最新高三教案-2018年高考第一轮复习3.1数列的概念 精
人教版高中数学高考一轮复习--数列的概念(课件)
故Sn=2×3n-1.
2×3n-1
.
能力形成点3
由数列的递推关系式求通项公式
表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式,常用an=f(n)(n∈N*)表示.
问题思考
数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区分与联系?
数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的
定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且在y=3x+5的图象上.
6.数列的递推公式
得到正确的选项.
对点训练 1
2 4 6
(1)数列 0, , , ,…的一个通项公式为( C )
3 5 7
-1
-1
2(-1)
A.an=
B.an=
C.an=
+2
2+1
2-1
2
D.an=
2+1
(方法一:直接法)由第2,3,4项的分母可知,通项公式的分母为奇数1,3,5,7,…,
故a1的分母为1,an的分母为2n-1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
由数列的前几项求数列的通项公式
例 1 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
1
1
1
1
(2),
,,
,…;
1×2 2×3 3×4 4×5
2 4 6 8 10
(3)3 , 15 , 35 , 63 , 99,…;
1 9 25
1 4 9 16 25
2
察,即2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,…,从而可得该数列的一个通项公式 an= 2 .
高中数学数列概念教案
高中数学数列概念教案
教学内容：数列概念
教学目标：能够理解数列概念，掌握常见数列的性质及求解方法。
教学重点和难点：掌握数列的定义及常见数列的性质。
教学准备：教学课件、教学实验材料、小黑板、粉笔、教科书。
教学过程：
一、引入（5分钟）
通过渐进法引入数列的概念，并引导学生思考数列在生活中的实际应用，激发学生学习的
兴趣。
二、讲解（15分钟）
1. 数列的定义：依据顺序排列的一系列数构成的序列称为数列。
2. 数列的表示方法：通项公式及递推公式。
3. 常见数列及性质：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
三、实例讲解（20分钟）
通过实例演算，帮助学生掌握数列的性质及求解方法，巩固所学知识。
四、练习（15分钟）
设计一些与课堂内容相关的练习题，让学生在课堂上进行练习，检验他们的学习情况。
五、总结（5分钟）
对本节课所学内容进行总结，强调重点知识点，帮助学生将学到的知识点牢固记忆。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的课外作业，加深学生对数列的理解。
教学反思：
此教案通过引入、讲解、演算、练习、总结和作业布置等方式，全面系统地向学生介绍了
数列的概念及性质，帮助学生掌握了数列的基本知识，同时激发了学生对数学的学习兴趣。
在今后的教学中，应注重巩固学生的基础知识，引导学生灵活运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学素养和解题能力。
高三一轮数列复习教案
数列第一课时 等差数列【重要知识】1．等差数列的概念：（1）一个数列{}n a ：若满足1(n na a d d +-=为常数），则数列{}n a 叫做等差数列（2）等差数列的证明方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数） 或112(2)n n n a a a n -+=+≥。
（3）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
2.等差数列主要公式：（1）等差数列的通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈； （2）两项之间的关系式：d m n a a m n )(-+= （3）前n 项和公式为：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+3.等差数列主要性质：（1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（2）当m n p q +=+时,则有q p nm a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=（3）若{}n a 是等差数列，232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，公差D=dn2。
（4）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；)1(:-=n n S S 偶奇：。
（()n n a n S 1212-=- ）（5）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为nA ，n B ,且()nnA f nB =，则2121(21)(21)n n n n n n a n a A b n b B ---==-(21)f n =-. (6)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
数列的概念及简单表示法(高三一轮复习)
所以数列
S 2
n
是首项为S
2 1
＝a
2 1
＝1，公差为1的等差数列，所以S
2 n
＝n，所以Sn＝
n
(n∈N*)．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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命题点2 由数列的递推公式求通项公式
考向1 累加法
例2
设数列
a
n
满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列
1 3
an＋1，所以a2＝3S1＝3×
16 3
＝16.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1
＝13an＋1－13an，即an＋1＝4an.
所以从第二项起，数列an为首项为16，公比为4的等比数列，所以an＝ 4n(n≥2)．
经检验，an＝4n对n＝1不成立，
所以an＝136，n＝1， 4n，n≥2.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
，所以a2＝
4 2－a1
＝
4 2－4
＝－2，a3＝
4 2－a2
＝
4 2＋2
＝1，a4＝
4 2－a3
＝
4 2－1
＝4，…，所以数列
a
n
是以3为周期的周期数列，又2
022＝
673×3＋3，所以a2 022＝a673×3＋3＝1.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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4．(易错题)若数列
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4.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 8 列表法 、图象法和 9 解析法 ．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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常用结论► (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有 关，还与这些“数”的排列顺序有关． (2)项与项数的概念：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项 对应的位置序号． (3)若数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}的通项公式为an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.
高三数学复习教案：高考数学数列复习教案
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本文题目：高三数学复习教案：高考数学数列复习教案【知识图解】【方法点拨】1.学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证.2.强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧.3.在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差(比)数列的比较简单的数列进行化归与转化.4.一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习.如错位相减法、迭加法、迭乘法等.5.增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解.第1课数列的概念【考点导读】1. 了解数列(含等差数列、等比数列)的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数;2. 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系;3. 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。
【基础练习】1.已知数列满足，则 = 。
分析:由a1=0, 得由此可知: 数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得:2.在数列中，若，，则该数列的通项 2n-1 。
3.设数列的前n项和为，，且，则 ____2__.4.已知数列的前项和，则其通项 .【范例导析】例1.设数列的通项公式是，则(1)70是这个数列中的项吗?如果是，是第几项?(2)写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象;(3)这个数列所有项中有没有最小的项?如果有，是第几项? 分析：70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道;而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点;判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。
解：(1)由得：或所以70是这个数列中的项，是第13项。
高三数学第一轮复习教案(第三章数列5课时)1
第三章 数列 第1课时 数列的有关概念一．课题：数列的有关概念二．教学目标：理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解n a 与n S 的关系，培养观察能力和化归能力．三．教学重点：数列通项公式的意义及求法，n a 与n S 的关系及应用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．数列的有关概念； 2．数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法． 3．n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．（二）主要方法：1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归； 2．数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥ ，求通项时一定要验证1a 是否适合． （三）例题分析：例1． 求下面各数列的一个通项：14916(1),,,,24578101113--⨯⨯⨯⨯；(2)数列的前n 项的和 221n S n n =++；(3)数列{}n a 的前n 项和r ra S n n (1+=为不等于0,1的常数) ．解：（1）2(1)(31)(31)nn n a n n =--+．（2）当1n =时 114a S ==， 当2n ≥时 1n n n a S S -=-=41n -，显然1a 不适合41n a n =-∴4(1)41(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．（3）由n n ra S +=1可得当2≥n 时111--+=n n ra S ，)(11---=-∴n n n n a a r S S ，∴1n n n a ra ra -=-，∴1(1),n n a r ra --= ∵1,r ≠ ∴11-=-r ra a n n ，∵0r ≠，∴{}n a 是公比为1-r r的等比数列．又当1=n 时，111ra S +=，∴r a -=111，∴11()11n n r a r r -=--． 说明：本例关键是利用n S 与n a 的关系进行转化．例2．根据下面各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式：（1）==+11,1n a a )(2*N n n a n ∈+；（2）==+11,1n a a 1+n n)(*N n a n ∈； （3）==+11,1n a a 121+n a )(*N n ∈．解：（1）n a a n n 21+=+ ，∴12n n a a n +-=，∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-121222(1)n =+⨯+⨯++⨯-21(1)1n n n n =+⨯-=-+ （2）11+=+n n a a n n ，∴ 321121n n n aa a a a a a a -=⋅⋅=1211123n n n -⋅⋅=． 又解：由题意，n n na a n =++1)1(对一切自然数n 成立，∴11(1)11n n na n a a -=-==⋅=，∴1n a n=．（3）}2{)2(21212111-∴-=-∴+=++n n n n n a a a a a 是首项为121-=-a公比为21的等比数列，111121(),2()22n n n n a a --∴-=-⋅∴=-．说明：（1）本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；（2）若数列{}n a 满足n a =1n pa q -+，则数列1n q a p ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为p 的等比数列．例3．设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对所有自然数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，(1)写出数列{}n a 的前三项；(2)求数列{}n a 的通项公式(写出推证过程)；(3)令111()2n n n n n aa b a a ++=+()n N ∈，求123n b b b b n ++++-．解：（1）由题意：222n n a S += 0n a >，令1n =，11222a a +=，解得12a = 令2n =，21222()2a a a +=+， 解得26a = 令3n =，312322()2a a a a +=++， 解得310a = ∴该数列的前三项为2,6,10.（2）∵222n n a S +=，∴21(2)8n n S a =+，由此2111(2)8n n S a ++=+， ∴221111[(2)(2)]8n n n n n a S S a a +++=-=+-+，整理得：11()(4)0n n n n a a a a +++--=由题意：1()0n n a a ++≠，∴140n n a a +--=，即14n n a a +-=，∴数列{}n a 为等差数列，其中12,a =公差4d =，∴1(1)n a a n d =+-=42n -（3）14242122()(11)2424222121n n n b n n n n +-=+=++--+-+1112121n n =+--+ ∴121111113352121n b b b n n n +++=+-+-++--+n -1121n -+． 例4．（《高考A 计划》考点19“智能训练第17题”）设函数2()log log 2x f x x =-(01)x <<，数列{}n a 满足(2)2(1,2,3)n af n n ==（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）判定数列{}n a 的单调性． 解答参看《高考A 计划》教师用书112P ．（四）巩固练习：1．已知1111,1(2)n n a a n a -==+≥，则5a =85．2．在数列{}n a 中11n a n n =++，且9n S =，则n =99．五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练12．13．14．15．16．第2课时 等差数列与等比数列的基本运算一．课题：等差数列与等比数列的基本运算二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法：1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理；2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析：例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ．（2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316．例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．解：设这四个数为：2(),,,a d a d a a d a +-+，则2()16212a d a d aa d ⎧+-+=⎪⎨⎪+=⎩解得：48a d =⎧⎨=⎩或96a d =⎧⎨=-⎩，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1．例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠，∴221122331111(1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ⎧--=⎪--⎨⎪+=⋅⎩ 由①得110q =，代入②得110a =，∴21()10n n a -=．说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． 例4．已知等差数列110,116,122,，（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和. 解：1106(1)6104n a n n =+-=+，（1）由4506104600n ≤+≤，得5882n ≤≤，又*n N ∈,∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和58821()25131002n S a a =+⨯=． （2）∵1106(1)n a n =+-，∴要使n a 能被5整除，只要1n -能被5整除，即15n k -=， ∴51n k =+，∴585182k ≤+≤，∴1216k ≤≤，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项即第61,66,71,76,81项，其和61815()26502a a S +==．五．课后作业：《高考A 计划》考点20，智能训练5，6， 12，13，14，15．第3课时 等差数列、等比数列的性质及应用一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：有关等差、等比数列的结论① ②1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+ 3．等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． 6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．（三）例题分析： 例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13 项；（2）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a += 9 ．（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ．例2．若数列{}n a 成等差数列，且,()m n S n S m m n ==≠，求n m S +． 解：（法一）基本量法（略）；（法二）设2n S An Bn =+，则22(1)(2)An Bn m Am Bm n⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ (1)(2)-得：22()()n m A n m B m n -+-=-，m n ≠， ∴()1m n A B ++=-，∴2()()()n m S n m A n m B n m +=+++=-+．例3．等差数列{}n a 中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，11a =，求其项数和中间项. 解：设数列的项数为21n +项，则121(1)()772n n a a S +++==奇，22()662n n a a S +==偶 ∴17766S n S n +==奇偶， ∴6n =，∴数列的项数为13，中间项为第7项，且711a =． 说明：（1）在项数为21n +项的等差数列{}n a 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n S n a S na S n a 奇中偶中中；（2）在项数为2n 项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶．例4．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++*()k N ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '． 解：（1）由题意：410n n a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <， ∴当7n ≤时，212731132()244n n nS b b b n n n -+'=+++==-+ 当7n >时，12n n S b b b b b b '=+++----2712112(44n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩．例5*．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{b }n 的前n 项和，对任意自然数n ，有232n n a +=-，41213n n T S n -=，（1）求数列{b }n 的通项公式；（2）设集合*{|2,}n A x x a n N ==∈， *{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．解：（1）当*2,n n N ≥∈时：114121341213(1)n n n n T S nT S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：41213n n b a -=，∴1334n n b a =+534n =--，又1174b =-也适合上式， ∴数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--．（2）对任意*n N ∈，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴B A ⊂，∴A B B =∵1c 是A B 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则10179c d =-+，∴265179125d -<-+<-，即527129d -<<-，又4n b 是一个以12-为公差的等差数列， ∴*12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724n c n =-．（四）巩固练习：1．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nn a a a b n+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d =12n n C C C ⋅（N n ∈*）也是等比数列．2．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43． 说明：2121n n n n a S b T --=．五．课后作业：《高考A 计划》考点21，智能训练4，8，12，14，15，16．第4课时 数列求和一．课题：数列求和二．教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式． 三．教学重点：特殊数列求和的方法． 四．教学过程： （一）主要知识：1．等差数列与等比数列的求和公式的应用；2．倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法； （二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：例1．求下列数列的前n 项和n S ：（1）5，55，555，5555，…，5(101)9n-，…； （2）1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+；（3）11n a n n =++； （4）23,2,3,,,n a a a na ；（5）13,24,35,,(2),n n ⨯⨯⨯+； （6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++． 解：（1）555555555n n S =++++个5(999999999)9n =++++个235[(101)(101)(101)(101)]9n =-+-+-++- 235505[10101010](101)9819n n n n =++++-=--． （2）∵1111()(2)22n n n n =-++，∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-+1111(1)2212n n =+--++． （3）∵1111(1)(1)n n na n n n n n n n n +-===+-+++++-∴11121321n S n n=+++++++ (21)(32)(1)n n =-+-+++-11n =+-．（4）2323n n S a a a na =++++，当1a =时，123n S =+++ (1)2n n n ++=， 当1a ≠时，2323n S a a a =+++…nna + ，23423n aS a a a =+++…1n na ++，两式相减得 23(1)n a S a a a -=+++ (1)1(1)1n nn n a a a nana a++-+-=--，∴212(1)(1)n n n na n a aS a ++-++=-．（5）∵2(2)2n n n n +=+，∴ 原式222(123=+++…2)2(123n ++⨯+++…)n +(1)(27)6n n n ++=．（6）设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =++++，又∵2222sin 89sin 88sin 87sin 1S =++++， ∴ 289S =，892S =．例2．已知数列{}n a 的通项65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．解：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列， 偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列；当n 为奇数时，奇数项有12n +项，偶数项有12n -项，∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423n n n n n n n S --++--+--=+=+-， 当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项，∴2(165)4(14)(32)4(21)221423n n n n n n n S +----=+=+-， 所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23n n nn n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数．例3．（《高考A 计划》智能训练14题）数列{}n a 的前n 项和2()n n S p p R =+∈，数列{}n b 满足2log n n b a =，若{}n a 是等比数列，（1）求p 的值及通项n a ；（2）求和222123()()()n T b b b =-+…12*(1)()()n n b n N -+-∈． （解答见教师用书127页）（四）巩固练习：设数列11,(12),,(122),n -++++的前n 项和为n S ，则n S 等于（ ）()A 2n()B 2n n -()C 12n n +-()D 122n n +--五．课后作业：《高考A 计划》考点22，智能训练2，4，5，12，15，16．第5课时 数列的实际应用一．课题：数列的实际应用二．教学目标：1．理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法；2．能够把实际问题转化成数列问题． 三．教学重点：建立数列模型解决数列实际应用问题． 四．教学过程： （一）主要知识：1．解应用问题的核心是建立数学模型；2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型； 3．注意问题是求什么（,,n n n a S ）．（二）主要方法：1．解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答； 2．在归纳或求通项公式时，一定要将项数n 计算准确； 3．在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系；4．在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求． （三）例题分析：例1．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材的存量， （1）求n a 的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79a ，如果1972ab =，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg 20.3=） 解：（1）设第一年的森林的木材存量为1a ，第n 年后的森林的木材存量为n a ，则115(1)44a a b a b =+-=-，221555()(1)444a a b a b =-=-+，32325555()[()1]4444a a b a b =-=-++，………12*55555()[()()1]()4[()1]()44444n n n n n n a a a b n N --=-+++=--∈．（2）当1972b a =时，有79n a a <得55197()4[()1]44729n n a a a --⨯<即5()54n >， 所以，lg51lg 27.2lg52lg 213lg 2n ->=≈--．答：经过8年后该地区就开始水土流失．例2．轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的10%，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为5%，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？解：第一个月月底余1(120%)10000(120%)1000010%30010500a =+⨯-+⨯⨯-=元， 设第n 个月月底余n a ，第1n +个月月底余1n a +，则1(120%)(120%)10%300 1.08300(1)n n n n a a a a n +=+-+⨯-=-≥， 从而有13750 1.08(3750)n n a a +-=-，设13750,6750n n b a b =-=，∴{}n b 是等比数列11 1.08n n b b -=⨯， ∴16750 1.083750n n a -=⨯+，11126750 1.0837*******.6a =⨯+≈，还贷后纯收入为1210000(15%)8988.60a -+=元．例3．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元． 两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：10101.1 2.594,1.313.796==） 解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：10291.311(130%)(130%)(130%)42.621.31-+++++++==-（万元）到期时银行的本息和为1010(110%)10 2.59425.94⨯+=⨯=（万元） ∴甲方案扣除本息后的净获利为：42.6225.9416.7-≈（万元）乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：10(1 5.5)1(10.5)(120.5)(190.5)32.502+++++⨯+++⨯==（万元） 贷款的本利和为：1091.111.1[1(110%)(110%)] 1.117.531.11-+++++=⨯=-（万元） ∴乙方案扣除本息后的净获利为：32.5017.5315.0-=（万元） 所以，甲方案的获利较多．例4．某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的23领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶11 段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为na 元，（1）求{}n a 的通项公式；（2）当827a b =时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？ （3）当38a b ≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？ 解：（1）由题意得，当1n =时，1a a =，当2n ≥时，1223()()32n n n a a b --=+， ∴12(1)23()()(2)32n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩． （2）由已知827a b =， 当2n ≥时，1121222832838()()2[()()]327232729n n n n n a a a a a a ----=+≥⨯=要使得上式等号成立， 当且仅当12283()()3272n n a a --=，即22422()()33n -=，解得3n =，因此这个人第三年收入最少为89a 元． （3）当2n ≥时，1212123233()()()32382n n n n n n a a a a b aa a ------=+≥+≥⨯=，上述等号成立，须38ab =且2233121log 1log 223n =+>+=因此等号不能取到， 当38a b ≥时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．（四）巩固练习：某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为 （ ）()A p ()B 12p ()C 12(1)p +()D 12(1)1p +-五．课后作业：《高考A 计划》考点23，智能训练2，11，13，14，15，16．。
高三数学一轮复习教案(精品)
高三数学一轮复习教案(精品)一、教学目标- 加深学生对高中数学知识的理解和掌握程度- 通过复巩固基础知识，为高考做好准备- 提高学生解决实际问题的数学能力和思维能力二、教学内容1. 数列与数列求和2. 集合与映射3. 几何运动与解析几何4. 排列与组合5. 数与函数6. 三角函数7. 概率与统计三、教学策略1. 温故知新：复前几年的数学知识，巩固基础，扩宽思路2. 理论联系实际：通过解决实际问题，让学生理解数学在现实生活中的应用3. 深入浅出：通过简单直观的解释和例子，帮助学生理解抽象的数学概念4. 合作研究：鼓励学生在组内合作研究中互相交流、讨论，共同解决问题5. 引导思考：提出问题，引导学生思考和探索，培养他们的独立思考能力四、教学步骤1. 复与导入：通过简单的例子回顾前几年的数学知识，引出本节课的内容2. 知识讲解与示范：对每个知识点进行详细讲解，并举例说明3. 学生练：让学生进行相关练，加深对知识点的理解和掌握4. 错题讲解：对学生练中出现的错误进行解析和讲解，帮助他们纠正错误5. 拓展练：对部分学生进行拓展练，提升他们的数学能力6. 总结与展望：对本节课的内容进行总结，并展望下节课的研究内容五、教学评价1. 听课笔记：学生根据课堂内容进行听课笔记，评价学生对知识的理解和把握程度2. 课堂练成绩：对学生在课堂练中的表现进行评价，衡量他们对知识掌握的程度3. 作业完成情况：检查学生完成作业的质量和准确性，评价他们对知识的掌握程度以上是高三数学一轮复习教案的大致内容和安排，通过系统的复习和讲解，帮助学生巩固和提高数学知识，为高考做好准备。
同时，通过实际问题的解决和思考，培养学生的数学思维能力和应用能力。
希望这份精品教案能让学生在高考中取得优异成绩。
(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)3.1
讲案3.1数列的有关概念课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.数列的概念按__________排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项也叫做__________．2．数列的表示方法数列的表示方法常用的有两种，分别是______法和______法．3．数列的分类(1)按数列的项数可将数列分为________和__________．(2)按数列的单调性可将数列分为：递增数列⇔____________；递减数列⇔____________；摆动数列⇔____________；常数数列⇔____________.4．通项a n与前n项和S n的关系：a n＝__________________.5．数列的函数思想数列是一种特殊的函数，可以看作是一个定义域为__________________的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图象是__________．导读校对：1.一定次序 首项 2.通项公式 递推公式 3.(1)有穷数列无穷数列 (2)a n ＋1＞a n (n ∈N *) a n ＋1＜a n (n ∈N *) 有时a n ＞a n ＋1，有时a n ＜a n ＋1(n ∈N *)a n ＋1＝a n (n ∈N *) 4.⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1，(n ≥2)5.正整数集N *或它的有限子集{1,2,3，…，n } 一群孤立的点基 础 热 身1.下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23、34、45、56、…的通项公式是a n ＝n n ＋1③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1，1，…是同一数列．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①③正确，②④不正确． 答案：B2．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是( )A.(n －1)n ＋12 B ．cos n π2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析：分别取n ＝1,2,3,4代入验证可得．答案：D3．如果数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么a 5＝( )A ．6B ．－3C ．－12D ．－6 解析：∵a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3，a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6.答案：D4．数列23、415、635、863、1099，…中第8项是( )A.4195B.16255C.18323D.20399解析：可观察通项公式为a n ＝2n (2n －1)(2n ＋1)， ∴a 8＝16255. 答案：B5．令a n 为(1＋x )n ＋1的展开式中含x n －1项的系数，则数列{1a n }的前n 项和为( )A.n (n ＋3)2B.n (n ＋1)2C.n n ＋1D.2n n ＋1解析：a n ＝C n －1n ＋1＝C 2n ＋1＝n (n ＋1)2，1a n＝2(1n－1n＋1)，则数列{1a n}的前n项和为2(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝2nn＋1.答案：D思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.给出数列的几项求通项时，常用特征分析法和化归法，所求的通项并不唯一．2．数列的通项a n和数列的前n项和S n是数列中两个重要的量，要注意各自的意义和相互间的关系．在使用公式a n ＝S n－S n－1时切不可忽略n≥2的条件．3．数列是一类特殊的函数，数列的有关概念应在函数的观点上加深理解，在研究数列问题时既要注意函数方法的普通适用性，又要注意数列方法的特殊性.互动探究题型1由数列的前几项写出通项公式例 1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项依次是下列各数：(1)－4,9，－14,19；(2)12，－34，58，－716； (3)0.9,0.99,0.999,0.9999； (4)3，3，15，21，33；(5)1,2,1,2.【解析】 (1)∵各项的符号负、正相间，且绝对值与5的倍数接近，考虑各项与序号之间的关系，表示为：(－1)1×(5×1－1)，(－1)2×(5×2－1)，(－1)3×(5×3－1)，(－1)4×(5×4－1)，∴a n ＝(－1)n (5n －1)．(2)∵各项的符号正、负相间，且绝对值呈分数形式，它的分子为奇数，分母为2的序号次幂，即可表示为(－1)1＋1×2×1－121，(－1)2＋1×2×2－122，(－1)3＋1×2×3－123，(－1)4＋1×2×4－124，… ∴a n ＝(－1)n ＋1×2n －12n . (3)∵各项均与1接近，∴可表示为：1－0.1,1－0.01,1－0.001,1－0.0001考虑各项与序号的关系，进一步可写成：1－(110)1,1－(110)2,1－(110)3,1－(110)4，∴a n ＝1－(110)n .(4)各项统一写成根式形式为：3，9，15，21，27，即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，被开方数是正奇数的3倍，∴a n ＝3(2n －1).(5)按奇偶项的规律，此数列的通项公式可以写成：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，2，n 为偶数.又1＝3－12，2＝3＋12，故此数列的通项公式还可写成：a n＝3＋(－1)n2.题型2已知前n项和S n，求通项a n 例2已知下面数列{a n}的前n项和为S n，求{a n}的通项公式：(1)S n＝2n2－3n；(2)S n＝3n＋b.【解析】(1)a1＝S1＝2－3＝－1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴a n＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2×3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2×3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.题型3已知递推公式求通项公式 例3根据下列各个数列{a n }的首项和递推关系，求其通项公式．(1)a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n －1(n ≥2)；(2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)； (3)a 1＝－12，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)． 【解析】 (1)∵a n ＝a n －1＋3n －1，∴a n －1＝a n －2＋3n －2，a n －2＝a n －3＋3n －3，……a 2＝a 1＋31.以上(n －1)个式子相加得a n ＝a 1＋31＋32＋…＋3n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.(2)∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2， ……a 2＝12a 1， 以上(n －1)个式子相乘得a n ＝a 1×12×23……n －1n ＝a 1n ＝1n. (3)∵a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＋1－2＝12(a n －2)，∴{a n －2}是以a 1－2＝－12－2＝－52为首项，以12为公比的等比数列．∴a n －2＝－52×(12)n －1，∴a n ＝－5×(12)n ＋2.题型4数列中的函数思想与方法的应用例4数列{a n }的通项公式为a n ＝n2－5n ＋4，问：(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．【思维点拨】 数列的通项a n 与n 之间构成二次函数关系，可结合二次函数知识去进行探求．另外要注意的取值范围．【解析】 (1)由a n 为负数，得n2－5n ＋4<0.解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94， ∴对称轴为n ＝52＝2.5. 又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值．其最小值为22－5×2＋4＝－2.错解辨析例5已知数列{a n }的前n 项和S n ＝aq n(a ≠0，q ≠1，q 为非零常数)，则数列{a n }为( )A ．等差数列B ．等比数列C ．既不是等差数列，又不是等比数列D ．既是等差数列又是等比数列【错解】 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝aqn ＋1－aq n ＝aq n (q －1)，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q －1)，∴a n ＋1a n＝q (常数)，∴数列{a n }为等比数列．【错因】 忽略了a n ＝S n －S n －1中隐含条件n ≥2.【正解】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q－1)，a n ＋1＝aq n (q －1)，∴a n ＋1a n＝q (n ≥2)为常数，但a 2a 1＝q －1≠q ， ∴数列{a n }从第二项起为等比数列，但整体不是等比数列．【答案】 C。
[精]高三第一轮复习全套课件3数列：第1课时 等差数列与等比数列
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4.重要性质： m+n=p+q am+an＝ap+aq(等差数列) (m、n、p、q∈N*) am·n＝ap·q(等比数列) a a
特别地 m+n=2p am+an＝2ap(等差数列)
am·n＝a2p(等比数列) a
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课前热身
1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( 31 点，在括号内适当的一个数是_____. )，38的特
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能力·思维·方法
1.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比 数列，求原数列的四个数.
【解题回顾】本题是利用等差数列、等比数列的条件设未 知数，充分分析题设条件中量与量的关系，从而确定运用 哪些条件设未知数，哪些条件列方程是解这类问题的关键 所在.
2.{an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13的值.
【解题回顾】本题将函数、不等式穿插到数列中考查，用拓展
4.若a1，a2，a3 成等差数列，公差为d；sina1，sina2，sina3 成等比数列，公比为q，则公差d=kπ，k∈Z
【解题回顾】本题对sin2a2降次非常关键，不宜盲目积化和差
5.数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=2n，bn=3n+2，它们的 公共项由小到大排成的数列是{cn}.
①写出{cn}的前5项.
②证明{cn}是等比数列.
【解题回顾】依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等 比数列，这是数列中的基本问题之一.
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误解分析
1.在用性质m+n=p+q则am+an=ap+aq时，如果看不清下标关 系，常会出现错误.
高三数学一轮复习精品教案――数列
城东蜊市阳光实验学校2021届高三数学一轮复习精品教案――数列〔附高考预测〕一、本章知识构造： 二、重点知识回忆 １．数列的概念及表示方法〔１〕定义：按照一定顺序排列着的一列数．〔２〕表示方法：列表法、解析法〔通项公式法和递推公式法〕、图象法．〔３〕分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．〔４〕n a 与n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．2．等差数列和等比数列的比较〔１〕定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数〔不为0〕的数列叫做等比数列． 〔２〕递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，．〔３〕通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ，，．〔４〕性质等差数列的主要性质：①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列．②假设m n p q +=+，那么()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=．③()()nm a a n m d m n *-=-∈N ，．④232k k k k k S S S S S --，，，…成等差数列．等比数列的主要性质：①单调性：当1001a q <⎧⎨<<⎩，或者者101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或者者1001a q >⎧⎨<<⎩时，为递减数列；当0q <时，为摆动数列；当1q =时，为常数列．②假设m n p q +=+，那么()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．特别地，假设2m n p +=，那么2m n p a a a =·．③(0)n m nma q m n q a -*=∈≠N ，，． ④232k kk k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，假设k 为偶数，不是等比数列．假设k 为奇数，是公比为1-的等比数列．三、考点剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质 例1.〔2021模拟〕数列.12}{2n n S n a nn -=项和的前〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕求数列.|}{|n n T n a 项和的前解：〔1〕当111112,1211=-⨯===S a n时；、当.213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、〔2〕令.6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N当2212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；当||||||||||,67621n n a a a a a T n++++++=> 时综上，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.6,7212,6,1222n n n n n n T n点评：此题考察了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n ＝１时情况，在解题时经常会忘记。
新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案
新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案引言本教学案旨在帮助高三学生进行数学第一轮复，以应对新课标人教版高考数学考试。
以下是教学案的详细内容。
目标1. 复并巩固高三数学的核心知识点。
2. 提供高质量的练题和解析，以帮助学生熟悉考试形式和题型，提高解题能力。
3. 培养学生的数学思维和分析能力，以便他们能够在考试中灵活应用知识。
教学内容教学内容主要包括以下部分：1. 数系与代数- 实数与复数- 集合与命题- 数列与数列极限- 等差数列与等比数列2. 函数与方程- 函数与方程基本概念- 一次函数与二次函数- 指数与对数- 三角函数与三角方程3. 解析几何与向量- 平面与空间几何- 二次曲线与常平面- 直线与平面的位置关系- 向量与向量运算4. 概率与统计- 随机事件与概率- 离散型随机变量与连续型随机变量- 统计与抽样调查- 相关与回归分析教学方法为了最有效地进行数学复，我们将采用以下教学方法：1. 系统性研究：按照教学内容的顺序进行研究，逐步巩固知识点。
2. 理论与实践相结合：注重理论知识的讲解，并提供大量的练题和解析，以帮助学生巩固理论知识并提高解题能力。
3. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论和提问，激发学生的研究兴趣和数学思维。
4. 小组合作研究：安排学生进行小组合作研究，提倡彼此讨论和合作解题，培养学生的团队合作精神和交流能力。
教学评估为了评估学生的研究效果和掌握程度，我们将采用以下评估方法：1. 阶段性测试：安排定期的阶段性测试，检验学生对各个知识点的理解和掌握情况。
2. 作业批改：及时批改学生的作业，给予针对性的指导和建议。
3. 课堂互动评估：评估学生在课堂上的积极参与程度和表现。
4. 模拟考试：进行模拟考试，让学生体验真实考试环境，以便他们熟悉考试形式和提高应试能力。
结语通过本教学案的实施，相信学生们在第一轮数学复习中将取得良好的成绩。
希望学生们能够认真学习、勤于练习，并与老师和同学们积极合作，共同进步。
湖北省黄冈市2018届高三数学一轮复习备考教案：数列的
数列的通项与求和说课稿---------从全国卷浅谈数列复习湖北省武穴中学各位专家，老师，你们好！今天我要为大家讲的课题是“数列的通项与求和”首先我对本节内容做一些分析：一．在高考中的地位和作用（1）上表是数列近五年在各地高考中的统计。
数列是高考考查的重点，分值12至16分，难度中等，少数偏难。
（2）对比近十年全国卷对数列的考查，每年或以解答题第一题的形式出现，或以两个客观题形式出现，或以“一大一小”形式出现。
分值10分，12分或17分，难度中等偏易，是学生们的必得分题。
（3）对比分析，我认为全国卷降低了对数列的难度要求，在复习中，我们要注重抓基础，不要拔高数列的难度。
二.学情分析（1）在完成数列这一章各小节的复习之后，学生对数列概念、等差数列和等比数列，数列的求和有了系统的认识，此时，站在全国卷的角度小结“数列通项与求和”这一专题，让学生感受数列在高考中的能力要求是很有必要地。
（2）文科学生差生较多，在复习中，像数列这样知识点不复杂，考查题型中等偏易，我们要把握难度，树立信心，尽量让每一个学生都能学好这一知识点，得到分数。
三．教学目标教学目标是教学的出发点和归宿点，根据考试大纲要求和高考中的地位和作用以及文科学生现有的知识水平，我将教学目标设定为以下三维目标1.知识与能力：掌握等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式及常用的几种求和方法；2.过程与方法：通过高考真题作为典例剖析进一步提高学生研究问题、分析问题与解决问题能力。
3.情感态度与价值观：通过体验式学习，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
四．教学重难点教学重点： 等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式及应用 教学难点： 数列求和的方法及应用分析：这样确定重难点,凸现了掌握知识的三个层次：识记、理解和运用。
五、教法分析本节课通过师生之间的相互探讨和交流进行教学，遵循启发性教学思想，我主要采取以学生体验发现法为主，讲练结合法为辅的教学方法，体现学生主体，教师主导． 六、学法分析根据新课标理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者、引导者以及课堂组织者，所以在本节课的教学中，我主要是通过学生自主体验，结合教师的点拨提问等活动，学生灵活地运用知识去研究问题，在潜移默化中领会学习方法．有利于学生从“学会”到“会学”，最后到“乐学”． 七、教学过程 一、知识方法归纳 1.常见求通项的方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎨⎧S 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2.(3)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n .(4)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )2．常见的求和的方法 (1)公式法求和适合求等差数列或等比数列的前n 项和．对等比数列利用公式法求和时，一定注意公式q 是否取1.(2)错位相减法这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列．(3)裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为1a n a n ＋1的数列的前n 项和．其中{a n }若为等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1. (4)分组求和法一个数列即不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并． 二、例题分析例1．(2016·新课标全国Ⅰ)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足1311,,3b b ==11n n n n a b b nb +++=（I ）求{}n a 的通项公式， （II ）求{}n b 的前n 项和练一练(2015·课标卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，n s 为{}n a 的前n 项和，．若844s s =，则10a =（ ）(A) 172 (B) 192(C)10 (D)123．(2015·课标卷Ⅰ)已知{a n }中，112,2n na a a +==n s 为{}n a 的前n 项和，．若126n s =，则n =——例2．(2014·课标卷Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n 的前n 项和．例3.(2013·新课标全国Ⅰ)首项为1，公比为23的等比数列{a n}的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n 练一练(2011·课标卷Ⅰ)已知等比数列{a n }中111,33a q ==，n s 为{}n a 的前n项和（I ）证明：12nn a s -= （II ）31323log log ...log nnb a a a =+++ 求{}n b 通项公式例4.(2013·新课标全国Ⅰ)已知等差数列{}n a 的前n 项和n s ，满足360,5,s s ==-（I ）求{}n a 的通项公式， （II ）求21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和。
高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)
高三数学第一轮复习——数列一、知识梳理数列概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差. ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇.等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数 列，常数q 称为等比数列的公比.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n n qa a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n =②当1≠q 时，qq a a qq a S n nn --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列；⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n qa a mn m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn ，则=55b a .3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n nS n T n =+,则n na b =（ ）5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
高三第一轮数学教案设计模板
一、教学目标1. 知识目标：（1）掌握高三第一轮数学复习的总体内容；（2）熟练运用各种数学公式、定理、法则和解题技巧；（3）提高学生解决实际问题的能力。
2. 能力目标：（1）培养学生良好的数学思维习惯；（2）提高学生分析问题和解决问题的能力；（3）培养学生团队协作精神。
3. 情感目标：（1）激发学生对数学学习的兴趣；（2）培养学生热爱数学、勇于挑战的精神；（3）提高学生的自信心和抗挫折能力。
二、教学内容1. 复习范围：高中数学教材中的重点、难点和考点。
2. 复习内容：（1）函数与导数：函数的基本概念、性质、图像；导数的概念、计算、应用；（2）三角函数：三角函数的定义、性质、图像；三角恒等变换、解三角方程；（3）数列：数列的概念、性质、通项公式；数列求和、极限；（4）立体几何：空间几何图形的性质、计算；空间向量、向量运算；（5）解析几何：解析几何的基本概念、性质、方程；直线、圆、圆锥曲线的性质、方程；（6）概率统计：概率的基本概念、性质、计算；统计方法、数据分析。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾已学过的知识，让学生了解高三第一轮数学复习的重要性；（2）介绍复习计划，让学生对整个复习过程有清晰的认识。
2. 复习内容讲解（1）针对每个章节，详细讲解重点、难点和考点；（2）运用实例、图表等多种教学手段，帮助学生理解和掌握知识；（3）针对学生易错点，进行重点讲解和练习。
3. 练习与巩固（1）布置课后作业，让学生巩固所学知识；（2）课堂上进行课堂练习，及时发现问题并进行解答；（3）组织小组讨论，培养学生的团队协作精神。
4. 总结与反思（1）总结本节课的收获，让学生明确自己的不足；（2）引导学生制定下一步的学习计划，提高学习效率。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与度；2. 作业完成情况：检查学生的作业完成情况，了解学生对知识的掌握程度；3. 测试与考试：定期进行测试，检验学生对知识的掌握情况。
§3.1 数列的概念 高三数学第一轮复习教案三角函数[全套]人教版 高三数学第一轮复习教案三角函数[
![§3.1 数列的概念 高三数学第一轮复习教案三角函数[全套]人教版 高三数学第一轮复习教案三角函数[](https://img.taocdn.com/s3/m/4d8851dd5122aaea998fcc22bcd126fff7055d68.png)
§3.1 数列的概念【教学目标】1．通过实例理解数列的相关概念；2．掌握数列前n 项和n S 与n a 的关系；3．了解用函数的观点解决数列问题【教学重点】数列前n 项和n S 与n a 的关系【教学难点】用函数的观点解决数列问题【例题设置】例1（几类常见数列的通项公式），例2（用函数的观点解决数列问题）例3（数列单调性的判断），例4（n S 与n a 的关系）【教学过程】一、例题引入〖例1〗 根据数列的前几项写出下列各数列的一个通项公式：⑴ 9,99,999,9999，……⑵1,7,13,19,-- ⑶,,,,a b a b ⑷246810,,,,,315356399． 解：⑴101n n a =-；⑵(1)(65)n n a n =--⑶n a n a bn ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，或1(1)22n n a b a b a -+-=+-⋅； ⑷2241n n a n =-． ★ 点评：注意(1)n -的调节作用．二、要点回顾1．按一定次序排列的一列数叫做数列2．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，注意“项”与“项数”的区别：项指的思考：写出数列7,77, 777,7777，…… 的一个通项公式． 答：7(101)9n n a =-是数列中的数，而项数表明的是项在数列中的位置．3．若数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式来表示，那么公式就叫做数列的公式，可以记作()n a f n =．通项反映着一个数列的共性特征，研究数列重在对通项的研究．并非每一个数列都可以写出通项公式；有些数列的通项公式不是唯一的．三、例题精讲〖例2〗已知()n a n N +=∈，则在数列{}n a 的前10的项是．解：作出函数()1f x ==+ 如图1所示，数列{}n a 的图象是()f x 图象上的一系列孤立的点．易知最大项是4a ，最小项是5a变式：设21011n a n n =-++，则数列{}n a 答：10或11．★点评：数列可视为特殊函数，它的定义域是N +或是N +的子集{1,2,3,,}n ．应注意利用函数的观点来研究数列问题，()n a f n =的图象是其对应的函数()y f x =图象上一系列孤立的点．因此研究数列可联系函数的相关知识，如数列表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界和无界、单调和摆动等）、数列单调性的证明等等．〖例3〗 已知32n n a n =-（*n N ∈），试判断数列{}n a 的增减性． 法一：1123(1)232(31)(32)n n n n a a n n n n ++--=-=+--+-由*n N ∈知，310,320n n +>-> ∴20(31)(32)n n -<+-，即1n n a a +<，故数列{}n a 为递减数列． 法二：记函数219()23233x f x x x ==+--，易知()f x 在区间[1,)+∞上为减函数． ∴数列{}n a 为递减数列．★点评：数列的单调性定义：若对于任何n N +∈，都有1n n a a +>（或1n n a a +<），我们称数列{}n a 为递增（或递减）数列．证法：①定义法；②利用()f n 所对应的函数()f x 在区间[1,)+∞上的单调性证明（“()f x 在区间[1,)+∞上递增（减）”是“数列{}n a 为递增（减）数列”的充分不必要条件）．反例：2( 1.1)n a n =-．〖例4〗 已知数列{}n a 的前n 项和3n n S b =+，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1n =时，113a S b ==+；当2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯…………①⑴ 当1b =-时，013123a =-=⨯适合①式⑵ 当1b ≠-时，01323a b =+≠⨯∴当1b =-时，数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯（*n N ∈）；当1b ≠-时，，数列{}n a 的通项公式为131232n n b n a n -+=⎧=⎨⨯≥⎩ ★点评：数列前n 项和n S 与n a 的关系1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，该公式贯穿本章始终，是本章最常用的公式之一，在实际应用时，应注意检验能否合并．【课堂小结】1．了解数列的相关概念，注意区别“项”与“项数”；2．数列是一个特殊的函数，讨论数列性质时也必须注意n 的取值X 围，有时也可通过研究数列所对应的函数()f x 的性质来研究数列的性质．3．牢记n S 与n a 的关系1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．在实际应用时，应注意检验能否合并．【教后反思】。
高三数学第一轮复习教案第19课时--数列的有关概念
一．课题：数列的有关概念二．教学目标：理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解与的关系，培养观察能力和化归能力．三．教学重点：数列通项公式的意义及求法，与的关系及应用．四．教学过程：（一）主要知识：1．数列的有关概念；2．数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法．3．与的关系：．（二）主要方法：1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归；2．数列前项的和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合．（三）例题分析：例1．求下面各数列的一个通项：；数列的前项的和；数列的前项和为不等于的常数)．解：（1）．（2）当时，当时，显然不适合∴．（3）由可得当时，，∴，∴∵∴，∵，∴是公比为的等比数列．又当时，，∴，∴．说明：本例关键是利用与的关系进行转化．例2．根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式：（1）；（2）；（3）．解：（1），∴，∴（2），∴=．又解：由题意，对一切自然数成立，∴，∴．（3）是首项为公比为的等比数列，．说明：（1）本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；（2）若数列满足，则数列是公比为的等比数列．例3．设是正数组成的数列，其前项和为，并且对所有自然数，与的等差中项等于与的等比中项，写出数列的前三项；求数列的通项公式(写出推证过程)；令，求．解：（1）由题意：，令，，解得令，，解得令，，解得∴该数列的前三项为（2）∵，∴，由此，∴，整理得：由题意：，∴，即，∴数列为等差数列，其中公差，∴（3）∴．例4．（《高考计划》考点19“智能训练第17题”）设函数，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）判定数列的单调性．解答参看《高考计划》教师用书．（四）巩固练习：1．已知，则．2．在数列中，且，则．五．课后作业：《高考计划》考点1，智能训练12．13．14．15．16．。
高考一轮数列复习教案
数 列 第一节数列的概念与简单表示法基础知识梳理：1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照 排列的一列数．②数列的项：数列中的 ．(2)数列的分类：(3)n 项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．[试一试]1．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为________．2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎨⎧2·3n －1?n 为偶数?，2n －5?n 为奇数?，则a 4·a 3＝________. 1．辨明数列与函数的关系：数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．2．明确a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎨⎧S 1 ?n ＝1?，S n －S n －1 ?n ≥2?.[练一练]1若数列{a n }的前n 项和S ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)则此数列的通项公式为a n ＝2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝32，则a 8＝________.1.n ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝?－1?n ＋12 C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2 D ．a n ＝?－1?n －1＋322．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)；(4)9,99,999,9 999，….[类题通法] 用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．[典例] n n n 的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b .[类题通法]已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[针对训练]已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *，求{a n }的通项公式．角度一 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n1．(2012·大纲全国卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n. (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．角度二 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n2．已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求a n .角度三 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求a n .[类题通法]由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项． [课堂练通考点]1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( ) A.n 2n ＋1 B.n 2n －1 C.n 2n －3 D.n 2n ＋32．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( )A ．2n －1B ．n 2 C.?n ＋1?2n2 D.n 2?n －1?23．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }前n 项的和， 则S 2 013＝________.5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项． 第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从 ，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中 叫做a ，b 的 ．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝ (2)前n 项和公式：S n ＝ ＝ 1要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．[试一试]1．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．1762．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.1．等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)?{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)?{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)?{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)?{a n }是等差数列．2．巧用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.3．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．[练一练]1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．22已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝15，S 5＝55，则数列{a n }的公差是( )A.14B ．4C ．－4D ．－31.(2013·n n ，若S m －1＝－m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．62已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝_____S n ＝____. 3．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．[类题通法]1．等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法． [典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求S n 和a n .若将条件改为“a 1＝2，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)”，如何求解. [类题通法]1．判断等差数列的解答题,常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．[针对训练]在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)．（1）求a 2，a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋32n (n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．[典例] n 是等差数列，a 1＋a 3＋a 5，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21(2)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.[类题通法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ?a m －a n m －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[针对训练]1．设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或72．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.[课堂练通考点]1．(2014·海淀质检)等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为( )A ．14B ．18C ．21D ．272．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 11－a 8＝3，S 11－S 8＝3，则使a n >0的最小正整数n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．113．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.4．已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．5．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．第三节 等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于 （不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q 表示，定义的表达式为(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列? .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝ .(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧ na 1，q ＝1，a 1?1－q n ?1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．[试一试]1．(2013·江西高考)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．242．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝____前n 项和S n ＝_1．等比数列的三种判定方法(1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)?{a n }是等比数列． (2)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)?{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)?{a n }是等比数列． 2．等比数列的常见性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1?1－q n ?1－q；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．[练一练]1．已知等比数列{a n }满足a 1＝2，a 3a 5＝4a 26，则a 3的值为( )A.12B ．1C ．2 D.14 2．已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n a n ＋1，{na n }这四个数列中，是等比数列的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个1.在等比数列{a n 33，则公比q 的值为 )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或122设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( ) A ．S n ＝2a n －1 B ．S n ＝3a n －2 C ．S n ＝4－3a n D ．S n ＝3－2a n3．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．[类题通法]1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．2．在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公比q 是否等于1进行判断和讨论．[典例] n n n n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2), 证明{b n }是等比数列.[类题通法]：证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．[针对训练]已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．(1)判断数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋1a n 是不是等比数列；(2)求a n . 等比数列的性质 [典例] (1)在等比数列中，已知a 1a 38a 15＝243，则a 39a 11的值为( ) A ．3 B ．9 C ．27 D ．81(2)(2014·长春调研)在正项等比数列{a n}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，a n－1a n a n＋1＝324，则n＝()A．11 B．12 C．14 D．16[类题通法]等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[针对训练]1．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于() A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶32．已知{a n}是公比为2的等比数列，若a3－a1＝6，则a1＝________；1a21＋1a22＋…＋1a2n＝________.[课堂练通考点]1．已知等比数列{a n}的公比为正数，且公比a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为()A．3B．－3 C．－13 D.132．已知数列{a n}满足3a n＋1＋a n＝0，a2＝－43，则{a n}的前10项和等于()A．－6(1－3－10) B.19(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)3．设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a1＝1，a3＝4，S k＝63，则k ＝________.4．已知数列{a n}是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则a n＝______(n∈N*).5．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且数列{S n}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 第四节数列求和1．等差数列的前n 项和公式S n ＝n ?a 1＋a n ?2＝na 1＋n ?n －1?2d ； 2．等比数列的前n 项和公式S n ＝⎩⎨⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1?1－q n ?1－q ，q ≠1.3．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n ?n ＋1?2；(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2；(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n .1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．2．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．[试一试]数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，前n 项和为9，则n 等于( )A ．9B ．99C ．10D ．100 数列求和的常用方法(1)倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．(2)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(4)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．(5)并项求和法：一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．[练一练]1．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________.2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为________． 分组转化法求和[典例] (2013·n 12＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x .满足 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [类题通法]分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；(2)通项公式为a n ＝⎩⎨⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数，的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．[针对训练]已知数列{a n }的首项a 1＝3，通项a n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且a 1，a 4，a 5成等差数列．求：(1)p ，q 的值；(2)数列{a n }前n 项和S n 的公式． 错位相减法求和 [典例]设等差数列{n n 42，a 2n ＝2a n ＋(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n . [类题通法]用错位相减法求和的注意事项(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．[针对训练](2014·武昌联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1；数列{b n }满足b n －1－b n ＝b n b n －1(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝1.（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n . 裂项相消法求和角度一 形如a n ＝1n ?n ＋k ?型 1．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n ∈N *恒成立．若存在，求出正整数k 的最小值；不存在，请说明理由． 角度二 形如a n ＝1n ＋k ＋n型 2已知函数f (x )＝x a 的图像过点(4,2)，令a n ＝1f ?n ＋1?＋f ?n ?，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 013＝( )A. 2 012－1B. 2 013－1C. 2 014－1D. 2 014＋1角度三 形如a n ＝n ＋1n 2?n ＋2?2型 3．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1?n ＋2?2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n . 证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 利用裂项相消法求和的注意事项（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2. [课堂练通考点]1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( ) A ．n 2＋1－12n B ．2n 2－n ＋1－12n C ．n 2＋1－12n －1 D ．n 2－n ＋1－12n 2．数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }前12项和等于( )A ．76B ．78C ．80D ．823．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－154．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.5已知向量p ＝(a n,2n )向量q ＝(2n ＋1，－a n ＋1)，n ∈N *，向量p 与q 垂直且a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2a n ＋1，求数列{a n ·b n }的前n 项和S n .。
(新人教)高三数学第一轮复习教案3.1.1数列1
一．课题：数列（1）——数列的通项表示二．教学目标：1.理解数列的概念，数列的通项公式的概念；2.能由通项公式求项，并能判断某个数是否为数列中的项；3.能根据数列的前几项写出它的一个通项公式。
三．教学重、难点：理解数列的概念，数列的通项公式的概念，并会求数列的通项公式。
四．教学过程：（一）引入：1.关于国际象棋的传说：棋盘第1格放1粒麦粒，第2格放2粒，第3格放4粒，依次类推，每格放的麦粒数都是前一格放的麦粒数的2倍，直到第64格子……从第一格开始麦粒数依次为1，2，22，32，……，6322.堆放7层的钢管，自上而下各层的钢管数排列成一列数： 4，5，6，7，8，9，10.①3．正整数1，2，3，4，……的倒数排列成一列数：1，12，13，14，……4的精确到1，0.1，0.01，0.001，……排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，……5．1-，1，1-，1，……6． 3，3，3，3，……（二）新课讲解：1．数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ．数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a ．2．通项公式的定义：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a =1n（n N +∈） 说明：（1）{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； （2） 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；（3）不是每个数列都有通项公式。
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第三章数列●网络体系总览●考点目标定位1.知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出一种数列的表示方法，并能写出数列的前n项.（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.2.能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际应用问题的能力.●复习方略指南本章在历年高考中占有较大的比重，约占10%～12%，特别是2018年共计26分，占17%，2018年共计21分，占14%，2004年26分，占17%.考题类型既有选择题，也有填空题和解答题，既有容易题，也有中档题，更有难题.由于等差数列和等比数列在内容上是平行的，所以在复习时要应用对比去认识、理解、掌握数列知识.纵观近几年的高考试题，可发现如下规律：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n 与S n 的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.3.1 数列的概念●知识梳理1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列.（1）数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a n 是数列的第n 项.（2）可视数列为特殊函数，它的定义域是正自然数集的子集（必须连续），因此研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.2.通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式来表达，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为a n =f （n ）.并非每一个数列都可以写出通项公式，有些数列的通项公式也并非是唯一的. 3.数列的前n 项和数列{a n }的前n 项之和，叫做数列的前n 项和，常用S n 表示. S n 与通项a n 的基本关系是：a n =⎩⎨⎧--11n nS S S ).2(),1(≥=n nS n =a 1+a 2+…+a n . 4.数列的分类 （1）按项分类有穷数列:项数有限；无穷数列:项数无限. （2）按a n 的增减性分类递增数列：对于任何n ∈N *，均有a n +1＞a n ； 递减数列：对于任何n ∈N *，均有a n +1＜a n ； 摆动数列：例如:－1，1，－1，1，…； 常数数列：例如：6，6，6，6，…；有界数列：存在正数M 使|a n |≤M ，n ∈N *；无界数列：对于任何正数M ，总有项a n 使得|a n |＞M .5.递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系写出数列.●点击双基1.数列{a n }中，a 1=1，对于所有的n ≥2，n ∈N 都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2，则a 3+a 5等于A.1661B.925C.1625D.1531解析一：令n =2、3、4、5，分别求出a 3=49，a 5=1625，∴a 3+a 5=1661. 解析二：当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2. 当n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1=（n －1）2.两式相除a n =（1-n n）2，∴a 3=49，a 5=1625.∴a 3+a 5=1661.答案：A2.已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=3，a n =a n －1+21-n a （n ≥3），则a 5等于A.1255B.313C.4D.5 解析：令n =3，4，5，求a 5即可. 答案：A3.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足关系式S n =90n（21n －n 2－5）（n =1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是A.5、6月B.6、7月C.7、8月D.8、9月解法一：由S n 解出a n =301（－n 2+15n －9），再解不等式301（－n 2+15n －9）＞1.5，得6＜n ＜9.解法二：将选项中的月份代入计算验证. 答案：C4.已知a n =20012000--n n ，且数列{a n }共有100项，则此数列中最大项为第____________项，最小项为第___________________项.解析：a n =20012000--n n =1+200120002001--n ，又44＜2001＜45，2001－2000＞0，故第45项最大，第44项最小. 答案：45 44 ●典例剖析【例1】 在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=nnna a +1，求a n .剖析：将递推关系式变形，观察其规律. 解：原式可化为11+n a －na 1=n ，∴21a －11a =1，31a －21a =2，41a －31a =3，…， na 1－11-n a =n －1. 相加得n a 1－11a =1+2+…+（n －1）， ∴a n =222+-n n . 评析：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律.【例2】 有一数列｛a n ｝，a 1＝a ，由递推公式a n ＋1＝nna a +12，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式.剖析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出a n 与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：∵a 1＝a ，a n ＋1＝n n a a +12，∴a 2＝aa+12， a 3＝2212a a +＝a a a a+++12114＝a a 314+，a 4＝3312a a +＝aa a a3141318+++＝a a 718+.观察规律：a n ＝yaxa +1形式，其中x 与n 的关系可由n ＝1，2，3，4得出x ＝2n －1.而y 比x 小1，∴a n ＝aan n )12(1211-+--.评述：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.思考讨论请同学总结解探索性问题的一般思路.【例3】 已知数列{a n }的通项公式a n =cn +nd ，且a 2=23，a 4=23，求a 10.剖析：要求a 10，只需求出c 、d 即可.解：由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,2344,2322d c d c 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.2,41d c ∴a n =41n +n 2.∴a 10=41×10+102=1027. 评述：在解题过程中渗透了函数与方程的思想. ●闯关训练 夯实基础1.若数列{a n }前8项的值各异，且a n +8=a n 对任意的n ∈N *都成立，则下列数列中，能取遍数列{a n }前8项值的数列是A.{a 2k +1}B.{a 3k +1}C.{a 4k +1}D.{a 6k +1}解析：由已知得数列以8为周期，当k 分别取1，2，3，4，5，6，7，8时，a 3k +1分别与数列中的第4项，第7项，第2项，第5项，第8项，第3项，第6项，第1项相等，故{a 3k +1}能取遍前8项.答案：B2.设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列｛a n ｝从首项到第______________项的和最大. A.10 B.11 C.10或11 D.12解析：a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二项函数，它是抛物线f （x ）＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，从图象可看出前10项都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大.另解： 由－n 2＋10n ＋11≥0得－1≤n ≤11，又n ∈N *，∴0＜n ≤11.∴前10项为正，第11项为0. 答案：C3.设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对所有自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，写出此数列的前三项：______________，______________，______________.解析：由题意得22+n a =n S 2，由此公式分别令n =1，n =2，n =3可依次解出前三项.答案：2 6 104.（2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________________个点.(1) (2) (3) (4) (5)解析：观察图中五个图形点的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，故第n 个图中个数为（n －1）×n +1=n 2－n +1.答案：n 2－n +15.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.解：由已知S n +1=2n －1，得S n =2n +1－1，故当n =1时，a 1=S 1=3；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2n，故a n =⎩⎨⎧n23).2(),1(≥=n n6.已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2n S =a n +1，求a n .解：由已知2n S =a n +1，得当n =1时，a 1=1；当n ≥2时，a n =S n －S n －1，代入已知有2n S =S n －S n －1+1，即S n －1=（n S －1）2.又a n＞0，故1-n S =n S －1或1-n S = 1－n S （舍），即n S －1-n S =1（n ≥2），由定义得{n S }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴n S =n .故a n =2n －1.培养能力7.（理）已知函数f （x ）=－2x +2（21≤x ≤1）的反函数为y =g （x ），a 1=1，a 2=g （a 1），a 3=g （a 2），…，a n =g （a n －1），…，求数列{a n }的通项公式.解：由已知得g （x ）=－2x +1（0≤x ≤1），则a 1=1，a n +1=－21a n +1.令a n +1－P =－21（a n －P ），则a n +1=－21a n +23P ，比较系数得P =32.由定义知，数列{a n －32}是公比q =－21的等比数列，则a n －32=（a 1－32）·（－21）n －1=32［1－（－21）n ］.于是a n =34－32（－21）n . （文）根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式： （1）3，5，9，17，33，…；（2）32，154，356，638，9910，…；（3）2，－6，12，－20，30，－42，…. 解：（1）联想数列2，4，8，16，32，…，可知所求通项公式为a n =2n +1.（2）分别观察各项分子与分母的规律，分子为偶数列{2n }；分母为1×3，3×5，5×7，7×9，…，故所求通项公式为a n =)12)(12(2+-n n n.（3）将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，…，于是可得已知数列的通项公式为a n =（－1）n +1·n （n +1）.8.已知数列{a n }的通项a n =（n +1）（1110）n（n ∈N ）.试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.解：∵a n +1－a n=（n +2）（1110）n +1－（n +1）（1110）n=（1110）n ·119n -， ∴当n ＜9时，a n +1－a n ＞0，即a n +1＞a n ； 当n =9时，a n +1－a n =0，即a n +1=a n ； 当n ＞9时，a n +1－a n ＜0，即a n +1＜a n ； 故a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9=a 10＞a 11＞a 12＞….∴数列{a n }有最大项a 9或a 10，其值为10·（1110）9，其项数为9或10. 探究创新9.有一个细胞集合，在一小时里死亡两个，剩下的细胞每一个都分裂成两个，假设开始有10个细胞，问经过几个小时后，细胞的个数为1540个？解：设n 小时后的细胞个数为a n ，依题意得a n +1=2（a n －2），所以a n +1－4=2（a n －4）.又∵a 1=10，∴a n －4=（a 1－4）·2n －1=3·2n . ∴a n =3·2n +4，使3·2n +4=1540. ∴n =9.●思悟小结1.用归纳法依据前几项写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维方法，需要我们有一定的数学观察能力和分析能力，并熟知一些常见的数列的通项公式，如：数列{n 2}，{2n }，{（－1）n }，{2n }，{2n －1}，并了解a n =⎩⎨⎧b a 为偶数为奇数n n ,的合一形式a n =2)1(11+-+n a + 2)1(1n-+b .2.对于符号（数字、字母、运算符号、关系符号）、图形、文字所表示的数学问题，要有目的地从局部到整体多角度进行观察，从而得出结论.3.求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握两种求法.（1）由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察.（2）数列{a n }的前n 项和S n 与数列{a n }的通项公式a n 的关系，要注意验证能否统一到一个式子中.●教师下载中心 教学点睛1.要注意强调数列、数列的项、数列的通项三个概念的区别.2.给出数列的方法中，递推关系包含两种：一种是项和项之间的关系；另一种是项和前n 项和S n 之间的关系.要用转化的数学思想方法.转化是数学中最基本、最常用的解题策略，S n 和a n 的转化，可给出数列，问题总是在一步步的转化过程中得到解决，在运用转化的方法时，一定要围绕转化目标转化.3.重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用. 拓展题例【例1】 已知f （x ）=（x +2）2（x ≥0），又数列{a n }（a n ＞0）中，a 1=2，这个数列的前n 项和的公式S n （n ∈N *）对所有大于1的自然数n 都有S n =f （S n －1）. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =nn nn a a a a 12212+++（n ∈N *），求证∞→n lim （b 1+b 2+…+b n －n ）=1.分析：由于已知条件给出的是S n 与S n －1的函数关系，而要求的是a n 的通项公式，故关键是确定S n .解：（1）∵f （x ）=（x +2）2， ∴S n =（1-n S +2）2.∴n S －1-n S =2.又1a =2， 故有n S =2+（n －1）2=n 2，即S n =2n 2（n ∈N *）.当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2n 2－2（n －1）2=4n －2； 当n =1时，a 1=2，适合a n =4n －2. 因此，a n =4n －2（n ∈N *）.（2）∵b n =n n n n a a a a 12212+++=1+121-n －121+n ，∴b 1+b 2+b 3+…+b n －n =1－121+n . 从而∞→n lim （b 1+b 2+…+b n －n ）=∞→n lim （1－121+n ）=1.【例2】 已知数列｛a n ｝中，a n ∈（0，21），a n ＝83＋21·a n －12，其中n ≥2，n ∈Ｎ*，求证：对一切自然数n 都有a n ＜a n ＋1成立.证明：a n ＋1－a n ＝83＋21a n 2－a n ＝21（a n －1）2－81.∵0＜a n ＜21，∴－1＜a n －1＜－21.∴81＜21（a n －1）2＜21. ∴21（a n －1）2－81＞0. ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＜a n ＋1对一切自然数n 都成立.。