(完整版)高三文科数学导数专题复习
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高三文科数学导数专题复习
1.已知函数)(,3
,sin )(x f x x b ax x f 时当π
=+=取得极小值
33
-π
.
(Ⅰ)求a ,b 的值;
(Ⅱ)设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件: (1)直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点;
(2)对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明:直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”.
2. 设函数3
221()231,0 1.3
f x x ax a x a =-
+-+<< (1)求函数)(x f 的极大值;
(2)若[]1,1x a a ∈-+时,恒有()a f x a '-≤≤成立(其中()f x '是函数()f x 的导函数),试确定实数a 的取值范围.
3.如图所示,A 、B 为函数)11(32
≤≤-=x x y 图象上两点,且AB//x 轴,点M (1,m )(m>3)是△ABC 边AC 的中点. (1)设点B 的横坐标为t ,△ABC 的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式)(t f S =; (2)求函数)(t f S =的最大值,并求出相应的点C 的坐标.
4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. (I )求)(x f 、)(x g 的表达式;
(II )求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解; (III )当1->b 时,若21
2)(x
bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围
5. 已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值,曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--,试求函数()f x 的极大值与极小值的差。
6.函数x
a
x x f -
=2)(的定义域为]1,0((a 为实数). (1)当1-=a 时,求函数)(x f y =的值域;
(2)若函数)(x f y =在定义域上是减函数,求a 的取值范围;
(3)求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x 的值.
7.设x=0是函数2()()()x
f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. (Ⅰ)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求)(x f 的单调区间;
(Ⅱ)设]2,2[,,)1()(,0212
2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ,使得|1|)()(21≤-ξξg f
成立?若存在,求a 的取值范围;若不存在,说明理由.
8. 设函数()2ln q f x px x x =-
-,且()2p
f e qe e
=--,其中e 是自然对数的底数. (1)求p 与q 的关系;
(2)若()f x 在其定义域内为单调函数,求p 的取值范围; (3)设2()e
g x x
=,若在[]1,e 上至少存在一点0x ,使得0()f x >0()g x 成立,求实数p 的取值范围.
9.已知函数x x ax x f ln 22
1)(2
-+=
(1)当a=0时,求)(x f 的极值.
(2)当a ≠0时,若)(x f 是减函数,求a 的取值范围;
10.设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合:“①方程0)(=-x x f 有实数根;②函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<' sin 2)(x x x f += 是否是集合M 中的元素,并说明理由; (2)集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质:若)(x f 的定义域为D ,则对于任意[]D n m ⊆,,都存在[]n m x ,0∈,使得等式) ()()()(0x f m n m f n f '-=-成立”,试用这一性质证明:方程0)(=-x x f 只有一个实数根; (3)设1x 是方程0)(=-x x f 的实数根,求证:对于)(x f 定义域中任意的32,x x ,当112<-x x ,且113<-x x 时,2)()(23<-x f x f . 11.设函数x e x x f 22 1)(= . (1)求f (x )的单调区间; (2)若当x ∈[-2,2]时,不等式f (x )>m 恒成立,求实数m 的取值范围. 12.设函数2 2 ()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ,。 (Ⅰ)求()f x 的最小值()h t ; (Ⅱ)若()2h t t m <-+对(02)t ∈,恒成立,求实数m 的取值范围 13.已知函数b x ax x f +-= 26 )(的图象在点M (-1,f (x ))处的切线方程为x +2y+5=0. (Ⅰ)求函数y=f (x )的解析式; (Ⅱ)求函数y=f (x )的单调区间. 14.设函数f (x )= -cos 2x -4t sin 2x cos 2 x +4t 3+t 2-3t +4,x ∈R, 其中t ≤1,将f (x )的最小值记为g (t ). (Ⅰ)求g (t )的表达式; (Ⅱ)讨论g (t )在区间(-1,1)内的单调性并求极值. 15.某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件. 如果降低价格,销售量可以增加, 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位:元,030x ≤≤)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件. (I )将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数; (II )如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 16. 已知函数22 21 ()(1ax a f x x x -+=∈+R ),其中a ∈R . (I)当1a =时,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程; (II)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值.