2019中考数学专题汇编全集 二次函数与特殊三角形判定

第24题 二次函数综合题

类型1 二次函数与特殊三角形判定

1. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3a (a >0)经过点A (－1，0)、C (0，3)，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D .

(1)求此二次函数解析式；

(2)连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；

(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

第1题图

(1)解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3a 的图象经过点A (－1，0)、C (0，

3)，

∴根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3a ＝0－3a ＝3

， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2

， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；

(2)证明：由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4得，点D 的坐标为(1，4)，点B 的坐标为(3，0)，

如解图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ， ∵D (1，4)，B (3，0)，C (0，3)，

∴OC ＝OB ＝3，DE ＝4，BE ＝2，CF ＝DF ＝1，

∴CD 2＝CF 2＋DF 2＝2，BC 2＝OC 2＋OB 2＝18，BD 2＝DE 2＋BE 2＝20， ∴CD 2＋BC 2＝BD 2，

∴△BCD 是直角三角形；

第1题解图

(3)解：存在．

抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3对称轴为直线x ＝1.

i )如解图，若以CD 为底边，则P 1D ＝P 1C ，

设点P 1的坐标为(x ，y )，根据勾股定理可得P 1C 2＝x 2＋(3－y )2，P 1D 2＝(x －1)2＋(4－y )2，

∴x 2＋(3－y )2＝(x －1)2＋(4－y )2，

即y ＝4－x .

又∵P 1(x ，y )在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3上，

∴4－x ＝－x 2＋2x ＋3，

即x 2－3x ＋1＝0，

解得x 1＝3＋52，x 2＝3－52<1(舍去)，

∴x ＝3＋52，

∴y ＝4－x ＝5－52，

即点P 1的坐标为(3＋52，5－52)．

ii )如解图，若以CD 为一腰，

∵点P 2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点P 2与点C 关于直线x ＝1对称，此时点P 2的坐标为(2，3)．

∴符合条件的点P 的坐标为(3＋52，5－52)或(2，3)．

2. 如图，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过原点，与x 轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线C 1向右平移m (m >0)个单位得到抛物线C 2，C 2交x 轴于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C .

(1)求抛物线C 1的解析式及顶点坐标；

(2)以AC 为斜边向上作等腰直角△ACD ，当点D 落在抛物线C 2的对称轴上时，求抛物线C 2的解析式；

(3)若抛物线C 2的对称轴上存在点P ，使△P AC 为等边三角形，请直接写出m 的值．

第2题图

解：(1)∵抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过原点(0，0)，与x 轴的另一个交点为(2，0)，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧c ＝04＋2b ＋c ＝0， 解得⎩

⎪⎨⎪⎧c ＝0b ＝－2， ∴抛物线C 1的解析式为 y ＝x 2－2x ，

则y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，

∴该抛物线的顶点坐标为(1，－1)；

(2)∵将抛物线C 1向右平移m (m >0)个单位得到抛物线C 2，

∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －1－m )2－1，

∵抛物线C 2交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，

∴A (m ，0)、B (m ＋2，0)、C (0，m 2＋2m )，

设抛物线C 2的对称轴与x 轴的交点为点E ，

如解图①，过点C 作CH ⊥DE 于点H ，

第2题解图①

∵△ACD 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，

∴∠CDA ＝90°，CD ＝AD ，

又∵∠CHD ＝∠DEA ＝90°，

∴∠CDH ＋∠ADE ＝∠ADE ＋∠DAE ，

∠HCD ＋∠HDC ＝∠HDC ＋∠ADE ，

∴∠CDH ＝∠DAE, ∠HCD ＝∠EDA ，

∴△CHD ≌△DEA ，

∴HD ＝ AE ＝1, DE ＝ CH ＝m ＋1，

∴EH ＝HD ＋DE ＝m ＋2，

由OC ＝HE 得m 2＋2m ＝ m ＋2，

解得m 1＝1，m 2＝－2(舍去)，

∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －1－1)2－1＝x 2－4x ＋3；

(3)m ＝33.

【解法提示】如解图②，连接BC 、BP ，由抛物线的对称性可知AP ＝BP ，

第2题解图②

∵△P AC 是等边三角形，

∴AP ＝BP ＝CP ，∠APC ＝60°，

∴C 、A 、B 三点在以点P 为圆心，P A 长为半径的圆上，

∴∠CBO ＝12∠CP A ＝30°，

∴BC ＝2OC ，

由勾股定理得OB ＝BC 2－OC 2＝3OC ，

∴3()

m2＋2m＝m＋2，

解得m1＝

3

3，m2＝－2(舍去)．

∴m＝

3 3.