中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析三

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动点直角三角形问题的解法

“动点直角三角形问题”的三种解法李永红中考数学压轴题中常会出现“动点直角三角形问题”，如2013年山西、成都、攀枝花、长春、济宁、绵阳、襄阳等省市中考数学试卷中均出现了“动点直角三角形问题”，对于这类问题的解决，即使是数学尖子生也感到很棘手.其实，解决“动点直角三角形问题”有“法”可循，并不算“难”.一、例题分析例1 在直角坐标系中，已知点)0,1(A ，)2,0(-B ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转090至AC ，如图1.（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线2212++-=ax x y 经过点C .①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外）使ABP ∆是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.分析（1）构造三垂图可求得点C 的坐标为)1,3(-C .（2）①将点C 的坐标代入2212++-=ax x y 可求得抛物线的解析式为221212++-=x x y . ②法1（利用数形结合）：如图2，易求得直线AC 的解析式为2121+-=x y . 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=2212121212x x y x y 解得⎩⎨⎧=-=11y x 或⎩⎨⎧-==13y x （舍去）.此时点P 的坐标为)1,1(-.设过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为b x y +-=21，将点)2,0(-B 代入，得2-=b ，所以过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为221--=x y .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=--=221212212x x y x y 解得⎩⎨⎧-=-=12y x 或⎩⎨⎧-==44y x .此时点P 的坐标为)1,2(--或)4,4(-.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法2（构造三垂图）：如图3，延长CA 交抛物线于点),(1n m P ，过点1P 作x D P ⊥1轴于点D ，易证DA P 1∆∽AOB ∆，∴OBAD OA D P =1.∵1=OA ，2=OB ，m AD -=1，n D P =1，∴211m n -=，即m n 2121-=.∵点),(1n m P 在抛物线上，∴221212++-=m m n .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=-=2212121212m m n m n 解得⎩⎨⎧=-=11n m 或⎩⎨⎧-==13n m （舍去）.此时点P 的坐标为)1,1(-.过点B 作直线AC 的平行线，交抛物线于点2P ，3P .过点2P 作y E P ⊥2轴于点E ，易证2BEP ∆∽AOB ∆，可求得点2P 的坐标为)1,2(--；过点3P 作y F P ⊥3轴于点F ，易证3BFP ∆∽AOB ∆，可求得点3P 的坐标为)4,4(-；综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法3（利用勾股定理）：设抛物线上存在点)22121,(2++-m m m P ，使ABP ∆是以AB 为直角边的直角三角形.分别利用勾股定理可得52=AB ，,)22121()1(2222++-+-=m m m AP 2222)42121(++-+=m m m BP . 当点A 、B 分别为直角顶点时，分别由+2AB =2AP 2BP 、+2AB 2BP 2AP =得到关于m 的一元四次方程，用已学知识难以求解.例2 已知抛物线32++=bx ax y 与x 轴交于点)0,3(-A ，)0,1(B ，与y 轴交于点C ，如图4. （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）在抛物线的对称轴l 上存在点Q ，使ACQ ∆为直角三角形，请求出点Q 的坐标.分析（1）易求得抛物线的解析式为322+--=x x y ，顶点坐标为)4,1(-.（2）法1（利用数形结合）：由于不易求直线AQ 或CQ 的解析式，所以本题不适合利用数形结合来解决. 法2（构造三垂图）：如图5，在对称轴l 上存在四个符合条件的点Q ，分别构造三垂图并利用三角形相似可求得)4,1(1-Q ，)2,1(2--Q ，)2173,1(3+-Q ，)2173,1(4--Q . 法3（利用勾股定理）：设点Q 的坐标为),1(n -，分别利用勾股定理可得182=AC ，,422n AQ +=22)3(1-+=n CQ .当090=∠ACQ 时，由+2AC =2CQ 2AQ 得224)3(118n n +=-++，解得4=n ，所以)4,1(1-Q .当090=∠CAQ 时，由+2AC =2AQ 2CQ 得22)3(1418-+=++n n ，解得2-=n ，所以)2,1(2--Q .当090=∠AQC 时，由+2AQ =2CQ 2AC 得18)3(1422=-+++n n ，解得2173±=n ，所以)2173,1(3+-Q ，)2173,1(4--Q . 综上，符合条件的点Q 有四个，分别为)4,1(1-Q ，)2,1(2--Q ，)2173,1(3+-Q ，)2173,1(4--Q . 二、方法比较利用数形结合：该方法并不是对每一个题都适用，当相应的直线方程能较容易求出时，可以使用该方法，而且解法比较简捷.构造三垂图：该方法对每一个题都适用，但解法较繁，当考虑情况不周时容易漏解.利用勾股定理：当动点在曲线上时，利用勾股定理得到的方程是一元四次方程，用已学知识难以求解，该方法不适用；当动点在直线上时，利用勾股定理得到的三个方程是一元一次方程或一元二次方程，容易求解而且不易漏解.通过上述分析和比较可以看到，解“动点直角三角形问题”通常有三种解法，解题时应根据题设条件选择恰当的解法，才能使问题快速地得以解决.。

中考数学解答题压轴题突破重难点突破十一三角形、四边形综合题类型三：与平移有关的问题

11 ∴△ENP≌△HGP(AAS)，∴PG＝PN＝2NG＝2AB＝3.
证明：如答图①，过点 B 作 BC⊥AO 于点 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，则四边形 OCBM 为矩形， ∴BC＝OM，∠CBM＝∠ABP＝∠ACB ＝∠PMB＝90°. ∴∠CBP＋∠PBM＝∠ABC＋∠CBP＝90°， ∴∠ABC＝∠PBM，
AB OM ∴△ABC∽△PBM，∴PB＝BM.
(3)若 AO＝2 6，且当 MO＝2PO 时，请直接写出 AB 和 PB 的长．【分层分析】由于点 P 的位置不确定，故需要分情况进行讨论，共两种情况，第一种情况是点 P 在点 O 的左侧，第二种情况是点 P 在点 O 的右侧，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
Ⅱ)若∠HEF＝30°，求 EH 的长；解：作 HI⊥EF 于点 I， ∵∠HEF＝30°＝∠HFE， ∴IE＝IF，由(1)知 EF＝2AB＝12，∴IE＝6， ∴IH＝2 3，∴EH＝4 3.
Ⅲ)判断 PG 的长度在等边三角形 ABC 平移的过程中是否会发生变化？如果不变，请求出 PG 的长；如果变化，请说明理由．解：不变．由Ⅰ)知△EBN≌△HAG，∴NE＝GH，
解：分两种情况：Ⅰ)如答图②，当点 P 在点 O 左边时，设 PO＝x，则 BC＝MO＝2x，PM＝PO＋MO＝3x，由(2)知△ABC∽△PBM，
AC BC 6 2x ∴PM＝BM，即3x＝ 6. 解得 x1＝1，x2＝－1(舍去)， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 10，PB＝ PM2＋BM2＝ 15；
类型三：与平移有关的问题
(贵港：2022T26， 2018T26)
(2018·贵港)如图，已知：A，B 两点在直线 l的同一侧，线段 AO，BM
均是直线 l的垂线段，且 BM 在 AO 的右边，AO＝2BM，将 BM 沿直线 l 向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP＝90°不变，BP 边与直线 l 相交于点 P.

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

2020-2021九年级中考数学直角三角形的边角关系解答题压轴题提高专题练习附答案解析

2020-2021九年级中考数学直角三角形的边角关系解答题压轴题提高专题练习附答案解析一、直角三角形的边角关系1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8.（1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y .【解析】【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BO PD MO =，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32.【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =，∴4BO =，又∵4ABO S ∆=， ∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+，得044k =-+，解得1k =.故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒，∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，∴90POC ∠=︒，OP OC =，∴90POD EOC ∠+∠=︒，∴OPD EOC ∠=∠，∴POD OCE ∆≅∆，∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒，∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠，∴BT TO =，∵90BTO ∠=︒，∴90TPO TOP ∠+∠=︒，∵PO BM ⊥，∴90BNO ∠=︒，∴BQT TPO ∠=∠，∴QTB PTO ∆≅∆，∴QT TP =，PO BQ =，∴PQT QPT ∠=∠，∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =，∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠，∴KPB BPN ∠=∠，设KPB x ∠=︒，∴BPN x ∠=︒，∵2PMB KPB ∠=∠，∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠，OD BO PD MO =，442t t t=+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒，∴BM OC P ， ∴四边形BOCM 是平行四边形，∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y .故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN 是水平线，MN ∥AD ，AD ⊥DE ，CF ⊥AB ，垂足分别为D ，F ，坡道AB 的坡度为1：3，DE ＝3米，点C 在DE 上，CD ＝0.5米，CD 是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF 的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41， 3≈1.73）【答案】该停车库限高约为2.2米．【解析】【分析】据题意得出3tan B =，即可得出tan A ，在Rt △ADE 中，根据勾股定理可求得DE ，即可得出∠1的正切值，再在Rt △CEF 中，设EF ＝x ，即可求出x ，从而得出CF 3的长．【详解】解：由题意得，3tan 3B =∵MN ∥AD ，∴∠A ＝∠B ，∴tan A＝33，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tan A＝DEAD，∵DE＝3，又∵DC＝0.5，∴CE＝2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠CEF＝90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF＝90°，∴∠A＝∠FCE，∴tan∠FCE＝33．在Rt△CEF中，设EF＝x，CF＝3x（x＞0），CE＝2.5，代入得（52）2＝x2+3x2，解得x＝1.25，∴CF＝3x≈2.2，∴该停车库限高约为2.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．3．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF AE=，连接DE，DF，EF. FH平分EFB∠交BD于点H.（1）求证：DE DF⊥；（2）求证：DH DF=：（3）过点H作HM EF⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。

中考数学压轴题专项训练三角形含解析

中考数学压轴题专项训练《三角形》1．已知,△ABC是等边三角形,过点C作CD∥AB,且CD＝AB,连接BD交AC于点O．（1）如图1,求证:AC垂直平分BD；（2）如图2,点M在BC的延长线上,点N在线段CO上,且ND＝NM,连接BN．求证:NB＝NM．（1）证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°,∵CD∥AB,且CD＝AB,∴CD＝CA＝BC,∠ACD＝∠ACB＝60°,∴BO＝DO,CO⊥BD,∴AC垂直平分BD；（2）由（1）知AC垂直平分BD,∴NB＝ND,∵ND＝NM,∴NB＝NM．2．等腰Rt△ABC,点D为斜边AB上的中点,点E在线段BD上,连结CD,CE,作AH⊥CE,垂足为H,交CD于点G,AH的延长线交BC于点F．（1）求证:△ADG≌△CDE．（2）若点H恰好为CE的中点,求证:∠CGF＝∠CFG．证明:（1）在等腰Rt△ABC中,∵点D为斜边AB上的中点,∴CD＝AB,CD⊥AB,∵AD＝AB,∴AD＝CD,∵CD⊥AB,∴∠ADG＝∠CDE＝90°,∵AH⊥CE,∴∠CGH+∠GCH＝90°,∵∠AGD+∠GAD＝90°,又∵∠AGD＝∠CGH,∴∠GAD＝∠GCH,在△△ADG和△CDE中∵∠ADG＝∠CDE＝90°,AD＝CD,∠GAD＝∠GCH ∴△ADG≌△CDE（ASA）,（2）∵AH⊥CE,点H为CE的中点,∴AC＝AE,∴∠CAH＝∠EAH,∵∠CAH+∠AFC＝90°,∠EAH+∠AGD＝90°,∴∠AFC＝∠AGD,∵∠AGD＝∠CGH,∴∠AFC＝∠CGH,即∠CGF＝∠CFG．3．如图,在△ABC中,AD⊥BC且BD＝DE,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E．（1）若∠BAE＝32°,求∠C的度数；（2）若AC＝6cm,DC＝5cm,求△ABC的周长．解:（1）∵AD⊥BC,BD＝DE,EF垂直平分AC∴AB＝AE＝EC∴∠C＝∠CAE,∵∠BAE＝32°∴∠AED＝（180°﹣32°）＝74°；∴∠C＝∠AED＝37°；（2）由（1）知:AE＝EC＝AB,∵BD＝DE,∴AB+BD＝EC+DE＝DC,∴△ABC的周长＝AB+BC+AC,＝AB+BD+DC+AC,＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）．4．如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点O作EF∥AB交BC于F,交AC 于E,过点O作OD⊥BC于D．（1）求证:∠AOB＝90°+∠C；（2）求证:AE+BF＝EF；（3）若OD＝a,CE+CF＝2b,请用含a,b的代数式表示△CEF的面积,S△CEF＝ab（直接写出结果）．证明:（1）∵OA,OB平分∠BAC和∠ABC,∴,,∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝＝＝＝（2）∵EF∥AB,∴∠OAB＝∠AOE,∠ABO＝∠BOF又∠OAB＝∠EAO,∠OBA＝∠OBF,∴∠AOE＝∠EAO,∠BOF＝∠OBF,∴AE＝OE,BF＝OF,∴EF＝OE+OF＝AE+BF；（3）∵点O在∠ACB的平分线上,∴点O到AC的距离等于OD,∴S△CEF＝（CE+CF）•OD＝•2b•a＝ab,故答案为:ab．5．如图,在△ABC中,AB＝AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E．（1）求证:BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13,BC＝10,求线段DE的长．（3）在（2）的条件下,求cos∠BDE的值．证明:（1）∵AB＝AC,BD＝CD,∴AD⊥BC,∠B＝∠C,∵DE⊥AB,∴∠DEB＝∠ADC,∴△BDE∽△CAD．∴,∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC,BD＝CD,∴AD⊥BC,在Rt△ADB中,AD＝＝＝12,∵•AD•BD＝•AB•DE,∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°,∴∠BDE＝∠BAD,∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．6．如图,在△ABC中,AB＝AC,以AB为直径作半圆O,交BC于点D,交AC于点E．（1）求证:BD＝CD．（2）若弧DE＝50°,求∠C的度数．（3）过点D作DF⊥AB于点F,若BC＝8,AF＝3BF,求弧BD的长．（1）证明:如图,连接AD．∵AB是圆O的直径,∴AD⊥BD．又∵AB＝AC,∴BD＝CD．（2）解:∵弧DE＝50°,∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°．∵由（1）知,AD⊥BD,则∠ADB＝90°,∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．∵AB＝AC,∴∠C＝∠ABD＝65°．（3）∵BC＝8,BD＝CD,∴BD＝4．设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x,BF＝AB＝x, ∵AD⊥BD,DF⊥AB,∴BD2＝BF•AB,即42＝x•2x．解得x＝4．∴OB＝OD＝BD＝4,∴△OBD是等边三角形,∴∠BOD＝60°．∴弧BD的长是:＝．7．阅读下面材料:数学课上,老师给出了如下问题:如图,AD为△ABC中线,点E在AC上,BE交AD于点F,AE＝EF．求证:AC＝BF．经过讨论,同学们得到以下两种思路:思路一如图①,添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB,再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG,从而证明结论．思路二如图②,添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE,再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB,从而证明结论．完成下面问题:（1）①思路一的辅助线的作法是: 延长AD至点G,使DG＝AD,连接BG；②思路二的辅助线的作法是: 作BG＝BF交AD的延长线于点G．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求:只写出辅助线的作法,并画出相应的图形,不需要写出证明过程）．解:（1）①延长AD至点G,使DG＝AD,连接BG,如图①,理由如下:∵AD为△ABC中线,∴BD＝CD,在△ADC和△GDB中,,∴△ADC≌△GDB（SAS）,∴AC＝BG,∵AE＝EF,∴∠CAD＝∠EFA,∵∠BFG＝∠G,∠G＝∠CAD,∴∠G＝∠BFG,∴BG＝BF,∴AC＝BF．故答案为:延长AD至点G,使DG＝AD,连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G,如图②．理由如下:∵BG＝BF,∴∠G＝∠BFG,∵AE＝EF,∴∠EAF＝∠EFA,∵∠EFA＝∠BFG,∴∠G＝∠EAF,在△ADC和△GDB中,,∴△A DC≌△GDB（AAS）,∴AC＝BG,∴AC＝BF；故答案为:作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G,如图③所示: 则∠G＝∠CAD,∵AD为△ABC中线,∴BD＝CD,在△ADC和△GDB中,,∴△ADC≌△GDB（AAS）,∴AC＝BG,∵AE＝EF,∴∠CAD＝∠EFA,∵∠BFG＝∠G,∠G＝∠CAD,∴∠G＝∠BFG,∴BG＝BF,∴AC＝BF．8．如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点,OC平分∠AOB交AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D作DE∥OC交y轴于点E,已知AO＝m,BO＝n,且m、n满足n2﹣8n+16+|n ﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点,求OE的长；（3）如图2,若点P（x,﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点,点E是y轴的正半轴上一动点,以E为直角顶点作等腰直角△PEF,使点F在第一象限,且F点的横、纵坐标始终相等,求点P的坐标．解:（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0,∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0,∵（n﹣4）2≥0,|n﹣2m|≥0,∴（n﹣4）2＝0,|n﹣2m|＝0,∴m＝2,n＝4,∴点A为（2,0）,点B为（0,4）；（2）延长DE交x轴于点F,延长FD到点G,使得DG＝DF,连接BG,设OE＝x,∵OC平分∠AOB,∴∠BOC＝∠AOC＝45°,∵DE∥OC,∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°,∴OE＝OF＝x,在△ADF和△BDG中,,∴△ADF≌△BDG（SAS）,∴BG＝AF＝2+x,∠G＝∠AFE＝45°,∴∠G＝∠BEG＝45°,∴BG＝BE＝4﹣x,∴4﹣x＝2+x,解得:x＝1,∴OE＝1；（3）如图2,分别过点F、P作FM⊥y轴于点M,PN⊥y轴于点N,设点E为（0,m）, ∵点P的坐标为（x,﹣2x+4）,∴PN＝x,EN＝m+2x﹣4,∵∠PEF＝90°,∴∠PEN+∠FEM＝90°,∵FM⊥y轴,∴∠MFE+∠FEM＝90°,∴∠PEN＝∠MFE,在△EFM和△PEN中,,∴△EFM≌△PEN（AAS）,∴ME＝NP＝x,FM＝EN＝m+2x﹣4,∴点F为（m+2x﹣4,m+x）,∵F点的横坐标与纵坐标相等,∴m+2x﹣4＝m+x,解得:x＝4,∴点P为（4,﹣4）．9．在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD的下方作等边△CDE,连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1）,则AD＝BE（填“＞”、“＜”或“＝”）,∠CAM ＝30 度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2）,试判断AD与BE的数量关系,并说明理由；②当动点D在直线AM上时,试判断∠AOB是否为定值？若是,请直接写出∠AOB的度数；若不是,请说明理由．解:（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC,CD＝CE,∠ACB＝∠DC E＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中,∴△ACD≌△BCE（SAS）,∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC,∴∠CAM＝30°．故答案为:＝,30；（2）①AD＝BE,理由如下:∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC,DC＝EC,∠ACB＝∠DCE＝60°,∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB,∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB,∴∠ACD＝∠BCE,∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值,∠AOB＝60°,理由如下:当点D在线段AM上时,如图1,由①知△ACD≌△BCE,则∠CBE＝∠CAD＝30°,又∠ABC＝60°,∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°,∵△ABC是等边三角形,线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC,即,∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时,如图2,∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC,CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°,同理可得:∠BAM＝30°,∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．10．数学课上,王老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后,进行了如下解答: （1）特殊情况•探索结论:在等边三角形ABC中,当点E为AB的中点时,点D在CB点延长线上,且ED＝EC；如图1,确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论AE＝DB；（2）特例启发,解答题目王老师给出的题目中,AE与DB的大小关系是: AE＝DB．理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论,设计新题在△ABC中,AB＝BC＝AC＝1；点E在AB的延长线上,AE＝2；点D在CB的延长线上,ED＝EC,如图3,请直接写CD的长1或3 ．解:（1）如图1,过点E作EF∥BC,交AC于点F,∵△ABC为等边三角形,∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°,△AEF为等边三角形,∴∠EFC＝∠EBD＝120°,EF＝AE,∵ED＝EC,∴∠EDB＝∠ECB,∠ECB＝∠FEC,∴∠EDB＝∠FEC,在△BDE和△FEC中,,∴△BDE≌△FEC（AAS）,∴BD＝EF,∴AE＝BD,故答案为:＝；（2）解答过程如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,∵△ABC为等边三角形,∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°,△AEF为等边三角形,∴∠EFC＝∠EBD＝120°,EF＝AE,∵ED＝EC,∴∠EDB＝∠ECB,∠ECB＝∠FEC,∴∠EDB＝∠FEC,在△BDE和△FEC中,∴△BDE≌△FEC（AAS）,∴BD＝EF,∴AE＝BD．故答案为:AE＝DB．（3）解:分为四种情况:如图3,∵AB＝AC＝1,AE＝2,∴B是AE的中点,∵△ABC是等边三角形,∴AB＝AC＝BC＝1,△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）, ∴∠ACE＝90°,∠AEC＝30°,∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°,∠DBE＝∠ABC＝60°, ∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°,即△DEB是直角三角形．∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半）, 即CD＝1+2＝3．如图4,过A作AN⊥BC于N,过E作EM⊥CD于M,∵等边三角形ABC,EC＝ED,∴BN＝CN＝BC＝,CM＝MD＝CD,AN∥EM,∴△BAN∽△BEM,∴,∵△ABC边长是1,AE＝2,∴,∴MN＝1,∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝,∴CD＝2CM＝1；如图5,∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°）,而∠ECD不能大于120°,否则△EDC不符合三角形内角和定理,∴此时不存在EC＝ED；如图6,∵∠EDC＜∠ABC,∠ECB＞∠ACB,又∵∠ABC＝∠ACB＝60°,∴∠ECD＞∠EDC,即此时ED≠EC,∴此时情况不存在,答:CD的长是3或1．故答案为:1或3．11．定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍,则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1,△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,求证:△ABC是倍角三角形；（2）若△ABC是倍角三角形,∠A＞∠B＞∠C,∠B＝30°,AC＝,求△ABC面积；（3）如图2,△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D,延长CA到点E,使得AE ＝AB,若AB+AC＝BD,请你找出图中的倍角三角形,并进行证明．（1）证明:∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,∵∠A+∠B+∠C＝180°,∠A＝36°,∴∠B＝∠C＝72°,∴∠A＝2∠C,即△ABC是倍角三角形,（2）解:∵∠A＞∠B＞∠C,∠B＝30°,①当∠B＝2∠C,得∠C＝15°,过C作CH⊥直线AB,垂足为H,可得∠CAH＝45°,∴AH＝CH＝AC＝4．∴BH＝,∴AB＝BH﹣AH＝﹣4,∴S＝．②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时,与∠A＞∠B＞∠C矛盾,故不存在．综上所述,△ABC面积为．（3）∵AD平分∠BAE,∴∠BAD＝∠EAD,∵AB＝AE,AD＝AD,∴△ABD≌△AED（SAS）,∴∠ADE＝∠ADB,BD＝DE．又∵AB+AC＝BD,∴AE+AC＝BD,即CE＝BD．∴CE＝DE．∴∠C＝∠BDE＝2∠ADC．∴△ADC是倍角三角形．12．如图,在平面直角坐标系中,OA＝OB,AC＝CD,已知两点A（4,0）,C（0,7）,点D在第一象限内,∠DCA＝90°,点B在线段OC上,AB的延长线与DC的延长线交于点M,AC与BD交于点N．（1）点B的坐标为: （0,4）；（2）求点D的坐标；（3）求证:CM＝CN．解:（1）∵A（4,0）,∴OA＝OB＝4,∴B（0,4）,故答案为:（0,4）．（2）∵C（0,7）,∴OC＝7,过点D作DE⊥y轴,垂足为E,∴∠DEC＝∠AOC＝90°,∵∠DCA＝90°,∴∠ECD+∠BCA＝∠ECD+∠EDC＝90°∴∠BCA＝∠EDC,∴△DEC≌△COA（AAS）,∴DE＝OC＝7,EC＝OA＝4,∴OE＝OC+EC＝11,∴D（7,11）；（3）证明:∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7 ∴BE＝DE,∴△DBE是等腰直角三角形,∴∠DBE＝45°,∵OA＝OB,∴∠OBA＝45°,∴∠DBA＝90°,∴∠BAN+∠ANB＝90°,∵∠DCA＝90°,∴∠CDN+∠DNC＝90°,∵∠DNC＝∠ANB,∴∠CDN＝∠BAN,∵∠DCA＝90°,∴∠ACM＝∠DCN＝90°,∴△DCN≌△ACM（ASA）,∴CM＝CN．13．如图,在△ABC中,BD⊥AC,垂足为C,且∠A＜∠C,点E是一动点,其在BC上移动,连接DE,并过点E作EF⊥DE,点F在AB的延长线上,连接DF交BC于点G．（1）请同学们根据以上提示,在上图基础上补全示意图．（2）当△ABD与△FDE全等,且AD＝FE,∠A＝30°,∠AFD＝40°,求∠C的度数．解:（1）补全示意图如图所示,（2）∵DE⊥EF,BD⊥AC,∴∠DEF＝∠ADB＝90°．∵△ABD与△DEF全等,∴AB＝DF,又∵AD＝FE,∴∠ABD＝∠FDE,∴BD＝DE．在Rt△ABD中,∠ABD＝90°﹣∠A＝60°．∴∠FDE＝60°．∵∠ABD＝∠BDF+∠AFD,∵∠AFD＝40°,∴∠BDF＝20°．∴∠BDE＝∠BDF+∠FDE＝20°+60°＝80°．∵BD＝DE,∴∠DBE＝∠BED＝（180°﹣∠BDE）＝50°．在Rt△BDC中,∠C＝90°﹣∠DBE＝90°﹣50°＝40°．14．如图．CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线,点D在边BC上,以D为顶点,DA为一条边作∠ADF＝60°,另一边交射线CP于F．（1）求证．AD＝FD；（2）若AB＝2,BD＝x,DF＝y,求y关于x的函数解析式；（3）联结AF,当△ADF的面积为时,求BD的长．证明:（1）如图1,连接AF,∵∠ACB＝60°,∴∠ACE＝120°,∵CP平分∠ACE,∴∠ACP＝∠PCE＝60°,∴∠ADF＝∠ACP＝60°,∴A、D、C、F四点共圆,∴∠AFD＝∠ACB＝60°,∴∠ADF＝∠AFD＝60°,∴∠DAF＝60°,∴△ADF是等边三角形,∴AD＝FD；（2）如图2,过点A作AH⊥BC,∵△ABC是等边三角形,AH⊥BC,AB＝2,∴BH＝1,AH＝BH＝,∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1,∵DF＝＝,∴y＝（3）∵△ADF是等边三角形,且△ADF的面积为,∴DF2＝,∴DF2＝＝x2﹣2x+4∴x＝∴BD＝或15．如图,△ABC是等边三角形,D是BC边的中点,以D为顶点作一个120°的角,角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变）,当DM与AB垂直时（如图①所示）,易证BM+CN＝BD．（1）如图②,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC上时,BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由；（2）如图③,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC的延长线上时,BM+CN＝BD 是否仍然成立？若不成立,请写出BM,CN,BD之间的数量关系,不用证明．解:（1）结论BM+CN＝BD成立,理由如下: 如图②,过点D作DE∥AC交AB于E,∵△ABC是等边三角形,∴∠A＝∠B＝∠C＝60°,∵DE∥AC,∴∠BED＝∠A＝60°,∠BDE＝∠C＝60°, ∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°,∴△BDE是等边三角形,∠EDC＝120°,∴BD＝BE＝DE,∠EDN+∠CDN＝120°,∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°,∴∠CDN＝∠EDM,∵D是BC边的中点,∴DE＝BD＝CD,在△CDN和△EDM中,,∴△CDN≌△EDM（ASA）,∴CN＝EM,∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立,BM,CN,BD之间的数量关系为:BM﹣CN＝BD；理由如下: 如图③,过点D作DE∥AC交AB于E,∵△ABC是等边三角形,∴∠A＝∠B＝∠C＝60°,∴∠NCD＝120°,∵DE∥AC,∴∠BED＝∠A＝60°,∠BDE＝∠C＝60°,∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°,∴△BDE是等边三角形,∠MED＝∠EDC＝120°,∴BD＝BE＝DE,∠NCD＝∠MED,∠EDM+∠CDM＝120°,∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°,∴∠CDN＝∠EDM,∵D是BC边的中点,∴DE＝BD＝CD,在△CDN和△EDM中,,∴△CDN≌△EDM（ASA）,∴CN＝EM,∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN,∴BM﹣CN＝BD．。

2023年中考数学压轴题专题31 三角形与新定义综合问题【含答案】

专题31三角形与新定义综合问题【例1】（2022•淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝°．＝48，求△ABC的周长．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC【例2】（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．（1）等腰直角三角形是标准三角形．（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为．【概念应用】（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．【例3】（2020•五华区校级三模）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是ABC的中线，AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．【特例探究】（1）如图1，当∠PAB＝45°，c＝时，a＝，b＝；如图2，当∠PAB ＝30°，c＝2时，a2+b2＝；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．【例4】（2020•岳麓区校级二模）定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC 为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周长，记作L，即L＝AB2+BC2+CA2．（1）如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC＝BC，求证：△AOB是等腰直角三角形；（2）如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，试探究△ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，已知抛物线y＝与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BD＝CD，连接AC交y轴于点E．①求证：△ABC是中垂三角形；②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值．【例5】（2020•安徽模拟）通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝；＝24，求△ABC的周长．（2）如图（2），已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC一．解答题（共20题）1．（2022秋•如皋市期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有（只填写序号）．①顶角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是30°的直角三角形．（2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．2．（2022秋•义乌市校级月考）【概念认识】如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE ＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线“，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②所示．在△ABC中．∠A＝80°，∠ABC＝45°．若∠ABC的三分线BD交AC于点D．求∠BDC的度数．（2）如图③所示，在△ABC中．BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻BC 三分线，且∠BPC＝140°．求∠A的度数．【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P，若∠A＝m°（m＞54），∠ABC＝54°．求出∠BPC的度数．（用含m的式子表示）3．（2022春•石嘴山校级期末）[问题情境]我们知道：在平面直角坐标系中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|．[拓展]现在，若规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1）、N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：图中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）．之间的折线距离d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5，[应用]解决下列问题：（1）已知点E（3，2），点F（1．﹣2），求d（E，F）的值；（2）已知点E（3，1），H（﹣1，n），若d（E，H）＝6，求n的值；（3）已知点P（3，4），点Q在y轴上，O为坐标系原点，且△OPQ的面积是4.5，求d（P，Q）的值．4．（2022春•镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．【理解】（1）若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为°；（2）若△ABC为开心三角形，∠A＝70°，则这个三角形中最小的内角为°；（3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；【应用】如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE＝∠α，求∠α的度数．5．（2022春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“奇妙三角形”（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．6．（2022春•亭湖区校级月考）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的所有“好点”点D；（2）△ABC中，BC＝7，，tan C＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．①求证：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r＝3OH，求的值．7．（2021秋•如皋市期末）【了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，这条中线叫这条边的半线．【理解运用】（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，试判断△ABC是否为半线三角形，并说明理由；【拓展提升】（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，M为△ABC外一点，连接MB，MC，若△ABC和△MBC均为半线三角形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半线，求∠AMC的度数；（3）在（2）的条件下，若MD＝，AM＝1，直接写出BM的长．8．（2021秋•顺义区期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC中，AB＝AC，的值为△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为；（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；若△ACD的正度是，求∠A的度数．（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为，△ABC的周长为22，是否存在点D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．9．（2021秋•丹阳市期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有＝1．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有，，∴＝1．请用上述定理的证明方法解决以下问题：（1）如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：＝1．请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，则AE的长为．（3）如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD 交AC于E，则四边形BCEF的面积为．10．（2021秋•洪江市期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB 的度数；（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC 的完美分割线；（3）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．11．（2021秋•石景山区期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，点P是线段CB 上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作直线l⊥CB交AB于点Q．给出如下定义：若在AC边上存在一点M，使得点M关于直线l的对称点N恰好在△ACB的边上，则称点M是△ACB的关于直线l的“反称点”．例如，图1中的点M是△ACB的关于直线l的“反称点”．（1）如图2，若CP＝1，点M1，M2，M3，M4在AC边上且AM1＝1，AM2＝2，AM3＝4，AM4＝6．在点M1，M2，M3，M4中，是△ACB的关于直线l的“反称点”为；（2）若点M是△ACB的关于直线l的“反称点”，恰好使得△ACN是等腰三角形，求AM 的长；（3）存在直线l及点M，使得点M是△ACB的关于直线l的“反称点”，直接写出线段CP 的取值范围．12．（2021秋•鄞州区期末）【问题提出】如图1，△ABC中，线段DE的端点D，E分别在边AB和AC上，若位于DE上方的两条线段AD和AE之积等于DE下方的两条线段BD和CE之积，即AD×AE＝BD×CE，则称DE 是△ABC的“友好分割”线段．（1）如图1，若DE是△ABC的“友好分割”线段，AD＝2CE，AB＝8，求AC的长；【发现证明】（2）如图2，△ABC中，点F在BC边上，FD∥AC交AB于D，FE∥AB交AC于E，连结DE，求证：DE是△ABC的“友好分割”线段；【综合运用】（3）如图3，DE是△ABC的“友好分割”线段，连结DE并延长交BC的延长线于F，过点A画AG∥DE交△ADE的外接圆于点G，连结GE，设＝x，＝y．①求y关于x的函数表达式；②连结BG，CG，当y＝时，求的值．13．（2021秋•鼓楼区校级期末）定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足∠1＝∠2，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；定义2：如图2，在△ABC中，△PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC，AC、AB上，若RP 和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB 满足“光学性质”，则称△PQR为△ABC的光线三角形．阅读以上定义，并探究问题：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三个顶点D、E、F分别在BC、AC，AB上．（1）如图3，若FE∥BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数；（2）如图4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．①证明：△DEF为△ABC的光线三角形；②证明：△ABC的光线三角形是唯一的．14．（2021秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P 为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB＜180°时，称P为线段AB的“近轴点”．（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“轴点”是；线段AB的“近轴点”是．（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围．15．（2022秋•长沙期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用：（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC 的等角分割线．动手操作：（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的∠ACB 的度数．16．（2022春•华州区期末）阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？（填“是”或“不是”）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形（填“是”或“不是”）奇异三角形．（2）探究：在Rt△ABC，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．17．（2022•任城区三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°＝．（2）sad90°＝．（3）如图②，已知sin A＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．18．（2021•柯城区模拟）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“等底高三角形”，这条边叫做等底线，这条边上的高叫做等高线．如图：在△ABC，CD ⊥AB于点D，且AB＝CD，则△ABC为等底高三角形，AB叫等底线，CD叫等高线．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．（1）等边三角形不可能是等底高三角形．（2）等底高三角形不可能是钝角三角形．【概念理解】若一个等腰三角形为等底高三角形，则此三角形的三边长之比为．【概念应用】（1）若△ABC为等底高三角形，等底线长为2，求三角形的周长的最小值．（2）若一个等底高三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．19．（2021•宁波模拟）在三角形的三边中，若其中两条边的积恰好等于第三边的平方，我们把这样的三角形叫做有趣三角形，这两条边的商叫正度，记为k（0＜k≤1）．（1）求证：正度为1的有趣三角形必是等边三角形．（2）如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠ACD＝∠ABC，求证：△ABC 是有趣三角形．（3）如图②，菱形ABCD中，点E，F是对角线BD的三等分点，DE＝DC．延长BD到P，使DP＝BE．求证：△BCE，△FCP，△BCP是具有相同正度的有趣三角形．20．（2021•临海市一模）在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差．（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为；（2）性质探究：如图1，CD是△ABC的中线，AC＝b，BC＝a，AB＝2c，CD＝d，记△ACD 中∠ADC的勾股差为m，△BCD中∠BDC的勾股差为n；①求m，n的值（用含a，b，c，d的代数式表示）；②试说明m与n互为相反数；（3）性质应用：如图2，在四边形ABCD中，点E与F分别是AB与BC的中点，连接BD，DE，DF，若＝，且CD⊥BD，CD＝AD，求的值．【例1】（2022•淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝60°．＝48，求△ABC的周长．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC【分析】（1）根据定义，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据∠B＝30°，可得：BD＝AB，再利用等腰三角形的三线合一性质，求出BC即可解答，根据定义，canB＝1，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得∠B ＝60°；（2）根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，canB＝，所以设BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△ABC ＝48，列出关于x的方程即可解答．【解答】解：（1）如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∵∠B＝30°，∴BD＝AB cos30°＝AB，∴BC＝2BD＝AB，∴can30°＝＝＝，若canB＝1，∴canB＝＝1，∴BC＝AB，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，故答案为：，60；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵canB＝，∴＝，∴设BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x，∴AD＝＝3x，＝48，∵S△ABC∴BC•AD＝48，∴•8x•3x＝48，∴x2＝4，∴x＝±2（负值舍去），∴x＝2，∴AB＝AC＝10，BC＝16，∴△ABC的周长为36，答：△ABC的周长为36．【例2】（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．（1）等腰直角三角形是标准三角形．√（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．×【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为1：1：或：：2．【概念应用】（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．【分析】【概念感知】（1）根据等腰直角三角形的两条直角边互相垂直且相等，即可判断；（2）作出图形，分别对底边上的高和腰上的高进行讨论，即可求解；【概念理解】当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：；当△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，设BE＝x，则AE＝2x，求出AB＝x，则AB：AC：BC＝：：2；【概念应用】（1）过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A'，连接A'B，当A'、B、C三点共线时，AC+BC＝A'B，此时AC+BC的值最小，求出A'B即可；（2）分两种情况讨论：①当AC＝AB时，AC＝CD，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则AC＝a，由等积法求出BE＝a，用勾股定理分别求出AD＝2a，BD＝a，BC＝a，则可求sin∠BCE＝；②当BC＝AB时，BC＝DC，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则BC＝a，由勾股定理分别求出BD＝2a，AD＝3a，AC＝a，再由等积法求出BE＝a，即可求sin∠BCE＝．【解答】解：【概念感知】（1）如图1：等腰直角三角形ABC中，AB⊥AC，∵AB＝AC，∴等腰直角三角形是标准三角形，故答案为：√；（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，CD⊥AB，∵∠A＝30°，∴CD＝AC，∵CA＝AB，∴CD＝AB，∴△ABC不是标准三角形；如图3，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，此时AE＞BC，∴△ABC不是标准三角形；故答案为：×；【概念理解】如图1，当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：；如图4，当△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，∴BE＝EC＝BC＝AE，设BE＝x，则AE＝2x，在Rt△ABE中，AB＝x，∴AB：AC：BC＝：：2；故答案为：1：1：或：：2；【概念应用】（1）如图5，过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A'，连接A'B，当A'、B、C三点共线时，AC+BC＝A'B，此时AC+BC的值最小，∵AB＝CD＝1，∴AA'＝2，在Rt△ABA'中，A'B＝，∴AC+BC的最小值为；（2）在△ABC中，AB＝CD，AB⊥CD，∴AC＞CD，BC＞CD，∴AC＞AB，BC＞AB，∴△ABC的最小角为∠ACB，①如图6，当AC＝AB时，AC＝CD，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则AC＝a，＝×AB×CD＝×AC×BE，∵S△ABC∴BE＝a，在Rt△ACD中，AD＝2a，∴BD＝AD﹣AB＝a，在Rt△BCD中，BC＝a，在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；②如图7，当BC＝AB时，BC＝DC，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则BC＝a，在Rt△BCD中，BD＝2a，∴AD＝3a，在Rt△ACD中，AC＝a，＝×AB×CD＝×AC×BE，∵S△ABC∴BE＝a，在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；综上所述：最小角的正弦值为或.【例3】（2020•五华区校级三模）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是ABC的中线，AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．【特例探究】（1）如图1，当∠PAB＝45°，c＝时，a＝4，b＝4；如图2，当∠PAB ＝30°，c＝2时，a2+b2＝20；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出PA、PB，根据三角形中位线定理得到MN∥AB，根据相似三角形的性质分别求出PM、PN，根据勾股定理计算即可；（2）连接MN，设PN＝x，PM＝y，利用勾股定理分别用x、y表示出a、b、c，得到答案；（3）取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，证明△ABF为“中垂三角形”，根据（2）中结论计算即可．【解答】解：（1）在Rt△APB中，∠PAB＝45°，c＝，则PA＝PB＝c＝4，∵M、N分别为CB、CA的中点，∴MN＝AB＝2，MN∥AB，∴△APB∽△MPN，∴＝＝＝，∴PM＝PN＝2，∴BM＝＝2，∴a＝2BM＝4，同理：b＝2AN＝4，如图2，连接MN，在Rt△APB中，∠PAB＝30°，c＝2，∴PB＝c＝1，∴PA＝＝，∴PN＝，PM＝，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝，b＝，∴a2+b2＝20，故答案为：4；4；20；（2）a2+b2＝5c2，理由如下：如图3，连接MN，设PN＝x，PM＝y，则PB＝2PN＝2x，PA＝2PM＝2y，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝2，b＝2，∴a2+b2＝20（x2+y2），∵c2＝PA2+PB2＝4（x2+y2），∴a2+b2＝5c2；（3）取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AHP∽△BHF，∴＝＝1，∴AP＝BF，∵AD＝3AE，BC＝3BF，AD＝3，∴AE＝BF＝，∴PE＝FC，∴四边形PFCE为平行四边形，∵BE⊥CE，∴BG⊥FH，∵AE∥BF，AE＝BF，∴AG＝GF，∴△ABF为“中垂三角形”，∴AB2+AF2＝5BF2，即32+AF2＝5×（）2，解得：AF＝4．【例4】（2020•岳麓区校级二模）定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC 为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周长，记作L，即L＝AB2+BC2+CA2．（1）如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC＝BC，求证：△AOB是等腰直角三角形；（2）如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，试探究△ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，已知抛物线y＝与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BD＝CD，连接AC交y轴于点E．①求证：△ABC是中垂三角形；②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值．【分析】（1）先利用“SAS“证明△BAD≌△ABE，然后根据△ABC是中垂三角形即可证明；（2）先判断出AC＝2AD，BC＝2BE，再利用勾股定理，即可得出结论；（3）①利用二次函数先求出点B、点A和点C的坐标，然后根据点A和点C的坐标确定E 是AC的中点，最后根据中垂三角形的定义即可证明；②先由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a）的坐标得到k AB＝a，k AC＝﹣a，k BC ＝﹣a，然后分情况讨论即可求解；或结合射影定理分情况讨论进行求解即可．【解答】（1）证明：AC＝BC，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，∴AD＝BE，∠BAD＝∠ABE，∴△BAD≌△ABE（SAS），∴∠ABD＝∠BAE，∴OA＝OB．∵△ABC是中垂三角形，且AC＝BC，∴∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形．（2）L＝6AB2．证明：如图，连接DE．∵AE，BD分别是边BC，AC上的中线，∴AC＝2AD，BC＝2BE，DE＝AB，∴AC2＝4AD2，BC2＝4BE2，DE2＝AB2．在Rt△AOD中，AD2＝OA2+OD2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，∴AC2+BC2＝4（AD2+BE2）＝4（OA2+OD2+OB2+OE2）＝4（AB2+DE2）＝4（AB2+AB2）＝5AB2，∴L＝AB2+AC2+BC2＝AB2+5AB2＝6AB2．（3）①证明：在y＝中，当x＝0时，y＝﹣2a，∴点B（0，﹣2a）．y＝0时，＝0，整理得3x2﹣4x﹣32＝0，解得x1＝﹣（舍），x2＝4，∴点A（4，0）．∵BD＝CD，y C＝﹣y B＝2a，将y＝2a代人y＝，解得x1＝（舍），x2＝﹣4，∴C（﹣4，2a）．由点A（4，0），C（﹣4，2a）可知，E是AC的中点．又∵BD＝CD，∴AD，BE都是△ABC的中线．又∵∠AOB＝90°，∴AD⊥BE，∴△ABC是中垂三角形．②解法一：由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a）可得k AB＝a，k AC＝﹣a，k BC ＝﹣a，∵∠C＜∠AOB，∴∠C≠90°．当∠ABC＝90°时，k AB•k BC＝﹣1，解得a＝（负值舍去），∴点B（0，﹣2），∴L＝6AB2＝6×24＝144．当∠BAC＝90°时，k AB•k CA＝﹣1，解得a＝2（负值舍去），∴点B（0，﹣4），∴L＝6AB2＝6×48＝288．综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．解法二：由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a），∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，∴点D（﹣2，0），E（0，a）．∵∠C＜∠AOB，∴∠C≠90°．当∠ABC＝90°时，在△ABD中，由射影定理得OB2＝OA•OD，∴4a2＝8，解得α＝（负值舍去），∴点B（0，﹣2），∴L＝6AB2＝6×24＝144．当∠BAC＝90°时，在△ABE中，由射影定理得OA2＝OB•OE，∴16＝2a2，解得a＝2（负值舍去），∴点B（0，﹣4），∴L＝6AB2＝6×48＝288．综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．【例5】（2020•安徽模拟）通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝；＝24，求△ABC的周长．（2）如图（2），已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据∠B＝30°，可得出BD＝AB，结合等腰三角形的性质可得出BC＝AB，继而得出canB；＝24，（2）过点A作AE⊥BC于点E，根据canB＝，设BC＝8x，AB＝5x，再由S△ABC可得出x的值，继而求出周长．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝30°，∴cos∠B＝＝，∴BD＝AB，∵△ABC是等腰三角形，∴BC＝2BD＝AB，故can30°＝＝；（2）过点A作AE⊥BC于点E，∵canB＝，则可设BC＝8x，AB＝5x，∴AE＝＝3x，＝24，∵S△ABC∴BC×AE＝12x2＝24，解得：x＝，故AB＝AC＝5，BC＝8，从而可得△ABC的周长为18．一．解答题（共20题）1．（2022秋•如皋市期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有②③（只填写序号）．①顶角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是30°的直角三角形．（2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE．①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．【分析】（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断可求解；（2）①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求∠BAE＝2∠ADB，由等腰三角形的性质可得∠BDE＝∠E，可得结论；②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解．【解答】（1）解：若顶角是30°的等腰三角形，∴两个底角分别为75°，75°，∴顶角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，若等腰直角三角形，∴三个角分别为45°，45°，90°，∵90°＝2×45°，∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，若有一个是30°的直角三角形，∴另两个角分别为60°，90°，∵60°＝2×30°，∴有一个30°的直角三角形是“倍角三角形”，故答案为：②③；（2）①证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，∴∠BAE＝2∠ADB，∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴∠E＝∠ADB，∴∠BAE＝2∠E，∴△ABE是“倍角三角形”；②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，如图，若△ABP是等腰三角形，则△BPE是“倍角三角形”，∴△ABP是等边三角形，∴∠APB＝60°，∴∠BPE＝120°，∵△BPE是“倍角三角形”，∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，∴∠BEP＝20°或40°；若△BPE是等腰三角形，则△ABP是“倍角三角形”，∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP，∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，∵△BPE是等腰三角形，∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，综上所述：∠BPE的度数为45°或15°或20°或40°．2．（2022秋•义乌市校级月考）【概念认识】如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE ＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线“，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②所示．在△ABC中．∠A＝80°，∠ABC＝45°．若∠ABC的三分线BD交AC于点D．求∠BDC的度数．（2）如图③所示，在△ABC中．BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻BC 三分线，且∠BPC＝140°．求∠A的度数．【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P，若∠A＝m°（m＞54），∠ABC＝54°．求出∠BPC的度数．（用含m的式子表示）【分析】（1）分BD是邻AB的三分线和BD是邻BC的三分线两种情况解答即可；（2）由∠BPC＝140°，得∠PBC+∠PCB＝40°，故∠ABC+∠ACB＝40°，可得∠ABC+∠ACB＝120°，从而∠A＝60°；（3）分四种情况分别解答即可．【解答】解：（1）当BD是“邻AB三分线”时，∠ABD＝∠ABC＝15°，则∠BDC＝∠ABD+∠A＝15°+80°＝95°，当BD′是“邻BC三分线”时，∠ABD′＝∠ABC＝30°，则∠BD′C＝∠ABD′+∠A＝30°+80°＝110°，综上所述，∠BDC的度数为95°或110°；（2）∵∠BPC＝140°，∴∠PBC+∠PCB＝40°，∵BP，CP分别是∠ABC的邻BC三分线和∠ACB的邻BC三分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠A＝60°；（3）如图：。

中考数学——直角三角形的边角关系的综合压轴题专题复习附答案

中考数学——直角三角形的边角关系的综合压轴题专题复习附答案一、直角三角形的边角关系1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.（1）求之间的距离（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.【答案】（1）120米；（2）35. 【解析】【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC=333，然后根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ︒=6012=120（m ）（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，则'60A E AC ==， '30CE AA ==3在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235答：从无人机'A 上看目标D 235【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.2．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E e 于点D ，连接OD .（1）求证：直线OD 是E e 的切线；（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E e 于点G ，连接BG ：①当1an 7t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标（直接写出）； ②求BG CF的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫⎪⎝⎭，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12. 【解析】【分析】（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得12BG CF ≤，从而得解. 【详解】（1）证明：连接DE ，则：∵BC 为直径∴90BDC ∠=︒∴90BDA ∠=︒∵OA OB =∴OD OB OA ==∴OBD ODB ∠=∠∵EB ED =∴EBD EDB ∠=∠∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠即：EBO EDO ∠=∠∵CB x ⊥轴∴90EBO ∠=︒∴90EDO ∠=︒∴直线OD 为E e 的切线.（2）①如图1，当F 位于AB 上时：∵1~ANF ABC ∆∆ ∴11NF AF AN AB BC AC == ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=-∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：1031x = ∴150531AF x == 1504333131OF =-= 即143,031F ⎛⎫ ⎪⎝⎭如图2，当F 位于BA 的延长线上时：∵2~AMF ABC ∆∆∴设3AM x =，则224,5MF x AF x ==∴103CM CA AM x =+=+ ∴241tan 1037F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25x = ∴252AF x ==2325OF =+=即2(5,0)F②如图，作GM BC ⊥于点M ，∵BC 是直径∴90CGB CBF ∠=∠=︒ ∴~CBF CGB ∆∆∴8BG MG MG CF BC == ∵MG ≤半径4= ∴41882BG MG CF =≤= ∴BG CF 的最大值为12.【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．3．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF 为菱形（2）作PH ⊥AD 于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5 ∴tan ∠ADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数4．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)记AC BC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 3CPE V 总是等边三角形【解析】【分析】（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FP MC PB =，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ．（2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC BC =tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可．【详解】解：（1）PC=PE 成立，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴EM FP MC PB=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；（2）PC=PE 成立，理由如下：如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ，∴△DAF ≌△EAF （AAS ），∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中，∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ，∴△DAP ≌△EAP （SAS ），∴PD=PE ，∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，∴FD ∥BC ∥PM ，∴DM FP MC PB=， ∵点P 是BF 的中点，∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ，∴PC=PD ，又∵PD=PE ，∴PC=PE ；（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形，∴∠CEP=60°，∴∠CAB=60°，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵AC k BC ，AC BC=tan30°， ∴k=tan30°=3， ∴当k 为33时，△CPE 总是等边三角形．【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．5．问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH 的对角互补，那么四边形EFGH 的四个顶点E 、F 、G 、H 都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O 的半径为2，AB ，CD 是⊙O 的直径．P 是上任意一点，过点P 分别作AB ，CD的垂线，垂足分别为N，M．（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角．①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．【答案】（1）证明见解析，直径OP=2；（2）证明见解析，MN的长为定值，该定值为2；（3）①MN=；②证明见解析；（4）MN取得最大值2．【解析】试题分析：（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO=180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；（3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°．根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN=P1M．然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：MN=QN•sin∠MQN，从而可得MN=OP•sin∠MQN，由此即可解决问题；（4）由（3）②中已得结论MN=OP•sin∠MQN可知，当∠MQN=90°时，MN最大，问题得以解决．试题解析：（1）如图一，∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON是矩形，∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2；（3）①如图二，∵P1是的中点，∠BOC=120°，∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°，∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M．∵P1M=OP1•sin∠MOP1=2×sin60°=，∴MN=；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中，sin∠MQN=，∴MN=QN•sin∠MQN，∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×=，∴MN是定值．（4）由（3）②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN．当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．考点：圆的综合题．6．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，弦//CD AB，动点P、Q分别在线段OC、CD 上，且DQ OP=，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），20AB=，4cos5AOC∠=．设OP x=，CPF∆的面积为y．（1）求证：AP OQ=；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE∆是直角三角形时，求线段OP的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x xy xx-+=<<；（3）8OP=【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ=，联结OD后还有OA DO=，再结合要证明的结论AP OQ=，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO∠=∠即可；（2）根据PFC∆∽PAO∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos5AOC∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．【详解】（1）联结OD，∵OC OD=，∴OCD ODC∠=∠，∵//CD AB，∴OCD COA∠=∠，∴POA QDO∠=∠．在AOP∆和ODQ∆中，{OP DQPOA QDOOA DO=∠=∠=，∴AOP ∆≌ODQ ∆，∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ，∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP yCP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<；（3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠， ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ，∴AOQ DQO ∠=∠，∵AOP ∆≌ODQ ∆，∴DQO APO ∠=∠，∴AOQ APO ∠=∠，∴90∠=∠=o，此时弦CD不存在，故这种情况不符合题意，舍去；AEO AOP综上，线段OP的长为8．7．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数8．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为32≈1.4）．【答案】车辆通过AB 段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB –∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=tan PH PAH ∠33， ∵AC ∥BD ，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD –∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴3，∵60千米/时=503米/秒，∴时间t=503505033≈8.1（秒），即车辆通过AB 段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。

中考数学压轴题揭秘-三角形问题(Word版+答案)

三角形问题【典例分析】【考点1】三角形基础知识【例1】（2019·浙江中考真题）若长度分别为,3,5a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．8【变式1-1】（2019·北京中考真题）如图，已知△ABC ，通过测量、计算得△ABC 的面积约为____cm 2.（结果保留一位小数）【变式1-2】（2019·山东中考真题）把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上)．若123∠=︒，则2∠=_______︒．【考点2】全等三角形的判定与性质的应用【例2】（2019·山东中考真题）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN AM +=．【变式2-1】（2019·贵州中考真题）（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证AEB FEC ∆∆≌得到AB FC =，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系________；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AF 与DC 的延长线交于点F ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．【变式2-2】（2019·广西中考真题）如图，,AB AD BC DC ==，点E 在AC 上．（1）求证：AC 平分BAD ∠；（2）求证：BE DE =．【考点3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用【例3】（2019·浙江中考真题）如图，在ABC △中，AC AB BC <<.⑴已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连结AP ，求证：2APC B ??；⑵以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连结AQ ，若3AQC B ??，求B Ð的度数.【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，ABC ∆是等边三角形，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD ．若2AB =，则AD 的长为_____．【变式3-2】（2019·辽宁中考真题）如图，把三角形纸片折叠，使点A 、点C 都与点B 重合，折痕分别为EF ，DG ，得到60BDE ︒∠=，90BED ︒∠=，若2DE =，则FG 的长为_____．【考点4】直角三角形的性质【例4】（2019·宁夏中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交,AB BC 于点,M N ，再分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若30A ∠=o，则BCD ABD S S ∆∆=_____．【变式4-1】（2019·黑龙江中考真题）一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=o ，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE ∆是直角三角形时，则CD 的长为_____．【变式4-2】（2019·河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：km ）．笔直铁路经过A ，B 两地．（1）A ，B 间的距离为______km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为______km ．【考点5】相似三角形的判定与性质的应用【例5】（2019·四川中考真题）如图，90ABD BCD ︒∠=∠=，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM CD ‖交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：2BD AD CD =⋅；（2）若68CD AD ==，，求MN 的长．【变式5-1】（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．【变式5-2】（2019·陕西中考模拟）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C 点处竖立一根标杆CD ，此时，小花测得标杆CD 的影长CE ＝2米，CD ＝2米；然后，小风从C 点沿BC 方向走了5.4米，到达G 处，在G 处竖立标杆FG ，接着沿BG 后退到点M 处时，恰好看见紫云楼顶端A ，标杆顶端F 在一条直线上，此时，小花测得GM ＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM ＝1.5米，FG ＝2米．如图②，已知AB ⊥BM ，CD ⊥BM ，FG ⊥BM ，HM ⊥BM ，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB ．【考点6】锐角三角函数及其应用【例6】（2019·贵州中考真题）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，则CD 的长度是_____.【变式6-1】（2019·山东中考真题）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡200AB =米，坡度为1:3；将斜坡AB 的高度AE 降低20AC =米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1:4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）【变式6-2】（2019·海南中考真题）如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60︒方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15︒方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为10海里．（1）填空：BAC ∠= 度，C ∠= 度；（2）求观测站B 到AC 的距离BP （结果保留根号）．【达标训练】1．（2019·河北中考真题）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2019·江苏中考真题）已知n 正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n ，则满足条件的n 的值有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3．（2019·浙江中考真题）如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（）A ．24B ．30C ．36D ．424．（2019·湖北中考真题）通过如下尺规作图，能确定点D 是BC 边中点的是（）A ．B ．C ．D ．5．（2019·广东中考真题）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ，若BE=3，AF=5，则AC 的长为（）A ．45B ．43C ．10D ．86．（2019·湖南中考真题）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形7．（2019·黑龙江中考真题）如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°8．（2019·海南中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，5AB =，4BC =．点P 是边AC 上一动点，过点P 作PQ AB ∥交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分ABC ∠时，AP 的长度为（）A ．813B ．1513C ．2513D ．32139．（2019·辽宁中考真题）如图，在CEF △中，80E ∠=︒，50F ∠=︒，AB CF P ，AD CE P ，连接BC ，CD ，则A ∠的度数是（）A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°10．（2019·四川中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BPC ∆是等边三角形，连接DP 并延长交CB 的延长线于点H ，连接BD 交PC 于点Q ，下列结论：①135BPD ︒∠=；②BDP HDB ∆∆∽；③:1:2DQ BQ =；④314BDP S ∆-=．其中正确的有（）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④11．（2019·辽宁中考真题）如图，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B ＝32°，则∠C 的度数是（）A ．64°B ．32°C ．30°D ．40°12．（2019·青海中考真题）如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.213．（2019·辽宁中考真题）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，DE 是AB 的垂直平分线，AD 恰好平分∠BAC ．若DE ＝1，则BC 的长是_____．14．（2019·广西中考真题）如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，2tan 2C =，3AB =，则AC 的长为_____．15．（2019·山东中考真题）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得70ABO ∠=︒，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得50CDO ∠=︒，那么AC 的长度约为______米．（sin700.94︒≈，sin500.77︒≈，cos700.34︒≈，cos500.64︒≈）16．（2019·山东中考真题）把两个同样大小含45︒角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点,,B C D 在同一直线上．若2AB =，则CD =____．17．（2019·湖北中考真题）如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加下列条件中的一个：①A D ∠=∠，②AC DB =，③AB DC =，其中不能确定ABC ∆≌△DCB ∆的是_____（只填序号）．18．（2019·贵州中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，且3BA =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为________．19．（2019·青海中考真题）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD 为_______米（结果保留根号）．20．（2019·山西中考真题）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm ，点D 为△ABC 内一点，∠BAD=15°，AD=6cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为________cm.21．（2019·北京中考真题）如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝_____°（点A ，B ，P 是网格线交点）.22．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．23．（2019·江苏中考真题）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm ．24．（2019·湖南中考真题）已知∠AOB ＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE ＝2，则DF ＝_____．25．（2019·山东中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究在ABC ∆中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是，NB 与MC 的数量关系是；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在111A B C ∆中，118A B =，11160A B C ∠=o ，11175B A C ∠=o，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75o ，得到线段1A Q ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．26．（2019·四川中考真题）在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F .（1）如图1，当EF ∥BC 时，求证：1BE CFAE AF+=；（2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.27．（2019·辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD ＝200米，那么A ，B 间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC 和△ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若BC ＝3，DE ＝l ，请直接写出PC 2的值． 28．（2019·湖北中考真题）在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，ABn BC=，M 是BC 上一点，连接AM （1）如图1，若1n =，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM BN =（2）过点B 作BP AM ⊥，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q .①如图2，若1n =，求证：CP BMPQ BQ=②如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan BPQ ∠的值（用含n 的式子表示）29．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合），直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B’. （1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC 边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l //AC ，则BB’的长度为；（3）如图3，点P 在AB 边上运动过程中，若直线l 始终垂直于AC ，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l 变化过程中，求△ACB’面积的最大值.30．（2019·四川中考真题）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH 和教学楼CG 的高，先在A 处用高1.5米的测角仪AF 测得古树顶端H 的仰角HFE ∠为45︒，此时教学楼顶端G 恰好在视线FH 上，再向前走10米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角GED ∠为60︒，点A 、B 、C 三点在同一水平线上．（1）求古树BH 的高；（2）求教学楼CG 的高．（参考数据：2 1.4,3 1.7==） 31．（2019·江苏中考真题）如图，ABC ∆中，90C =o ∠，4AC =，8BC =．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC 于点D ，求BD 的长．32．（2019·湖南中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ． (1)求证：BF CF =；(2)若6BC =，4DG =，求FG 的长．33．（2019·吉林中考真题）墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A 与地面的距离AB 为170cm ，花洒AC 的长为30cm ，与墙壁的夹角CAD ∠为43°．求花洒顶端C 到地面的距离CE （结果精确到1cm ）（参考数据：0sin 430.68=，0cos430.73=，0tan 430.93=）34．（2019·陕西中考真题）如图，点A ，E ，F 在直线l 上，AE=BF ，AC//BD ，且AC=BD ，求证：CF=DE35．（2019·辽宁中考真题）如图，A ，B 两市相距150km ，国家级风景区中心C 位于A 市北偏东60︒方向上，位于B 市北偏西45︒方向上．已知风景区是以点C 为圆心、50km 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A ，B 两市的高速公路，高速公路AB 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：3 1.73≈）36．（2019·重庆中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）若42C ︒∠=，求BAD ∠的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF AC P 交AD 的延长线于点F ．求证：AE FE =．三角形问题【典例分析】【考点1】三角形基础知识【例1】（2019·浙江中考真题）若长度分别为,3,5a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，由此可得，符合条件的只有选项C，故选C．【点睛】本题考查了三角形三边关系，能根据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．【变式1-1】（2019·北京中考真题）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为____cm2.（结果保留一位小数）【答案】1.9【解析】【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【详解】解：过点C 作CD ⊥AB 的延长线于点D ，如图所示．经过测量，AB=2.2cm ，CD=1.7cm ，112.2 1.7 1.922∆∴=⋅=⨯⨯≈ABC S AB CD （cm 2）．故答案为：1.9．【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．【变式1-2】（2019·山东中考真题）把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上)．若123∠=︒，则2∠=_______︒．【答案】68 【解析】【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠C=45°，由三角形的外角性质得出∠AGB=68°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．【详解】如图，∵ABC ∆是含有45︒角的直角三角板，∴45A C ∠=∠=︒， ∵123∠=︒，∴168AGB C ∠=∠+∠=︒， ∵EF BD P ， ∴268AGB ∠=∠=︒；故答案为68．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．【考点2】全等三角形的判定与性质的应用【例2】（2019·山东中考真题）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN AM +=．【答案】(1) 323AM =；(2)见解析；(3)见解析. 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD ＝BD ＝DC ＝ 2 ，求出 ∠MBD ＝30°，根据勾股定理计算即可；（2）证明△BDE ≌△ADF ，根据全等三角形的性质证明；（3）过点 M 作 ME ∥BC 交 AB 的延长线于 E ，证明△BME ≌△AMN ，根据全等三角形的性质得到 BE ＝AN ，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．【详解】（1）解：90BAC ∠=︒Q ，AB AC =，AD BC ⊥，AD BD DC ∴==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒，2AB =Q ，AD BD DC ∴===，30AMN ∠=︒Q ，180903060BMD ∴∠=︒-︒-︒=︒， 30BMD ∴∠=︒， 2BM DM ∴=，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得，DM =3AM AD DM ∴=-= （2）证明：AD BC ⊥Q ，90EDF ∠=︒，BDE ADF ∴∠=∠，在BDE ∆和ADF ∆中，{B DAF DB DA BDE ADF∠=∠=∠=∠， ()BDE ADF ASA ≌∴∆∆BE AF ∴=；（3）证明：过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，90AME ∴∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，ME MA ∴=，90AME ∠=︒∵，90BMN ∠=︒，BME AMN ∴∠=∠，在BME ∆和AMN ∆中，{E MANME MA BME AMN∠=∠=∠=∠，()BME AMN ASA ∴∆∆≌，BE AN ∴=， 2AB AN AB BE AE AM ∴+=+==．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式2-1】（2019·贵州中考真题）（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证AEB FEC ∆∆≌得到AB FC =，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系________；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AF 与DC 的延长线交于点F ，点E是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）AD AB DC =+；（2）AB AF CF =+，理由详见解析.【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得AD DF =，再根据AAS 证得CEF ∆≌BEA ∆，于是AB CF =，进一步即得结论；（2）延长AE 交DF 的延长线于点G ，如图②，先根据AAS 证明AEB ∆≌GEC ∆，可得AB CG =，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得FA FG =，进而得出结论.【详解】解：（1）AD AB DC =+.理由如下：如图①，∵AE 是BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠∵AB DC P ，∴F BAE ∠=∠，∴DAF F ∠=∠，∴AD DF =.∵点E 是BC 的中点，∴CE BE =，又∵F BAE ∠=∠，AEB CEF ∠=∠∴CEF ∆≌BEA ∆（AAS ），∴AB CF =.∴AD CD CF CD AB =+=+.故答案为：AD AB DC =+.（2）AB AF CF =+.理由如下：如图②，延长AE 交DF 的延长线于点G .∵AB DC P ，∴BAE G ∠=∠，又∵BE CE =，AEB GEC ∠=∠，∴AEB ∆≌GEC ∆（AAS ），∴AB GC =，∵AE 是BAF ∠的平分线，∴BAG FAG ∠=∠，∵BAG G ∠=∠，∴FAG G ∠=∠，∴FA FG =，∵CG CF FG =+，∴AB AF CF =+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．【变式2-2】（2019·广西中考真题）如图，,AB AD BC DC ==，点E 在AC 上．（1）求证：AC 平分BAD ∠；（2）求证：BE DE =．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由题中条件易知：△ABC ≌△ADC ，可得AC 平分∠BAD ；（2）利用（1）的结论，可得△BAE ≌△DAE ，得出BE=DE ．【详解】解：（1）在ABC ∆与ADC ∆中，AB AD AC AC BC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()ABC ADC SSS ∆∆≌∴BAC DAC ∠=∠即AC 平分BAD ∠；（2）由（1）BAE DAE ∠=∠在BAE ∆与DAE ∆中，得BA DA BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAE DAE SAS ∆∆≌∴BE DE =【点睛】熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键．【考点3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用【例3】（2019·浙江中考真题）如图，在ABC △中，AC AB BC <<.⑴已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连结AP ，求证：2APC B ??；⑵以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连结AQ ，若3AQC B ??，求B Ð的度数.【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°. 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB ，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B ，从而得到答案；（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA ，设∠B=x ，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x ，即可得到答案.【详解】（1）证明：因为点P 在AB 的垂直平分线上，所以PA=PB ，所以∠PAB=∠B ，所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.（2）根据题意，得BQ=BA ，所以∠BAQ=∠BQA ，设∠B=x ，所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x ，所以∠BAQ=∠BQA=2x ，在△ABQ 中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠B=36°. 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，ABC ∆是等边三角形，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD ．若2AB =，则AD 的长为_____．【答案】3【解析】【分析】AB=AC=BC=CD ，即可求出∠BAD=90°，∠D=30°，解直角三角形即可求得．【详解】解：∵ABC ∆是等边三角形，∴60B BAC ACB ︒∠=∠=∠=，∵CD AC =，∴CAD D ∠=∠，∵60ACB CAD D ∠=∠+∠=o ，∴30CAD D ∠=∠=o ，∴90BAD o ∠=， ∴AB 23tan 303AD ︒=== 故答案为3【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证得△ABD 是含30°角的直角三角形是解题的关键．【变式3-2】（2019·辽宁中考真题）如图，把三角形纸片折叠，使点A 、点C 都与点B 重合，折痕分别为EF ，DG ，得到60BDE ︒∠=，90BED ︒∠=，若2DE =，则FG 的长为_____．【答案】33．【解析】【分析】根据折叠的性质可得：FG 是△ABC 的中位线，AC 的长即为△BDE 的周长.在Rt △BDE 中，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理可分别求出BD 与BE 的长，从而可得AC 的长，再根据三角形的中位线定理即得答案.【详解】解：∵把三角形纸片折叠，使点A 、点C 都与点B 重合，∴AF BF =，AE BE =，BG CG =，DC DB =， ∴12FG AC =， ∵60BDE ︒∠=，90BED ︒∠=，∴30EBD ︒∠=，∴24DB DE ==， ∴22224223BE DB DE =-=-= ∴23AE BE ==，4DC DB ==， ∴2324623AC AE DE DC =++=+=+， ∴1332FG AC ==+ 故答案为：33【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，根据折叠的性质得出FG 是△ABC 的中位线，AC 的长即为△BDE 的周长是解本题的关键.【考点4】直角三角形的性质【例4】（2019·宁夏中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交,AB BC 于点,M N ，再分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若30A ∠=o ，则BCD ABDS S ∆∆=_____．【答案】12．【解析】【分析】利用基本作图得BD 平分ABC ∠，再计算出30ABD CBD ∠=∠=o ，所以DA DB =，利用2BD CD =得到2AD CD =，然后根据三角形面积公式可得到BCD ABDS S V V 的值．【详解】解：由作法得BD 平分ABC ∠，∵90C =o ∠，30A ∠=o ，∴60ABC ︒∠=，∴30ABD CBD ︒∠=∠=，∴DA DB =，在Rt BCD ∆中，2BD CD =，∴2AD CD =，∴12BCD ABD S S ∆∆=. 故答案为12．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．【变式4-1】（2019·黑龙江中考真题）一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=o ，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE ∆是直角三角形时，则CD 的长为_____．【答案】3或247【解析】【分析】依据沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD 的长【详解】分两种情况：①若90DEB ∠=o ，则90AED C ∠==∠o ， CD ED =，连接AD ，则()Rt ACD Rt AEAD HL ∆≅∆，6AE AC ∴==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，Rt BDE ∆Q 中，222DE BE BD +=2224(8)x x ∴+=-，解得3x =，3CD ∴=；②若90BDE ∠=o ，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=o ，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，90AFE EDB ∴∠=∠=o ，AEF B ∠=∠，~AEF EBD ∴∆∆， AF EF ED BD ∴=，设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-，68x x x x-∴=-，解得247x =， 247CD ∴=，综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形【变式4-2】（2019·河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：km ）．笔直铁路经过A ，B 两地．（1）A ，B 间的距离为______km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为______km ．【答案】20 13【解析】【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB 的长度；（2）根据A 、B 、C 三点的坐标可求出CE 与AE 的长度，设CD =x ，根据勾股定理即可求出x 的值．【详解】（1）由A 、B 两点的纵坐标相同可知：AB ∥x 轴，∴AB =12﹣（﹣8）=20；（2）过点C 作l ⊥AB 于点E ，连接AC ，作AC 的垂直平分线交直线l 于点D ，由（1）可知：CE =1﹣（﹣17）=18，AE =12，设CD =x ，∴AD =CD =x ，由勾股定理可知：x 2=（18﹣x ）2+122，∴解得：x =13，∴CD =13．故答案为：（1）20；（2）13．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是根据A 、B 、C 三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．【考点5】相似三角形的判定与性质的应用【例5】（2019·四川中考真题）如图，90ABD BCD ︒∠=∠=，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM CD ‖交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：2BD AD CD =⋅；（2）若68CD AD ==，，求MN 的长．【答案】（1）见解析；（2）475MN =【解析】【分析】（1）通过证明ABD BCD ∆∆∽，可得AD BDBD CD=，可得结论；（2）由平行线的性质可证MBD BDC ∠∠＝，即可证4AM MD MB ＝＝＝，由2BD AD CD ⋅＝和勾股定理可求MC 的长，通过证明MNB CND ∆∆∽，可得23BM MN CD CN ==，即可求MN 的长．【详解】证明：（1）∵DB 平分ADC ∠，ADB CDB ∴∠∠＝，且90ABD BCD ∠∠︒＝＝，ABD BCD ∴∆∆∽AD BDBD CD∴=2BD AD CD ∴⋅＝（2）//BM CD QMBD BDC ∴∠∠＝ADB MBD ∴∠∠＝，且90ABD ∠︒＝BM MD MAB MBA ∴∠∠＝，＝4BM MD AM ∴＝＝＝2BD AD CD ⋅Q ＝，且68CD AD ＝，＝， 248BD ∴＝，22212BC BD CD ∴＝﹣＝22228MC MB BC ∴+＝＝MC ∴＝//BM CD Q MNB CND ∴∆∆∽23BM MN CD CN ∴==且MC =MN ∴=【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．【变式5-1】（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【答案】（1）证明见解析；（2）25 3.【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BP AB CD CP=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BA BP BC BA=．∵AB=10，BC=12，∴101210BP=，∴BP=253．“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．【变式5-2】（2019·陕西中考模拟）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C点处竖立一根标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长CE＝2米，CD＝2米；然后，小风从C点沿BC方向走了5.4米，到达G处，在G处竖立标杆FG，接着沿BG后退到点M处时，恰好看见紫云楼顶端A，标杆顶端F在一条直线上，此时，小花测得GM＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM＝1.5米，FG＝2米．如图②，已知AB⊥BM，CD⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB．【答案】紫云楼的高AB为39米．【解析】【分析】根据已知条件得到AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵CD⊥BM，FG⊥BM，CE＝2，CD＝2，∴AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，∵∠ANH＝∠FPH＝90°，∠AHN＝∠FHP，∴△ANH∽△FPH，∴AN NHPF PH=，即1.560.50.6x x-+=，∴x＝39，∴紫云楼的高AB为39米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．【考点6】锐角三角函数及其应用【例6】（2019·贵州中考真题）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD 的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是_____.。

2023年中考数学压轴题专题02 二次函数与直角三角形问题【含答案】

专题2二次函数与直角三角形问题解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1图2图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．如图4，已知A(3,0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341m m-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．对于代数法，可以采用两条直线的斜率之积来解决.【例1】（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．【例2】．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【例3】．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C 两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【例4】．（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．1．（2022•公安县模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（2，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；的最大值以及此时E点的坐标；（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求S△ABE（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得△ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由．2．（2022•高邮市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x 轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，若．（1）求点B的坐标；（2）点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．3．（2022•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点．（1）求b，c的值；（2）点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一点，且点E在x轴上方，连接BE，以点E为直角顶点，BE为直角边，作等直角△BED，使得点D恰好落在直线y＝x上，求出满足条件的所有点E的坐标．4．（2022•雁峰区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝x+1与x轴交于点E，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．5．（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A （﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022•太原一模）综合与实践如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC 下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．7．（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC．（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．8．（2022•沈阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上B，C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MN，当点N恰好落在y轴上时，求点M，点N的坐标．（3）如图2，若点E坐标为（2，0），EF⊥x轴交直线BC于点F，将△BEF沿直线BC平移得到△B'E'F'，在△B'E'F'移动过程中，是否存在使△ACE'为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点E′的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2022•东坡区校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣（m+2）x+4的顶点C在x轴的正半轴上，直线y＝x+2与抛物线交于A，B两点，且点A在点B的左侧．（1）求m的值；（2）点P是抛物线y＝x2﹣（m+2）x+4上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求点P的坐标；（3）将直线AB向下平移k（k＞0）个单位长度，平移后的直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧），当△DEC为直角三角形时，求k的值．10．（2022•海沧区二模）抛物线y1＝ax2﹣2ax+c（a＜2且a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M（m，n）在该抛物线上，点P是抛物线的最低点．（1）若m＝2，n＝﹣3，求a的值；（2）记△PMB面积为S，证明：当1＜m＜3时，S＜2；（3）将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2＝kx+b（k≠0），与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x ＜﹣1时，总有y1＞y2．当﹣1＜x＜1时，总有y1＜y2．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．11．（2021•葫芦岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B（﹣2，3），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点D（﹣2，﹣1）在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若S△BDE＝4S△ABE，求E点坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线DB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，若△APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标．12．（2021•和平区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣，交y轴于点A，交x轴于B（﹣1，0），C（5，0）两点，抛物线的顶点为D，连接AC，CD．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（3）过点D作x轴的垂线交AC于点G，点H为线段CD上一动点，连接GH，将△DGH沿GH翻折到△GHR（点R，点G分别位于直线CD的两侧），GR交CD于点K，当△GHK为直角三角形时．①请直接写出线段HK的长为；②将此Rt△GHK绕点H逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△MHN，若直线MN分别与直线CD，直线DG交于点P，Q，当△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的纵坐标为﹣或﹣．13．（2021•莱芜区三模）二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C （0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t的值；（3）如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．14．（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）请画出抛物线的图象；（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．15．（2021•武汉模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．（1）请直接写出b＝﹣8，A点的坐标是（2，0），B点的坐标是（6，0）；（2）如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；（3）如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P 点的坐标．16．（2021•北碚区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．（1）求直线BC的解析式；（2）过点A作AD∥BC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1﹣S2的值最大时，求P点的坐标和S1﹣S2的最大值；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A'C'（线段A'C'始终在直线l左侧），是否存在以A'，C'，G为顶点的等腰直角△A'C'G？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．17（2021•广东模拟）如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y＝x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动的时间为t秒．①点P在运动过程中，若∠CBP＝15°，求t的值；②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值．18.（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．19.（2021•毕节市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．（1）填空：点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（2，﹣1），抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.（2021•兰溪市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣m+4图象的顶点为C，其中m＞0，与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点D，点M的坐标为（0，4）．（1）当m＝2时，抛物线y＝a（x﹣m）2﹣m+4（m＞0）经过原点，求a的值；（2）当a＝﹣1时，①若点M，点D，点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D的坐标．②设反比例函数y＝﹣（x＞0）与抛物线y＝a（x﹣m）2﹣m+4（m＞0）相交于点E（p，q）．当2＜p ＜4时，求m的取值范围．【例1】．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．【分析】（1）根据坐标轴上点的特点求出点A，C的坐标，即可求出答案；（2）设出点P的坐标，利用PA＝PC建立方程求解，即可求出答案；（3）分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出前两种情况，利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．【解析】（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AC＝＝；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵点P为该抛物线对称轴上，∴设P（1，p），∴PA＝＝，PC＝＝，∵PA＝PC，∴＝，∴p＝﹣1，∴P（1，﹣1）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，设M（m，m2﹣2m﹣3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM＝90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，∴∠HMC＝45°＝∠HCM，∴CH＝MH，∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，∴﹣m2+2m＝m，∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，∴M（1，﹣4）；②当∠CBM＝90°时，过点M作M'H'⊥x轴，同①的方法得，M'（﹣2，5）；③当∠BMC＝90°时，如图2，Ⅰ、当点M在第四象限时，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM＝∠E＝90°，∴∠DCM+∠DMC＝90°，∵∠DMC+∠EMB＝90°，∴∠DCM＝∠EMB，∴△CDM∽△MEB，∴，∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，∴，∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m ＝，∴M（，﹣），Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．【例2】．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【分析】（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，即可求解；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），由DH∥OC，可得＝＝，求出D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，证明△MDF≌△NOD（AAS），可得D点纵坐标为2，求出D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，证明△KDF≌△LFO（AAS），得到D点纵坐标为4，求得D（0，4）或（﹣3，4）．【解析】（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．【例3】（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【分析】（1）把点B，C两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组，可得结论；（2）存在．如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．构建二次函数，利用二次函数的性质，解决问题；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M （﹣1，﹣4），分三种情形：∠PAB＝90°，∠PBA＝90°，∠APB＝90°，分别求解可得结论．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．令y＝0，则x2+x﹣4＝0，解得x＝﹣4或2，∴A（﹣4，0），C（2，0），∵B（0，﹣4），∴OA＝OB＝4，＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）∵S△ABD2+4，∵﹣1＜0，∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．【例4】．（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，解二元一次方程组即可得b，c的值，令y＝0即可得m的值；（2）设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四边形DEFG的周长，根据二次函数的最值即可求解；（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK，根据全等三角形的性质得NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，则N（﹣4，3），利用待定系数法可得直线BN的解析式为y＝﹣x+，可得Q（0，），设P（2，p），利用勾股定理表示出PQ2、BP2、BQ2，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，②当∠QBP＝90°时，利用勾股定理即可求解．【解析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得．∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0），∴m＝5；（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），∵DE∥x轴，∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，∴四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，∴∠NKC＝∠MHC＝90°，由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，∵B（5，0），C（0，5）．∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥对称轴于H，∴CH∥x轴，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），设直线BN的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线BN的解析式为y＝﹣x+，∴Q（0，），设P（2，p），∴PQ2＝22+（p﹣）2＝p2﹣p+，BP2＝（5﹣2）2p2＝9+p2，BQ2＝52+（）2＝25+，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，∴9+p2＝p2﹣p++25+，解得p＝，∴点P的坐标为（2，）；②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，∴p2﹣p+＝9+p2+25+，解得p＝﹣9，∴点P′的坐标为（2，﹣9）．综上，所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）．1．（2022•公安县模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（2，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；的最大值以及此时E点的坐标；（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求S△ABE（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得△ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由．【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；（2）过点E作EF∥y轴交线段AB于点F，设点E（t，﹣t2+2t+3），则F（t，t+1），则可得到EF与x的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得△ABE的面积；（3）存在，设E（m，﹣m2+2m+3），分三种情况：分别以A，B，E为直角顶点，作出辅助线，构造相似列出方程，解方程即可．【解析】（1）∵点A（﹣1，0），C（2，0），∴AC＝3，OC＝2，∵AC＝BC＝3，∴B（2，3），把A（﹣1，0）和B（2，3）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（2，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b′，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，如图，过点E作EF∥y轴交线段AB于点F，∴设点E（t，﹣t2+2t+3），则F（t，t+1），∴EF＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），最大，S△ABE＝•EF•（x B−x A）＝××（2+1）＝．∴此时S△ABE（3）在问题（2）的条件下，存在点E使得△ABE为直角三角形；设E（m，﹣m2+2m+3），①当点A为直角顶点，过点A作AB的垂线，与AB之间的抛物线无交点，故不可能存在点E使得△ABE为以点A为直角顶点的直角三角形，②当点B为直角顶点，如下图，此时∠EBA＝90°，过点E作EG⊥CB，交CB延长线于点G，∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°，∴∠EBG＝45°，∴△BEG是等腰直角三角形，EG＝BG，∵EG的长为点E与直线BC的距离，即2﹣m，且BG＝CG﹣BC＝﹣m2+2m+3﹣3＝﹣m2+2m，∴2﹣m＝＝﹣m2+2m，解得m＝1或m＝2（舍），∴E（1，4）；③如下图，此时∠AEB＝90°，作EM∥x轴，交CB的延长线于点M，过点A作AN⊥x轴交ME的延长线于点N，∴∠BEM+∠AEN＝90°，∵在Rt△AEN中，∠EAN+∠AEN＝90°，∴∠BEM＝∠EAN，∴△AEN∽△BEM，∴BM：EN＝EM：AN，∴（﹣m2+2m）：（m+1）＝（2﹣m）：（﹣m2+2m+3），即﹣m（2﹣m）（m+1）（m﹣3）＝（2﹣m）（m+1），∵2﹣m≠0，m+1≠0，∴m2﹣3m+1＝0，解得m＝或m＝（舍）．∴E（，）综上，根据问题（2）的条件，存在点E（1，4）或（，）使得△ABE为直角三角形．2．（2022•高邮市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC∥x 轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，若．（1）求点B的坐标；（2）点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【分析】（1）根据A（﹣1，0），得到OA＝l，对于y＝ax2+bx﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，得到C（0，﹣3），OC＝3，根据BC∥x轴，得到△AOD∽△BCD，推出，得到BC＝2，即可得B（2，﹣3）；（2）把A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，求得a＝1，b＝﹣2，得到抛物线解析式并配方为y ＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得到抛物线的对称轴是直线x＝1，设P（1，m），写出PA2＝m2+22＝m2+4．PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1．AC2＝12+32＝10．根据△PAC是以AC为直角边的直角三角形，当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2．得到m2+4+10＝（m+3）2+1，求得m＝；当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AP2，得到（m+3）2+1+10＝m2+4，求出m＝﹣；即可得点P的坐标．【解析】∵A（﹣1，0），∴OA＝l，在y＝ax2+bx﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵BC∥x轴，∴△AOD∽△BCD，∴，∴BC＝2，∴B（2，﹣3）；（2）把A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，设P（1，m），∴PA2＝m2+22＝m2+4．PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1．AC2＝12+32＝10．∵△PAC是以AC为直角边的直角三角形，当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2．∴m2+4+10＝（m+3）2+1，解得m＝；当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AP2，∴（m+3）2+1+10＝m2+4，解得m＝﹣（不符合题意，舍去）．∴P（1，）．3．（2022•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点．（1）求b，c的值；（2）点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一点，且点E在x轴上方，连接BE，以点E为直角顶点，BE为直角边，作等直角△BED，使得点D恰好落在直线y＝x上，求出满足条件的所有点E的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m），E（n，﹣n2+2n+8），分两种情况：当点E1在点D左侧，∠DE1B＝90°，BE1＝D1E1时，当点E2在点D2右侧，∠D2E2B＝90°，BE2＝D2E2时，利用等腰直角三角形性质，添加辅助线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质建立方程求解即可得出答案．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴，解得：，∴b＝2，c＝8；（2）∵点D在直线y＝x上，点E在抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8上，∴设D（m，m），E（n，﹣n2+2n+8），当点E1在点D左侧，∠DE1B＝90°，BE1＝D1E1时，如图，过点E1作E1G∥x轴，过点B作BF⊥EG于点F，过点D1作D1G⊥E1G于点G，则∠BFE1＝∠E1GD1＝90°，BF＝﹣n2+2n+8，E1F＝4﹣n，E1G＝m﹣n，D1G＝m﹣（﹣n2+2n+8）＝n2﹣2n﹣8+m，∴∠E1BF+∠BE1F＝90°，∵∠D1E1G+∠BE1F＝90°，∴∠E1BF＝∠D1E1G，在△BE1F和△E1D1G中，，∴△BE1F≌△E1D1G（AAS），∴E1F＝D1G，BF＝E1G，∴，解得：，当n＝2时，﹣n2+2n+8＝﹣22+2×2+8＝8，∴E1（2，8）；当点E2在点D2右侧，∠D2E2B＝90°，BE2＝D2E2时，如图，过点E2作E2H⊥x轴于点H，过点D2作D2K ⊥E2H于点K，则∠BHE2＝∠E2KD2＝90°，BH＝4﹣n，E2H＝﹣n2+2n+8，E2K＝﹣n2+2n+8﹣m，D2K＝n﹣m，同理可得△BE2H≌△E2D2K（AAS），∴E2H＝D2K，BH＝E2K，∴，解得：或，∴E（1+，2）或（1﹣，2）；综上所述，满足条件的所有点E的坐标为（2，8）或（1+，2）或（1﹣，2）．4．（2022•雁峰区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝x+1与x轴交于点E，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，列方程组，于是得到答案；（2）令x＝0，则y＝x+1＝1，求得OD＝1，作PH⊥OB，垂足为H，得到∠COA＝∠PHO＝90°，根据平行线的性质得到∠P＝∠DOQ，∠PFQ＝∠ODQ，根据全等三角形的性质得到PF＝OD＝1，设P点横坐标为x，得到方程﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝1，求得x1＝2，x2＝﹣，当x＝2时，y＝3，当x＝﹣时，y ＝，于是得到答案；（3）求得CD＝OC﹣OD＝2，设M（a，a+1），分两种情况①当∠CMD＝90°时，②当∠DCM＝90°时，根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝x+1＝1，∴OD＝1，如图，作PH⊥OB，垂足为H，交ED于F，则∠COA＝∠PHO＝90°，∴PH∥OC，∴∠OPF＝∠DOQ，∠PFQ＝∠ODQ，又Q是OP中点，∴PQ＝OQ，∴△PFQ≌△ODQ（AAS），∴PF＝OD＝1设P点横坐标为x，则﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝1，解得：x1＝2，x2＝﹣，当x＝2时，y＝3，当x＝﹣时，y＝，∴点P的坐标是（2，3）或（﹣，）；（3）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴OC＝3，∴CD＝OC﹣OD＝2，设M（a，a+1），∴CM2＝a2+（3﹣a﹣1）2＝a2﹣2a+4，DM2＝a2+（a+1﹣1）2＝a2，①当∠CMD＝90°时，∴CD2＝CM2+DM2，∴22＝a2﹣2a+4+a2，解得：a1＝，a2＝0（舍去），当a＝时，a+1＝，∴M（，）；②当∠DCM＝90°时，∴CD2+CM2＝DM2，∴22+a2﹣2a+4＝a2，解得：a＝4，当a＝4时，a+1＝3，∴M（4，3）；解法二：∵∠DCM＝90°，∴CM∥x轴，∴a+1＝3，解得a＝4，∴M（4，3）；综上所述：点M的坐标为（，）或（4，3）．5．（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A （﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设y＝（x﹣2）2+k，用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，设P（m，m2﹣4m﹣5），根据∠PAB＝45°知AM＝PM，即|m2﹣4m﹣5|＝m+1，解得m的值，即可得P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）由y＝x2﹣4x﹣5求出B（5，0），C（0，﹣5），设Q（2，t），有BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，分三种情况：当BC为斜边时，9+t2+4+（t+5）2＝50，当BQ为斜边时，50+4+（t+5）2＝9+t2，当CQ 为斜边时，50+9+t2＝4+（t+5）2，分别解得t的值，即可求出相应Q的坐标．【解析】（1）设y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：（﹣1﹣2）2+k＝0，解得：k＝﹣9，∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，答：抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，如图：设P（m，m2﹣4m﹣5），则PM＝|m2﹣4m﹣5|，∵A（﹣1，0），∴AM＝m+1∵∠PAB＝45°∴AM＝PM，∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），当m2﹣4m﹣5＝m+1时，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合题意，舍去），当m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合题意，舍去），∴P的坐标是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，∴B（5，0），C（0，﹣5），由抛物线y＝x2﹣4x﹣5的对称轴为直线x＝2，设Q（2，t），∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，当BC为斜边时，BQ2+CQ2＝BC2，∴9+t2+4+（t+5）2＝50，解得t＝﹣6或t＝1，∴此时Q坐标为（2，﹣6）或（2，1）；当BQ为斜边时，BC2+CQ2＝BQ2，∴50+4+（t+5）2＝9+t2，解得t＝﹣7，∴此时Q坐标为（2，﹣7）；当CQ为斜边时，BC2+BQ2＝CQ2，∴50+9+t2＝4+（t+5）2，解得t＝3，∴此时Q坐标为（2，3）；综上所述，Q的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．6．（2022•太原一模）综合与实践如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC 下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；（3）设F（﹣1，n），根据两点间距离公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，分三种情况：①当∠AFC＝90°时，②当∠CAF＝90°时，③当∠ACF＝90°时，分别建立方程求解即可．【解析】（1）在y＝x2+2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8），令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），∵点D在点E的下方，∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，①当∠AFC＝90°时，∵AF2+CF2＝AC2，∴n2+9+n2+16n+65＝80，解得：n1＝﹣4﹣，n2＝﹣4+，∴F（﹣1，﹣4﹣）或（﹣1，﹣4+）；②当∠CAF＝90°时，∵AF2+AC2＝CF2，∴n2+9+80＝n2+16n+65，解得：n＝，∴F（﹣1，）；③当∠ACF＝90°时，∵CF2+AC2＝AF2，∴n2+16n+65+80＝n2+9，解得：n＝﹣，∴F（﹣1，﹣）；综上所述，点F的坐标为（﹣1，﹣4﹣）或（﹣1，﹣4+）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）．7．（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC．（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）令x＝0，y＝0，可分别求出A、B、C三点坐标，在求出函数的对称轴即可求D点坐标，利用待定系数法求直线解析式即可；（2）设E（t，﹣t+2），分三种情况讨论：①当∠CAE＝90°时，AC2+AE2＝CE2，②当∠ACE＝90°时，AC2+CE2＝AE2，③当∠AEC＝90°时，AE2+CE2＝AC2，分别利用勾股定理求解即可．【解析】（1）令y＝0，则﹣＝0，解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），∵y＝﹣＝﹣（x﹣2）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），设直线CD的解析式为y＝kx+b，。

中考数学压轴题专题解析---直角三角形中的动点问题

中考数学压轴题专题解析---直角三角形中的动点问题这节课我们学什么1.动点直角三角形一线三直角问题2.动点直角三角形SAS问题3.动点直角三角形三角比问题4.动点直角三角形勾股定理问题知识点梳理动点直角三角形问题，一般都需要讨论哪个角是可能构成直角，然后根据题型，运用不同的方法．如下为总结的四种方法：1.先讨论哪个角是直角，然后第一类用一线三直角构造相似求解，分别用未知数的式子表示出一线三直角模型的边长；2.用边角边，即两边对应成比例夹角相等，一般是动点构成的直角三角形与已知的直角三角形相似，需要求出已知直角三角形的边长，以及用未知数的式子求出动点直角三角形的边长，通过对应边成比例建立等式；3.利用三角比来求解，实际上这个和上面一种情况类似，但是动点构成的直角三角形中，某个锐角的三角比已知，这样，直接在动点三角形中运用三角比直接可以建立等式；4.第四种方法就比较简单粗暴了，就是把动点直角三角形三边的长度用未知数的式子，或者直接是数字表示出来，用勾股定理建立等式，求解出未知数．典型例题分析1、动点直角三角形一线三直角问题；例1.已知如图在平面直角坐标系xoy 中，抛物线与轴分别交于点(2,0)A 、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，1tan 2CBA ∠=．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ABCD 的面积；（3）设抛物线上的点E 在第一象限，BCE ∆是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．【答案：（1）∵当时，，∴(0,3)C在Rt COB ∆中，∵∴∴∴点(6,0)B把(2,0)A (6,0)B 分别代入，得：得解得：∴该抛物线表达式为（2）∵∴顶点41D -（，） ∴（3）点E 的坐标是108（，）或1635（，）】2、动点直角三角形SAS 问题例2.已知：如图，抛物线2445y x mx =-++与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，（点A 在点B 的左侧）且满足4OC OA =．设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．（1）求抛物线的解析式及点M 的坐标；（2）联接CM ，点Q 是射线CM 上的一个动点，当QMB ∆与COM ∆相似时，求直线AQ 的解析式．【答案：（1）根据题意：04C （，）∵4OC OA = ∴0A （-1，）把点A 代入得4045m =--+ 解得∴抛物线的解析式∴（2）根据题意得：3BM =，2tan CMO ∠=，直线CM ：4y x =+ （i ）当90COM MBQ ∠=∠=︒时，COM QBM ∆∆∽ ∴2BQtan BMQ BM∠== ∴6BQ =即5,6Q -（）∴AQ ：（ii ）当90COM BQM ∠=∠=︒时，COM BQM ∆∆∽ 同理Q （） ∴AQ ：】例3.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，5=AB ，43tan =B ，点D 是BC 的中点，点E 是AB 边上的动点，DE DF ⊥交射线AC 于点F ．（1）求AC 和BC 的长；（2）当EF BC //时，求BE 的长；（3）联结EF ，当DEF ∆和ABC ∆相似时，求BE 的长．【答案：解：（1）在中，∠C ∵43tan ==BC AC B ，∴设k AC 3=，k BC 4= ∴55==k AB ，∴1=k ∴3=AC ，4=BC（2）过点E 作BC EH ⊥，垂足为H ．A C易得EHB ACB ∆∆∽设k CF EH 3==，k BH 4=，k BE 5=∵EF BC //∴FDC EFD ∠=∠∵︒=∠=∠90C FDE ∴EFD FDC ∆∆∽ ∴CDFDFD EF =∴CD EF FD ⋅=2 即)44(2492k k -=+化简，得04892=-+k k 解得91324±-=k （负值舍去）∴92013105-==k BE（3）过点E 作BC EH ⊥，垂足为H ．易得EHB ACB ∆∆∽ 设k EH 3=，k BE 5=∵︒=∠+∠90HDE HED ︒=∠+∠90HDE FDC ∴FDC HED ∠=∠∵︒=∠=∠90C EHD ∴EHD DCF ∆∆∽∴DFDECD EH =当DEF ∆和ABC ∆相似时，有两种情况：①43==BC AC DF DE ；∴43=CD EH 即4323=k 解得21=k ∴255==k BE②34==AC BC DF DE ；∴34=CD EH 即3423=k 解得98=k∴9405==k BE综合①、②，当DEF ∆和ABC ∆相似时，BE 的长为25或940．】3、动点直角三角形三角比问题例4.已知：如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2BC =，4AC =，P 是斜边AB 上的一个动点，PD AB ⊥，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且EPD A ∠=∠．设A 、P 两点的距离为x ，BEP ∆的面积为y ．（1）求证：2AE PE =；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP ∆与ABC ∆相似时，求BEP ∆的面积．【答案：（1）∵90APD C ∠=∠=︒，A A ∠=∠，∴ADP ABC ∆∆∽．∴21==AC BC AP PD ． ∵EPD A ∠=∠，PED AEP ∠=∠，∴EPD EAP ∆∆∽． ∴21==AP PD AE PE ． ∴2AE PE =．（2）由EPD EAP ∆∆∽，得21==AP PD PE DE ，∴2PE DE =． ∴24AE PE DE ==．作EHAB ⊥，垂足为点H ．∵AP x =，∴x PD 21=．∵PD HE //，∴34==AD AE PD HE ．∴x HE 32=．又∵52=AB ，∴x x y 32)52(21⋅-=，即x x y 352312+-=．定义域是5580<<x ．另解：由EPD EAP ∆∆∽，得21==AP PD PE DE ，∴2PE DE =． ∴24AE PE DE ==．ABD E∴x x AE 3522534=⨯=．∴12233ABE S x x ∆⋅⨯==．∴AB BP S S ABE BEP =∆∆，即5252352x xy-=．∴x x y 352312+-=．定义域是5580<<x ．（3）由PEH BAC ∆∆∽，得AC AB HE PE =，∴x x PE 352532=⋅=．当BEP ∆与ABC ∆相似时，只有两种情形：90BEP C ∠=∠=︒或90EBP C ∠=∠=︒．（i ）当90BEP ∠=︒时，AB BC PB PE =，∴515235=-x x．解得453=x ． ∴1625453352516931=⨯+⨯⨯-=y ．（ii ）当90EBP ∠=︒时，同理可得253=x ，45=y ．】PGABCDFPGABCD例5.已知ABC ∆为等边三角形，6AB =，P 是AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），过点P 作AB 的垂线与BC 相交于点D ，以点D 为正方形的一个顶点，在ABC ∆内作正方形DEFG ，其中D 、E 在BC 上，F 在AC 上，（1）设BP 的长为x ，正方形DEFG 的边长为y ，写出y 关于x 的函数解析式及定义域；（2）当2BP =时，求CF 的长；（3）GDP ∆是否可能成为直角三角形？若能，求出BP 的长；若不能，请说明理由.【答案：（1）∵ABC ∆为等边三角形， ∴60B C ∠=∠=︒，6AB BC AC ===. ∵DP AB ⊥，BP x =，∴2BD x = 又∵四边形DEFG 是正方形， ∴EF BC ⊥，EF DE y ==， ∴y EC 33=. ∴6332=++y y x ， ∴339)33(-+-=x y .（≤<3）（2）当2BP =时，3392)33(-+⨯-=y 33-=.DEFBC23232-==y CF .（3）GDP ∆能成为直角三角形. ①90PGD ∠=︒时，y y x +=-36，61)3)9x x -=⋅+-得到：113630-=x . ②90GPD ∠=︒时，y x x 234+=， ⋅+=234x x ]339)33[(-+-x ，得到：336-=x .∴当GDP ∆为直角三角形时，BP 的长为113630-或者336-=x .】DABCGP EF4. 二动点直角三角形勾股定理问题例6.如图，AOB ∆的顶点A 、B 在二次函数21332y x bx =-++的图像上，又点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，tan 1ABO ∠=．（1）求此二次函数的解析式；（2）过点A 作AC BO //交上述函数图像于点C ，点P 在上述函数图像上，当POC ∆与ABO ∆相似时，求点P【答案：（1）∵点A 在二次函数23312++-=bx x y 的图像上，)23,0(A 在Rt AOB ∆中，︒=∠90AOB ∵1tan ==∠BO AO ABO ，∵23==AO BO ，∴)0,23(-B ∵点B 在二次函数23312++-=bx x y 的图像上 ∴02323)23(312=+--⨯-b ∴21=b ∴2321312++-=x x y （2）∵AC BO //交上述函数图像于点C ，∴设)23,(x C ∴232321312=++-x x ，解得23,021==x x ∵)23,23(C ∴23==AO AC ，223=OC 设抛物线2321312++-=x x y 与x 轴的另一交点为D 可得，)0,3(D∴223)230()233(22=-+-=CD ，3=OD ∴222OD CD OC =+，∴︒=∠90OCD易得，Rt OCA Rt ABO ∆∆∽，Rt ODC Rt ABO ∆∆∽ ∴)23,0(P 或)0,3(P 】课后练习练1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C -，点P 是直线BC 下方抛物线上的任意一点；（1）求这个二次函数2y x bx c =++的解析式；（2）联结PO 、PC ，并将POC ∆沿y 轴对折，得到四边形POP C '，如果四边形POP C '为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，能使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与AOC ∆相似，请求出此时点P 的坐标．【答案：】练2．如图，直角坐标平面内的梯形OABC ，OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，//OA BC ，点E 在对角线OB 上，点D 在OC 上，直线DE 与x 轴交于点F ，已知2OE EB =，3CB =，6OA =，BA =5OD =．（1）求经过点A 、B 、C 三点的抛物线解析式：（2）求证：ODE OBC ∆∆∽：（3）在y 轴上找一点G ，使得OFG ODE ∆∆∽，直接写出点G 的坐标．【答案：（1）2163y x x =-++或者436)23(312+--=x y（2）24E （，），OE =，OB =OE OC OD OB==，DOE BOC ∠=∠ 故得证（3）05（，）、05-（，）、020（，）、020-（，）】练3．已知：如图，二次函数22416333y x x =--的图像与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），抛物线的顶点为Q ，直线QB 与y 轴交于点E ．（1）求点E 的坐标；（2）在x 轴上方找一点C ，使以点C 、O 、B 为顶点的三角形与BOE ∆相似，请直接写出点C 的坐标．【答案：（1）令0y =，得224160333x x --= 解方程得122,4x x =-=(4,0)B 又22(1)63y x =-- ∴(1,6)Q -设直线BQ ：(0)y kx b k =+≠406k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得28y x =-(0,8)E ∴-（2）12345616848(0,2),(0,8),(4,2),(4,8),(,),(,)5555C C C C C C 】练4．已知：正方形ABCD 的边长为4，点E 为BC 边的中点，点P 为AB 边上一动点长，沿PE 翻折BPE ∆得到FPE ∆，直线PF 交CD 边于点Q ，交直线AD 于点G ．（1）如图，当 1.5BP =时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线AD 上时，设BP x =，DG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）延长EF 交直线AD 于点H ，若CQE FHG ∆∆∽，求BP 的长．【答案：（1）由题意，得,90,BE EF PFE B BEP FEP =∠=∠=︒∠=∠ ∵点E 为BC 的中点22BE EC EF EC ∴==∴== 又90,EFQ C EQ EQ ∠=∠=︒=∴EFQ ECQ ∆∆≌,90FEQ CEQ BEP CEQ ∴∠=∠∴∠+∠=︒又90BPE BEP BPE CEQ ∠+∠=︒∴∠=∠90B C ∠=∠=︒∴BPE CEQ ∆∆∽ 1.522BP BE EC QC CQ ∴==即83CQ ∴= （2）由（1）知：BPE CEQ ∆∆∽，BP BE EC CQ ∴= 242x CQ CQ x ∴=∴=44DQ x ∴=- ∵QD AP //4,4DG DQ AP x AG y AG AP∴==-=+又 4444y x y x -∴=+-21616(12)4x y x x -∴=<<-（3）由题意知：90C GFH ∠︒∠＝＝①当点G 在线段AD 的延长线上时，由题意知：G CQE ∠∠＝∵CQE FQE ∠∠＝∴22DQC FQC CQE G ∠∠∠∠＝＝＝∴90DQG G ∠+∠︒＝∴30G ∠︒＝∴30BQP CQE G ∠∠∠︒＝＝＝tan30BP BE ∴=⋅︒=②当点G 在线段DA 的延长线上时，由题意知：G QCE ∠=∠同理可得：30G ∠=︒30BPE G ∴∠=∠=︒cot30BP BE ∴=⋅︒=综上所述，BP 】课后小测验1.如图，二次函数2y x bx c =++图像经过原点和点(2,0)A ，直线AB 与抛物线交于点B ，且45BAO ∠=︒．（1）求二次函数解析式及其顶点C 的坐标；（2）在直线AB 上是否存在点D ，使得BCD ∆为直角三角形．若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由．【答案：（1）（2）由可以知道直线AB 的一次项系数为-1,从而可求得直线AB 的解析式为.当时.根据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1可求得直线CD 的解析式为,将与联立可求得点D 的坐标为;当时.将与联立得求得点B 的坐标为,然后根据待定系数法求得直线BC 的解析式为直线BC 的解析式为,根据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1可求得直线CD 的解析式为,将与联立可求得点D 的坐标为。

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题(含解析)

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题（含解析）一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。

类型一：三垂直模型1.（雅礼）如图，点A 是双曲线()80y x x=<上一动点，连接OA ，作OB OA ⊥，使2OA OB =，当点A 在双曲线()80y x x =<上运动时，点B 在双曲线ky x=上移动，则k 的值为.【解答】解：过A 作AC ⊥y 轴于点C ，过B 作BD ⊥y 轴于点D ，∵点A 是反比例函数y ＝（x ＜0）上的一个动点，点B 在双曲线y ＝上移动，∴S △AOC ＝×|﹣8|＝4，S △BOD ＝|k |，∵OB ⊥OA ，∴∠BOD +∠AOC ＝∠AOC +∠OAC ＝90°，∴∠BOD ＝∠OAC ，且∠BDO ＝∠ACO ，∴△AOC ∽△OBD ，∵OA ＝2OB ，∴＝（）2＝，∴＝，∴|k |＝2．∴k ＜0，∴k ＝﹣2，故答案为：﹣2．2.（青竹湖）如图，︒=∠90AOB ，反比例函数()04<-=x xy 的图象过点()a A ,1-，反比例函数xky =()0,0>>x k 的图象过点B ，且x AB //轴，过点B 作OA MN //，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，交双曲线x ky =于另一点，则OBC ∆的面积为.【解答】解：∵反比例函数的图象过点A （﹣1，a ），∴a ＝﹣＝4，∴A（﹣1，4），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE＝4，OE＝1，∵AB∥x轴，∴BF＝4，∵∠AOB＝90°，∴∠EAO+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，∴∠EAO＝∠BOF，∴△AEO∽△OFB，∴＝，∴OF＝16，∴B（16，4），∴k＝16×4＝64，∵直线OA过A（﹣1，4），∴直线AO的解析式为y＝﹣4x，∵MN∥OA，∴设直线MN的解析式为y＝﹣4x+b，∴4＝﹣4×16+b，∴b＝68，∴直线MN的解析式为y＝﹣4x+68，∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，∴M（17，0），N（0，68），解得，或，∴C（1，64），﹣S△OCN﹣S△OBM＝﹣﹣＝510，∴△OBC的面积＝S△OMN故答案为510．3．（广益）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为．【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，∵∠OAB＝90°，∴∠OAM+∠BAN ＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BAN＝∠AOM，∴△AOM∽△BAN，∴＝，∵点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，∴A（2，），B（k，1），∴OM＝2，AM＝，AN＝﹣1，BN＝k﹣2，∴＝，解得k1＝2（舍去），k2＝8，∴k的值为8，故答案为：8．4．（长沙中考2020）在矩形ABCD 中，E 为DC 上的一点，把ADE ∆沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：ABF FCE∆∆:（2）若23,4AB AD ==，求EC 的长；（3）若2AE DE EC -=，记,BAF FAE αβ∠=∠=，求tan tan αβ+的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠BAF=∠CFE ，∴△ABF ∽△FCE ．（2）解：∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴AF=AD=4，∴()22224232AF AB --，∴CF=BC-BF=AD-BF=2，由（1）得△ABF ∽△FCE ，∴CE CF BF AB =，∴2223CE =，∴EC=233（3）解：由（1）得△ABF ∽△FCE ，∴∠CEF=∠BAF=α，∴tan α+tan β=BF EF CE EFAB AF CF AF+=+，设CE=1，DE=x ，∵2AE DE EC -=，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，2244AE DE x -=+∵△ABF ∽△FCE ，∴AB CF AF EF =2144x x x x -=+(211121x x x xx ++-+ ，∴112x x +=，∴1x x =-x 2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，213x -=，EF=x=2，AF=2244AE DE x -=+=23tan α+tan β=CE EF CF AF +33323．5.（广益）矩形ABCD中，8AB=，12AD=，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；（2）如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图2【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠BEP＝90°，由折叠知，∠DPE＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠CPD＝90°，∴∠BEP＝∠CPD，∵∠B＝∠C＝90°，∴△EBP∽△PCD；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝12，由折叠知，PE＝AE，DP＝AD＝12，在Rt△DPC中，CP＝＝4，∴BP＝BC﹣CP＝12﹣4，在Rt△PBE中，PE2﹣BE2＝BP2，∴AE2﹣（8﹣AE）2＝（12﹣4）2，∴AE＝18﹣6；（2）如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x，∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴＝，∴＝，∴BF＝3．6．（长郡）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知点Q 是射线OC 上一点，182OQ =，点P 是x 轴正半轴上一点，tan 1POC ∠=，连接PQ ，A 经过点O 且与QP 相切于点P ，与边OC 相交于另一点D ．(1)若圆心A 在x 轴上，求A 的半径；(2)若圆心A 在x 轴的上方，且圆心A 到x 轴的距离为2，求A 的半径；(3)在（2）的条件下，若10OP <，点M 是经过点O ，D ，P 的抛物线上的一个动点，点F 为x 轴上的一个动点，若满足1tan 2OFM ∠=的点M 共有4个，求点F 的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵圆心A 在x 轴上，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，∴PQ ⊥x 轴，OP 为直径，∵tan ∠POC ＝1，，∴PQ ＝OP ，∵在Rt △OPQ 中，．∴OP ＝18．∴⊙A 的半径为9；（2）如图所示，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点Q 作QB ⊥x 轴于B ，连接AP ，∵PQ是⊙A的切线，∴AP⊥PQ，则∠APQ＝90°，∵AM⊥x轴，QB⊥x轴，∴∠AMP＝∠PBC＝90°，∴∠PAM＝90°﹣∠APM＝∠QPB，∴△APM∽△PBQ，∴，∵tan∠POC＝1，QB＝18，∴OB＝QB＝18，∵AM＝2，设MP＝MO＝x，∴PB＝18﹣2x，∴，解得x＝3或x＝6，∴MO＝3或MO＝x，∴A（3，2）或A（6，2），∴AP＝＝或AP＝＝2．∴半径为或2．（3）∵OP＜10，∴BO＝3，P（6，0），∴A（3，2），∵tan∠POC＝1，设D（a，a），∵，∴（3﹣a）2+（2﹣a）2＝13，解得：a＝0或a＝5，∴D（5，5），设抛物线解析式为y＝ax2+bx，将点P（6，0），D（5，5）代入得，，解得：，∴y＝﹣x2+6x，∵点F可能在点O的左边或点P的右边，，则|K FM|＝，设直线MF：或，联立，，得或，当或，解得：或，∴直线MF：或，令y＝0，解得：或，∴或．7.（麓山国际）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为；（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．＝AC•AB，【解答】解：（1）如图1，设∠A＝90°，AC≤AB，S△ABC①若AC＝，i）AB＝AC＝2，∴S＝，ii）BC＝AC＝2，则AB＝，∴S＝，②若AB＝，i）AB＝AC，即AC＝，∴S＝，ii）BC＝AB＝2，则AC＝∴S＝，③若BC＝，若AB＝AC＝＝1，∴S＝，若AB＝AC，AB＝，，S＝××＝，故答案为：或1或或或．（2）证明：如图2，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，∠B＝30°，∴BC＝2CD，∠BCD＝90°﹣∠B＝60°，∵∠ACB＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°，∴Rt△ACD中，AD＝CD，∴AC＝，∴，∴△ABC是智慧三角形．（3）∵△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，∴BC＝AB，∵△ABC是直角三角形，∴AB不可能为斜边，即∠ACB≠90°∴∠ABC＝90°或∠BAC＝90°①当∠ABC＝90°时，过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥EB于F，过C作CG⊥x轴于G，如图3，∴∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°，∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△BCF∽△ABE，∴，设AE＝a，则BF＝AE＝a，∵A（3，0），∴OE＝OA+AE＝3+a，∵B的纵坐标为，即BE＝，∴CF＝BE＝2，CG＝EF＝BE+BF＝，B（3+a，），∴OG＝OE﹣GE＝OE﹣CF＝3+a﹣2＝1+a，∴C（1+a，），∵点B、C在在函数y＝上（x＞0）的图象上，∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝1，∴k＝，②当∠BAC＝90°时，过C作CM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，如图4，∴∠CMA＝∠ANB＝∠BAC＝90°，∴∠MCA+∠MAC＝∠MAC+∠NAB＝90°，∴∠MCA＝∠NAB，∴△MCA∽△NAB，∵BC＝，∴2AB2＝BC2＝AB2+AC2，∴AC＝AB，∴△MCA≌△NAB（AAS），∴AM＝BN＝，∴OM＝OA﹣AM＝3﹣，设CM ＝AN ＝b ，则ON ＝OA +AN ＝3+b ，∴C （3﹣，b ），B （3+b ，），∵点B 、C 在在函数y ＝上（x ＞0）的图象上，∴（3﹣）b ＝（3+b ）＝k解得：b ＝，∴k ＝18+15，综上所述，k 的值为或。

2013中考数学压轴题几何与函数问题精选解析(三)

12013中考数学压轴题几何与函数问题精选解析(三)例5如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由. 解析（1） Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠= ，B B ∠=∠． BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯= ．（2）QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．C C ∠=∠ ，RQC ABC ∴△∽△，RQ QC AB BC ∴=，10610y x-∴=，即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+．（3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠= ，290C ∠+∠= ， 1C ∴∠=∠．84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， A BCD ER P H QABCD ERP H QM 2 1。

中考数学直角三角形的边角关系-经典压轴题

∴ PD = PE = DE =2， DO DE OE
∴ DE=2OE,
在
Rt△
OED
中，OE2+DE2=OD2，即
5OE2=
5 2
2
=
25 4
，
∴ OE= 5 ． 2
【点睛】本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用
tan∠ PDA= 3 ，得线段的长是解题关键. 4
∴ ∠ GBO=∠ EPO ．∴ △ BOG≌ △ POE（AAS）．
（2） BF 1 ．证明如下： PE 2
如图，过 P 作 PM//AC 交 BG 于 M，交 BO 于 N，
∴ ∠ PNE=∠ BOC=900， ∠ BPN=∠ OCB．
∵ ∠ OBC=∠ OCB =450， ∴ ∠ NBP=∠ NPB．
则 BE=（3 3 +3）米．
在直角△ BEQ 中，QE= 3 BE= 3 （3 3 +3）=（3+ 3 ）米． 33
∴ PQ=PE-QE=9+3 3 -（3+ 3 ）=6+2 3 ≈9（米）．
答：电线杆 PQ 的高度约 9 米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
2．在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 P 在线段 BC 上（不含点 B），
（1）由正方形的性质可由 AAS 证得△ BOG≌ △ POE．
（2）过 P 作 PM//AC 交 BG 于 M，交 BO 于 N，通过 ASA 证明△ BMN≌ △ PEN 得到
BM=PE，通过 ASA 证明△ BPF≌ △ MPF 得到 BF=MF，即可得出 BF 1 的结论． PE 2

压轴题05 三角函数与解三角形范围与最值问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题05三角函数与解三角形范围与最值问题三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．考向一：ω取值与范围问题考向二：面积与周长的最值与范围问题考向三：长度的范围与最值问题1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin222S ab C ac B bc A===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．一、单选题1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数π()sin cos (0)6f x x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（）A ．131,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．7,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．131,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】π1()sin cos sin sin 62f x x x x x x ωωωωω⎫⎛⎫=-+=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3sin cos 22x x ωω=-1sin cos 22x x ωω⎫=-⎪⎪⎭π6x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为()f x 在 [0,π]上仅有2个零点，当 [0,π]x ∈时，πππ,π666x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦（0ω>），所以πππ6ππ2π6ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得71366ω≤<．故选：B.2．（2023·吉林长春·统考三模）已知函数()π2cos 13f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（0ω>）的图象在区间()0,2π内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．25,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．57,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()0,2πx ∈，0ω>，所以πππ,2π333x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，画出2cos 1y z =+的图象，要想图象在区间()0,2π内至多存在3条对称轴，则ππ2π,3π33ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，解得50,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：A3．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）已知函数())π2sin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（）A ．75,93⎛⎤⎥⎝⎦B ．75,93⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1010,93⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1010,93⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】由题意知π3sin 62x ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有两个解．因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3ππ,6646x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则需2π3ππ7π3463ω≤-<，解得101093ω≤<．故选：C4．（2023·广西·统考一模）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于180︒的四边形.已知在平面凸四边形ABCD 中，30,105,2A B AB AD ∠=︒==︒∠=，则CD 的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎣⎭C ．⎣⎭D ．212⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A【解析】在ABD △中，由余弦定理得：2222cos 3422cos301BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯=，显然2224AB BD AD +==，即90ABD ∠=o ，60ADB ∠=o ，在BCD △中，1BD =，15CBD ∠= ，因为ABCD 为平面凸四边形，则有0120BDC <∠< ，因此45165BCD <∠< ，而62sin165sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 302==-=-=，由正弦定理sin sin CD BD CBD BCD =∠∠得：sin 62sin 4sin BD CBD CD BCD BCD∠==∠∠，当4590BCD <∠≤ 时，sin 12BCD <∠≤，当90165BCD <∠< 时，sin 1BCD <∠<，sin 1BCD <∠≤，11sin BCD ≤<∠1CD ≤<，所以CD 的取值范围是62[4.故选：A5．（2023·全国·校联考二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，若2222b a c =+，则△ABC 面积的最大值为（）A ．2B ．34C ．1D ．32【答案】D【解析】因为2222b a c =+，所以()222cos ,0,π22a c b aB B ac c+-==-∈，所以sin B =42c=，所以△ABC 的面积14sin 24ABCS ac B == =222194122a c a +-⨯()22421122a c +=⨯32=，当且仅当22249c a a -=，即a c ==ABC 面积的最大值为32.故选:D6．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知60B = ，4b =，则ABC 面积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】B【解析】由余弦定理可得22222162cos 2b a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+-≥-=，即16ac ≤，当且仅当4a c ==时，等号成立，故1sin 162ABC S ac B ac =⨯= .因此，ABC面积的最大值为故选：B.7．（2023·全国·模拟预测）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>是在区间π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上的单调减函数，其图象关于直线π36x =-对称，且f （x ）的一个零点是7π72x =，则ω的最小值为（）A ．2B ．12C ．4D ．8【答案】C【解析】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象关于直线π36x =-对称，所以πππ362n ωϕ-⋅+=+，n ∈Z ，所以ϕ=1π236n ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，n ∈Z ，根据π5π1836x <<，则π5π1836x ωωω<<，所以π5π1836x ωωϕωϕϕ+<+<+，因为()()sin f x x ωϕ=+是在区间π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上的单调减函数.所以ππ2π,1825π3π2π,362k k k k ωϕωϕ⎧+≥+∈⎪⎪⎨⎪+≤+∈⎪⎩Z Z ，所以π1ππ2π,,1823625π13ππ2π,,362362n k n k n k n k ωωωω⎧⎛⎫+++≥+∈∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++≤+∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎩Z Z Z Z ，即112,,1823625132,,362362n k n k n k n k ωωωω⎧⎛⎫+++≥+∈∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+++≤+∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎩Z Z Z Z ，解得()()122621k n k n ω-≤≤-+，n ∈Z ，k ∈Z ，因为0ω>，所以20k n -=或21k n -=，当20k n -=时，06ω<≤，当21k n -=时，1212ω≤≤；由于π7π5π187236<<，且f （x ）的一个零点是7π72x =，所以()7π21π72m ωϕ⨯+=+，m ∈Z ，所以()7π1π21π72236n m ωω⎛⎫⨯+++=+ ⎪⎝⎭，m ∈Z ，n ∈Z ，即()824m n ω=-+，m ∈Z ，n ∈Z .根据06ω<≤或1212ω≤≤，可得4ω=，或12ω=，所以ω的最小值为4.故选：C.二、多选题8．（2023·安徽滁州·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 为等腰三角形，顶角OAB θ∠=，点()3,0D 为AB 的中点，记△OAB 的面积()S f θ=，则（）A ．()18sin 54cos f θθθ=-B ．S 的最大值为6C ．AB 的最大值为6D ．点B 的轨迹方程是()22400x y x y +-=≠【答案】ABD【解析】由OAB θ∠=，OA AB =，()3,0D 为AB 的中点，若(,)A x y 且0y ≠，则(6,)B x y --，故222222(62)(2)4(3)4x y x y x y +=-+-=-+，整理得：22(4)4x y -+=，则A 轨迹是圆心为(4,0)，半径为2的圆（去掉与x 轴交点），如下图，由圆的对称性，不妨令A 在轨迹圆的上半部分，即02A y <≤，令22OA AB AD a ===，则222||||2cos OD OA AD OA AD θ=+-，所以2254cos 9a a θ-=，则2954cos a θ=-，所以2118sin sin 2sin 254cos OAB OAD OBD S S S OA AB a θθθθ=+===- ，A 正确；由113(0,6]22OAB OAD OBD A B A S S S y OD y OD y =+=⋅+⋅=∈ ，则S 的最大值为6，B 正确；由下图知：(2,6)OA AB =∈，所以AB 无最大值，C 错误；令(,)B m n ，则60A A x my n =-⎧⎨=-≠⎩代入A 轨迹得22(2)4m n -+=，即2240m m n -+=，所以B 轨迹为2240x x y -+=且0y ≠，D正确；故选：ABD三、填空题9．（2023·青海·校联考模拟预测）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且()2sin 2sin cos sin 2c B A a A B b A -=+，则ca的取值范围是______．【答案】()1,2【解析】由正弦定理和正弦二倍角公式可得()2sin sin 2sin sin cos sin sin 2C B A A A B B A-=+()2sin sin cos 2sin sin cos 2sin sin cos sin cos A A B B A A A A B B A =+=+()2sin sin A A B =+，因为π0<<,π2C C A B -=+，所以()()0s s in s in πin C A C B =-=≠+，可得()sin sin B A A -=，因为ππ0022A B <<<<，，所以ππ22B A -<-<，所以2B A =，π3C A =-，由202πB A <=<，203ππC A <<=-可得ππ64A <<，cos 22A <<，213cos 24A <<，由正弦定理得()sin 2sin sin 3sin 2cos cos 2sin sin sin sin sin A A c C A A A A Aa A A A A++====()222cos cos 24cos 11,2A A A =+=-∈.故答案为：()1,2.10．（2023·上海金山·统考二模）若函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，则ω的取值范围是__________.【答案】506ω<≤【解析】因为0ω>，()0,πx ∈，所以ππππ333x ωω-<-<-，又因为函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，所以πππ32ω-≤，解得506ω<≤，所以ω的取值范围是506ω<≤故答案为：506ω<≤.11．（2023·全国·校联考二模）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin b B a A a C =+，则3b ca-的取值范围是______.【答案】132,]4【解析】由sin sin sin b B a A a C =+,得22b a ac =+,由余弦定理得2222cos 222b c a c ac a cA bc bc b+-++===,由正弦定理得sin sin cos 22sin a c A C A b B++==,即s sin 2sin c i o n s C B A A +=,又()sin sin C A B =+，所以sin sin cos cos sin 2cos sin A A B A B A B ++=,即sin sin os sin cos A Bc A A B =-,所以()sin sin A B A =-，因为,A B 为ABC 的内角,所以πB A A -+=(舍去)或B A A -=,所以2B A =.由正弦定理得33sin sin 3sin 2sin()3sin 2sin 3sin sin sin b c B C A B A A Aa A A A---+-===因为()2sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin 2sin cos cos 2sin A A A A A A A A A A A =+=+=+,又(0,π),sin 0A A ∈≠，所以236sin cos 2sin cos cos 2sin sin b c A A A A A Aa A---=2226cos 2cos cos 26cos 2cos 2cos 1A A A A A A =--=--+223134cos 6cos 14(cos )44A A A =-++=--+,由于π2(0,)2B A =∈得π(0,)4A ∈，由πππ3(0,)2C A B A =--=-∈，得ππ(,)63A ∈，则ππ(,)64A ∈，所以2cos 2A ∈，当3cos 4A =时，23134(cos )44A --+取最大值134，当cos A =23134(cos )44A --+等于2，当cos A =23134(cos )44A --+等于1，而21>，所以3b ca -取值范围是132,]4，故答案为：132,]412．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，线段AB 的长为8，点C 在线段AB 上，2AC =．点P 为线段CB 上任意一点，点A 绕着点C 顺时针旋转，点B 绕着点P 逆时针旋转．若它们恰重合于点D ，则CDP △的面积的最大值为__________．【答案】【解析】由题意可知，6C AB C B A =-=，即6PC PB +=.在CDP △中，有CD AC 2==，DP PB =，所以6PC DP +=.由余弦定理可得，()222224cos 22PC DP PC DP PC DP CD CPD PC DP PC DP+-⋅-+-∠==⋅⋅3624162PC DP PC DP PC DP PC DP-⋅--⋅==⋅⋅，所以22sin 1cos CPD CPD ∠=-∠2161PC DP PC DP -⋅⎛⎫=- ⎪⋅⎝⎭2221632PC DP PC DP -+⋅=⋅，所以有221sin 2CDPS PC PD CPD ⎛⎫=⋅∠ ⎪⎝⎭△22221256324PC DPPC DP PC DP -+⋅=⋅⋅⋅⋅864PC DP =⋅-2864896482PC DP +⎛⎫≤-=⨯-= ⎪⎝⎭，当且仅当3PC PB ==时，等号成立.所以，28CDP S ≤△，所以，CDP S ≤△CDP △的面积的最大值为故答案为：四、解答题13．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①sin sin 2B Cc a C +=；②sin 1cos a C A=-；③ABC )222b c a +-.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1）选择①：由正弦定理可得，sin cossin sin 2AC A C =，因为(0,π),sin 0C C ∈>，所以cossin 2A A =，即cos 2sin cos 222A A A =，因为π022A <<，所以cos 02A >，所以1sin 22A =，所以π26A =，即π3A =；选择②sin 1cos a CA=-，则sin cos a C A =，由正弦定理得sin sin cos A C C C A =-，因为(0,π),sin 0C C ∈>，所以sin A A =，即π3sin 32A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ4π333A <+<，所以π2π33A +=，即π3A =；选择③：由()2221sin 42ABC S b c a bc A =+-= ，222sin 2b c a A bc+-=sin A A =，所以tan A =0πA <<，故π3A =.（2）方法一：πsin sin sin sin 3B C B B ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1sin sin cos 22B B B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭21sin sin cos 22B B B =+11cos244B B =-11πsin 2426B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为2π03B <<，所以ππ7π2666B -<-<，所以1πsin 2126B ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以11π3024264B ⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，即sin sin B C 的取值范围为30,4⎛⎤⎥⎝⎦.方法二：由余弦定理，222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，再由正弦定理，222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，因为π3A =，所以223sin sin sin sin 2sin sin sin sin 4B C B C B C B C =+-≥-，即3sin sin 4B C ≥，当且仅当sin sin 2B C ==时“=”成立.又因为sin 0B >，sin 0C >，所以30sin sin 4B C <≤，即sin sin B C 的取值范围为30,4⎛⎤⎥⎝⎦.14．（2023·陕西榆林·统考三模）已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，4AB AC ⋅=，且sin 8sin ac B A =．(1)求A ；(2)求sin sin sin A B C 的取值范围．【解析】（1）cos 4AB AC bc A ⋅==，由sin 8sin ac B A =及正弦定理，得8abc a =，得8bc =，代入cos 4bc A =得1cos 2A =，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）由（1）知π3A =，所以2ππ3C A B B =--=-.所以2ππsin sin sin sin sin 33A B C B B B B ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213cos sin sin cos sin 22244B B B B B B ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭3sin 228B B =+π2468B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为2π03B <<,所以ππ7π2666B -<-<，所以1πsin 2126B ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以3π333024688B ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，故sin sin sin A B C 的取值范围是⎛ ⎝⎦.15．（2023·上海浦东新·统考二模）已知,0R ωω∈>，函数cos y x x ωω-在区间[0,2]上有唯一的最小值-2，则ω的取值范围为______________．【解析】πcos 2sin 6y x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为[]0,2x ∈，0ω>，所以πππ,2666x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为函数π2sin 6y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2x ∈上有唯一的最小值-2，所以π3π7π2,622ω⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，解得5π11π,66ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故ω的取值范围是5π11π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：5π11π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．（2023·浙江金华·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ．已知ABC 的面积4ac S =，其外接圆半径2R =，且()224cos cos ()sin A B b B -=．(1)求sin A ；(2)若A 为钝角，P 为ABC 外接圆上的一点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的取值范围．【解析】（1）由1sin 42ac S ac B ==，得1sin 2B =，()()()()2222224cos cos 41sin 1sin 4sin sin A B A B B A ⎡⎤-=---=-⎣⎦，由正弦定理24sin sin a bR A B===，4sin ,4sin a A b B ==，则2()sin 4sin 4sin b B B A B =-，由()224cos cos ()sin A B b B -=，得()2224sin sin 4sin 4sin B A B A B -=-，化简得2sin sin A A B =，由()0,πA ∈，sin 0A ≠，解得sin A B =，因此sin A =.（2）由（1）得，若A 为钝角，则120A =o ，则3030B C == ，，如图建立平面直角坐标系，则(0,2),(A B C ，设(2cos ,2sin )P θθ．则(2cos ,22sin )PA θθ=-- ，(2cos ,12sin )PB θθ=- ，2cos ,12sin )PC θθ=-，有66sin PA PB θθ⋅=-+ ，66sin PA PC θθ⋅=-- ，24sin PB PC θ⋅=-，则1416sin PA PB PA PC PB PC ⋅+⋅+⋅=-θ．由sin [1,1]θ∈-，则1416sin [2,30]-∈-θ，所以PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的取值范围为[2,30]-.17．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象是由π2sin 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到的.(1)若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的图象与y 轴距离最近的对称轴方程；(2)若()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个零点，求ω的取值范围.【解析】（1）由2ππω=，得2ω=，所以()πππ2sin 22sin 2666f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令ππ2π62x k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x =+，k ∈Z ，取0k =，得π3x =，取1k =-，得π6x =-，因为ππ63-<，所以与y 轴距离最近的对称轴方程为π6x =-.（2）由已知得()()1πππ2sin 2sin666f x x x ωωω-⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令()1ππ6x k ωω-+=，k ∈Z ，解得61π6k x ωω+-=，k ∈Z .因为()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个零点，所以π613ππ26267ππ<62653ππ>62k k k ωωωωωω+-⎧≤≤⎪⎪+-⎪⎨⎪++⎪⎪⎩()k ∈Z 所以616182676528k k k k ωω--⎧≤≤⎪⎪⎨-+⎪<<⎪⎩.因为0ω>，所以616102861026567082k k k k k --⎧-≥⎪⎪⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩，解得133618k <<，k ∈Z ，所以1k =，解得51188ω≤<，即ω的取值范围为511,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18．（2023·山东德州·统考一模）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos c b A b -=．(1)求证：2A B =；(2)若A 的角平分线交BC 于D ，且2c =，求ABD △面积的取值范围．【解析】（1）因为2cos c b A b -=，由正弦定理得sin 2sin cos sin C B A B -=又πA B C ++=，所以()()sin 2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B A A B A B A B B+-=-=-=因为ABC 为锐角三角形，所以π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,22A B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又sin y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以A B B -=，即2A B =；（2）由（1）可知，2A B =，所以在ABD △中，ABC BAD ∠=∠，由正弦定理得：()2sin sin π2sin2AD AB B B B ==-，所以1cos AD BD B==，所以1sin sin tan 2cos ABD BS AB AD B B B=⨯⨯⨯== ．又因为ABC 为锐角三角形，所以π02B <<，0π22B <<，0π3π2B <-<，解得π6π4B <<，所以tan B ⎫∈⎪⎪⎝⎭，即ABD △面积的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭．19．（2023·江西吉安·统考一模）在直角坐标系xOy 中,M 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线:sin 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求M 的普通方程;(2)若D 为M 上一动点,求D 到l 距离的取值范围.【解析】（1）由22sin cos 1θθ+=得M 的普通方程为2214y x +=.（2）直线l 即sin cos 4ρθρθ+=，由cos ,sin x y ρθρθ==得直线l 的普通方程为40x y +-=，设(cos ,2sin )D θθ，则d =其中cos ϕϕ==因为cos()[1,1]θϕ-∈-,⎤⎥⎣⎦，所以D 到l 距离的取值范围为4210421022⎡⎢⎣⎦.20．（2023·江西九江·统考二模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知()()0a b c a b c ab -+--+=，sin 3cos 3cos bc C c A a C =+．(1)求c ；(2)求a b +的取值范围．【解析】（1）()()0a b c a b c ab -+--+= ，222a b c ab ∴+-=，即222122a b c ab +-=，1cos 2C ∴=，又0πC << ，π3C ∴=，sin C ∴=，sin 3cos 3cos bc C c A a C =+，sin C=sin 3(sin cos sin cos )3sin()3sin 2B cC A A C A C B∴⋅⋅=+=+=，0πB << ，即sin 0B ≠，32c =，解得c =．（2）由正弦定理得，4sin sin sin a b c A B C ===，∴4sin a A =，4sin b B =，∴4sin 4sin a b A B +=+，πA B C ++=，π3C =，∴2π3B A =-则2π4sin 4sin 3a b A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭14(sin cos sin )2A A A =+6sin A A=+π6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ABC 为锐角三角形，∴π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ππ2π,633A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴πsin ,162A ⎛⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，∴(π6,6A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即(6,a b +∈．21．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin B A Cb c b a-=-+.(1)求角A 的值；(2)若2c =，求a b +的取值范围．【解析】（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：b a cb c b a-=-+，整理得：222b c a bc +-=，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∵(0,π)A ∈，则π3A =.（2）由（1）可得：π3A =，且2c =，锐角ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin a b cA B C==，可得π2sin sin sin 31sin sin sin C c A c B a b C C C ⎛⎫+ ⎪⋅⋅⎝⎭====则)21cos 21111sin 2sin cos tan 222CC a b C C C C ++=++=+=+∵ABC 锐角三角形，且π3A =，则π02π02C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C <<，即ππ1224C <<，且ππtantanπππ34tan tan 2ππ12341tan tan 34-⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭+⋅可得()tan 22C ∈，则(114tan 2C++，故a b +的范围是(14+.22．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7b =，且sin sin sin sin a b A Cc A B+-=-.(1)求ABC 的外接圆半径R ；(2)求ABC 内切圆半径r 的取值范围.【解析】（1）由正弦定理，sin sin sin sin a b A C a cc A B a b+--==--，可得222,b a c ac =+-再由余弦定理，1cos 2B =，又()0,πB ∈，所以π3B =.因为2sin3bRB==，所以3R=.（2）由（1）可知：2249a c ac+-=，则2()493a c ac+=+.()11sin22ABCS ac B a b c r==++⋅则)23()497277ac a cr a ca c a c+-===+-++++.在ABC中，由正弦定理，sin sin sina c bA C B===,sina A c C，则)1431432πsin sin sin sin333a c A C A A⎡⎤⎛⎫+=+=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦14331sin cos sin322A A A⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭31πsin cos14sin cos14sin226A A A A A⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅=+⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又ππ2π0,,333A⎛⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππ5π,,66226A⎛⎫⎛⎫+∈⋃⎪⎝⎭⎝⎭，所以π1sin,162A⎛⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π14sin7,146A⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以r⎛∈⎝⎭.23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角ABC中，设边,,a b c 所对的角分别为,,A B C，且22a b bc-=．(1)求角B的取值范围；(2)若4c=，求ABC中AB边上的高h的取值范围．【解析】（1）因为22a b bc-=，所以2222cos 222b c a c bc c bA bc bc b+---===，所以2cos c b b A -=，sin sin 2sin cos C B B A -=，又()πC A B =-+，所以()sin sin 2sin cos A B B B A =+-，整理可得()sin sin A B B -=，所以A B B -=或πA B B -+=(舍去)，所以2A B =，又ABC 为锐角三角形，所以π02π022π0π32B A B C B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）由题可知11sin 22S ch ac B ==，即sin h a B =，又()sin 2sin sin π3a b cB B B ==-，所以4sin 2sin 3Ba B=，所以4sin 2sin 4sin 2sin sin sin 3sin 2cos cos 2sin B B B Bh a B B B B B B===+248tan 81133tan tan tan tan 2tan B B B B B B===-+-，由64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得tan B ⎫∈⎪⎪⎝⎭，所以3tan tan B B ⎛-∈ ⎝⎭，所以)4h ∈，即ABC 中AB 边上的高h 的取值范围是)4.24．（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从①2sin cos cos cos a B B C B =；②()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-；③sin 1cos Aa B=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若___________，(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，1c =，求22a b +的取值范围.【解析】（1）若选①因为2sin cos cos cos a B B C B =，由正弦定理得2sin sin cos cos cos A B B B C C B =，即sin sin (sin cos sin cos )A B B B C C B +sin()B B C =+，所以sin sin sin A B B A =，由(0,π)A ∈，得sin 0A ≠，所以sin B B =，即tan B =因为(0,π)B ∈，所以π3B =.若选②由22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-，化简得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=.由正弦定理得：222a cb ac +-=，即222122a cb ac +-=，所以1cos 2B =.因为(0,π)B ∈，所以π3B =.若选③sin A =sin sin (1cos )B A A B =+，因为0πA <<，所以sin 0A ≠，1cos B B =+，所以π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为ππ5π666B -<-<，所以π3B =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin c A a C =，sin sin 2sin c B b C C ==由（1）知：π3B =，又с=1代入上式得：222223sin 3sin 3sin()22cos 12()cos 1cos 1cos sin sin sin sin A A B C a b c ab C C C CC C C C ++=+=+⨯=+=+22π1sin()3321cos 1cos 1sin 2tan C C C C C +=+==+因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan C1tan C ∴∈，所以()2222331711,72tan 2tan 2tan 68a b C C C ⎛+=++=++∈ ⎝⎭.25．（2023·福建·统考模拟预测）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若1c =，D 为ABC 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅=，求四边形ABCD 面积的最大值.【解析】（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在ABC 中，由正弦定理得，i s n in 2sin πs 6B AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为()()sin sin πsin B A C A C =--=+，所以()πsin 2s n sin i 6A C A C ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，展开得sin cos cos sin sin sin cos 122A C A C C A A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭，即sin cos 0n sin A C C A =，因为sin 0A ≠，故cos C C =，即tan C =又因为()0,πC ∈，所以π6C =.（2）解法一：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥，故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD =.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=，ABD CBD S S S =+△△111222AB BC xyAD CD =+⋅=⋅22112222x y +≤+⋅=，当且仅当x y ==时，等号成立.所以四边形ABCD1+.解法二：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，BD 在BA上的投影向量为BA λ ，所以()2BA BD BA BA BA λλ⋅=⋅= .又22BA BD BA BA ⋅== ，所以1λ=，所以BD 在BA 上的投影向量为BA ，所以DA BA ⊥.故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =，在ABD △中，AD =.设四边形ABCD 的面积为S ，CBD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos CB θ=，2sin CD θ=，所以ABD CBD S S S =+△△1122B AD CD AB C =⋅⋅+sin 22θ=+，当π22θ=时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法三：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅= ，所以DA BA ⊥.故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD =.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则ABD CBD S S S =+△△1122AD h AB BD ⋅+⋅=2h =+，当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法四：设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，故ABC 外接圆O 的半径1R =.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=.如图2，以ABC 外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则12A ⎛ ⎝⎭，()10B ,.因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()0,2πα∈，()0,2πβ∈.所以122BA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()cos 1,sin BD ββ=- ，代入2BA BD BA ⋅= ，即1BA BD ⋅=，可得11cos 122ββ-+=，即π1sin 62β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由()0,2πβ∈可知ππ11π,666β⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以解得ππ66β-=或π5π66β-=，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ，D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O 的直径.设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 2222ABD CBD S S S BD BD αα=+=⋅+⋅=+△△，由()0,2πα∈知sin 1α≤，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1-时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为12+.26．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC ∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==(1)若BD =AD 的长；(2)求ABD △面积的最大值．【解析】（1）在BCD △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠，∴222π2cos 3CD CD =+-⨯⋅，整理得2720CD --=,解得CD =CD =-∴2222221c os27BD BC CD DBC BD BC +-∠===⋅，而2π(0,)3DBC ∠∈,故sin DBC ∠=,∴2π1311cos cos cos sin 32214ABD DBC DBC DBC ⎛⎫∠=-∠=-∠+∠= ⎪⎝⎭，故在ABD △中，2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅⋅∠221125714=+-⨯=，∴AD =（2）设,2π(0,)3CBD θθ∠=∈,则在BCD △中，sin sin BC BD BDC BCD=∠∠,则2πsin()sin π314sin()2πsin 3sin 3BC BCD BD BDCθθ-∠===+∠，所以π2π11sin sin 2214sin()()33ABD S AB BD ABD θθ=+=⨯⨯∠-⋅△2π34()θ=+，当2πsin (13θ+=，即π6θ=时，ABD △面积取到最大值27．（2023·湖南·校联考二模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足236sin02A Ba b b +-+=．(1)求证：3cos 0a b C +=；(2)求tan A 的最大值．【解析】（1）∵236sin02A Ba b b +-+=，∴22π36sin36cos 022C Ca b b a b b --+=-+=，∴1cos 3602Ca b b +-+⋅=，∴3cos 0a b C +=．（2）由（1）可得：sin 3sin cos 0A B C +=，且C 为钝角，即4sin cos cos sin 0B C B C +=，即4tan tan 0B C +=，tan 4tan C B =-，()2tan tan 3tan 3tan tan 11tan tan 4tan 14tan tan B C B A B C B C B B B+=-+=-==-++34=，当且仅当14tan tan B B =，即1tan 2B =时取等号．故tan A 的最大值为34．28．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）在ABC 中，a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且sin sin sin sin b a c A C B C-=+-．(1)求角A 的大小；(2)记ABC 的面积为S ，若12BM MC = ，求2AMS的最小值．【解析】（1）因为sin sin sin sin b a c A C B C -=+-，即sin sin sin sin B C a cA C b--=+由正弦定理可得，b c a ca c b--=+，化简可得222a b c bc =+-，且由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，所以1cos 2A =，且()0,πA ∈，所以π3A =.（2）因为12BM MC = ，则可得1233AM AC AB =+ ，所以222212144cos 33999AM AC AB AC AC AB A AB ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭22142999b c =++且1sin 2S bc A ==，即2221424299999b c bc bc bcAM S+++= 当且仅当1233b c =，即2b c =时，等号成立.所以2minAM S ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 29．（2023·云南·统考二模）ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，π3A =．(1)若2b =，3c =．求证：tan sin a bA B+=(2)若D 为BC 边的中点，且ABC的面积为AD 长的最小值．【解析】（1）证明：π3A =Q ，2b =，3c =，由余弦定理可得22212cos 4922372a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，a ∴=ππtan sin tan sin tan sin 33a b a a A B A A ∴+=+.（2）由1sin 24ABC S bc A bc ===V 24bc =．D 为边BC 的中点，则0DB DC +=，()()2AB AC AD DB AD DC AD ∴+=+++=，所以，()222222π422cos3AD AB ACAB AC AB AC c b cb =+=++⋅=++222372b c bc bc bc bc =++≥+==，即AD ≥当且仅当b c ==AD 长的最小值为30．（2023·广西·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足(2)cos cos 0b a C c B ++=.(1)求C ；(2)若角C 的平分线交AB 于点D ，且2CD =，求2a b +的最小值.【解析】（1）因为(2)cos cos 0b a C c B ++=，由正弦定理得(sin 2sin )cos sin cos 0B A C C B ++=，即sin cos sin cos 2sin cos B C C B A C +=-，所以()sin sin 2sin cos B C A A C +==-，又()0,πA ∈，则sin 0A >，所以1cos 2C =-，又因()0,πC ∈，所以2π3C =；（2）因为角C 的平分线交AB 于点D ，所以π3ACD BCD ∠=∠=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，得12π1π1πsinsin sin 232323ab CD b CD a =⋅+⋅，即22a b ab +=，所以221ab+=，则()222422666b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当24b a a b=，即2b ==时取等号，所以2a b +的最小值为6+.31．（2023·安徽宣城·统考二模）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1sin 1cos 2cos sin 2A BA B--=．(1)判断ABC 的形状，并说明理由；(2)求2254cos a a c c B-的最小值．【解析】（1）ABC 为钝角三角形，证明如下：由21sin 1cos 22sin sin cos sin 22sin cos cos A B B B A B B B B--===，则有cos sin cos sin cos B A B B A -=，所以cos sin()B A B =+，因为()0,πA B +∈，所以()cos sin 0B A B =+>，则B 为锐角．所以()cos sin sin 2πB B A B ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，所以π2B A B -=+或()2πB A B π⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，则22πA B +=或π2A =，由题意知cos 0A ≠，所以π2A ≠，所以22πA B +=，所以,22C πA B B πππ⎛⎫=--=+∈ ⎪⎝⎭，故ABC 为钝角三角形．（2）由（1）知22πA B +=，π2C B =+，由正弦定理，有22225sin 5sin 4cos sin 4sin cos a a A Ac c B C C B-=-22sin 25sin 222sin 4sin cos 22B B B B B ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 25cos 2cos 4cos B B B B =-222222cos 15(2cos 1)cos 4c ()os B B B B --=-42224cos 4cos 155cos 4cos 2B B B B -+=+-229134cos 4cos 2B B =+-132≥12=-当且仅当2294cos 4cos B B=时等号成立，由B 为锐角，则cos 2B =，所以当π6B =时取最小值12-．32．（2023·全国·模拟预测）已知ABC 是斜三角形，角A ，B ，C 满足cos(2)cos sin 2A B A B ++=.(1)求证：cos sin 0C B +=；(2)若角A ，B ，C 的对边分别是边a ，b ，c ，求22245a b c+的最小值，并求此时ABC 的各个内角的大小.【解析】（1）由()cos 2cos sin2A B A B ++=得cos cos2sin sin2cos sin2A B A B A B -+=，所以()()cos 1cos21sin sin2A B A B +=+，所以()22cos cos 21sin sin cos A B A B B =+.因为ABC 是斜三角形，所以cos 0B ≠，所以()cos cos 1sin sin A B A B =+，所以cos cos sin sin sin 0A B A B B --=，所以()cos sin 0A B B +-=，又A B C π++=，所以cos sin 0C B +=.（2）在ABC 中，有sin 0B >，由（1）知cos sin 0C B +=，所以cos 0C <，于是角C 为钝角，角B 为锐角，根据cos cos 2C B π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以2C B π=+.由正弦定理，得()2222222222224sin 25sin 4sin 5sin 454sin 5sin 22sin sin sin C C B C B a b A B c C C Cππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭===()()2222242222412sin 55sin 4cos 25cos 16sin 21sin 9sin sin sin CCC CC C CCC-+-+-+===，22916sin 21213sin C C=+-≥=，当且仅当22916sin sin C C =，即23sin 4C =，sin 2C =时等号成立，又角C 为钝角，所以120C =︒时，等号成立，由2C B π=+，得30B =︒，由180A B C ++=︒，得30A =︒，因此22245a b c +的最小值为3，此时三角形ABC 的各个内角为30A =︒，30B =︒，120C =︒.33．（2023·吉林·统考三模）如图，圆O 为ABC 的外接圆，且O 在ABC 内部，1OA =，2π3BOC ∠=．(1)当π2AOB ∠=时，求AC ；(2)求图中阴影部分面积的最小值．【解析】（1）法一：由题意可知，π2π5π2π236AOC ∠=--=，在AOC 中，由余弦定理得2222311211cos 22AC OA OC OA O AOC C ⎛∠=+-⨯⨯⨯-=+⎭-⎝=+⋅∴622AC =.法二：在ABC 中，π2π5π2π236AOC ∠=--=，1OA =，1π24ACB AOB ∠=∠=，15π212ABC AOC ∠=∠=，AB =由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，∴π5πsin sin 412AC=，5πππππππsin sin()sin cos cos sin 124646464=+=+=，∴2AC =.（2）设AOB θ∠=，则4π3AOC θ∠=-114π1π11sin 11sin sin sin 22323AOB AOC S S θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦△△13πsin sin 22226θθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设阴影部分面积为S ，优弧 BC所对的扇形BOC 面积为S 扇形，则212π2π12π233S ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭扇形,∴()π2πsin 263AOB AOC S S S S θ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭扇形△△,∵点O 在ABC 内部，∴ππ3θ<<，∴ππ5π666θ<-<,当ππ62θ-=时，即2π3θ=时，min 2π3S =-。

中考数学直角三角形的边角关系-经典压轴题含答案解析

中考数学直角三角形的边角关系-经典压轴题含答案解析一、直角三角形的边角关系1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，33米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.3．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）．【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=tan PHPAH∠=33=503，∵AC ∥BD ，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD –∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴AB=AH+BH=503+50，∵60千米/时=503米/秒，∴时间t=50350503+=3+33≈8.1（秒），即车辆通过AB 段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。

专题03 选择压轴题之几何最值问题(举一反三)(解析版)

【方法点拨】涉及旋转、对称、折叠的最值问题中, 若无法直接求解,可先找到关键点的运动轨迹,再利用 “垂线段最短”来求解.【例1】（2020•南谯区二模）如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠ACB ＝90°，BC ＝2，D 是AB 上的动点，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，连接BE ，则BE 的最小值是（）A ．√3−1B ．√32C ．√3D ．2【分析】如图，过点C 作CK ⊥AB 于K ，将线段CK 绕点C 逆时针旋转90°得到CH ，连接HE ，延长HE 交AB 的延长线于J ．首先证明四边形CKJH 是正方形，推出点E 在直线HJ 上运动，求出BJ ，根据垂线段最短解决问题即可．【解答】解：如图，过点C 作CK ⊥AB 于K ，将线段CK 绕点C 逆时针旋转90°得到CH ，连接HE ，延长HE 交AB 的延长线于J ．∵∠DCE ＝∠KCH ＝90°，∴∠DCK ＝∠ECH ，∵CD ＝CE ，CK ＝CH ，∴△CKD≌△CHE（SAS），∴∠CKD＝∠H＝90°，∵∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°，∴四边形CKJH是矩形，∵CK＝CH，∴四边形CKJH是正方形，∴点E在直线HJ上运动，当点E与J重合时，BE的值最小，在Rt△CBK中，∵BC＝2，∠ABC＝60°，∴CK＝BC•sin60°=√3，BK＝BC•cos60°＝1，∴KJ＝CK=√3∴BJ＝KJ﹣BK=√3−1，∴BE的最小值为√3−1，补充方法：AC上截取CF＝2，得三角形CFD全等于三角形CBE，DF在DF垂直AB时最小．故选：A．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．【变式1-1】（2021•怀宁县模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P是△ABC的高CD 上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′，连接DP′，则DP′的最小值是（）A．2√2−2B．4﹣2√2C．2−√2D．√2−1【分析】在BC上截取BE＝BD，由等腰直角三角形的性质可得BA＝4√2，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠DCA＝45°，BD＝CD＝AD＝2√2=BE，由旋转的性质可得BP＝BP'，∠PBP'＝45°，可证△BDP'≌△BEP，可得PE＝P'D，当PE⊥CD时，PE有最小值，即DP'有最小值，由直角三角形的性质可求DP′的最小值．【解答】解：如图，在BC上截取BE＝BD，连接EP，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB，∴BA＝4√2，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠DCA＝45°，BD＝CD＝AD＝2√2=BE∵旋转∴BP＝BP'，∠PBP'＝45°，∵BE＝BD，∠ABC＝∠PBP'＝45°，BP＝BP'∴△BDP'≌△BEP（SAS）∴PE＝P'D∴当PE⊥CD时，PE有最小值，即DP'有最小值，∵PE⊥CD，∠BCD＝45°，∴CE=√2PE＝BC﹣BE＝4﹣2√2∴PE＝2√2−2故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．【变式1-2】（2020•南山区校级一模）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+√32PD的最小值等于（）A．√3B．3C．3√3D．2+2√3【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP=√32PD，即PB+√32PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP=EPDP=√32，∴EP=√32PD∴PB+√32PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A=BEAB=√32，∴BE＝3√3，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【变式1-3】（2021•太和县一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则√2BP+AP的最小值为（）A．5B．10C．5√2D．10√2【分析】√2BP+AP=√2（BP+√22AP），求BP+√22AP的最小值属“胡不归”问题，以A为顶点，AC为一边在下方作45°角即可得答案．【解答】解：以A为顶点，AC为一边在下方作∠CAM＝45°，过P作PF⊥AM于F，过B作BD⊥AM 于D，交AC于E，如图：√2BP+AP=√2（BP+√22AP），要使√2BP+AP最小，只需BP+√22AP最小，∵∠CAM＝45°，PF⊥AM，∴△AFP是等腰直角三角形，∴FP=√22AP，∴BP+√22AP最小即是BP+FP最小，此时P与E重合，F与D重合，即BP+√22AP最小值是线段BD的长度，∵∠CAM＝45°，BD⊥AM，∴∠AED＝∠BEC＝45°，∵∠ACB＝90°，∴sin∠BEC＝sin45°=BCBE，tan∠BEC=BCCE，又BC＝4，∴BE＝4√2，CE＝4，∵AC＝6，∴AE＝2，而sin∠CAM＝sin45°=DE AE，∴DE =√2，∴BD ＝BE +DE ＝5√2，∴√2BP +AP 的最小值是√2BD ＝10，故选：B ．【点睛】本题考查线段和的最小值，解题的关键是做45°角，将求BP +√22AP 的最小值转化为求垂线段的长．【方法点拨】“将军饮马”问题是中考的热点问题之一,解决这类问题的方法是找出两定点中任一点关于动点所在直线的对称点,再将另一点与对称点相连,连线与直线的交点即为所求的点.通常情况下, 求三角形或四边形的周长的最小值时,往往也是利用轴对称进行解题.【例2】（2021•淮南一模）如图，Rt △ABC 中．∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2√2．点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA +DE 的最小值为（）A ．89B ．169C ．8√29D ．16√29【分析】如图，作A 关于BC 的对称点A '，连接AA '，交BC 于F ，过A '作A 'E ⊥AC 于E ，交BC 于D ，则AD ＝A 'D ，此时AD +DE 的值最小，就是A 'E 的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．【解答】解：作A 关于BC 的对称点A '，连接AA '，交BC 于F ，过A '作A 'E ⊥AC 于E ，交BC 于D ，则AD ＝A 'D ，此时AD +DE 的值最小，就是A 'E 的长；Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2√2，∴BC =√12+(2√2)2=3，S △ABC =12AB •AC =12BC •AF ，∴1×2√2=3AF ，AF =2√23，∴AA '＝2AF =4√23，∵∠A 'FD ＝∠DEC ＝90°，∠A 'DF ＝∠CDE ，∴∠A '＝∠C ，∵∠AEA '＝∠BAC ＝90°，∴△AEA '∽△BAC ，∴AA′A′E=BC AC ， ∴4√23A′E =2√2，∴A 'E =169，即AD +DE 的最小值是169；故选：B ．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．【变式2-1】（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD （点D 在点C 右侧）在x 轴上移动，A （0，2），B （0，4），连接AC ，BD ，则AC +BD 的最小值为（）A ．2√5B ．2√10C ．6√2D ．3√5【分析】设C （m ，0），则有AC +BD =√m 2+22+√(m +2)2+42，推出要求AC +BD 的最小值，相当于在x 轴上找一点P （m ，0），使得点P 到M （0，2）和N （﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，求出NQ即可解决问题．【解答】解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD=√m2+22+√(m+2)2+42，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P′M+P′N的最小值＝P′N+P′Q＝NQ=√22+62=2√10，∴AC+BD的最小值为2√10．故选：B．【点睛】本题考查轴对称﹣最短路径问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．【变式2-2】（2020•红桥区一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝5，AD＝4，CD＝3，点P是边AD上的动点，则△PBC周长的最小值为（）A．8B．4√5C．12D．6√5【分析】作点C关于AD的对称点E，连接EB交AD于点P′，连接CP′，则EP′＝CP′，ED＝CD，此时△P′BC周长最小为：P′C+P′B+BC＝PE+P′B+BC＝EB+BC，作BF⊥DC的延长线于点F，在Rt△BCF和Rt△BFE中，根据勾股定理即可得△PBC周长的最小值．【解答】解：作点C关于AD的对称点E，连接EB交AD于点P′，连接CP′，则EP′＝CP′，ED＝CD，此时△P′BC周长最小为：P′C+P′B+BC＝PE+P′B+BC＝EB+BC，作BF⊥DC的延长线于点F，∠A＝∠ADC＝90°，∴四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝4，DF＝AB＝5，∴CF＝DF﹣CD＝5﹣3＝2，EF＝DF+ED＝5+3＝8，∴在Rt△BCF和Rt△BFE中，根据勾股定理，得BC=√CF2+BF2=2√5，BE=√BF2+EF2=4√5，∴BC+BE＝6√5．所以△PBC周长的最小值为6√5．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，解决本题的关键是掌握轴对称性质．【变式2-3】（2020•市南区二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（）A．4√2B．2√2C．6√3D．4√3【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案．【解答】解：设BE＝x，则DE＝3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2＝BE•DE，即AE2＝3x2，∴AE=√3x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＝AE2+DE2，即122＝（√3x）2+（3x）2，解得x＝2√3，∴AE＝6，DE＝6√3，如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，P A′，则A′A＝2AE＝12＝AD，AD＝A′D＝12，∴△AA′D是等边三角形，∵P A＝P A′，∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，∴AP+PQ＝A′P+PQ＝A′Q＝DE＝6√3．故选：C．【点睛】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ 的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．【方法点拨】利用“到定点的距离等于定长的点位于同一个圆上”或“90°的圆周角所对的弦是直径”等可以确定某些动点的运动轨迹是圆(或圆弧).当圆外一定点与圆上一动点位于圆心同侧,且三点共线时,该动点到圆外定点的距离最短;当圆外一定点与圆上一动点位于圆心异侧,且三点共线时,该动点到圆外定点的距离最长.【例3】（2020•百色模拟）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点．将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△GEF．则GC长的最小值是（）A．2√10−2B．2√10−1C．2√13D．2√10【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点G在线段CE上时，GC的长取最小值，根据折叠的性质可知GE＝2，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE﹣GE即可求出结论．【解答】解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点G在线段CE上时，GC的长取最小值，如图所示根据折叠可知：GE＝AE=12AB＝2．在Rt△BCE中，BE=12AB＝2，BC＝6，∠B＝90°，∴CE=√BE2+BC2=2√10，∴GC的最小值＝CE﹣GE＝2√10−2．故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出GC取最小值时点A′的位置是解题的关键．【变式3-1】（2020•河北模拟）数学兴趣小组在“中学生学习报”中了解到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用含30°角的直角三角板做实验，如图，∠ACB＝90°，BC＝6cm，M，N分别是AB，BC的中点，标记点N的位置后，将三角板绕点C逆时针旋转，点M旋转到点M′，在旋转过程中，线段NM′的最大值是（）A．7cm B．8 cm C．9cm D．10cm【分析】根据直角三角形的性质得到AB＝2BC＝12，CM＝6，CN＝3，在旋转过程中，点M′始终在以C为圆心，CM为半径的圆上，当M′旋转当与B，C在一条直线上时，即到D的位置时，线段NM′的值最大，于是得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝6cm，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12，∵M，N分别是AB，BC的中点，∴CM＝6，CN＝3，∵将三角板绕点C逆时针旋转，点M旋转到点M′，在旋转过程中，点M′始终在以C为圆心，CM为半径的圆上，∴当M′旋转当与B，C在一条直线上时，即到D的位置时，线段NM′的值最大，即NM′的最大值＝DN＝6+3＝9，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．【变式3-2】（2020•芜湖二模）如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（）A．8√2B．4√10C．8√5−4D．4√13−4【分析】根据正方形的性质得到∠ABC＝90°，推出∠BEC＝90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∵∠ABE＝∠BCE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠BEC＝90°，∴点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE＝4，∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝8，∴OG＝12，∴OF=√FG2+OG2=4√13，∴EF＝4√13−4，∴PD+PE的长度最小值为4√13−4，故选：D．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【变式3-3】（2021•海安市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2√3，Q为AC上的动点，P为Rt△ABC内一动点，且满足∠APB＝120°，若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是（）A．√43−4B．√43C．4D．√43+4【分析】如图以AB为边，向左边作等边△ABE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OB，则点P在⊙O上．作点D关于AC的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，则PQ+QD＝PQ+QD′＝PD′，根据PD′≥OD′﹣OP，求出OP，OD′即可解决问题．【解答】解：如图以AB为边，向左边作等边△ABE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OB，则点P在⊙O 上．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2√3，∴AB＝4√3，则易知OB＝4，OB⊥BC，作点D关于AC的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，则PQ+QD＝PQ+QD′≥PD′，∵PD′≥OD′﹣OP，OP＝OB＝4，OD′=√42+(3√3)2=√43，∴PD′≥√43−4，∴PQ+DQ的最小值为√43−4，故选：A．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．【方法点拨】几何图形面积最值问题的解题通法:1.观察几何图形,若能直接判断出当动点在何位置时,几何图形的面积取得最值,则直接计算即可.2.若根据动点的位置,无法直接判断几何图形面积的最值,则可设出未知数,用含未知数的代数式表示出该几何图形的面积,利用函数的性质求解.【例4】（2020•立山区二模）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（）A．2√2B．4C．4√2D．8√2【分析】过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理推出△OAB为等腰直角三角形，求得AB=√2OA＝2√2，根据已知条件即可得到结论．【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，∵∠AMB＝45°，∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=√2OA＝2√2，∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB=12AB•CD+12AB•CE=12AB（CD+CE）=12AB•DE=12×2√2×4＝4√2．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式4-1】（2020•岐山县二模）如图，正方形BEFG的顶点E在正方形ABCD的边AD上，CD、EF交于点H，AD＝16，连接EC，FC，则△CEF的面积的最小值为（）．A．16√2B．48C．96D．256【分析】由于S △CEF ＝S △CHF +S △CHE =12CH •EM ，根据全等三角形的性质得到EM ＝AB ＝16，求得S △CEF ＝8CH ，根据相似三角形的性质得到DE AB =DH AE ，设AE 为x ，于是得到DH =116（﹣x 2+16x ）=−116（x ﹣8）2+4≤4，即可得到结论．【解答】解：过F 作FG ⊥DC 于点G ，FM ⊥AD ，交AD 的延长线于M ，连接CF ，∵S △CEF ＝S △CHF +S △CHE =12CH •EM ，∵△EMF ≌△BAE ，∴EM ＝AB ＝16，∴S △CEF ＝8CH ，∵△EDH ∽△BAE ，∴DE AB =DH AE ，设AE 为x ，则DH =116（﹣x 2+16x ）=−116（x ﹣8）2+4≤4， ∴DH ≤4，∴CH ≥12，CH 最小值是12，∴△CEF 面积的最小值是96．故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是找出线段DN 的最大值，根据三角形的面积公式找出其去最值的条件，再结合二次函数的性质去解决最值问题．【变式4-2】（2020•昆山市二模）如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝2√5，∠ACB ＝45°，D 为AB 边上一动点（不与点B 重合），以CD 为边长作正方形CDEF ，连接BE ，则△BDE 的面积的最大值等于（）.A．9√2B．18C．36D．20√5【分析】如图，过点E作EM⊥BA于M，过点C作CN⊥BA交BA的延长线于N，过点A作AH⊥BC于H．解直角三角形求出BN的长，设BD＝x，则DN＝12﹣x，再利用全等三角形的性质证明EM＝DN＝12﹣x，利用三角形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：如图，过点E作EM⊥BA于M，过点C作CN⊥BA交BA的延长线于N，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，∠ACH＝45°，AC＝2√5，∴AH＝CH＝AC•cos45°=√10，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝10，AH=√10，∴BH=√AB2−AH2=√102−(√10)2=3√10，∴BC＝BH+CH＝4√10，∵S△ACB=12•BC•AH=12•AB•CN，∴CN＝4，在Rt△ACN中，AN=√AC2−CN2=√(2√5)2−42=2，∴BN＝BA+AN＝12，设BD＝x，则DN＝12﹣x，∵四边形EFCD是正方形，∴DE＝DC，∠EDC＝∠EMD＝∠DNC＝90°，∴∠EDM+∠ADC＝90°，∠ADC+∠DCN＝90°，∴∠EDM＝∠DCN，∴△EMD≌△DNC（AAS），∴EM＝DN＝12﹣x，∴S△DBE=12•BD•EM=12•x•（12﹣x）=−12x2+6x=−12（x﹣6）2+18，∵−12＜0，∴当x ＝6时，△BDE 的面积的最大，最大值为18．故选：B ．【点睛】本题考查正方形的性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．16．（2021•石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B 是⊙O 上一动点，点C 为弦AB 的中点，直线y =34x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，则△CDE 面积的最小值与最大值分别为（）．A ．2；7B ．3；6C ．4；9D ．5；16【分析】连接OC ，由垂径定理得OC ⊥AB ，再由圆周角定理得点C 在以OA 为直径的圆上（点O 、A 除外），以OA 为直角作⊙P ，过P 点作直线PH ⊥DE 于H ，交⊙P 于M 、N ，利用一次函数解析式确定D （0，﹣3），D （4，0），则AB ＝5，然后证△DPH ∽△DEO ，利用相似比求出PH 的长，得MP 、NH 的长，当C 点与M 点重合时，S 最大；C 点与N 点重合时，S 最小，然后计算出S △NED 和S △MED 得到S 的范围，即可求解．【解答】解：连接OC ，如图，∵点C 为弦AB 的中点，∴OC ⊥AB ，∴∠ACO ＝90°，∴点C 在以OA 为直径的圆上（点O 、A 除外），以OA 为直角作⊙P ，过P 点作直线PH ⊥DE 于H ，交⊙P 于M 、N ，当x ＝0时，y =34x ﹣3＝﹣3，则D （0，﹣3），当y ＝0时，34x ﹣3＝0，解得x＝4，则D（4，0），∴OD＝4，∴AB=√32+42=5，∵A（2，0），∴P（1，0），∴OP＝1，∴PD＝OD﹣OP＝3，∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，∴△DPH∽△DEO，∴PH：OE＝DP：DE，即PH：3＝3：5，解得PH=9 5，∴MP＝PH+1=145，NH＝PH﹣1=45，∴S△NED=12×5×45=2，S△MED=12×5×145=7，设△CDE面积为S，当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，∴S的范围为2≤S≤7，∴△CDE面积的最小值为2，△CDE面积的最大值为7，故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和一次函数的性质．。

常考压轴02 三角函数值问题-2020年中考数学特训营(解析版)

【十大常考压轴题特训】特训02——三角函数值问题题量﹕10题；分值﹕100分；推荐时间﹕45分钟问题1. (2019 上海市)如图，在正方形ABCD 中，E 是边AD 的中点．将ABE ∆沿直线BE 翻折，点A 落在点F 处，联结DF ，那么EDF ∠的正切值是．ABC DE【分析】由折叠可得AE ＝FE ，∠AEB ＝∠FEB ，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到∠AEB ＝∠EDF ，进而得到tan ∠EDF ＝tan ∠AEB ＝ABAE＝ 2． ABC DEF【解答】如图所示，由折叠可得AE ＝FE ，∠AEB ＝∠FEB ＝12∠AEF ，∵正方形ABCD 中，E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE ＝12AD ＝12AB ，∴DE ＝FE ， ∴∠EDF ＝∠EFD ，又∵∠AEF 是△DEF 的外角，∴∠AEF＝∠EDF＋∠EFD，∴∠EDF＝12∠AEF，∴∠AEB＝∠EDF，∴tan∠EDF＝tan∠AEB＝ABAE＝ 2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．问题2． (2019四川省自贡市)如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α＋β）＝．αβ【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC＋∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝3a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α＋β）的值．ABCDEαβ【解答】给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED ＝∠AEC ＋∠CED ＝90°．设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝2×sin 60°•a ＝3a ， ∴AD ＝AE 2＋DE 2＝ (2a )2＋(3a )2＝7a ， ∴cos （α＋β）＝DEAD ＝ 217. 故答案为：217. 【点评】本题考查了锐角三角函数的概念、解直角三角形、等边三角形的性质，巧妙地将构造出一个等于∠α的角，将∠α转移到与∠β共顶点且共边的角上，将∠α、∠β合二为一．然后添加辅助线构造直角三角形，再利用解直角三角形的方法求解问题，本题的关键有二，其一将是解题的关键∠α转移到与∠β共顶点且共边的角上，其二是添加辅助线构造直角三角形．问题3．（2019江苏省淮安市）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点，将△CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ，则tan ∠HAP ＝．ABCDPH【分析】连接PB ，交CH 于E ，依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到CH 垂直平分BP ，∠APB ＝90°，即可得到AP ∥HE ，进而得出∠BAP ＝∠BHE ，依据Rt △BCH 中，tan ∠BHC ＝BCBH ＝ 43，即可得出tan ∠HAP ＝43．ABCDPHE【解答】解：如图，连接PB ，交CH 于E ，由折叠可得，CH 垂直平分BP ，BH ＝PH ，又∵H 为AB 的中点，∴AH ＝BH ， ∴AH ＝PH ＝BH ，∴∠HAP ＝∠HP A ，∠HBP ＝∠HPB ，又∵∠HAP ＋∠HP A ＋∠HBP ＋∠HPB ＝180°， ∴∠APB ＝90°， ∴∠APB ＝∠HEB ＝90°， ∴AP ∥HE ， ∴∠BAP ＝∠BHE ，又∵Rt △BCH 中，tan ∠BHC ＝B CBH ＝ 43，∴tan ∠HAP ＝43，故答案为：43．【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．问题4．（2019年内蒙古鄂尔多斯市）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt ABC ∆是“好玩三角形”，且90A ∠=︒，则tan ABC ∠= ．【分析】根据已知“有一边上的中线长等于这边的长”这个条件分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．ABCABDD图①图②【解答】①如图1中，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CE 是△ABC 的中线，设AB ＝DC ＝2a ，则AD ＝DB ＝a ，AC ＝3a ， ∴tan ∠ABC ＝AC AB ＝ 32．②如图2中，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的中线，设DB ＝AC ＝2a ，则AD ＝DC ＝a ，AB ＝3a ，∴tan ∠ABC ＝ACAB ＝ 233．，故答案为：32或233．【点评】本题考查解三角函数的概念及计算、解直角三角形、三角形的中线的知识．解题的关键是学会用分类讨论．．．．的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考压轴题型．问题5. (2019 贵州省安顺市)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（）xA ．13B ．22C ．223D ．24【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC ＝∠CDO ，等量代换即可．x【解答】设⊙O 与x 轴负半轴交于点D ，连接CD ，∵弦CD 所对的圆周角∠COD ＝90° ∴CD 是⊙O 的直径．在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2，则OD ＝CD 2－ OC 2＝ 42, tan ∠CDO ＝OCOD ＝ 24, 由圆周角定理得，∠OBC ＝∠CDO ，则tan ∠OBC ＝24，故选：D ．【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．问题6. (2019 黑龙江省鸡西市)如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，:3:2AB BC =，过点B 作//BE AC ，过点C 作//CE DB ，BE 、CE 交于点E ，连接DE ，则tan (EDC ∠= )ABCDEOA ．29B ．14 CD ．310【分析】如图，过点E 作EF ⊥ 直线DC 交线段DC 延长线于点F ，连接OE 交BC 于点G ．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC 是菱形，则OE 与BC 垂直平分，易得EF ＝CG ，CF ＝12OE ＝12A B ．所以由锐角三角函数定义作答即可．AB CDE OFG【解答】∵矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ﹕BC ＝3﹕2， ∴设AB ＝3x ，BC ＝2x ．如图，过点E 作EF ⊥ 直线DC 交线段DC 延长线于点F ，连接OE 交BC 于点G ． ∵BE // AC ，CE //BD ，∴四边形BOCE 是平行四边形，四边形ABCD 是矩形， ∴OB ＝OC ，∴四边形BOCE 是菱形．∴OE 与BC 垂直平分，∴EF ＝12AD ＝12BC ＝x ，OE // AB ，四边形AOEB 是平行四边形，∴OE ＝AB ，∴CF ＝12OE ＝12AB ＝32x ．∴tan ∠EDC ＝EF DF ＝ x3x ＋ 32x＝ 29．故选：A ．【点评】本题考查矩形的性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．问题7. (2019 湖北省咸宁市)在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A ，B 恰好分别落在函数y ＝﹣1x （x ＜0），y ＝4x（x ＞0）的图象上，则sin ∠ABO 的值为（）A ．13B ．33 C ．54D ．55【分析】点A ，B 落在函数y ＝﹣1x （x ＜0），y ＝4x（x ＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB 的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．【解答】过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，∵点A在反比例函数y＝﹣1x（x＜0）上，点B在y＝4x（x＞0）上，∴S△AOD＝1，S△BOE＝4，又∵∠AOB＝90°∴∠AOD＝∠OBE，∴△AOD∽△OBE，∴(AOOB)2＝S△AODS△OBE＝14∴AOOB＝12设OA＝m，则OB＝2m，AB＝m2＋(2m)2＝5m在Rt AOB中，sin∠ABO＝OAAB＝m5m＝55故选：D．【点评】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值．问题8. (2019四川省自贡市)如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF ＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．817B．717C．49D．59【分析】如图，设直线x＝－5交x轴于K．由题意KD＝12CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．【解答】如图，设直线x＝5交x轴于K．由题意KD＝12CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝OEOA＝DKAD,∴OE8＝512∴OE＝10 3，∴AE＝OE2＋OA2＝(103)2＋82＝263，作EH⊥AB于H．∵S△ABE＝12•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH＝82 3∴AH＝AE2－EH2＝(263)2－(823)2＝1723，∴tan ∠BAD ＝EHAH ＝ 8231723＝ 817，故选：A ．【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．问题9. (2019 浙江省台州市)如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2cm ，BC ＝FG ＝8cm ．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G 重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于（）D F(G)A ．14B ．12C ．817D ．815【分析】我们要想求出当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α的值，首先我们要找到什么时候两张纸片交叉所成的角a 最小，不难发现，当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小，找到最小角后，我们如何求此时tan α的值，我们就要找以∠α为内角的直角三角形，显然图中有一个三角形满足我们的条件，就是Rt △DCM ，下面我们就要求出CD 、CM 的长就可以了，利用我们特训01中讲的求线段长度的常用策略一，在Rt△CDM 中利用勾股定理就可以求出CD 、CM 的长．问题即可解决．D F(G)H【解答】如图，∵∠ADC ＝∠HDF ＝90°∴∠CDM ＝∠NDH ，且CD ＝DH ，∠H ＝∠C ＝90° ∴△CDM ≌△HDN （ASA ）∴MD ＝ND ，且四边形DNKM 是平行四边形∴四边形DNKM 是菱形∴KM ＝DM∵sin α＝sin ∠DMC ＝CD MD∴当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小，设MD ＝a ＝BM ，则CM ＝8﹣a ，∵MD 2＝CD 2＋MC 2，∴a 2＝4＋（8﹣a ）2，∴a ＝174∴CM ＝154∴tan α＝tan ∠DMC ＝CD MC ＝ 815 故选：D ．【点评】本题设计很巧妙，很好地将图形的旋转、菱形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质、三角函数融合为一体，而且还加进了最小值问题．本题的综合性较强，是一道非常好的压轴题．问题10. (2019 湖南省张家界市)如图：正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，连接AE ，BF 交于点P ，连接PD ，则tan ∠APD ＝．A B C DE FP【分析】首先证明△ABE ≌△BCF ，再利用角的关系求得∠BPE ＝90°，证明A 、P 、F 、D 四点共圆，得∠AFD ＝∠APD ，可得结论．A B C DE FP【解答】连接AF ，∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CF ＝BE ，AD DF ＝2，在△ABE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC∠ABE ＝∠C BE ＝CF ∴Rt △ABE ≌Rt △BCF （SAS ），∴∠BAE ＝∠CBF ，又∵∠BAE ＋∠BEA ＝90°，∴∠CBF ＋∠BEA ＝90°，∴∠BPE ＝∠APF ＝90°，∵∠ADF ＝90°，∴∠ADF ＋∠APF ＝180°，∴A 、P 、F 、D 四点共圆，∴∠AFD ＝∠APD ，∴tan ∠APD ＝tan ∠AFD ＝AD DF＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆的性质、三角函数的定义，解决的关键是证明∠APF ＝90°．。

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2013中考数学压轴题函数直角三角形问题精选解析(三) 例 5
如图1，直线43
4+-
=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．
① 求S 与t 的函数关系式；
② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．
图1
解析
（1）直线43
4+-
=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45
NH t =．如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时
211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时
211424(2)22555
S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．
图2 图3
②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455
t t -=．解得1211t =+，2211t =-（舍去负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t =+．
③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5
B =，所以535t t -=．解得258
t =．如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能．
所以，当258
t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．
图4 图5
考点伸展
在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．
如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝．
图6 图7
例6
已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．
（1）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图1，求证：222BN AM MN +=；思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了．请你完成证明过程．
（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图2的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
图1 图2
解析
（1）如图3，将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，则△DCM ≌△ACM ．因此CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，A CDM ∠=∠．
又由CB CA =，得 CB CD =．由DCM DCM ECF DCN ∠-︒=∠-∠=∠45，
ACM ECF ACB BCN ∠-∠-∠=∠ACM ACM ∠-︒=∠-︒-︒=454590，得BCN DCN ∠=∠．
又CN CN =，所以△CDN ≌△CBN ．因此BN DN =，B CDN ∠=∠．
所以︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ．
在Rt △MDN 中，由勾股定理，得222DN DM MN +=．即222BN AM MN +=．
图3 图4
（2）关系式222BN AM MN +=仍然成立．如图4，将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，则△DCM ≌△ACM ．所以CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，CAM CDM ∠=∠．
又由CB CA =，得 CB CD =．由︒+∠=∠+∠=∠45DCM ECF DCM DCN ，ACM ACM ECF ACN ACB BCN ∠+︒=∠-∠-︒=∠-∠=∠45)(90，得BCN DCN ∠=∠．
又CN CN =，所以△CDN ≌△CBN ．因此BN DN =，
45=∠=∠B CDN ．又由于 ︒=∠-︒=∠=∠135180CAB CAM CDM ，
所以
9045135=-=∠-∠=∠CDN CDM MDN ．
在Rt △MDN 中，由勾股定理，得222DN DM MN +=．即222BN AM MN +=．
考点伸展
当扇形CEF 绕点C 旋转至图5，图6，图7的位置时，关系式222BN AM MN +=仍然成立．
图5 图6
图7。