高三文科数学专题训练：导数及其应用

f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
（口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)
f (x)
g
(
x)
f
( x)
g(x) f (x)
g(x)2
g ( x)
( g ( x)
0)
(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)
2、导数的几何意义
函数f(x)在x0处导数的几何意义是 曲线y=f(x)在点P(xo,f(x0.)) 处的切线的斜率 。相应的切线方程是： y y0 f ' (x0 )(x x0 ) .
那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么
5、最值
1. 函数的最大值与最小值： 在闭区间 [a,b]上图像连续不断的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与 最小值．
2.利用导数求函数的最值步骤: 设函数f(x)在（a,b）内可导，在
闭区间[a,b]上图像连续不断，求函数f(x)在[a,b]上的最大值与最
②当1e≤t<t＋2，即 t≥1e时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，
f(x)min＝f(t)＝tln t.
所以 f(x)min＝－tln1et，，0t≥<t<1e1e
.
解 2xln x≥－x2＋ax－3，则 a≤2ln x＋x＋3x， 设 h(x)＝2ln x＋x＋3x(x>0)， 则 h′(x)＝x＋3x2x－1，
小值的步骤如下： ⑴求f(x)在(a,b)内的极值； ⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b))比较，得出函数f(x)在[a,b] 上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
热点一 导数的运算和几何意义
例 1 (1) 过 点 (1,0) 作 曲 线 y ＝ ex 的 切 线 ， 则 切 线 方 程 为 ________．
思维启迪 直接求f′(x)，利用f′(x)的符号确定单调区间；
(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的最小值. 思维启迪
讨论区间[0,4]和所得单调区间的关系，一般情况下，f(x) 的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到.
解 因为f(x) ＝(x＋a)ex的定义域(－∞ ＋∞) ，
所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝－a－1.
当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，－a－1) －a－1 (－a－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
故f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)；
单调增区间为(－a－1，＋∞).
解 由(1)得，f(x)的单调减区间为(－∞，－a－1)；单调增 区间为(－a－1，＋∞). 所以当－a－1≤0，即a≥－1时，f(x)在[0,4]上单调递增， 故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(0)＝a； 当0<－a－1<4，即－5<a<－1时， f(x)在(0，－a－1)上单调递减，f(x)在(－a－1,4)上单调递增， 故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(－a－1)＝－e－a－1；
变式训练3 已知函数f(x)＝a(x2＋1)＋ln x. (1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若对任意a∈(－4，－2)及x∈[1,3]，恒有ma－f(x)>a2成
立，求实数m的取值范围.
1 2 真题感悟
2.(2013·广东改编)设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R).
当k＝1时，求函数f(x)的单调区间.
若是1.xf判(0满x别) 足的f(极xf0)值是(x点极0 )，大f、0(x极0，) 小是且值极在的值x0方的，法并f :(且x)如两果侧的f (导x)数在异x0号两，侧4则满、x足极0 值
“在左x0正两右侧负满”足，“则左x负0是f右(x正) ”的，极则大x0是值f (点x)f，(x0
) 是极大值；如f果( 的极小值点f ，(x0 )
3、单调性
函数的导数与函数的单调性的关系：
1.（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数， 如果在这个区间内 y`>0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数； 如2.（果函在数这单个调区性间的内必y`要<0条，件那）么设函函数数y=yf=(xf()x在) 在这某个个区区间间内内为有减导函数数，。 如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内y / 0 如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。那么在这个区间内 y / 0
从而对一切 x∈(0，＋∞)，都有 ln x>e1x－e2x成立．
研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是
研究函数性质的一种重要工具.基本思路是构造函数，
通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点 思
维 的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及
升 华
方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考.
近三年广东部分高考题回放
【2014】11. 曲线 y 5ex 3 在点（0，-2）处的切线方程为
______5_x___y___2___0______
【2013】12．若曲线 y ax2 ln x 在点 (1, a) 处的切线平行于 x
轴，则 a 1
．
2
【2014】21. 已知函数 f (x) 1 x3 x2 ax 1(a R)
【2012】21.设 0 a 1，集合 A {x R | x 0} ，
B {x R | 2x2 3(1 a)x 6a 0}， D A I B 。
（1）求集合 D （用区间表示）
（2）求函数 f (x) 2x3 3(1 a)x2 6ax 在 D 内的极值点。
课后作业
➢ 完成考前增分训练P109专题二第3讲：
当－a－1≥4，即a≤－5时，f(x)在[0,4]上单调递减，
故f(x)在[0,4]上的最小值为f(x)min＝f(4)＝(a＋4)e4.
所以函数f(x)在[0,4]上的最小值为
a，
a≥－1，
f(x)min＝－e－a－1， －5<a<－1，
aFra Baidu bibliotek4e4， a≤－5.
利用导数研究函数性质的一般步骤：
①当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)， 2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.
证明 问题等价于证明 xln x>exx－2e(x∈(0，＋∞))． 由(1)可知 f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－1e， 当且仅当 x＝1e时取到，设 m(x)＝exx－2e(x∈(0，＋∞))， 则 m′(x)＝1－ex x，易知 m(x)max＝m(1)＝－1e， 当且仅当x＝1时取到．
在方程根的左右函数值的符号.
②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)
思 ＝0根的大小或存在情况来求解.
维 (5)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基
升 华
础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进
行比较得到函数的最值.
变式训练2
已知函数f(x)＝ln x＋2a，a∈R. x
（ln x） 1 x
（e x） e x
，（log a
x）
1 x ln a
， （a x） a x ln a
特别地 : ( 1 ) x
1 x2
,
( x ) 1 ; 2x
⑵.导数的运算法则
[cf ( x)] cf ( x)
f (x) g(x) f (x) g(x)
(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
(1)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值.
热点三 导数与方程、不等式
例3 已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值； (2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
x)
是2.极求小可值导. 函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域，求导数f′ (x)；
(2)求方程f′(x)=0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开
区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果
左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，
赋分 5 14 5 14 14
所考查的知识点 导数的几何意义 三次函数的单调区间、零点 导数的几何意义 三次函数的单调区间、最值 三次函数的极值点
基础知识回顾
1、导数公式及法则
⑴.基本初等函数的导数公式
c 0 （c为常数）
（x n） nxn1 （n Q）
（sin x） c os x ，（c os x） sin x
(1)确定函数的定义域；
(2)求导函数f′(x)；
思 (3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域
维 内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
升 华
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或
f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
(4)①若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)
专题二 函数与导数
第 3讲 导数及其应用
1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的 一个热点. 考 情 2.利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的 解 值，突出考查导数的工具性作用. 读
近三年广东高考中对本考点考查的情况
年份 2014
2013 2012
题号 11 21 12 21 21
3
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2 ）当
a
0
时，试讨论是否存在
x0
(0,
1) 2
U(1 2
,1)
，使得
f
( x0
)=f
(1) 2
【2013】21．设函数 f (x) x 3 kx2 x k R．
(1) 当 k 1时,求函数 f (x) 的单调区间；
(2) 当 k 0 时,求函数 f (x) 在 k,k上的最小值 m 和最大值 M
思维启迪 由于点(1,0)不是切点，要先求出切点坐标．
答案 e2x－y－e2＝0
线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”
思 的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不 维 升 一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. 华
变式训练1 (1)已知函数 y＝f(x)的导函数为 f′(x)且 f(x)＝x2f′(π3)＋
(3)证明：对一切 x∈(0，＋∞)，都有 ln x>e1x－e2x成立．
解 由f(x)＝xln x，x>0，得f′(x)＝ln x＋1，
令 f′(x)＝0，得 x＝1e. 当 x∈(0，1e)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当 x∈(1e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ①当 0<t<1e时，f(x)min＝f(1e)＝－1e；
3
sin x，则 f′(π3)＝__6_－__4_π__.
(2)若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝π 处的切线与直线ax
2
＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于____2____.
热点二 利用导数研究函数的性质
例2 已知函数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间；
必做 题：第1、2、3、6、7、8、9、10题
➢ 完成考前增分训练P149第1题； P151第1题