．则s i nα=_____________; tan 2α=_______________.12. 已知向量(1,1)a = ，)2,1(=b ，且()()ka b b a -⊥+，则实数k 的值为13．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑ 若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）图1③10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>；④绘制频率分布直方图时，各个小长方形的面积等于相应各组的频率． 其中正确的序号是_______________（注意：14、15题是选做题，只能做其中一个，两题全答只计前一题得分） 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则DEAC= ; 15．（坐标系与参数方程选择题）已知直线l 的方程为11x ty t =+⎧⎨=-⎩，,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的最短距离等于 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足11n n a a +=+， 32a =. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）若1()3n an b n =+，求{}n b 的通项公式及前n 项和．17．(本题满分12分)某中学在校就餐的高一年级学生有440名，高二年级学生有460名，高三年级学生有500名；为了解学校食堂的服务质量情况，用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级：1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级（满意）；5级（很满意），其统计结果如下表（服务满意度为x ，价格满意度为y ）. 人数 yx价格满意度1 2 3 4 5 服务 满 意 度1 1 12 2 0 2 2 134 1 3 3 7 8 8 4 4 1 4 6 4 1 51231（1）求高二年级共抽取学生人数；（2）求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”数据的方差；（3）为提高食堂服务质量，现从3<x 且42<≤y 的所有学生中随机抽取两人征求意见，求至少有一人的“服务满意度”为1的概率.18．(本题满分14分)如图(1)在等腰ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 边的中点，现将ACD ∆沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .(如图(2)) (1)求证：//AB 平面DEF ； (2)求证：BD AC ⊥；(3)设三棱锥A BCD -的体积为1V 、多面体ABFED 的体积为2V ，求12:V V 的值.19． (本题满分14分)在ΔABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =， 且cos 3cos 1A bB a ==(1)求证：ΔABC 是直(2)设圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，PAB θ∠=，用θ的三角函数表示三角形PAC ∆的面积，并求PAC ∆面积最大值.20．(本题满分14分) 已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()f x 的极值；（2）设函数()()(1)g x f x k x =--，其中k R ∈，求函数()g x 在区间[1,e]上的最大值.２１．(本题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是22，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点. （1）求动点P 的轨迹1C 的方程，并说明轨迹是什么图形； （2）设曲线1C 上的三点11222(,),(1,),(,)2A x yBC x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.参考答案和评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题：CBCCA BAAAB 二．填空题：11. 35（2分） 247-（3分）12. 85 13.②④ 14. 43 15. 21-三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分14分)解：（1）由已知得11n n a a +-= 数列{}n a 是等差数列，且公差1d = ……………２分 又32a =，得10a =，所以 1n a n =-……………………………………………………………４分（2）由（１）得，11()3n n b n -=+，所以111(11)(2)()33n n S n -=++++⋅⋅⋅++211111(123)333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+…………………………………………………………………………………………………6分111()(1)33(1)3.122213nn n n n n n S --+-+=+=+-……………………………12分 17．(本题满分12分)解：（1）共有1400名学生，高二级抽取的人数为23701400460=⨯（人）…………3分 （2）“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为3788465++++=，……………4分 所以方差()()()()4.4564682676322222=-+-+-+-=s………………6分（3）符合条件的所有学生共7人，其中“服务满意度为2”的4人记为d c b a ,,, “服务满意度为1”的3人记为z y x ,,. ……………………8分 在这7人中抽取2人有如下情况：()()()()()()z a y a x a d a c a b a ,,,,,,,,,,,()()()()()z b y b x b d b c b ,,,,,,,,,()()()()z c y c x c d c ,,,,,,,()()()z d y d x d ,,,,, ()()()z y z x y x ,,,,,共21种情况. ……………………9分其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15种. ……………………11分 所以至少有一人的“服务满意度”为1的概率为752115==p ……………………12分18(本题满分14分)（1）证明：如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF ．………………4分 （2）∵平面ACD ⊥平面BCD 于CDAD ⊥CD ， 且AD ⊂平面ACD∴AD ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，∴AD BD ⊥……………………7分 又∵CD BD ⊥，且AD CD D =∴BD ⊥平面ACD ，又AC ⊂平面ACD∴BD AC ⊥．………………………………………………………………9分 （3）由（2）可知AD ⊥平面BCD ，所以AD 是三棱锥A BCD -的高∴113BCD V AD S =⋅⋅ ……………………………………11分 又∵E 、F 分别是AC 、BC 边的中点，∴三棱锥E CDF -的高是三棱锥A BCD -高的一半三棱锥E CDF -的底面积是三棱锥A BCD -底面积的一半∴三棱锥E CDF -的体积114E CDF V V -=…………………………………12分∴211111344E CDF V V V V V V -=-=-=…………………………………13分∴12:4:3.V V =…………………………………14分 19．(本题满分14分) (1)证明：由正弦定理得cos sin cos sin A B B A=，整理为sin cos sin cos A A B B =，即sin2A ＝sin2B ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B 或A ＋B ＝π2∵31b a =，∴A ＝B 舍去. 由A ＋B ＝π2可知c ＝π2，∴ΔABC 是直角三角形…………………6分(2)由(1)及2c =，得3a =，1b =…………………………………………………………７分在Rt ΔPAB 中，cos 2cos PA AB θθ=⋅= 所以，11sin()2cos 3sin()3cos sin()26266PAC S PA AC πππθθθθθ∆=⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅-………………………………………………………………………………………………………9分313cos (sin cos )22θθθ=⋅-⋅ 33(3sin 2cos 2)44θθ=-+3sin(2)26πθ=-34-，62ππθ<<………………………………………………12分 因为62ππθ<<，所以，52666ππθπ<-< 当262ππθ-=，即 3πθ=时，PAC S ∆最大值等于34.………………………………12分 20．(本题满分14分)（1）()ln 1(0)f x x x '=+>. …………………………………………………………１分令()0f x '≥，得1ln 1ln x e -≥-=，11ln x e e-≥=； 令()0f x '≤，得10,x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.…………………………………………………………３分()f x ∴的单调递增区间是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调递减区间是10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，min 11()f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.()f x 无极大值………………………………………………………………………５分（２）()g x =ln (1)x x k x --，则()ln 1g x x k '=+-，由()0g x '=，得1ek x -=，所以，在区间1(0,e )k -上，()g x 为递减函数，在区间1(e ,)k -+∞上，()g x 为递增函数.……………………………………………………………………………………８分 当1e1k -≤，即1k ≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以，()g x 最大值为()g e e ke k =-+. …………………10分 当11<e<e k -，即12k <<时，()g x 的最大值是(1)g 或()g e(1)g ＝()g e ，得1e k e =- 当11ek e <<-时，()0(1)g e e ek k g =-+>=，()g x 最大值为()g e e ke k =-+ 当21ek e ≤<-时，()0(1)g e e ek k g =-+<=，()g x 最大值为(1)0g = ………………………………………………………………………………１２分 当1ee k -≥，即2k ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =.综上，当1e k e <-时，()g x 最大值为e ke k -+； 当1e k e ≥-时，()g x 的最大值是0 ……………………………………………………………………………1４分21．(本题满分14分)解：（1）由已知，得22(1)222x y x -+=-，………………………………………2分.将两边平方，并化简得2212x y +=，……………………………………………………4分. 故轨迹1C 的方程是2212x y +=，它是长轴、短轴分别为22、2的椭圆………………4分. （2）由已知可得12(2)2AF x =-，2(21)2BF =-，22(2)2CF x =-， 因为2BF AF CF =+，所以12(2)2x -22(2)2x +-22(21)2=⨯-， 即得122x x +=， ① ……………………………………………………5分. 故线段AC 的中点为12(1,)2y y +，其垂直平分线方程为121212(1)2y y x x y x y y +--=---， ②……………………………………………………………………………………………6分.因为,A C 在椭圆上，故有221112x y +=，222212x y +=，两式相减， 得：2222121202x x y y -+-= ③ 将①代入③，化简得12121212122()x x y y y y y y x x -+-==+-+， ④ ………………………7分.将④代入②，并令0y =得，12x =，即T 的坐标为1(,0)2。