中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析三

2013中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(三) 例 5

如图1，直线43

4+-

=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；

（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．

① 求S 与t 的函数关系式；

② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．

图1

解析

（1）直线43

4+-

=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形． （2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45

NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时

211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2． 如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时

211424(2)22555

S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．

图2 图3

②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455

t t -=．解得1211t =+，2211t =-（舍去负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t =+．

③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5

B =，所以535t t -=．解得258

t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能．

所以，当258

t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．

图4 图5

考点伸展

在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．

如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝．

图6 图7

例6

已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．

（1）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图1，求证：222BN AM MN +=； 思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了．请你完成证明过程．

（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图2的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

图1 图2

解析

（1）如图3，将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，则△DCM ≌△ACM ．因此CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，A CDM ∠=∠．

又由CB CA =，得 CB CD =．由DCM DCM ECF DCN ∠-︒=∠-∠=∠45，

ACM ECF ACB BCN ∠-∠-∠=∠ACM ACM ∠-︒=∠-︒-︒=454590，得BCN DCN ∠=∠．

又CN CN =，所以△CDN ≌△CBN ．因此BN DN =，B CDN ∠=∠．

所以︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ．

在Rt △MDN 中，由勾股定理，得222DN DM MN +=．即222BN AM MN +=．

图3 图4

（2）关系式222BN AM MN +=仍然成立． 如图4，将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，则△DCM ≌△ACM ． 所以CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，CAM CDM ∠=∠．

又由CB CA =，得 CB CD =．由︒+∠=∠+∠=∠45DCM ECF DCM DCN ，ACM ACM ECF ACN ACB BCN ∠+︒=∠-∠-︒=∠-∠=∠45)(90，得BCN DCN ∠=∠．

又CN CN =，所以△CDN ≌△CBN ．因此BN DN =，

45=∠=∠B CDN ． 又由于 ︒=∠-︒=∠=∠135180CAB CAM CDM ，

所以

9045135=-=∠-∠=∠CDN CDM MDN ．

在Rt △MDN 中，由勾股定理，得222DN DM MN +=．即222BN AM MN +=．

考点伸展

当扇形CEF 绕点C 旋转至图5，图6，图7的位置时，关系式222BN AM MN +=仍然成立．

图5 图6

图7