2016国考行测：容斥问题不靠公式也能解
公考容斥问题解题技巧
公考容斥问题解题技巧
一、理解问题背景
容斥问题在公务员考试中是一种常见的题型，主要考察考生对于集合概念的理解和应用。
在解决这类问题时，首先要明确问题的背景和涉及的集合。
了解题目所给的各个集合的元素以及它们的属性，以便更好地分析问题。
二、识别关键信息
在阅读题目时，要迅速识别出关键信息，尤其是涉及到集合关系和数量关系的语句。
这些信息将有助于确定解题思路和方向，避免在解题过程中出现混乱。
三、使用公式计算
解决容斥问题需要使用到一定的公式进行计算。
考生应熟练掌握基本的公式，如容斥原理公式：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣（∣A∪B∣表示集合A和集合B的并集的元素数量，∣A∣和∣B∣分别表示集合A和集合B的元素数量，∣A∩B∣表示集合A和集合B的交集的元素数量）。
通过合理运用公式，可以快速准确地得出答案。
四、避免重复和遗漏
在解题过程中，要注意避免重复计数和遗漏。
当分析两个集合之间的关系时，要特别小心，确保每个元素只被计算一次，并且所有的元素都被考虑在内。
通过仔细分析集合之间的关系，可以有效地避免重复和遗漏。
五、提高运算速度
在考试中，时间是非常宝贵的。
为了提高解题速度，考生需要熟练掌握各种运算技巧和方法。
通过练习和总结经验，考生可以逐渐提高自己的运算速度，从而在考试中更加从容地应对各种问题。
综上所述，解决公考容斥问题需要考生具备一定的数学基础和逻辑思维能力。
通过理解问题背景、识别关键信息、使用公式计算、避免重复和遗漏以及提高运算速度等技巧，考生可以更加高效地解决这类问题，提高自己的考试成绩。
国考：公式法解容斥问题(三集合标准型)
国考：公式法解容斥问题（三集合标准型）河北公务员考试的《行测职业能力测验》包括五大部分内容：言语理解与表达、数量关系、判断推理、常识判断和资料分析，主要考察考生是否具有从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力。
河北华图教育精心整理了河北公务员行测真题及其他公务员笔试资料供考生备考学习。
在行测考试当中，有一类问题叫做容斥问题。
什么题目我们归结为容斥问题呢？一般情况下，有符合A，有符合B，有符合AB，有AB都不符合等这一类题干，我们就把他归结为容斥问题。
容斥问题可以分为二集合容斥和三集合容斥。
解题思路有画图法和公式法。
一般情况下，只要我们能牢牢地背会相关公式，考试的时候就能很快的做出答案，节省考试时间。
今天我们一起来看一下三集合容斥标准型公式。
三集合容斥标准型公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不符合。
下面我们一起来看寄到容斥问题的例题：【例】（2009-国家-81）如图所示，X、Y、Z 分别是面积为64、180、160 的三张不同形状的纸片。
它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X 与Y、Y 与Z、Z 与X 重叠部分面积分别为24、70、36。
问阴影部分的面积是多少？（）A.15B.16C.14D.18【解析】此题为容斥原理问题，根据三集合容斥标准型公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不符合。
根据题意，设阴影部分为x，列方程有：290=64+180+160-24-70-36+x，解得x＝16。
选择B。
由此可见，如果能够熟练地记住公式，其实这类问题我们完全可以在1分钟以内做出来的。
我们再来看一道例题：【例】对39 种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17 种，含乙的有18 种，含丙的有15 种，含甲、乙的有7 种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9 种，三种维生素都不含的有7 种，则三种维生素都含的有多少种？（）A.4B.6C.7D.9【解析】根据题意列方程：17+18+15-7-6-9+7=39-x，解出x=4。
教你不用记公式解决容斥问题
教你不用记公式解决容斥原理问题所谓容斥原理其本质只是一种计数方法，是教给我们如何使计数过程更简单的，那么这到底是一种什么样的计数方法呢？接下来让我们一起走进它，了解了它的本质，你会发现容斥原理问题真的很简单！首先华图帮您解读一下“容斥”这两个字，既然是计数方法，“容”便是先把符合条件的先“包容”进来，在这个过程中可能会产生重复的计数，所以“斥”便是把重复计算的部分“排斥”出去，最终达到正确的计数效果。
公务员考试中关于容斥原理的问题一般有两集合容斥原理问题和三集合容斥原理问题，让很多同学苦恼的问题便是这些繁琐的公式和各种变形，华图专家在这里提醒大家，千万不要进入死记公式的误区，不然你就是记住了也不会用，理解了其本质才能达到举一反三，融会贯通的效果。
为了方便理解，同学可将符合某个条件的集合看做图形的面积，下面结合文氏图对公式进行深入理解，两集合容斥原理公式：|AUB|=|A|+|B|-|A∩B| =总数-都不符合公式的由来：在对符合A或者符合B的面积进行计数时，我们将圆A的面积和圆B的面积加起来，（算A时已经包括了AB这部分，加B时又将AB算了一次）这个过程中图中AB部分被重复计算了一次，所以要再减去多算的这一次，公式由此而来。
而总数是方框的面积，都不符合的是方框内圆圈外的部分。
理解到这里我们自己可以对公式进行变形：总数—都不符合=只符合A+只符合B+符合A且符合B 即圆A内蓝色部分+AB白色部分+圆B内黄色部分再变符合A+符合B=只符合A+只符合B+2倍符合A且符合B这些如果都理解了，恭喜你已经初步理解了容斥原理问题了接下来趁热打铁，让我们搞定三集合容斥原理问题，三集合容斥原理基本公式：|AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|=总数-都不符合公式由来：如下图，我们在对符合A或者符合B或者符合C的面积进行计数时A+B+C的过程中对A和B的交集部分、B和C的交集部分、A和C的交集部分算了两次，对A、B、C的交集部分即下图中绿色部分ABC算了三次，而我们需要的是每个部分只算一次，所以对两个的交集要减去一次，到这里有同学又不明白了那ABC部分不是算了三次吗？为什么不减去两次，反而还要加上一次呢？注意在对两个的交集减去一次的过程中（-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|）绿色部分ABC也被减了三次，前面|A|+|B|+|C|加了三次，后面-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|又减了三次，说明ABC部分没有计算在内即算了0次，所以最后又+|A∩B∩C|此步骤的由来。
行测技巧：两种方法巧解数量关系“容斥问题”
⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题” ⾏测数量的运算⼀直是⾏测考试的重点题型，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题””，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测技巧：两种⽅法巧解数量关系“容斥问题” 容斥问题其实是⼀种在考试中⽐较常见且简单的题型，它考察的是集合之间彼此的交集问题，⼀般来说解决容斥问题最常⽤的两种⽅法就是⽂⽒图法和公式法。
下⾯⼩编为⼤家讲解。
让我们先从⼀个⽣活上的⼩例⼦来理解什么是容斥：AB是两个同居室友，有⼀天A下班回家时在路上买了⾹蕉、苹果、菠萝三种⽔果，B回家路上买了菠萝、葡萄、西⽠三种⽔果，那么家⾥现在⼀共有多少种⽔果？答案很简单，因为尽管两个⼈各买了三种⽔果，但其中菠萝是重复的，所以我们在3+3之后还需要把多算了⼀遍的菠萝减下去，⽽这就是容斥问题的本质：减去多算的，补上空⽩的。
在⾏测的容斥问题⾥，较常考的是三者容斥，也就是三个集合之间的关系，我们把三个集合分别称作A、B、C，三个集合的总集称作U，就可以得到三者容斥的公式： U=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C+三者都没有的 在做题的时候只需要找到题⼲中给定的各个条件，选择直接套⽤，然后就可以求出公式中缺少的项，从⽽快速得到答案。
以⼀道题⽬为例：18名游泳运动员中，有8名参加仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加⾃由泳，有4名既参加仰泳⼜参加蛙泳，有6名既参加蛙泳⼜参加⾃由泳，有5名既参加仰泳⼜参加⾃由泳，有两名这三个项⽬都参加。
三个项⽬都没有参加的有多少名？ 在题⽬中，ABC即对应仰泳、蛙泳、⾃由泳，那么A、B、C、A∩B，B∩C，A∩B∩C都是已知的，求都没有参加，即求剩下的项，⾸先，我们先把题⽬中已经给的数据填⼊公式： 18=8+10+12-4-6-2+2+x 在这个⽅程中，我们解得x=1，也就是三个项⽬都没有参加的有⼀个⼈。
⽽公式法虽然简单，但有的时候可能会觉得有些眼花缭乱，这种时候⽂⽒图法就显得更为直观，我们⼀起来感受⼀下⽂⽒图法在题⽬中的应⽤： 按照从内向外依次填充的⽅式，在⽂⽒图中填写不同区域对应的数据，这样题⽬⽆论是求哪个部分，⼜或是其中⼀些部分的和、差关系（⽐如只会游⼀种泳的、只会游两种泳的、只会⾃由泳的⼈⽐只会蛙泳的多多少），我们就都不怕了。
2016国考行测数学运算：容斥原理和抽屉原理重难点讲解
2016国考数学运算：容斥原理和抽屉原理重难点讲解公务员考试数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力，主要涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。
觉的题型有：数字推理、数学运算等。
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容斥原理和抽屉原理是国家公务员考试行测科目数学运算部分的“常客”了解此两种原理不仅可以提高做题效率，还可以提高自己的运算能力，扫平所有此类计算。
中公教育专家在此进行详细解读。
一、容斥原理在计数时，要保证无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，在不考虑重叠的情况下，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
1.容斥原理1——两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如图所示。
公式：A∪B=A+B-A∩B总数=两个圆内的-重合部分的【示例一】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
2.容斥原理2——三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B ∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
国考行测容斥原理解题技巧
二、 三集合类型
国考行测容斥原理解题技巧
在行测考试中，容斥原理题令很多考生头疼不已，因为容斥原理题看起来复杂多变，让考生 一时找不着头绪。 但该题型还是有着非常明显的内在规律， 只要考生能够掌握该题型的内在 规律，看似复杂的问题就能迎刃而解，下面就该题型分两种情况进行剖析，相信能够给考生 带来一定的帮助。
一、 两集合类型
1、 解题技巧 题目中所涉及的事物属于两集合时， 容斥原理适用于条件与问题都可以直接代入公式的题目， 公式如下： A B A B A B . 快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数-两集合公共数 2、 真题示例 【例1】 现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果做物理实验正确的有 40 人，化学实 验做正确的有 31 人，两种实验都做错的有 4 人，则两种实验都做对的有（ ） 人 A、27 人 B、25 人 C、19 人 D、10 人 【答案】B 【解析】直接代入公式为：50=40+31+4-A ∩B 解得 A B 25 ，所以答案为 B 。 【注】这里应设 A =物理实验做正确的人数，B =化学实验做正确的人数，U=做物理、化学实 验的人数，则 A=40，B=31，U=50， A B 4 ，
U=A+B+A B-A BAU NhomakorabeaB
【例2】
某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半，其中 25%是白色的，75%是 蓝色的。如果这批衬衫共有 100 件，其中大号白色衬衫有 10 件，小号蓝色衬衫 有多少件？（ ） A、15 B 、25 C 、35 D、40 【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，本题设小号和蓝色分别为 A、B，小 号占 50%，蓝色占 75%，直接代入公式为： 100=50+75+10-A B ， 解得， A B=35 。
2016年青海事业单位行测答题技巧：逻辑中数学思维的运用--容斥问题
2016年青海事业单位行测答题技巧：逻辑中数学思维的运用--容斥问题【导读】数学是逻辑的基础，在很多考生在做逻辑题目的时候，有时也需要借助一些数学思维，其中比较典型的就是逻辑中的容斥问题。
所谓容斥问题，是指根据两个集合间的关系(一般考相容或相斥)的情况来判断集合整体数字的最大情况或最小情况。
在逻辑中，关于容斥问题的考查根据出题形式主要有两种：第一种为结论型(即直接推出结论)，第二种则为冲突型(即问选项与题干冲突的或相符的)。
本文将就这两种题型分别进行阐述。
一、何为容斥?在讲授两种题型之前，我们首先要了解一下容斥的含义，所谓容斥，是根据集合间的关系来讲的，在数学中，集合间的关系共分为五种，分别问全同、全异、交叉、包含、包含于。
容，即指一个集合的范围一定是完全在另一个集合的范围里面的，比如中国人和人的集合，中国人的范围一定在人的范围里面，那么就可以说它们之间是包含的关系，也可以说是相容的;再比如土豆和马铃薯，土豆的集合范围和马铃薯是一样的，那么也可以说土豆(马铃薯)范围一定在马铃薯(土豆)的范围里面，它们之间是全同的关系，但也可以说是相互相容的。
根据前文的两个例子，所谓的容，其实包含了集合间五种关系的三种，即全同、包含和包含于。
斥，即两个集合范围相互排斥，即两个集合间的关系是一种全异关系，比如桌子和椅子，它们的范围就是相互排斥的关系。
了解完容斥问题的含义，它对我们做题有什么帮助呢?其实容斥问题是考查集合范围最大(多)情况和最小(少)情况的核心点，比如给一群人，这群人里面有10个女生和15个游泳爱好者，并且女生和游泳爱好者涉及到这群人所有人了，那么这群人的最多和最少是什么呢?对于这个问题，很多人一眼就可以看出来，最多一定是25个人，最少是15个人。
对于这个一眼就可以知道答案的题目，很多人都觉得很简单，但是这个简单的背后我们需要思考它的深层次原因，为什么最多就是25个人，最少就是15个人。
这里面就需要借助数学的考查方法。
最新完美版国考笔试资料数量关系之容斥问题
行测高频考点技巧荟萃第6期：数量关系之容斥问题在公务员、政法干警、选调生等行测考试中会经常考察到容斥问题，所以考生一定要给予重视。
通常情况下容斥问题的解题思路都是比较清晰且简单的，只要经过一段时间的复习，解容斥问题的正确率一定会有所提高哦数量关系容斥问题知识点储备一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年国家公务员中都有出现。
难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。
在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。
因此，这一题型还是需要重点关注。
二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。
三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年都有出现。
难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。
在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。
因此，这一题型还是需要重点关注。
二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。
三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C(二)文氏图法解两个集合容斥问题四、例题精讲例题1：某班有56人，每人至少参加一个兴趣小组，参加生物组的有46人，参加科技组的有28人，两组都参加的有多少人?A.10B.18C.24D.30解析：集合A={参加生物组的人｝、集合B={参加科技组的人｝，由A∪B=A+B-A∩B知两组都参加的有A∩B=46+28-56=18人。
国考行测三集合容斥原理
国考行测三集合容斥原理
集合容斥原理是组合数学中的一种常用原理，常用于解决集合问题。
在国家公务员考试中，行测部分经常涉及与集合相关的题目，而集合容斥原理则是解决这类问题的一种有效方法。
集合容斥原理描述了多个集合之间的差集和交集的关系。
具体来说，对于给定的n个集合A1、A2、...、An，集合容斥原理
可以帮助我们计算出这些集合的并集的元素个数。
集合容斥原理的公式为：
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1
∩ A3| - ... + (-1)^n-1 |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|
其中，|A|表示集合A的元素个数。
在国考行测中，集合容斥原理常常可以用于解决关于人员分组、选修课程、考试通过等问题。
通过运用集合容斥原理，我们可以得到相应的计算式，从而求得准确的答案。
需要注意的是，在实际运用中，对于给定的具体问题，我们需要根据情况决定要包含哪些集合以及如何计算交集和差集。
并且，根据具体情况，可能需要结合其他的解题方法进行综合运用。
总的来说，集合容斥原理在国考行测中是一种非常有用的解题方法，能够帮助我们清晰地分析问题，准确地求解答案。
因此，对集合容斥原理的理解和掌握对于国考行测的备考非常重要。
2016国家公务员考试行测三者容斥问题讲解
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2016国家公务员考试行测三者容斥问题讲解
2016国家公务员考试已经悄然拉开序幕，如何在前期的备考中占得先机，从而在竞争如此激烈的国考战场中脱颖而出，想必是每个有志向考上公务员的同学心中最为关心的问题。
众所周知，国考中行测考试题量大时间短，很多同学最后没有考出好成绩往往不是题不会做，而是没有足够的时间做。
而要想在考试过程中做到得心应手，提高做题效率，缩短做题时间，中公教育专家认为考生必须在平时的学习过程中对常考题型的解题思路非常熟悉。
容斥问题是国考行测考试数学运算部分考试频率非常高的一类型题，而三者容斥问题则是容斥问题中的典型题目。
虽然三者容斥问题的核心本质很简单，但是考试题目却千变万化，下面我们就一起来了解一下三者容斥问题中的四种典型题型。
容斥问题的解题原则是把重复数的次数变成一次，而我们常常采取文氏图的方法来解题，那么在文氏图当中解题原则的本质就是把重复的面积变成一层。
【中公解析】注意到题目中给的是准备参加两种考试的有46人，即两层的区域;准备参加三种考试的有24人，即三层的区域。
所以根据容斥原理的解题原则，每个区域都变成一层，则总共接受调查的学生人数=63+89+47-46-2×24+15=120，选A。
2016河北公务员考试行测三者容斥问题讲解
2016河北公务员考试行测三者容斥问题讲解河北公务员考试《行政职业能力测验》主要测查与公务员职业密切相关的、适合通过客观化纸笔测验方式进行考查的基本素质和能力要素，包括言语理解与表达、数量关系、判断推理、资料分析和常识判断等部分。
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如何在前期的备考中占得先机，从而在竞争如此激烈的河北公务员战场中脱颖而出，想必是每个有志向考上公务员的同学心中最为关心的问题。
众所周知，河北公务员中行测考试题量大时间短，很多同学最后没有考出好成绩往往不是题不会做，而是没有足够的时间做。
而要想在考试过程中做到得心应手，提高做题效率，缩短做题时间，中公教育专家认为考生必须在平时的学习过程中对常考题型的解题思路非常熟悉。
容斥问题是河北公务员行测考试数学运算部分考试频率非常高的一类型题，而三者容斥问题则是容斥问题中的典型题目。
虽然三者容斥问题的核心本质很简单，但是考试题目却千变万化，下面我们就一起来了解一下三者容斥问题中的四种典型题型。
容斥问题的解题原则是把重复数的次数变成一次，而我们常常采取文氏图的方法来解题，那么在文氏图当中解题原则的本质就是把重复的面积变成一层。
【中公解析】注意到题目中给的是准备参加两种考试的有46人，即两层的区域;准备参加三种考试的有24人，即三层的区域。
所以根据容斥原理的解题原则，每个区域都变成一层，则总共接受调查的学生人数=63+89+47-46-2×24+15=120，选A。
例2:某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，至少准备选择参加两种考试的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。
问接受调查的学生共有多少人?A.120B.144C.177D.192【中公解析】此题与第一题的区别在于所给条件多出两个字变为“至少准备选择参加两种考试的有46人”虽然只多出了至少两个字，但是它代表的含义就有所不同。
行政职业能力测试答题技巧：容斥原理巧解数学运算题
来源：安徽事业单位招聘网（/anhui/）行政职业能力测试答题技巧：容斥原理巧解数学运算题【导语】在事业单位行测考试中，数学运算题作为数量关系题的重点题型颇受关注。
此类题型的解题方法和原理也各不相同。
中公事业单位考试网为考生带来行政职业能力测试答题技巧：容斥原理巧解数学运算题。
容斥原理又称包含排斥原理，它是解决组合计数问题的重要工具。
加法原理告诉我们，在集合间没有交集的情况下，求这些集合并集的简单计数公式。
容斥原理则告诉我们一般情况下的公式，此时集合间可以重叠而没有限制。
【例题】在1到30的正整数中，有多少个整数能被2整除或能被3整除?【点拨】由于从1开始每连续2个的第2个数能被2整除，所以1到30中能被2整除的整数共30÷2=15个，它们分别是2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30。
同理，由于从1开始每连续3个的第3个数能被3整除，所以1到30中能被3整除的整数共30÷3=10个，它们分别是3,6,9,12,15,18,21,24,27,30。
又，同时能被2和3整除的整数共30÷(2×3)=5个，分别是6,12,18,24,30。
所以计数时如果计算15+10=25，则重复计算了5个数。
容斥原理可以帮我们巧妙地解决这一问题。
P.S：两集合容斥原理公式①|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|②|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|其中，两集合容斥原理用简单语言叙述就是：满足条件1的个数+满足条件2的个数-都满足的个数=总数-都不满足的个数=满足至少一个条件的个数。
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公务员考试——容斥原理问题
知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。
在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。
无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。
核心点拨1、题型简介容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。
掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。
2、核心知识（1）两个集合容斥关系（2）三个集合容斥关系A、标准型公式B、图示标数型（文氏图法）画图法核心步骤：1画圈图；2数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)；③做计算。
C、整体重复型A、B、C分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）；W代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）；x代表元素数量1（比如“满足一个条件的元素数量”）；y代表元素数量2（比如“满足两个条件的元素数量”）；z代表元素数量3（比如“满足三个条件的元素数量”）。
3、核心知识使用详解（1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。
（2）容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。
（3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。
夯实基础1. 两个集合容斥关系例1：(2007年中央第50题)小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的，小强答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有答对的题目共有（）。
A. 3道B. 4道C. 5道D. 6道【答案】D【解析】[题钥]由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为。
公考容斥原理公式
公考容斥原理公式容斥原理是公务员考试中一个挺有意思的知识点。
咱们先来看看啥是容斥原理。
打个比方，咱就说学校组织活动，参加数学竞赛的有 A 个人，参加语文竞赛的有 B 个人，既参加数学又参加语文的有 C 个人。
那参加这两个竞赛的总人数咋算呢？这时候容斥原理就派上用场啦！两集合的容斥原理公式是：A∪B = A + B - A∩B 。
用咱上面说的例子，参加竞赛的总人数就是参加数学竞赛的人数加上参加语文竞赛的人数，再减去两项都参加的人数。
再比如说，有一个班级，喜欢语文的同学有 20 个，喜欢数学的同学有 30 个，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱就用 20 + 30 - 10 = 40 个。
那要是有三个集合呢？比如说参加英语竞赛的有 D 个人。
这时候的容斥原理公式就变成了：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C 。
我之前给学生讲这个知识点的时候，有个学生特别迷糊，一直搞不清楚为啥要加上A∩B∩C 。
我就给他举了个例子，比如说咱们班组织看电影、唱歌和聚餐。
看电影的有 25 人，唱歌的有 30 人，聚餐的有20 人，既看电影又唱歌的有 10 人，既看电影又聚餐的有 8 人，既唱歌又聚餐的有 6 人，三样都参加的有 3 人。
那咱们来算算一共多少人参加了活动。
按照公式就是 25 + 30 + 20 - 10 - 8 - 6 + 3 = 54 人。
这个学生还是有点晕乎，我就给他画了个大大的图，把看电影、唱歌、聚餐的区域标出来，然后一点点给他解释，哪些地方被重复计算了，哪些地方被漏掉了。
最后这学生恍然大悟，还跟我说：“老师，我这下可算搞明白了！”其实啊，容斥原理在公考中经常出现，而且形式多样。
可能是人员参加活动，可能是商品的选购，还可能是各种不同条件的组合。
比如说有一道题，一个公司里会编程的有 50 人，会设计的有 40 人，两种都会的有 20 人，问至少会一种的有多少人。
国考笔试资料数量关系之容斥问题
行测高频考点技巧荟萃第6期：数量关系之容斥问题在公务员、政法干警、选调生等行测考试中会经常考察到容斥问题，所以考生一定要给予重视。
通常情况下容斥问题的解题思路都是比较清晰且简单的，只要经过一段时间的复习，解容斥问题的正确率一定会有所提高哦数量关系容斥问题知识点储备一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年国家公务员中都有出现。
难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。
在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。
因此，这一题型还是需要重点关注。
二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。
三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年都有出现。
难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。
在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。
因此，这一题型还是需要重点关注。
二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。
三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C(二)文氏图法解两个集合容斥问题四、例题精讲例题1：某班有56人，每人至少参加一个兴趣小组，参加生物组的有46人，参加科技组的有28人，两组都参加的有多少人?A.10B.18C.24D.30解析：集合A={参加生物组的人｝、集合B={参加科技组的人｝，由A∪B=A+B-A∩B知两组都参加的有A∩B=46+28-56=18人。
行测容斥原理问题答题技巧
国考行测容斥原理解题技巧在行测考试中，容斥原理题令很多考生头痛不已，因为容斥原理题看起来复杂多变，让考生一时找不着头绪。
但该题型还是有着非常明显的内在规律，只要考生能够掌握该题型的内在规律，看似复杂的问题就能迎刃而解，下面就该题型分两种情况进行剖析，相信能够给考生带来一定的帮助。
一、两集合类型1、解题技巧题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：A∪B=A+B－A∩B快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数2、真题示例【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有()A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。
【例2】某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。
二、三集合类型1、解题步骤涉及到三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表的含义，按照中路（三集合公共部分）突破的原则，填充各部分的数字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）进行求解。
2、解题技巧三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
公式：总数=各集合数之和－两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数3、真题示例【例3】【国考2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。
2016江苏公务员考试行测指导：速解“容斥”题
2016江苏公务员考试行测指导：速解“容斥”题江苏公务员考试考试内容为《公共基础知识》、《申论》、《行政职业能力测验》，主要考察从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力，通过测试选拔出能够胜任公共管理工作的优秀人才。
测试内容包括言语理解与表达能力、判断推理能力、数理能力、常识应用能力和综合分析能力。
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一、工具的应用容斥问题研究的是集合与集合之间关系，对应于不同的题型，我们往往要选择不同的工具展示题目中的关系，简化分析过程。
题型不同时要借助的工具也不一样。
普通二者或三者容斥借助文氏图分析;四者容斥往往借助表格;而一些有比较或排序类的容斥题目往往借助线段。
考生要区分不同题型、考点，明确做题工具。
二、结论的不同不同题型不但解题工具不同，结论、公式也是不同的。
普通的二者和三者容斥考生往往都比较熟悉，下面几个特殊容斥的题目一样值得考生注意：1、四者容斥例：有100件衬衫，其中白色和黑色的各50%,大号有25%,小号占75%,白色大号的有10件，请问黑色小号的有几件?分析：这是一道四者容斥的题目，用表格法解决。
依据比例将白色、黑色衬衣的件数和大小号衬衣的件数写在表格最右列和最下行。
大号白色10件，标在大号一列和白色一行的交叉格中。
则大号黑色有25-10=15件，小号黑色有50-15=35件。
总结：四者容斥的题目一般都是描述某一事务在两个不同方面的四个不同属性。
利用表格可以快速解题。
2、容斥全极值N者容斥问N者重合部分的最值即为容斥全极值问题。
考试很少考最大值，一般都是问N者重合部分最小的时候，直接利用结论做：N者极值=N个大集合的和减去(N-1)个全集。
例：某班有100人，其中语文好的有80人，数学好的有78人，英语好的有82人，请问三个科目都好的至少有几人?分析：此题属于三者全极值的问题，带入公式：80+78+82-100×2=40.即三个科目都好的人至少40人。
国家公务员考试行测数量关系：理科题高频考点之容斥问题
国家公务员考试行测数量关系：理科题高频考点之容斥问题公务员考试数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力，主要涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。
觉的题型有：数字推理、数学运算等。
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容斥问题在历年省考、国考中的出镜频率都很高，预计2016国家公务员考试也会继续采用该题型，考生们需引起足够重视。
中公教育专家认为，对于容斥问题，考生只要认真读题就一定能够正确地解出此题。
接下来，我们一起来看一下有关容斥问题的解法。
一、两者容斥的解法对于容斥问题，解题关键是首先找到各个集合，然后理清各集合之间的关系，然后通过两大核心方法便可解决问题，两大核心方法为：1、将所有区域化为一层2、画文氏图容斥问题考察的题型包括求定值、求极值，求定值通常考察两种题型——两者容斥、三者容斥，首先来看两者容斥问题：例：大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?A.6B.7C.8D.9中公解析：第一步：根据题意画文氏图，描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系：第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示：A表示是奥运会自愿者B表示是全运会志愿者I表示是全班人数X表示全运会且奥运会志愿者Y表示非奥运会且非全运会志愿者第三步：根据题意建立等量关系，根据把重复数的次数变为只数1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则。
I=A+B-X+Y，所以X=A+B+Y-I=7(利用尾数法)。
结论：两者容斥问题，画图之后可知，两个圆相交的地方有1层、2层两种情况，当将两个集合相加的时候，2层部分多计算一次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故两者容斥问题的公式为：全集I=A+B-X+Y(I代表全集，A、B分别代表两个集合，X代表两个集合的交集，Y代表集合之外的部分)二、三者容斥的解法接下来看三者容斥问题，三者容斥问题所给的已知条件不同，导致其公式不同。
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对于许多考生来说，公务员考试行测中的容斥问题一直是难点，特别是一些复杂的三者容斥问题，单单靠记忆一些公式是难以解决的。
中公教育专家建议考生，不记这些复杂的容斥原理公式也是可以的，关键要学会灵活运用容斥原理，尤其是利用文氏图结合容斥原理，一些问题可以轻松解决。
一.知识点总结
容斥原理: 容斥原理是指计数时先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把重复计算的数目排斥出去。
容斥问题主要分为：两者容斥问题、三者容斥问题。
如何解决容斥问题：利用文氏图(划圈法)。
1.两者容斥问题
解决两者容斥问题的方法：如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，然后减掉重复计算的部分。
简记：元素的总个数=大圈-中圈(A、B为大圈，x为中圈)
方法核心：让每个重叠区域变为一层。
(x为重叠区域)
例：班级一共有240人，每个人必须至少有一门是好的，已知行测好的是160人，申论好的是120人，问既行测好又申论好的有多少人?
(x为既行测好又申论好的人)
中公解析：首先我们只需把行测好、申论好的分别看成集合，然后用文氏图表示出来，其中x为重叠区域，我们需将其变为单层。
160+120-x=240，解得x=40。
2.三者容斥问题
解决三者解决容斥问题的方法：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，先把A、B、C三个集合的元素个数相加，然后减掉重复计算的部分。
(1、2、3、x均为重叠区域)
简记：元素的总个数=大圈-中圈+数小圈(大圈指三类元素的个数和，中圈指题目中所给重叠区域(1、2、3、1+x、2+x、3+x、1+2+3+x)，小圈为三层重叠区域x，利用此公式，我们只需数小圈即可。
方法核心：让每个重叠区域变为一层。
例：有140人，每个人都至少喜欢一种花，已知喜欢玫瑰花的有80人，喜欢牡丹花的有70人，喜欢百合花的有60人，则分别在以下三种条件下，三种花都喜欢的有多少人?
(1)喜欢玫瑰和牡丹的有30人，喜欢玫瑰和百合的有40人，喜欢牡丹和百合的有50人;
(2)只喜欢两种花的有40人;
(3)至少喜欢两种花的有50人。
中公解析：首先分析三个条件中重叠区域是哪部分，利用元素的总个数=大圈-中圈+数小圈，则大圈=80+70+60，中圈=30+40+50，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x被减了三次，还需加一次x，故，解得x=50。
(2)大圈=80+70+60，中圈=40，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x一次也没有被减，因此需减2x，故，解得x=15。
(3)大圈=80+70+60，中圈=50，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x被减了一次，因此需再减一次x，故，解得x=20。
总结：解决容斥问题，最重要的就是要分清题干中所给的重叠区域，然后从三层区域入手(小圈)将重叠区域变为一层。
3.容斥中的极值问题
二.经典例题
1.接受采访的100个大学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没手机的共有多少人?
A.25
B.15
C.5
D.3
【答案】D。
中公解析：画出文氏图。
88人有手机，15人有手机没电脑，则88-15=73人既有手机又有电脑，已知76人有电脑，所以有电脑没手机的有76-73=3人。
2.某公司招聘员工，按规定每人最多可报考两个职位。
结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：
A.5人
B.6人
C.7人
D.8人
【答案】C。
中公解析：：设同时报乙、丙职位的人数为x人，报考甲、乙、丙三个职位的一共有22+16+25=63人，其中报考两个职位的被重复计算了1次，则总的报名人数42=63-(8+6+x)，解得x=7人。