2013届高三考前热身考试理科数学

2013届高三考前热身考试理科数学一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数2(1)1i i i+-+对应的点位于Ａ.第一象限 Ｂ.第二象限 Ｃ.第三象限 Ｄ.第四象限A ．10B ．20C ．30D ．403．已知集合P = {x | x (x +1)≥0}，Q = {x | 11x -＜0}，则P ∩Q 等于A ． {x |x ＜1}B ．{x |x ≤-1}C ．{x |x ≥0或x ≤-1}D ．{x |0≤x ＜1或x ≤-1}4．已知,αβ是两个不同的平面，,,l m n 是不同的直线，下列命题不正确．．．的是 A ．若,,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂则l α⊥ B ．若//,,,l m l m αα⊂⊂/则//l αC ．若,,,,l m m l αβαβα⊥=⊂⊥ 则m β⊥D ．若,,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥5．已知实数列-1,x,y,z,-2成等比数列,则xyz 等于 A.-4B.4±C.-D.±6．男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A ．2人B ．3人C ．4人D ．2人或3人7．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0),A -则||||P F P A 的最小值是A.12B.2C.2D.38．设2m ≥，点)(y x P ，为1y x y m x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内任意一点，)50(-，M ，O 为坐标原点，)(m f 为OM OP ⋅的最小值，则)(m f 的最大值为A ．310-B ．103C ．0D ．2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答9．已知向量(21,4)c x →=+，(2,3)d x →=-，若//c d →→，则实数x 的值等于 ．．10．不等式|2x －log 2x|＜2x ＋|log 2x|的解集为 11．设20lg 0()30ax x f x x t d t x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))27f f =，则a = ．12．设()sin ()4f x x π=+，若在[]0,2xπ∈上关于x 的方程()f x m =有两个不等的实根12,x x ，则12x x +的值为13．如图所示的流程图，根据最后输出的变量S 具有的数值，则S 的末位数字是__________．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.15．在极坐标系中，圆4cos ρθ=上的点到直线(sin cos )2ρθθ-=的最大距离为 .三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的一系列对应值如下表：（1）求()f x 的解析式；（2）若在A B C ∆中，2A C =，3B C =，1()2f A =-（A 为锐角），求A B C ∆的面积．17．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人独立参加某企业的招聘考试，根据三人的专业知识、应试表现、工作经验等综合因素，三人被招聘的概率依次为211,,.323用ξ表示被招聘的人数。

（1）求三人中至少有一人被招聘的概率； （2）求随机变量ξ的分布列和数学期望。

18．（本小题满分14分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截面得，已知FA ⊥平面ABC ，AB ＝2，BD ＝1，AF ＝2， CE ＝3，O 为AB 的中点． （1）求证：OC ⊥DF ；（2）求平面DEF 与平面ABC 相交所成锐二面角的大小；（3）求多面体ABC —FDE 的体积V ． 19．（本小题满分14分）曲线12,C C 都是以原点O 为对称中心、坐标轴为对称轴、离心率相等的椭圆.点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是曲线1C 的短轴，并且是曲线2C 的长轴 . 直线:(01)l y m m =<<与曲线1C 交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与曲线2C 交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（1）当m =，54AC =时，求椭圆12,C C 的方程；（2）若OC AN ⊥，求m 的值．20．（本小题满分14分）设}{n a 是各项都为正数的等比数列, {}n b 是等差数列,且111,a b ==，3513,a b +=5321.a b += (1)求}{n a ,{}n b 的通项公式； (2)记}{n a 的前n 项和为n S ，求证：121212n na a a n S S S +++<+ ；（3）若,i j 均为正整数,且1,i j n ≤≤≤记所有可能乘积i j a b ⋅的和n T ，求证：12(23)26n n T n n +=-⋅+-．21．（本小题满分14分） 已知函数f (x ) =3ln ,()2(0).x g x x x=->（1）试判断当()()f x g x 与的大小关系； （2）试判断曲线()yf x =和()y g x =是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；（3）试比较 (1 + 1×2) (1 + 2×3) ……（1 +2012×2013)与4021e 的大小，并写出判断过程．参考答案一、选择题：1、D ；2、B ；3、D ；4、 A ；5、 C ；6、D ；7、B ；8、A 二、填空题：9、12；10、（1，+∞）；11、3；12、2π或52π；13、答案1，解析：事实上S 具有的数值为20132012，根据题目要求只需考虑3n 的尾数变化即可．首先来n3n 的末位数字的变化是以4为周期的规律循环出现．2012被4整除，所以20132012的末位数字为1. 1415、2+ 三、解答题：16解：（Ⅰ）由题中表格给出的信息可知，函数()f x 的周期为344T πππ=-=，所以22πωπ==. ………………………………………………2分注意到sin (2())04πϕ⨯-+=，也即2()2k k Z πϕπ=+∈，由0ϕπ<<，所以2πϕ=…4分所以函数的解析式为()sin (2)2f x x π=+（或者()cos 2f x x =） ………………5分（Ⅱ）∵1()co s 22f A A ==-，且A 为锐角，∴3A π=……………………………6分在A B C ∆中，由正弦定理得，sin sin B C A C AB=，∴2sin 2sin 33A C AB B C⨯⋅===，…7分∵B C A C >，∴3B A π<=，∴co s 3B =………………………8分∴1sin sin ()sin co s co s sin 23236C A B A B A B =+=+=⨯=……10分∴11sin 232262A B C S A C B C C ∆=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=…………………12分17．解：（1）记甲、乙、丙三人被招聘分别为事件123,,A A A ，则123211(),(),()323P A P A P A ===，…………………2分所以三人中至少有一人被招聘的概率为12321181()1(1)(1)(1).3239P A A A -⋅⋅=--⨯-⨯-=…5分（2）由题知ξ的取值有0，1，2，3， ……………………………………………6分1771(0),(1),(2),(3).918189P P P P ξξξξ======== (9)分ξ的分布列为……10分所以ξ的数学期望为1771301239181892E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……………12分18．解：（1）证法一： FA ⊥平面ABC ，O C⊂平面ABC ，,F A O C ∴⊥ ………2分 又CA=CB 且O 为AB 的中点，,A B O C ∴⊥ O C ∴⊥平面ABDF ，…………4分D F ⊂ 平面ABDF ，.O C D F ∴⊥……………5分证法二：如图，以O 为原点，OB 、OC 、Oz 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，(0,0),(1,0,1),3),(1,0,2).C D E F ==- …………………………2分0),(2,0,1),0.O C D F O C D F ==-∴⋅=即.O C D F ⊥ ……………………5分（2）解法一：解：设平面ABC 的法向量为1(0,0,1),n =………………………6分 设平面DEF 的法向量为2(1,,),n y z =(2),D E =-由2200n D E n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得12020z z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩, 解得2y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ………………8分 所以1212122co s ,2||||n n n nn n ⋅<>===⋅,…………10分故平面DEF 与平面ABC 相交所成锐二面角的大小为4π …………………11分解法二：设平面DEF 与平面ABC 相交所成锐二面角的大小为θ，依题中的条件可求得DE=20112sin 6022D E F A B C D F E F S S ∆∆==∴=⋅==⋅⋅=由空间射影定理得co s .24A B C D E FS S πθθ∆∆==∴=故平面DEF 与平面ABC 相交所成锐二面角的大小为4π …11分解法三：延长ED 、FD 交直线CB 、AB 于M 、N 两点，过B 点作MN 的垂线交MN 于Q 点，连结DQ ， D B ⊥平面BMN ，,D Q M N ∴⊥所以D Q B ∠为二面角的平面角，yxz2112sin601,22B M NB M NSM N S B QM N∆∆===⋅⋅⋅===tan1,45D Q B D Q B∴∠=∠=，故平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小为045 (11)分（3）解法一：由（1）知O C⊥平面ABDF，且E C⊥平面ABC，1133E ABDF E ABC ABCABDFV V V OC S EC S--∆∴=+=⋅⋅+⋅⋅梯形11112(12)323232=⋅++⋅⋅⋅⋅=…………………14分所以多面体ABC—FDE的体积为解法二：在原来的几何体再补一个相同的几何体得到一个直三棱柱，其底面为ABC，高为4，所以多面体ABC—FDE的体积201142sin6022V=⋅⋅⋅=所以多面体ABC—FDE的体积为19．解：（1）解：设曲线C1的方程为2221xya+=,C2的方程为2221xyb+=（1,01a b><<）………2分∵C1 ,C2的离心率相同，∴22211aba-=-,∴1ab=，……………………3分m∴Q令y=22311,.42Axx aa+=∴=-22311,42Cxx bb+=∴=.∴当mA(2a-,C1(2a．……………5分又∵54AC=,115224b a∴+=.由521a bab⎧+=⎪⎨⎪=⎩，且1,01a b><<，解得212ab=⎧⎪⎨=⎪⎩…6分∴C1 ,C2的方程分别为2214xy+=，2241x y+=．…………………7分（2）令my=代入曲线方程，2221xya+=，得,12maxA--=2221xyb+=，得21mbxC-=…9分由于1=ab，所以A(-,m),C,m) ．………10分由于MN是曲线1C的短轴，所以)1,0(-N.∵OC⊥AN，∴0OC AN⋅=（*）．. .................... 11分∵OC=,m），AN=（,-1-m)，代入（*）并整理得2m2+m-1=0，………………12分∴21=m或1-=m(舍负) ，∴21=m．………………14分20．解：（1）设}{n a 的公比为(0),q q >{}n b 的公差为d ，则4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩………2分解得2,2,d q ==所以12,2 1.n n n a b n -==-…………………………………5分（2）证法一：由题意得1221,12nn n S -==-- (6)分11112111111(1)(1)(1),21221222122n n n nn n n na S ----==+=+≤+--+-…………………8分所以12112111112()(2)11222212nn n na a a n n n S S S --+++≤+=+-<+-……………9分 （2）证法二：由题意得1221,12nnn S -==-- (6)分1211(1)21221n n n nna S -==+--，当2n ≥时1212(1)21(11)1112n n n n n n n n n n C C C C C +-=+-=++++-≥+=且1n =也成立，1112()211nnn ∴≤--+…………………………………8分 所以1212111212n na a a n n S S S n +++≤+-<++ ………………………………9分（3）证法一：由题意11122123312()()()n n n T a b a a b a a a b a a a b =++++++++++1212121212(21)(21)(21)222()nnn n n b b b b b b b b b =-+-++-=⋅+⋅++⋅-+++ …………11分令122311212222,2222nn n n S b b b S b b b +=⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅以上两式相减得12312222222(21)2,n n S n +-=+⋅+⋅+⋅--⋅ 1(23)26,n S n +∴=-⋅+………13分又212n b b b n +++= ，所以12(23)26n n T n n +=-⋅+-………………………14分证法二：用数学归纳法证明。