八年级数学学案28 全等三角形的复习(3)--一线三等角

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一线三等角模型学案副本

一线三等角模型学案副本一线三等角模型是指三个三角形中，有一条公共边，且这三个三角形中的每一个都与该公共边相邻。

该模型在数学中有着广泛的应用，尤其是在平面几何和三角函数领域。

一线三等角模型的基本概念非常直观，但其在实际问题中的应用却十分灵活。

例如，在角度制转换问题中，我们可以利用一线三等角模型来简化计算过程。

另外，在一元二次方程的求解中，该模型也可以为我们提供便利。

除了在数学问题中的应用，一线三等角模型还在其他领域中具有重要价值。

例如，在物理学中的光学问题中，该模型可以用来描述光线在介质中的传播路径。

此外，在计算机图形学中，一线三等角模型也被广泛应用于图像处理和计算机视觉等领域。

一线三等角模型的优点在于其灵活性和可塑性。

该模型可以适应各种不同的场景，并为我们提供解决问题的新思路。

然而，该模型也存在一些缺点，例如在实际应用中可能存在计算复杂度高的问题。

因此，在使用一线三等角模型时，我们需要根据具体问题的情况进行综合考虑。

总之，一线三等角模型是一种重要的数学模型，具有广泛的应用价值。

在实际问题中，我们可以利用该模型来简化计算过程，提高解决问题的效率。

也需要根据具体情况进行合理的应用和评估。

八年级数学学案28全等三角形的复习一线三等角八年级数学学案28：全等三角形的复习一线三等角一、导入在八年级数学学习中，我们学习了一个重要的概念，即全等三角形。

全等三角形是形状和大小都完全相同的两个三角形，它们的对应边相等，对应角也相等。

为了使大家更好地掌握全等三角形的性质和判定方法，本学案将对全等三角形进行深入的复习，并结合一线三等角的概念进行讲解。

二、复习全等三角形1、全等三角形的定义和性质定义：全等三角形是指形状和大小都完全相同的两个三角形。

性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等。

2、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（4）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。

2023届初中数学中考复习-一线三垂直与一线三等角

一线三垂直与一线三等角一、基础知识回顾1) 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°2)1 平角= 180 度二、模型的概述：1) 一线三垂直模型[模型概述] 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。

根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。

基础构造1构造2一线三垂直模型一：如图A B ⊥BC，AB = BC，CE ⊥DE，AD ⊥DE，则∆ABD ≌∆BCE，DE =AD +EC证明：∵CE ⊥DE，AD ⊥DE，AB ⊥BC∴∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°∴∠1 + ∠2 = 90°, ∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3∠1 = ∠3在∆ABD 和∆BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°AB = BC∴∆ABD ≌∆BCE(AAS)∴AD = BE,EC = BD则DE = BE + BD = AD + EC一线三垂直模型二：如图A B ⊥BC，AB = BC，CE ⊥DE，AD ⊥DE，则∆ABD ≌∆BCE，DE =AD - EC证明：∵CE ⊥DE，AD ⊥DE，AB ⊥BC∴∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°∴∠A + ∠ABD = 90°, ∠ABD + ∠CBE = 90°∴∠A = ∠CBE∠A = ∠CBE在∆ABD 和∆BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°AB = BC∴∆ABD ≌∆BCE(AAS)∴AD = BE,EC = BD则DE = BE - BD = AD - EC一线三垂直其它模型1) 图1，已知∠AOC = ∠ADB = ∠CED = 90°, AB = DC，得∆ADB ≌∆DEC2) 图2，延长DE 交AC 于点F，已知∠DBE = ∠ABC = ∠EFC = 90°, AC = DE，得∆ABC ≌∆DBE图1图22) 一线三等角模型[模型概述] 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型.doc

∴∠BAD＋∠CAE＝90° ∵∠BAD＋∠ABD＝90° ∴∠CAE＝∠ABD 又∵AB＝AC ∴△ADB≌△CEA ∴AE＝BD，AD＝CE ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE；（2）如图，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB＝AC， D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠ BAC＝a，其中 a 为任意锐角或钝角．请问结论 DE＝BD＋ CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α ∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°—α ∴∠DBA＝∠CAE ∵∠BDA＝∠AEC＝α，AB＝AC ∴△ADB≌△CEA ∴AE＝BD，AD＝CE ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE； (3)拓展与应用：如图，D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点 F 为∠BAC 平
模型性质总结 1、题目中只要满足“一线三等角”的条件，必相似； 2、题目如果两个条件：“一线三等角”和对应边相等的两个条件，必全等。模型常见背景： “一线三等角”的背景图形一般为正方形、等边三角形、等腰三角形等等。 1. 正方形 ABCD，有一个直角的顶点在边 AB 上 2. 等边三角形 ABC，有一个 60°角的顶点在边 AB 上 3. 等腰直角三角形 ABC，有一个 45°角的顶点在边 AB 上 4.一线三直角 ①∠ACB＝90°，AD⊥CE，BE⊥CE ②AD⊥AC，EC⊥AC，DC⊥EC 典型例题 (1)如图，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m 经过点 A，BD⊥直线 m， CE⊥直线 m，垂足分别为点 D、E．证明：DE＝BD＋CE．【解析】 ∵BD⊥直线 m，CE⊥直线 m ∴∠BDA＝∠CEA＝90° ∵∠BAC＝90°

人教版八年级上册数学《全等三角形》辅助线一线三等角问题(“K”字图)

一线三等角问题（“K ”字图）核心母题已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，D 是BC 边上一点，∠ADE=45°，AD=DE ，求证：BD=EC.练习： 1、已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF=ED ，EF ⊥ED ．求证：AE 平分∠BAD ．2、两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．3、如图，在ABC ∆中，BC AC ACB =︒=∠,90，直线MN 经过点C ，且MNAD ⊥于点D ，MN BE ⊥于点E 。

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD—BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问：DE，AD ，BE 有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。

N BN4、如图所示，AE ⊥AB ，BC ⊥CD 且AB=AE ，BC=CD ，F 、A 、G 、C 、H 在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？6、小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l 1∥l 2∥l 3 ，l 1与l 2之间的距离是1，l 2与l 3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l 1任取一点A ，作AD ⊥l 2于点D ，作∠DAH =90°，在AH 上截取AE =AD ，过点E 作EB ⊥AE 交l 3于点B ，连接AB ，作∠BAC =90°，交直线l 2于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于．参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3，直线l 1∥l 2∥l 3, l 1与l 2之间的距离是2，l 2与l 3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹）．7、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在P （5,5）处，两条直角边与坐标轴分别交于点A 和点B.（1）当点A 、点B 分别在x 轴、y 轴正半轴上运动时，试探究OA+0B 的值或取值范围； l 1l 2l 3图3l 1l 2l 3图1 l 1l 2l 3图2 l 1l 2l 3图3（2）点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上时，试探究OA-OB的值或取值范围，直接写出结果。

中考数学专题复习全等三角形之一线三等角模型

中考数学专题复习全等三角形（一线三等角模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、单选题1．如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边∠DPE ，连结BE ，则∠BDE 的面积为（）A ．43B ．2C ．4D ．632．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，从三角板的刻度可知AB ＝20cm ，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方是（）．A ．20013cm 2B ．15013cm 2C ．10013cm 2D ．5013cm 23．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a ＝8cm ，则DE 的长为（）A ．40cmB ．48cmC ．56cmD ．64cm4．如图，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A ．3B ．2C ．94D ．925．如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ∠BD ，ED ∠BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm评卷人得分二、填空题 6．已知直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，过点B 和点D 分别作直线的垂线BM 和DN ，垂足分别为点M 、点N ，如果5BM =，3DN =，那么点M 和点N 之间的距离为_______．7．如图，直线l 1∠l 3，l 2∠l 3，垂足分别为P 、Q ，一块含有45°的直角三角板的顶点A 、B 、C 分别在直线l 1、l 2、线段PQ 上，点O 是斜边AB 的中点，若PQ 等于72，则OQ 的长等于 _____．8．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD ∠DE 于点D ，BE ∠DE 于点E ，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为_____．9．如图，在等腰Rt ABC 中，AC BC =，D 为ABC 内一点，且BCD CAD ∠=∠，若4CD =，则BCD △的面积为________．10．如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是____ cm．评卷人得分三、解答题11．（1）如图1，在∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD∠直线m，CE∠直线m，垂足分别为点D、E．求证：∠ABD∠∠CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在∠ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论∠ABD∠∠CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且∠ABF和∠ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：∠DEF是等边三角形．12．已知∠ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ．BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，且垂足分别为D ，E ．学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD =2.5cm ，DE =1.7cm ，求BE 的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE 绕点C 旋转到∠ABC 的外部，BE 、AD 与直线CE 的垂直关系不变，如图2，猜想AD 、DE 、BE 三者的数量关系，并给予证明．13．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BCAC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠． ∠求证：ABP PCD △△∽；∠当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．14．在△ABC中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，且AD ∠MN 于D ，BE ∠MN 于E ．(1)直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE ＝AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．15．如图，在ABC 中，AB BC =．（1）如图∠所示，直线NM 过点B ，AM MN ⊥于点M ，⊥CN MN 于点N ，且90ABC ∠=︒．求证：MN AM CN =+．（2）如图∠所示，直线MN 过点B ，AM 交MN 于点M ，CN 交MN 于点N ，且AMB ABC BNC ∠=∠=∠，则MN AM CN =+是否成立？请说明理由．16．问题背景：（1）如图∠，已知ABC中，90BAC∠=︒，AB AC=，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，易证：DE=______+______．（2）拓展延伸：如图∠，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB AC=，D，A，E 三点都在直线m上，并且有BDA AEC BAC∠=∠=∠，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图∠，在ACB△中，90ACB∠=︒，AC BC=，点C的坐标为()2,0-，点A的坐标为()6,3-，请直接写出B点的坐标．17．探究：（1）如图（1），已知：在∠ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD∠直线m，CE∠直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE 之间的数量关系是．拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在∠ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且∠ABF和∠ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请直接写出∠DEF的形状是．18．在∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN于E．【感知】（1）当直线MN绕点C旋转到图∠的位置时，易证∠ADC∠∠CEB（不需要证明），进而得到DE、AD、BE之间的数量关系为．【探究】（2）当直线MN绕点C旋转到图∠的位置时，求证：DE＝AD－BE．（3）当直线MN绕点C旋转到图∠的位置时，直接写出DE、AD、BE之间的数量关系．19．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD∠ED于D，过B作BE∠ED于E．求证：∠BEC∠∠CDA；（2）模型应用：∠已知直线y＝34x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；∠如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P 是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若∠APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．20．（1）课本习题回放：“如图∠，90ACB∠=︒，AC BC=，AD CE⊥，BE CE⊥，垂足分别为D，E， 2.5cmAD=， 1.7cmDE=．求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为________．（2）探索证明：如图∠，点B，C在MAN∠的边AM、AN上，AB AC=，点E，F 在MAN∠内部的射线AD上，且BED CFD BAC∠=∠=∠．求证：ABE CAF∆∆≌．（3）拓展应用：如图∠，在ABC∆中，AB AC=，AB BC>．点D在边BC上，2CD BD=，点E、F在线段AD上，BED CFD BAC∠=∠=∠．若ABC∆的面积为15，则ACF∆与BDE∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）21．在∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，∠求证：∠ADC∠∠CEB；∠求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．22．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC∠AC于点C，过点D作DE∠AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到∠ABC∠∠DAE．进而得到AC＝，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC∠AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，∠AFD的面积为S1，∠DCE的面积为S2，则有S1S2（填“＞、＝、＜”）23．如图，在∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，∠求证：∠EAC＝∠BCF．∠猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）24．如图，在Rt ABC△中，90ABC∠=︒，点D在BC的延长线上，且BD AB=，过点B作BE AC⊥，与BD的垂线DE交于点E，连结AD，取AD中点O，连结OC，OE．（1）求证：ABC BDE△≌△．（2）求证：OC OE=．25．如图，在∠ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDE＝115°时，∠BAD＝°，点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，∠ABD∠∠DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，∠ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少时，∠ADE是等腰三角形．26．如图，∠B=∠C=∠FDE=80°，DF=DE，BF=1.5cm，CE=2cm，求BC的长．27．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a ﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0（1）求A，B两点的坐标（2）已知∠ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标（3）已知AB＝10，试探究在x轴上是否存在点P，使∠ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，在∠ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D 不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变．（填“大”或“小”）（2）当DC等于多少时，∠ABD∠∠DCE？请说明理由．（3）在点D的运动过程中，∠ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．29．在ABC中，90ACB∠=︒，AC BC=，直线MN经过点C，且AD MN⊥于D点，BE MN⊥于E点．（1）当直线MN绕点C旋转到图∠的位置时，求证：DE AD BE=+；（2）当直线MN绕点C旋转到图∠、图∠的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．30．如图，等腰直角∠ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）．（1）过点A作AD∠x轴，求OD的长及点A的坐标；（2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与∠OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标；（3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使∠OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．A【解析】【分析】要求BDE∆的面积，想到过点E作EF BC⊥，垂足为F，因为题目已知60ABC∠=︒，想到把ABC∠放在直角三角形中，所以过点D作DG BA⊥，垂足为G，利用勾股定理求出DG的长，最后证明GPD FDE∆≅∆即可解答．【详解】解：过点E作EF BC⊥，垂足为F，过点D作DG BA⊥，垂足为G，在Rt BGD中，4BD=，60ABC∠=︒，30BDG∴∠=︒，122BG BD∴==，2223GD BD BG∴=-=，PDE∆是等边三角形，60PDE∴∠=︒，PD DE=，180120PDB EDF PDE∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC∠=︒，180120PDB BPD ABC∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF∴∠=∠，90PGD DFE∠=∠=︒，()GPD FDE AAS∴∆≅∆，23GD EF∴==，BDE∴∆的面积12BD EF=⋅，14232=⨯⨯， 43=，故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．2．A【解析】【分析】设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，然后证明∠DAC ∠∠ECB 得到CD =BE =2x cm ，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，由题意得：∠ACB =∠ADC =∠BEC =90°，∠∠ACD +∠DAC =∠ACD +∠BCE =90°，∠∠DAC =∠ECB ，又∠AC =CB ，∠∠DAC ∠∠ECB （AAS ），∠CD =BE =2x cm ，∠222AC BC AB +=，222AD DC AC +=，∠()()222232220x x +=，∠220013x =，故选A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．3．C【解析】【详解】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，因此可以考虑证明△ACD 和△CBE 全等，可以证明DE 的长为7块砖的厚度的和．【分析】解：由题意得∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，∠∠ACD ＝90°﹣∠BCE ＝∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ），∠CD ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，∠DE ＝CD +CE ＝3a +4a ＝7a ，∠a ＝8cm ，∠7a ＝56cm ，∠DE ＝56cm ，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．4．A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ，推出∠BAD ＝∠CDE ，根据线段垂直平分线的性质得到AD ＝ED ，根据全等三角形的性质得到CD ＝AB ＝9，BD ＝CE ，即可得到结论．【详解】解：∠AB ＝AC ＝9，∠∠B ＝∠C ，∠∠ADE ＝∠B ，∠BAD ＝180°﹣∠B ﹣∠ADB ，∠CDE ＝180°﹣∠ADE ﹣∠ADB ，∠∠BAD ＝∠CDE ，∠AE 的中垂线交BC 于点D ，∠AD ＝ED ，在∠ABD 与∠DCE 中，BAD CDE B CAD ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABD ∠∠DCE （AAS ），∠CD ＝AB ＝9，BD ＝CE ，∠CD ＝3BD ，∠CE ＝BD ＝3故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．5．B【解析】【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【详解】解：∠AB ∠BD ，ED ∠BD ，∠90ABC CDE ∠=∠=︒，∠∠ACE ＝90°，∠90ACB DCE ∠+∠=︒，∠90ACB BAC ∠+∠=︒， ∠BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE △中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝， ∠()ABC CDE AAS ≌，∠6cmAB CD==，2cmBC DE==，∠268cmBD BC CD=+=+=，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．6．8或2##2或8【解析】【分析】根据正方形的性质得出∠NAD=∠MBA，再利用全等三角形的判定得出∠ABM∠∠AND，进而求出MN的值，注意分类讨论．【详解】如图1，在正方形ABCD中，∠90NAD BAM∠+∠=︒，90ABM BAM，∠NAD MBA∠=∠，∠在ABM和DAN中，AMB ANDABM NADAB AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABM DAN≌△△（AAS），∠3AM DN==，5BM AN==，∠358MN AM AN=+=+=，如图2，在正方形ABCD中，∠90DAN BAM ∠+∠=︒，90ABMBAM ，∠NAD MBA ∠=∠， ∠在ABM 和DAN 中，AMB DNA ABM NAD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABM DAN ≌△△（AAS ），∠3AM DN ==，5BM AN ==，∠532MN AN AM =-=-=，综上：8MN =或2．故答案为：8或2．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，将直线l 与正方形ABCD 的位置分类讨论是解题关键．7．6【解析】【分析】由“AAS ”可证∠ACP ∠∠CBQ ，可得AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，由“AAS ”可证∠APO ∠∠BHO ，可得AP ＝BH ，OP ＝OH ，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】解：如图，连接PO ，并延长交l 2于点H ，∠l 1∠l 3，l 2∠l 3， ∠l 1∠l 3，∠APC ＝∠BQC ＝∠ACB ＝90°， ∠∠P AC +∠ACP ＝90°＝∠ACP +∠BCQ ， ∠∠P AC ＝∠BCQ ，在∠ACP 和∠CBQ 中， ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAC BCQ APC BQC AC BC ， ∠∠ACP ∠∠CBQ （AAS ）， ∠AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，∠PC +CQ ＝AP +BQ ＝PQ ＝72， ∠AP ∠BQ ，∠∠OAP ＝∠OBH ， ∠点O 是斜边AB 的中点， ∠AO ＝BO ，在∠APO 和∠BHO 中， ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOP BOH APO BHO AO BO ， ∠∠APO ∠∠BHO （AAS ）， ∠AP ＝BH ，OP ＝OH ， ∠BH +BQ ＝AP +BQ ＝PQ ， ∠PQ ＝QH ＝72， ∠∠PQH ＝90°，∠PH＝2PQ＝12，∠OP＝OH，∠PQH＝90°，PH＝6．∠OQ＝12故答案为：6【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形和直角三角形的性质定理是解题的关键．8．13【解析】【分析】先根据AD∠DE，BE∠DE，∠ADC=∠CEB=90°，则∠DAC+∠DCA=90°，∠ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可证明∠DAC∠∠ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可．【详解】解：∠AD∠DE，BE∠DE，∠∠ADC=∠CEB=90°，∠∠DAC+∠DCA=90°，∠∠ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB∠∠DAC=∠ECB，∠∠DAC∠∠ECB（AAS），∠CE=AD=5，CD=BE=8，∠DE=CD+CE=13，故答案为：13．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．9．8【解析】由线段CD 的长求BCD ∆的面积，故过B 作CD 的垂线，则由三角形面积公式可知：12BCD S CD BE ∆=⨯⨯，再由题中的BCD CAD ∠=∠和等腰直角三角形ABC ，即可求证ACD CBE ∆∆≌，最后由4CD BE ==即可求解．【详解】解：过点B 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E90ACB ∠=︒90BCD ACD ∴∠+∠=︒BCD CAD ∠=∠90ACD CAD ∴∠+∠=︒90ADC ∴∠=︒BE CD ⊥90E ∴∠=︒90BCD CBE ∴∠+∠=︒ACD CBE ∴∠=∠AC CB =ACD CBE ∴∆∆≌4CD BE ∴== 1144822BCD S CD BE ∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 故答案是：8．【点睛】本题主要考察全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线． 10．28【分析】作CD ∠OB 于点D ，依据AAS 证明D AOB B C ∆≅∆,GMF ，再根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过点C 作CD ∠OB 于点D ，如图，∠90CDB AOB ∠=∠=︒∠ABC ∆是等腰直角三角形∠AB =CB ，90ABC ∠=︒∠90ABO CBD ∠+∠=︒又90CBD BCD ∠+∠=︒∠ABO BCD ∠=∠在ABO ∆和BCD ∆中， AOB BDC ABO BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABO BCD AAS ∆≅∆∠28cm CD BO ==故答案为：28．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．11．（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解【解析】【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得90BDA CEA ∠=∠=︒，而90BAC ∠=︒，根据等角的余角相等得CAE ABD ∠=∠，然后根据“AAS ”可判断ADB CEA ∆∆≌；（2）利用BDA BAC α∠=∠=，则180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，得出CAE ABD ∠=∠，然后问题可求证；（3）由题意易得,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒，由（1）（2）易证ADB CEA ∆∆≌，则有AE BD =，然后可得FBD FAE ∠=∠，进而可证DBF EAF ∆∆≌，最后问题可得证．【详解】（1）证明：BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，90BDA CEA ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒，CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；解：（2）成立，理由如下：α∠=∠=BDA BAC ，180α∴∠+∠=∠+∠=︒-DBA BAD BAD CAE ，CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；（3）证明：∠∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形，∠,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒，∠∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC =120°，∠180120DBA BAD BAD CAE ∠+∠=∠+∠=︒-︒，∠CAE ABD ∠=∠，∠()ADB CEA AAS ∆∆≌，∠AE BD =，∠,FBD FBA ABD FAE FAC CAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，∠FBD FAE ∠=∠，∠DBF EAF ∆∆≌（SAS ），∠,FD FE BFD AFE =∠=∠，∠60BFA BFD DFA AFE DFA DFE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∠∠DFE 是等边三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．12．BE 的长为0.8cm ；DE =AD +BE ．【解析】【分析】如图1，由“AAS ”可证∠ACD ∠∠CBE ，可得AD =CE =2.5cm ，BE =CD ，由线段的和差关系可求解；如图2，由“AAS ”可证∠ACD ∠∠CBE ，可得AD =CE ，BE =CD ，即可求解．【详解】解：如图1，∠∠ACB =∠BEC =∠ADC =90°，∠∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠CAD ，∠∠BCE =∠CAD ，在∠ACD 和∠CBE 中，BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ），∠AD =CE =2.5cm ，BE =CD ，∠DE =1.7cm ，∠BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm，∠BE的长为0.8cm；如图2，DE=AD+BE，理由如下：∠∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∠∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD，∠∠BCE=∠CAD，在∠ACD和∠CBE中，BEC ADCBCE CADBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD∠∠CBE（AAS），∠AD=CE，BE=CD，∠DE=AD+BE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．13．感知：（1）AEDE ；应用：（2）∠见解析；∠3.6；拓展：（3）2或113【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）∠根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；∠根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∠∠ABC∠∠DAE，∠BC AC AE DE=，∠BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）∠∠∠APC =∠B +∠BAP ，∠APC =∠APD +∠CPD ，∠APD =∠B ，∠∠BAP =∠CPD ，∠AB =AC ，∠∠B =∠C ，∠∠ABP ∠∠PCD ；∠BC =12，点P 为BC 中点，∠BP =PC =6，·∠∠ABP ∠∠PCD ，∠AB BP PC CD =，即1066CD=，解得：CD =3.6；拓展：（3）当P A =PD 时，∠ABP ∠∠PCD ，∠PC =AB =10，∠BP =BC -PC =12-10=2；当AP =AD 时，∠ADP =∠APD ，∠∠APD =∠B =∠C ，∠∠ADP =∠C ，不合题意，∠AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∠∠C =∠C ，∠∠BCA ∠∠ACP ，∠BC AC AC CP =，即121010CP =，解得：253CP =， ∠25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113 ．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．(1)证明见详解(2)DE+BE=AD．理由见详解(3)DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由见详解.【解析】【分析】（1）根据题意由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根据AAS可以证明∠ADC∠∠CEB，结合全等三角形的对应边相等证得结论；（2）由题意根据全等三角形的判定定理AAS推知∠ACD∠∠CBE，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE+BE=AD；（3）由题意可知DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．证明的方法与（2）相同．(1)证明：如图1，∠AD∠MN，BE∠MN，∠∠ADC=∠BEC=90°，∠∠DAC+∠ACD=90°，∠∠ACB=90°，∠∠ACD+∠BCE=90°，∠∠DAC=∠BCE，在∠ADC和∠CEB中，∠ADC BECDAC BCE AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADC∠∠CEB；∠DC=BE，AD=EC，∠DE=DC+EC，∠DE=BE+AD．(2)解：DE+BE=AD．理由如下：如图2，∠∠ACB=90°，∠∠ACD +∠BCE =90°．又∠AD ∠MN 于点D ，∠∠ACD +∠CAD =90°，∠∠CAD =∠BCE ．在∠ACD 和∠CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ），∠CD =BE ，AD =CE ，∠DE +BE =DE +CD =EC =AD ，即DE +BE =AD ．(3)解：DE =BE -AD （或AD =BE -DE ，BE =AD +DE 等）．理由如下：如图3，易证得∠ADC ∠∠CEB ，∠AD =CE ，DC =BE ，∠DE =CD -CE =BE -AD ，即DE =BE -AD ．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．15．（1）见解析；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由见解析【解析】【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到BAM CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，然后根据全等三角形对应边相等得到AM BN =，BM CN =，然后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+；（2）首先根据三角形内角和定理得到MAB CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，根据全等三角形对应边相等得到MN MB BN =+，最后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+．【详解】证明：（1）∠AM MN ⊥，⊥CN MN ，∠90AMB BNC ∠=∠=︒，∠90ABM BAM ∠+∠=︒，∠90ABC ∠=︒，∠90ABM CBN ， ∠BAM CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()AMB BNC AAS ≅△△，∠AM BN =，BM CN =，∠BN MB MN +=，∠MN AM CN =+；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由如下：∠180AMB MAB ABM ABM ABC CBN ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，∠AMB ABC ∠=∠， ∠MAB CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()AMB BNC AAS ≅△△，∠AM BN =，NC MB =，∠MN MB BN =+，∠MN AM CN =+．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到BAM CBN ∠=∠．16．（1）BD ；CE ；证明见详解；（2）DE=BD+CE ；证明见详解；（3）点B 的坐标为()1,4B ．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌，根据全等三角形的性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（3）根据AEC CFB ≌，得到3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，根据坐标与图形性质解答即可．【详解】（1）证明：∠BD m ⊥，CE m ⊥，∠90ADB CEA ∠=∠=︒，∠90BAC ∠=︒，∠90BAD CAE ∠+∠=︒，∠90BAD ABD ∠+∠=︒，∠ CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中 ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ADB CEA ≌，∠AE BD =，AD CE =，∠DE AE AD BD CE =+=+，即：DE BD CE =+，故答案为：BD ；CE ；（2）解：数量关系：DE BD CE =+ ，证明：在ABD 中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠，∠180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠， ∠ABD CAE ∠=∠，在ABD 和CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∠ABD CAE ≌，∠AE BD =，AD CE =，∠DE AD AE BD CE =+=+；（3）解：如图，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，由（1）可知，AEC CFB ≌，∠3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，∠1OF CF OC =-=，∠点B 的坐标为()1,4B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17．探究：（1）DE =BD +CE ；拓展：（1）成立，见解析；应用：（3）∠DEF 是等边三角形【解析】【分析】（1）根据BD ∠直线m ，CE ∠直线m 得∠BDA ＝∠CEA ＝90°，而∠BAC ＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE ＝∠ABD ，然后根据“AAS ”可判断∠ADB ∠∠CEA ，则AE ＝BD ，AD ＝CE ，于是DE ＝AE +AD ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，就可以求出∠BAD ＝∠ACE ，进而由AAS 就可以得出∠BAD ∠∠ACE ，就可以得出BD ＝AE ，DA ＝CE ，即可得出结论；（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC ＝120°，就可以得出∠BAD ∠∠ACE ，就有BD ＝AE ，进而得出∠BDF ∠∠AEF ，得出DF ＝EF ，∠BFD ＝∠AFE ，而得出∠DFE ＝60°，即可推出∠DEF 为等边三角形．【详解】（1）解：如图1，∠BD∠直线m ，CE ∠直线m ，∠∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠∠BAC ＝90°，∠∠BAD +∠CAE ＝90°∠∠BAD +∠ABD ＝90°，∠∠CAE ＝∠ABD ，在∠ADB 和∠CEA 中，BDA CEA CAE ABD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ），∠AE ＝BD ，AD ＝CE ，∠DE ＝AE +AD ＝BD +CE ；故答案为：DE＝BD+CE（2）解：如图2，∠∠BDA ＝∠BAC ＝α，∠∠DBA +∠BAD ＝∠BAD +∠CAE ＝180°﹣α，∠∠DBA ＝∠CAE ，在∠ADB 和∠CEA 中，BDA CEA CAE ABD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ），∠AE ＝BD ，AD ＝CE ，∠DE ＝AE +AD ＝BD +CE ；（3）证明：如图3，由（2）可知，∠ADB ∠∠CEA ，∠BD ＝AE ，∠DBA ＝∠CAE ，∠∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形，∠∠ABF ＝∠CAF ＝60°，BF ＝AF ，∠∠DBA +∠ABF ＝∠CAE +∠CAF ，∠∠DBF ＝∠F AE ，∠在∠DBF 和∠EAF 中， BD AE DBF FAE BF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠DBF ∠∠EAF （SAS ），∠DF ＝EF ，∠BFD ＝∠AFE ，∠∠DFE ＝∠DF A +∠AFE ＝∠DF A +∠BFD ＝60°，∠∠DEF 为等边三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（1）DE ＝AD ＋BE ；（2）见解析；（3）DE ＝BE －AD （或AD ＝BE －DE ，BE ＝AD ＋DE 等）【解析】【分析】（1）由已知推出∠ADC =∠BEC =90°，因为∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，推出∠DAC =∠BCE ，根据AAS 即可得到△ADC ∠∠CEB ，得到AD =CE ，CD =BE ，即可求出答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD =∠EBC ，能推出△ADC ∠∠CEB ，得到AD =CE ，CD =BE ，代入已知即可得到答案；（3）与（1）（2）证法类似可证出∠ACD =∠EBC ，能推出△ADC ∠∠CEB ，得到AD =CE ，CD =BE ，代入已知即可得到答案；【详解】解：（1）证明：∠AD ∠DE ，BE ∠DE ，∠∠ADC =∠BEC =90°，∠∠ACB =90°，∠∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，∠∠DAC =∠BCE ，在△ADC 和△CEB 中 CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADC ∠∠CEB （AAS ），∠AD =CE ，CD =BE ，∠DC +CE =DE ，∠DE =AD +BE ．（2）证明：∠AD ∠MN ，BE ∠MN ，∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，又∠∠ACB ＝90°，∠∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCE ＝90°．∠∠CAD ＝∠BCE ．∠AC ＝BC ，∠∠ADC ∠∠CEB ．∠CE ＝AD ， CD ＝BE ，∠DE ＝CE － CD ＝AD －BE ；（3）DE =BE -AD ，理由：∠BE ∠EC ，AD ∠CE ，∠∠ADC =∠BEC =90°，∠∠EBC +∠ECB =90°，∠∠ACB =90°，∠∠ECB +∠ACE =90°，∠∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADC ∠∠CEB （AAS ），∠AD =CE ，CD =BE ，∠DE =CD -CE =BE -AD （或AD ＝BE －DE ，BE ＝AD ＋DE 等）．【点睛】本题考查了邻补角的意义，同角的余角相等，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．19．（1）见解析；（2）137y x =-+；（3）(3,1)或(913)，或1923()33，【解析】【分析】（1）由条件可求得EBC ACD ∠=∠，利用AAS 可证明BEC CDA ≌；（2）由直线解析式可求得A 、B 的坐标，利用模型结论可得CE BO =，BE AO =，从而可求得C 点坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；（3）分两种情况考虑：如图2所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，设D 点坐标为(,25)x x -，利用三角形全等得到1128x x -+=，易得D 点坐标；如图3所示，当90APD ∠=︒时，AP PD =，设点P 的坐标为(8,)m ，表示出D 点坐标为(14,8)m m -+，列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，当90ADP∠=︒时，AD PD=时，同理求出D的坐标．【详解】解：（1）由题意可得，90ACB ADC BEC∠=∠=∠=︒，∠90EBC BCE BCE ACD∠+∠=∠+∠=︒，∠EBC ACD∠=∠，在BEC△和CDA中EBC ACDE DBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BEC CDA AAS≌；（2）过点C作CD x⊥轴于点D，如图2，在334y x=+中，令0y=可求得4x=-，令0x=可求得3y=，∠3OA=，4OB=同（1）可证得CDB BOA≌，∠4CD BO==，3BD AO==，∠437OD=+=，∠()7,4C-且()0,3A，设直线AC解析式为3y kx=+，把C点坐标代入可得734k-+=，解得17k=-，∠直线AC解析式为137y x=-+；（3）如图2，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，同理可得：AED DFP △≌△设D 点坐标为(,25)x x -，则6(25)112AE DF x x ==--=-，∠DE DF EF BC +==，即1128x x -+=，解得3x =，可得D 点坐标(3,1)；如图3，当90APD ∠=︒时，AP PD =，过点P 作PE OA ⊥于E ，过点D 作DF PE ⊥于F ，设点P 的坐标为()8,m ，同理可得：APE PDF ≌△△， ∠6PF AE m ==-，8DF PE ==，∠D 点坐标为()14,8m m -+，∠()82145m m +=--，得5m =，∠D点坐标(913)，；如图4，当90ADP∠=︒时，AD PD=时，同理可得ADE DPF△△≌，设(,25)D n n-，则DE PF n==，25OE n=-，AE DF=则256211DF AE n n==--=-，∠8DE DF EF OC+===∠2118n n+-=，解得193n=，23253n-=∠D点坐标1923()33，，综上可知满足条件的点D的坐标分别为(3,1)或(913)，或1923()33，．【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．20．（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【解析】【分析】（1）利用AAS定理证明∠CEB∠∠ADC，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明∠ABE∠∠CAF；（3）先证明∠ABE∠∠CAF，得到ACF∆与BDE∆的面积之和为∠ABD的面积，再根据2CD BD=故可求解．【详解】解：（1）∠BE∠CE，AD∠CE，∠∠E＝∠ADC＝90°，∠∠EBC＋∠BCE＝90°．∠∠BCE＋∠ACD＝90°，∠∠EBC＝∠DCA．在∠CEB和∠ADC中，E ADCEBC DCA BC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠CEB∠∠ADC（AAS），∠BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∠DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∠DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∠BE＝0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：∠∠1＝∠2，∠∠BEA＝∠AFC．∠∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∠∠BAC＝∠ABE＋∠3，∠∠4＝∠ABE．∠∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∠∠ABE∠∠CAF（AAS）．（3）∠BED CFD BAC∠=∠=∠∠∠ABE+∠BAE=∠F AC+∠BAE=∠F AC+∠ACF∠∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又AB AC=∠∠ABE∠∠CAF，∠ABE CAFS S=∠ACF∆与BDE∆的面积之和等于ABE∆与BDE∆的面积之和，即为∠ABD的面积，∠2CD BD=，∠ABD与∠ACD的高相同则13ABD ABCS S=△△=5故ACF∆与BDE∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．（1）∠见解析；∠见解析；（2）见解析；（3）DE BE AD=-，证明见解析【解析】【分析】（1）∠根据角之间的关系可得，DCA EBC∠=∠，即可求证；∠根据全等得到线段之间的关系，即可求解；（2）根据等角的余角相等得到ACD CBE∠=∠，易得ADC CEB△≌△，得到AD CE=，DC BE=，所以DE CE CD AD BE=-=-；（3）DE AD BE、、具有的等量关系为：DE BE AD=-．证明的方法与（2）相同．【详解】解：（1）∠∠90ACB∠=︒，。

全等三角形中“一线三等角”模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)

重难点：全等三角形中“一线三等角”模型【知识梳理】图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA图二如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。

结论：△BEC ≌△CDA【考点剖析】例题1．如图，∠A ＝∠B ＝90°，E 是线段AB 上一点，且AE ＝BC ，∠1＝∠2 ．（1）求证：ADE ≌BEC △；（2）若CD ＝10，求DEC 的面积．【详解】（1）∵12∠=∠，C D E BA∴DE CE =，∵∠A ＝∠B ＝90°，在Rt ADE △和Rt BEC △中，DE EC AE BC =⎧⎨=⎩，∴Rt ADE △≌Rt BEC △；（2）∵Rt ADE △≌Rt BEC △，∴ADE BEC ∠=∠，∵90ADE AED ∠+∠=︒，∴90AED BEC ∠+∠=︒，∴90DEC ∠=︒，∵12∠=∠，∴DE CE =，∴DEC 为等腰直角三角形，∴其斜边CD 上的高为5， ∴1105252DEC S =⨯⨯=△．【变式1】．已知，如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，P 是BD 上一点，且AP=PC ，AP ⊥PC ．（1）求证:△ABP ≌△PDC（2）若AB=3，CD=4，连接AC ，求AC 的长．【详解】（1）证明：,AB BD CD BD ⊥⊥90B D∴∠=∠=︒90BAP APB∴∠+∠=︒AP PC⊥90APB CPD∴∠+∠=︒BAP CPD∴∠=∠AP PC=()ABP PDC AAS∴≅；（2）连接AC，()ABP PDC AAS≅3,4AB BP CD===5 AP∴===在,5 Rt APC AP PC==AC∴==【变式2】如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D、E．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）猜想线段AD、BE、DE之间具有怎样的数量关系，并说明理由；（3）题设条件不变，根据图2可得线段AD、BE、DE之间的数量关系是．（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠CDA ＝∠BEC ＝90°．∴∠ACD ＋∠DAC ＝90°．∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°．∴∠DAC ＝∠ECB ．在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECBAC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC ≌△CEB ．（2）AD ＝BE ＋DE ．理由如下：由（1）知△ADC ≌△CEB ．∴AD ＝CE ，CD ＝BE ．∴AD ＝CE ＝CD ＋DE ＝BE ＋DE ．（3）DE ＝AD ＋BE ．理由：∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC=90°，∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠CBE ，又∵∠ADC=∠CEB ，AC=CB ，∴△ADC ≌△CEB ，∴AD=CE ，CD=BE ，∵CD+CE=DE ，∴DE=AD+BE ．【变式3】已知：D ，A ，E 三点都在直线m 上，在直线m 的同一侧作ABC ，使AB AC =，连接BD ，CE ．（1）如图①，若90BAC ∠=︒，BD m ⊥，CE m ⊥，求证ABD ACE ≅；（2）如图②，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请判断BD ，CE ，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理由．【详解】（1）证明：如图①，∵D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ADB AEC ABD CAEAB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由如下：如图②，∵∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD ＋∠ABD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAE ＋∠ACE ，∴∠ABD ＝∠CAE ，∠BAD ＝∠ACE ，在△ABD 和△CAE 中，＝＝＝⎩∠∠⎪⎨⎪⎧∠∠BAD ACE AB ACABD CAE ，∴△ABD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE ．【变式4】已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是多点A 的一条直线，且BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于点E.当直线AE 处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE 处于如图2的位置时，则BD 、DE 、CE 的关系如何？请说明理由.解析：（1）∵BD ⊥AE,CE ⊥AE∴∠BDA=∠AEC=90°∴∠A BD+∠BAD=90°∵∠BAC=90°（2）在△ABD 和△CAE ∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC 在△ABD 和△CAE 中∠ADB=∠CEA=90°∠ABD=∠EAC AB=CA ∴△ABD ≌△CAE(AAS)AD=CE,BD=AE ∵AE=AD+DE ∴BD=DE+CE 中解析：∵∠B=40°[来源:学,科,网Z,X,X,K]∴∠BAD+∠BDA=140°∵∠ADE=40°∴∠CDE+∠BDA=140°∴∠BAD=∠CDE在△ABD 和△DCE 中∠B=∠C∠BAD=∠CDEAB=DC∴△ABD ≌△∠ADB=∠CEA=90°AB=CA ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）∴AD=CE,BD=AE∵AE=DE-AD ∴BD=DE-CE.例2、如图，在△ABC 中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B,C 重合），连接AD ，作∠ADE=40°，DE 交线段AC 于点E.当DC 等于多少是，△ABD ≌△DCE?请证明你的结论.DCE 【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A．3B ．2 【答案】A 【详解】解：∵AB ＝AC ＝9，∴∠B ＝∠C ，∵∠ADE ＝∠B ，∠BAD ＝180°﹣∠B ﹣∠ADB ，∠CDE ＝180°﹣∠ADE ﹣∠ADB ，∴∠BAD ＝∠CDE ，∵AE 的中垂线交BC 于点D ，∴AD ＝ED ，在△ABD 与△DCE 中，BAD CDE B CAD ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△DCE （AAS ），∴CD ＝AB ＝9，BD ＝CE ，∵CD ＝3BD ，∴CE ＝BD ＝3故选：A ．【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如图，∠B =∠C =∠FDE =80°，DF =DE ，BF =1.5cm ，CE =2cm ，求BC 的长．【答案】3.5【详解】解：∠B=∠C=∠FDE=80°，100,100BDF EDC BDF BFD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒EDC BFD ∴∠=∠在BFD △与CDE 中，B C EDC BFDDE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BFD CDE AAS ∴≅=1.5,=2BF CD BD CE ∴==2 1.5 3.5BC BD DC ∴=+=+=．【过关检测】一．选择题1．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD ＝7cm ，BE ＝3cm ，则DE 的长是（）A ．3cmB ．3.5cmC ．4cmD ．4.5cm【分析】根据同角的余角相等，得∠CAD ＝∠BCE ，再利用AAS 证明△ACD ≌△CBE ，得CD ＝BE ＝3cm ，CE ＝AD ＝7cm ，从而得出答案．【解答】解：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠BEC ＝∠CDA ＝90°，∴∠CAD+∠ACD ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD+∠BCE ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm，故选：C．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ACD≌△CBE是解题的关键．2．（2021秋•定远县校级期末）如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC ＝20，AB＝8，则BE的长度为（）A．12B．10C．8D．6【分析】根据一线三等角模型证明△ABE≌△ECD，可得AB＝EC，即可解答．【解答】解：∵∠ABE＝∠AED＝90°，∴∠A+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠A＝∠DEC，∵∠ABE＝∠ECD＝90°，AE＝ED，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AB＝CE＝8∵BC＝20，∴BE＝BC﹣CE＝20﹣8＝12，故选：A．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键．3．（2021秋•岑溪市期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】根据同角的余角相等可得∠ABD＝∠BCE，再根据“AAS”可得△ABD≌△BCE，再逐项分析可得结论．【解答】解：∵AD⊥l，CE⊥l，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠EBC＝∠BCE+∠EBC＝90°，即∠ABD＝∠BCE，在△ABD和△BEC中，，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴BD＝CE，故①正确；∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠ABD＝∠BCE，∴∠BAD+∠BCE＝90°，即∠BAD与∠BCE互余，故②正确；∵△ABD≌△BCE，∴AD＝EB，DB＝CE，∵BE+D＝DE，∴AD+CE＝DE，故③正确．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD≌△CBE 是解题的关键．4．（2021秋•龙湾区期中）如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．保持不变【分析】过点C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G，利用SAS证明△OBP≌△HCB，得OB＝CH＝4，OP＝HB，即可解决问题．【解答】解：过点C作CH⊥OB于H，CG⊥OA于G，∵△CBP是等腰直角三角形，∴BC＝BP，∠CBP＝90°，∴∠HBC+∠OBP＝90°，∵∠CBH+∠HCB＝90°，∴∠OBP＝∠HCB，在△OBP和△HCB中，，∴△OBP≌△HCB（AAS），∴OB＝CH＝4，OP＝HB，∵∠ODC＝45°，CG⊥OD，∴△GCD是等腰直角三角形，∴CG＝DG，∴PD＝GD﹣PG＝CG﹣（OP﹣4）＝4+OP﹣（OP﹣4）＝8，∴PD的长度保持不变，故选：D．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键．二．填空题5．（2022秋•拱墅区期中）如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有a2+c2b2（填“＞”或“＜”或“＝”）．【分析】证△EFG≌△GMH，推出FG＝MH＝c，GM＝EF＝a，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图，由正方形的性质得：∠EFG＝∠EGH＝∠GMH＝90°，EG＝GH＝b，∵∠FEG+∠EGF＝90°，∠EGF+∠MGH＝90°，∴∠FEG＝∠MGH，在△EFG和△GMH中，，∴△EFG≌△GMH（AAS），∴FG＝MH＝c，GM＝EF＝a，在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2+FG2＝EG2，即a2+c2＝b2，故答案为：＝．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明△EFG≌△GMH是解题的关键．6．（2022秋•南陵县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝cm．【分析】由余角的性质可证∠CAD＝∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，可得CD＝BE，CE＝AD，根据DE＝CE ﹣CD，即可解题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△CDA和△BEC中，，∴△CDA≌△BEC（AAS），∴CD＝BE，CE＝AD，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE，∵AD＝8cm，BE＝3cm，∴DE＝5cm，故答案为：5．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CDA≌△BEC是解题的关键．7．（2021秋•台江区期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为．【分析】利用AAS证明△ACD≌△BDE，得BE＝AD，从而解决问题．【解答】解：∵BE⊥AD，∴∠EBD＝∠CAD＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，∴∠E＝∠ADC，在△ACD和△BDE中，，∴△ACD≌△BDE（AAS），∴BE＝AD，∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，故答案为：3．ACD≌△BDE是解题的关键．8．（2023春•城阳区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．过点B作BE⊥CA，垂足为点E．若CD＝2，CE＝6，则四边形ABCD的面积是．【分析】根据垂直定义可得∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°，从而可得∠D+∠DAC＝90°，∠DAC+∠EAB＝90°，进而可得∠D＝∠EAB，然后利用AAS证明△ADC≌△BAE，从而可得AC＝BE，DC＝AE＝2，进而可得BE＝AC＝8，最后根据四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积，进行计算即可解答．【解答】解：∵AB⊥AD，AC⊥DC，BE⊥CA，∴∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°，∴∠D+∠DAC＝90°，∠DAC+∠EAB＝90°，∴∠D＝∠EAB，∵AD＝AB，∴△ADC≌△BAE（AAS），∴AC＝BE，DC＝AE＝2，∵CE＝6，∴BE＝AC＝AE+CE＝2+6＝8，∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积＝DC•AC+AC•BE＝×2×8+×6×6＝8+18＝26，故答案为：26．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键．9．（2022•铁岭三模）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，∴DE＝DC+CE＝30（cm），答：两堵木墙之间的距离为30cm．故答案为：30．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．10．（2021秋•北仑区期末）如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为．【分析】如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG，根据SAS证明△BED≌△GFE，得FG＝CG＝BE，最后证明AD＝2BE可得结论．【解答】解：如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG，∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴DE＝EF，AB＝BC，∠DEF＝∠B＝∠ACB＝60°，∵∠DEC＝∠BDE+∠B＝∠DEF+∠FEG，∴∠BDE＝∠FEG，在△BED和△GFE中，，∴△BED≌△GFE（SAS），∴∠B＝∠EGF＝60°，BE＝FG，∵FC平分∠ACB，∴∠ACF＝∠ECF＝30°，∵∠EGF＝∠GFC+∠FCG，∴∠GFC＝∠GCF＝30°，∴FG＝CG＝BE，∵AB＝BC，BD＝EG，∴AD＝BE+CG＝2BE＝5，∴BE＝2.5．故答案为：2.5．【点评】本题考查了等边三角形性质，全等三角形判定和性质，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形全等．三．解答题11．（2021秋•嵊州市期末）【问题提出】（1）已知：如图1，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，点C在线段DE上，AC＝BC且AC⊥BC，求证：△ADC≌△CEB．【问题解决】（2）如图2，点D，C，E在直线l上．点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5cm，CD ＝6cm，求CE的长．【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCE，然后利用AAS即可证明结论；（2）作AG⊥CD于G，BH⊥CE于H，根据等腰三角形的性质得CG＝3cm，利用勾股定理得AG＝4cm，由（1）同理得，△ACG≌△CBH（AAS），得CH＝AG＝4cm，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：作AG⊥CD于G，BH⊥CE于H，∵AD＝AC，AG⊥CD，∴CG＝3cm，在Rt△ACG中，由勾股定理得，AG＝4cm，由（1）同理得，△ACG≌△CBH（AAS），∴CH＝AG＝4cm，∵BC＝BE，BH⊥CE，∴CE＝2CH＝8cm．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握基本几何模型是解题的关键．12．（2022秋•青田县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．【分析】根据垂直的定义以及等量代换可知∠CBE＝∠ACD，根据已知条件∠BEC＝∠CDA，∠CBE＝∠ACD，BC＝AC，根据全等三角形的判定AAS即可证明△BEC≌△CDA．【解答】证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE＝90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，在△BEC和△CDA中，∠BEC＝∠CDA，∠CBE＝∠ACD，BC＝AC，∴△BEC≌△CDA．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，本题根据AAS证明两三角形全等，难度适中．13．（2021秋•安陆市校级月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC＝∠CEB ＝90°，根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD＝CE，DC＝BE，即可得到DE＝DC+CE＝BE+AD．（2）根据等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，DC＝BE，所以DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE＝BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝DC+CE＝BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）DE＝BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．14．（2021秋•南丹县期末）如图1，∠ABC＝90°，F A⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．（1）判断DF与DC的数量关系为，位置关系为．（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC，DF，CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△ADF≌△BCD，得DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，从而得出∠ADF+∠CDB＝90°，即可证明结论；（2）由（1）同理得△ADF≌△BCD，得DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，从而得出∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF ＝90°．【解答】解：（1）∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°，在△ADF与△BCD中，，∴△ADF≌△BCD（SAS），∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，∵∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，∴CD⊥DF，故答案为：相等，垂直；（2）成立，理由如下：∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠DAF＝∠CBD，在△ADF与△BCD中，，∴△ADF≌△BCD（SAS），∴DF＝CD，∠ADF＝∠BCD，∵∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠ADF+∠CDB＝90°，即∠CDF＝90°，∴CD⊥DF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟悉基本的一线三等角模型是解题的关键．15．（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．【分析】由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根据AAS证明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出结果．【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD与△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD+AE＝10，∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△BAD≌△ACE是解题的关键．16．（2022秋•沭阳县月考）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE．【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）∠ACE＝90°（已证）∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质）∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°）∠B＝90°（已证）∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质）∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等）在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（ASA）∴BC＝DE．（全等三角形对应边相等）【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．17．（2022•鹿城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；（2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△DCE，∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，∵AC＝AB，∴AC＝5，∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．18．（2022秋•浠水县期中）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE＝∠ABD，再利用AAS证明△ABD≌△CAE，得BD ＝AE，CE＝AD；（2）由（1）同理可得△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，可得答案；（3）分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．19．（2021秋•岳阳楼区期末）直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【分析】（1）由直角三角形的性质证出∠ABD＝∠CAE，可证明△ABD≌△CAE（AAS）；（2）证明△ABD≌△CAE（AAS），由全等三角形的性质得出BD＝AE，DA＝EC，则可得出结论；（3）分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△ADF≌△EAN，得出AF＝CM，AF＝EN，证明△CMG≌△ENG（AAS），由全等三角形的性质得出CG＝EG，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠DAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：猜想：DE＝BD+CE，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠ABD+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α，∠CAE+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，DA＝EC，∴DE＝AE+DA＝BD+CE；（3）证明：分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△≌△EAN，∴AF＝CM，AF＝EN，∴CM＝EN，∵CM⊥l，EN⊥l，∴∠CMG＝∠ENG＝90°，在△CMG与△ENG中，，∴△CMG≌△ENG（AAS），∴CG＝EG，∴G为CE的中点．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．20．（2021秋•涡阳县期末）如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM ＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．【分析】（1）先求出∠B＝45°，再用平行线的性质，即可求出答案；（2）先用同角的余角相等判断出∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，进而判断出△AMC≌△CNB（ASA），得出AM＝CN，MC＝BN（3）同（2）的方法，即可得出结论．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，∵AB∥MB，∴∠2＝∠B＝45°，故答案为45；（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM，理由：同（2）的方法得，△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出△AMC≌△CNB是解本题的关键．21．（2022•信阳模拟）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）先由α＝120°和AF平分∠BAC得到∠BAF＝∠CAF＝60°，然后结合AB＝AF＝AC得到△ABF和△ACF 是等边三角形，然后得到FA＝FC、∠FCA＝∠FAB＝60°，然后结合△BDA≌△EAC得到∠BAD＝∠ACE、AD ＝CE，从而得到∠FAD＝∠FCE，故可证△FAD≌△FCE，从而得到DF＝EF、∠DFA＝∠EFC，最后得到∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝60°，即可得证△DEF是等边三角形．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下，∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB＝AF＝AC，∴△ABF和△ACF是等边三角形，∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，同（2）可得，△BDA≌△AEC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，∴∠FAD＝∠FCE，∴△FAD≌△FCE（SAS），∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等．22．（2022秋•东台市月考）【一线三等角模型】如图1：点A、B、C在一条直线上，∠A＝∠DBE＝∠C，当BD＝BE时，有△ABD≌△CEB．理由：∵∠A＝∠DBE，∴∠D+∠DBA＝180°﹣∠A，∠DBA+∠CBE＝180°﹣∠DBE，∴∠D＝∠CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请将全等证明过程补充完整．【模型运用】如图2：∠ABC＝∠CAD＝90°，AB＝4，AC＝AD，求△BAD的面积；【能力提升】如图3：在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的动点，AE＝2CD，连接AC，以AC 为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当点A从点E向点D运动（不与点D重合）时，∠CFB的度数变化吗？如不变请求出它的度数，如变化，请说明它是怎样变化的？【分析】【一线三等角模型】如图1：根据AAS证明三角形全等即可；【模型运用】如图2：过点D作DT⊥BA交BA的延长线于点T．构造全等三角形解决问题即可；【能力提升】∠CFB＝30°不变．如图3中，在CF上取一点N，使得FN＝DC．证明△ADC≌△CNB（SAS），推出BN＝CD，∠D＝∠BNC＝60°，可得结论．【解答】【一线三等角模型】证明：如图1：∵∠A＝∠DBE，∴∠D+∠DBA＝180°﹣∠A，∠DBA+∠CBE＝180°﹣∠DBE，∴∠D＝∠CBE，在△ABD和△CEB中，，∴△ABD≌△CEB（AAS）；【模型运用】解：如图2：过点D作DT⊥BA交BA的延长线于点T．同法可证△ATD≌△CBA（AAS），∴DT＝AB＝4，∴S△ABD＝×AB×DT＝×4×4＝8；【能力提升】解：∠CFB＝30°不变．理由：如图3中，在CF上取一点N，使得FN＝DC．∵△ABC，△DEF都是等边三角形，∴∠D＝∠ACB＝60°，DA＝DF，CA＝CB，∵AE＝2CD，CD＝FN，∴DA＝CN，∵∠ACN＝∠ACB+∠BCN＝∠D+∠CAD，∴∠BCN＝∠DAC，在△ADC和△CNB中，，∴△ADC≌△CNB（SAS），∴BN＝CD，∠D＝∠BNC＝60°，∵NF＝CD，∴NB＝NF，∴∠NBF＝∠NFB，∵∠BNC＝∠NBF+∠NFB＝60°，∴∠NFB＝∠NBF＝30°，∴∠CFB＝30°．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造一线三等角模型，利用全等三角形解决问题．23．（2021秋•江汉区期末）如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，DE＝EF，∠DEF＝60°．（1）如图1，若点F在AC边上，求证：AD＝CF；（2）如图2，连CF．若∠FCB＝30°，求证：AD＝2BE；（3）如图3，O是BC的中点，点H在△ABC内，∠BHC＝120°，点M，N分别在CH，BH上，MO⊥NO，若∠CAM＝α，直接写出∠BAN的度数（用含有α的式子表示）．【分析】（1）连接DF，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形，则DF＝EF，又△ABC是等边三角形，根据三角形内角和可得出，∠AFD＝∠FEC，所以△ADF≌△CFE（AAS），则AD＝CF；（2）过点F作JK∥AC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PI∥AB交AC于P，交BC于点I，连接DF，则△BJK和△CPI是等边三角形，△BDE≌△JFD≌KEF，所以DJ＝BE＝FK，因为AB∥PI，FK∥AC，所以四边形AJFP是平行四边形，则AJ＝PF，易得△CPI为等边三角形，由∠FCB＝30°可得CF平分∠PCI，则FI＝FP，所以FP＝AJ，FK＝BE＝DJ，FI＝FK，所以AJ＝DJ＝BE，即AD＝AJ+DJ＝2BE；（3）延长MO到点G，使OG＝OM，连接NG，BG，NM，作∠ACQ＝∠ABN，且使CQ＝BN，连接MQ，AQ，先得到△BOG≌△COM（SAS），再得到△ACQ≌△ABN（SAS）和△BNG≌△CQM（SAS），所以∠NAM＝∠MAQ ＝∠CAM+∠CAQ＝∠CAM+∠BAN，所以∠CAM+∠BAN＝30°，则∠CAM＝α，所以∠BAN＝30°﹣α．【解答】（1）证明：如图，连接DF，∵DE＝EF，∠DEF＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴DF＝EF，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，∵∠AFE＝∠AFD+∠DFE＝60°+∠AFD，∠AFE＝∠C+∠EFC＝60°+∠FEC，∴∠AFD＝∠FEC，∵∠A＝∠C，DF＝EF，∴△ADF≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；（2）证明：如图，过点F作JK∥AC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PI∥AB交AC于P，交BC于点I，连接DF，∴∠BJK＝∠BAC＝∠BKJ＝∠ACB＝60°＝∠ABC，∠CPI＝∠BAC＝∠B＝∠CIP＝60°＝∠ACB，∴△BJK和△CPI是等边三角形，∵∠DEF＝60°，DE＝EF，∴△DEF是等边三角形，由（1）中结论可知，△BDE≌△JFD≌KEF，∴DJ＝BE＝FK，∵AB∥PI，FK∥AC，∴四边形AJFP是平行四边形，∴AJ＝PF，∵∠FIK＝∠FKI＝60°，∴FI＝FK，∵△CPI为等边三角形，∠FCB＝30°，∴∠FCI＝∠FCP＝30°，∴CF平分∠PCI，∵△CPI是等边三角形，∴FI＝FP，∵FP＝AJ，FK＝BE＝DJ，FI＝FK，∴AJ＝DJ＝BE，即AD＝AJ+DJ＝（3）解：如图，延长MO到点G，使OG＝OM，连接NG，BG，NM，作∠ACQ＝∠ABN，且使CQ＝BN，连接MQ，AQ，∵MO⊥NO，OM＝OG，∴NG＝MN，∵MO＝OG，BO＝OC，∠MOC＝∠BOG，∴△BOG≌△COM（SAS），∴BG＝CM，∠GBO＝∠OCM，∴BG∥CM，∴∠NBG＝180°﹣∠BHC＝60°，∵BHC＝120°，∴∠HBC+∠HCB＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠ABH+∠HBC＝∠ACH+∠HCB＝60°，∴∠ABH＝∠HCB，∠HBC＝∠ACH，∵∠ACQ＝∠ABN，AB＝AC，BN＝CQ，∴△ACQ≌△ABN（SAS），∴AN＝AQ，∠BAN＝∠CAQ，∵∠ACB＝∠ACH+∠BCH＝60°，∠ABN＝∠BCH＝∠ACQ，∴∠MCQ＝∠ACM+∠ACQ＝∠ACH+∠BCH＝60°＝∠NBG，∵BN＝CQ，BG＝CM，∴△BNG≌△CQM（SAS），∴NG＝MQ，∵NG＝NM，∴MQ＝MN，∵AN＝AQ，AM＝AM，∴△NAM≌△QAM（SSS），∴∠NAM＝∠MAQ＝∠CAM+∠CAQ＝∠CAM+∠BAN，又∵∠NAM+∠CAM+∠BAN＝60°，∴∠CAM+∠BAN＝30°，∴∠CAM＝α，∴∠BAN＝30°﹣α．【点评】本题属于三角形的综合题，涉及全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一等知识，类比思想及构造的思想进行分析，仿造（1）中的结论构造出全等三角形是解题关键．。

中考数学常见几何模型一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)

专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，2AB AC ==，分别求出线段BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFCS △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆= 【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒，即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt△AEC 中，根据勾股定理求出225AC AE CE =+=，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF=，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：△90BAC ∠=︒，AB AC =，△90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， △l BC ∥，△45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，△45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，△2sin 212AD BD AB DAB ==⨯∠=⨯=，2sin 212AE CE AC EAC ==⨯∠=⨯=，△2DE AD AE =+=． (2)①DE =CE +BD ；理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，△314AE AD DE =+=+=，在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：225AC AE CE =+=，△BD △AE ，CE △AE ，△DF CE ∥，△AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， △155544CF AC AF =-=-=，△AB =AC =5，△1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ， CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明△DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若△BDA =△AEC =△BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=60°，FB=F A，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△F AE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=90°．△△BAC＝90°，△△BAD+△CAE=90°．△△BAD+△ABD=90°，△△CAE=△ABD．又AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=180°-α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=60°．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△F AE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（SAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=60°．△△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______； ②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为()1,3，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD △CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．【答案】①△BDF ；②△CFD ；③3；（2）(31)-，（3）2cm【分析】①根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得△AED △△BDF ；②根据等边三角形的性质及和角关系，可得△BDE △△CFD ；③根据正方形的性质及和角关系，可得△ABE △△BCF ，由全等三角形的性质即可求得EF 的长；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，根据正方形的性质及和角关系，可得△COE △△OAD ，从而可求得OE 、CE 的长，进而得到点C 的坐标；（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明△BCE △△CAD ，由全等三角形的性质即可求得BE 的长．【详解】①△△ABC 是等腰直角三角形，△C =90゜△△A =△B =45゜△△BDF +△BFD =180゜−△B =135゜△△EDF =45゜△△ADE +△BDF =180゜−△EDF =135゜△△ADE =△BFD在△AED 和△BDF 中A B ADE BFD AEBD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AED △△BDF (AAS ) 答案为：△BDF ； ②△△ABC 是等边三角形△△B =△C =60゜△△BDE +△BED =180゜−△B =120゜△△EDF =60゜△△BDE +△CDF =180゜−△EDF =120゜△△BED =△CDF在△BDE 和△CFD 中B C BED CDF BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BDE △△CFD (AAS )故答案为：△CFD ； ③△四边形ABCD 是正方形△△ABC =90゜，AB =BC△△ABE +△CBF =180゜−△ABC =90゜△AE △l ，CF △l △△AEB =△CFB =90゜△△ABE +△EAB =90゜△△EAB =△CBF在△ABE 和△BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABE △△BCF (AAS ) △AE =BF =1，BE =CF =2△EF =BE +BF =2+1=3 故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示△四边形OABC 是正方形△△AOC =90゜，AO =OC△△COE +△AOD =180゜−△ACO =90゜△AD △x 轴，CE △x 轴△△CEO =△ADO =90゜△△ECO +△COE =90゜△△ECO =△AOD在△COE 和△OAD 中CEO ADO ECO AOD OC AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△COE △△OAD (AAS )△CE =OD ，OE =AD △(1,3)A △OD =1，3AD =△CE =1，3OE =△点C 在第二象限△点C 的坐标为(31)-，故答案为：(31)-，；（3）△△ACB =90゜△△BCE +△ACD =90゜△BE △CE ，AD △CE △△CEB =△ADC =90゜△△BCE +△CBE =90゜ △△CBE =△ACD在△BCE 和△CAD 中CBE ACD CEB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BCE △△CAD (AAS ) △BE =CD ，CE =AD =6cm △BE =CD =CE －DE =6－4=2(cm)【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP △△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP △△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB △△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=△2或△1=△CQP ，即△2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=△1或△2=△CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则△2=△B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，△BDA BAC α∠=∠=，△180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，△DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△CEA （AAS ），△AE BD =，AD CE =， △DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，△1150β∠=︒-，同理可得：230βα∠=︒+-；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+-=，解得30α=︒，则△ABP △△PCQ ；△当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP △△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．△当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP △△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP △△PCQ △△BCA ； ②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒-=︒=，23052.5βαα∠=︒+-=︒=，△△ABP △△CQP △△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，△DAE ＝△BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN＝，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为（请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．【答案】(1)2，45° (2)成立，理由见解析(3)N 点运动的路径长为6，CN 的最小值为3【分析】（1）证明△AMN 是等腰直角三角形，可得结论．（2）结论不变．连接AM ，AN ，证明△BAD △△MAN ，可得结论．（3）利用三角形中位线定理，垂线段最短解决问题即可．(1)解：如图1中，当点D 是BC 的中点时，△AB =AC ，△AD △BC ，AD 平分△BAC ，△△CAD =△ADE =45°，△AC △DE ，△AC 平分DE ，△点N 落在AC 上，△BM =AM =2MN ，△NMC =45°，△BD MN=2，故答案为：2，45°． (2)解：如图2中，连接AM ，AN ．△AB =AC ，△BAC =90°，BM =CM ，△AM △MC ，AM =BM =CM ，△AB =2AM ，同法可证AD =2AN ，△△BAM =△DAN =45°，△△BAD =△MAN ，△AB AM =AD AN ，△△BAD △△MAN ，△BD MN =AB AM=2，△ABD =△AMN =45°．(3)解：如图3中，当D 在线段BC 上，从B 运动到C 时，由（2）问可知，△AMN =45°，所以点N 的运动路径是图3中的线段MN ，MN =12BE =6．当CN △MN 时，CN 的值最小，最小值=12AC =3．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，22AB =，45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5CD =【分析】（1）由△DPC =△A =B =90°，可得△ADP ＝△BPC ，即可证到△ADP ∽△BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由△DPC ＝△A ＝△B ＝α，可得△ADP =△BPC ，即可证到△ADP∽△BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证△ABD ∽△DFE ，求出DF =4，再证△EFC ∽△DEC ，可求FC ＝1，进而解答即可．【详解】（1）证明：如题图1，△△DPC =△A =△B =90°，△△ADP ＋△APD =90°，△BPC ＋△APD = 90°，△△ADP = △BPC ，△△ADP ∽△BPC ，AD AP BP BC∴=，△AD ⋅BC = AP ⋅BP ，（2）结论仍然成立，理由如下，BPD DPC BPC ∠=∠+∠，又BPD A ADP ∠=∠+∠，DPC BPC A ADP ∴∠+∠=∠+∠，DPC A ∠=∠，设DPC A α∠=∠=，BPC ADP ∴∠=∠，ADP BPC ∴∽△△，AD AP BP BC ∴=，△AD ⋅BC = AP ⋅BP ，（3）45EFD ∠=︒，45B ADE ∴∠=∠=︒，BAD EDF ∴∠=∠，ABD DFE ∴∽，AB AD DF DE∴=，ADE 是等腰直角三角形，2DE AD ∴=，22AB =，4DF ∴=，45,45EFD ADE ∠=︒∠=︒，135EFC DEC ∴∠=∠=︒，EFC DEC ∴∽，FC EC EC CD ∴=， 5EC =,4CD DF FC FC =+=+，()245EC FC CD FC FC ∴=⋅=⋅+=，1FC ∴=，5CD ∴=．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②35DE =+或35DE =-【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342xx =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，△四边形ABCD 是矩形，△90A D ∠=∠=︒，△90CED DCE ∠+∠=︒．△EF CE ⊥，△90CED AEF ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．△BG CF ⊥，△BGC 是直角二角形．△132BM CM GM BC ====． △点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中，225AM AB BM =+=．△AGGM+的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，△CMN CBF ∽△△．△12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，△()11422MN BF x ==-． △∥MN AB ，△AFG MNG ∽△△，△AF AG MN GM=，由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又△3GM =，△2AG =．△()21342xx =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．△MHG MBA ∽△△．△GM GH MH AM AB MB ==，由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又△3GM =，△3543GH MH ==．△125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，△GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =． △1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC．设DE y =，则6AE y =-，△164y y -=，解得35y =+或35-． △0356<+<，0356<-<，△35DE =+或35DE =-．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT=，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =．（1）解：△MRN △是等腰直角三角形，△=MR RN ，90MRN ∠=︒，△MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，△90MPR NQR ∠=∠=︒，△90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，△PMR NRQ ∠=∠，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MPR NRQ ≌△△，△QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠；（2）解：△四边形ACEF 是正方形，△AC CE =，90ACE ∠=︒，△EK BK ⊥△90B EKC ∠=∠=︒，△90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECK ∠=∠，在ABC 和CEK △中，BAC KCE B EKCAC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC CEK ≌△△，△EK BC =， △四边形CDGH 是正方形，△CD CH =，90DCH ∠=︒△HL BC ⊥，△90B CLH ∠=∠=︒，△90DCB LCK LCK CHL ∠+∠=∠+∠=︒，△DCB CHL ∠=∠，在DCB 和CHL △中，B CLH BCD CHL CD CH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△DCB CHL ≌△△，△BC HL =，EK LH =，（3）解：过E 作EM BC ⊥与M ，过H 作HN BC ⊥与N ，△四边形ACEF 是矩形，△90ACE ∠=︒，△90BAC ACB ACB ECM ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECM ∠=∠，△ACB ECM ∽△△，△BC AC k EM CE==，△BC kEM =，同理：BCD NHC ∽△△，△BC CD k HN CH==，△BC kHN =，△EM HN =，在NHT △和EMT △中，HNT EMT NTH MTE HN EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△NHT EMT ≌△△，△ET HT =．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，矩形的性质，余角的性质，（3）证明ACB ECM ∽△△，BCD NHC ∽△△是解题的关键．3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC △△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC △△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．【答案】(1)见解析(2)41577y x =-+(3)4或372+ 【分析】（1）由同角的余角相等可得△BCE =△DAC ，且△ADC =△BEC =90°，可得结论；（2）过点O 作ON △OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME △x 轴NF △x 轴，由（1）的结论可得： △NFO △△OEM ，可得NF OF NO OE ME MO== ，可求点N 坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．(1)解：理由如下，△△ACB ＝90°，△△ACD +△BCE ＝90°，又△△ADC ＝90°，△△ACD +△DAC ＝90°，△△BCE ＝△DAC ，且△ADC ＝△BEC ＝90°，△△ADC △△CEB ；(2)解：如图，过点O 作ON △OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME △x 轴，NF △x 轴，由（1）可得：△NFO △△OEM ，△NF OF NO OE ME MO==，△点M （2，1），△OE ＝2，ME ＝1， △tanα＝ON OM ＝32，△3212NF OF ==，△NF ＝3，OF ＝32 ，△点N （32-，3）， △设直线CD 表达式：y ＝kx +b ，△12332k b k b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩△47157k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩△直线CD 的解析式为：y ＝-47x +157； (3)解：当△CDP ＝90°时，如图，过点P 作PH △BC ，交BC 延长线于点H ，△△ADC +△CDP ＝180°，△点A ，点D ，点P 三点共线，△△BAP ＝△B ＝△H ＝90°，△四边形ABHP 是矩形，△AB ＝PH ＝4，△将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，△AE ＝EP ，△AEP ＝90°，△△AEB +△PEH ＝90°，且△BAE +△AEB ＝90°，△△BAE ＝△PEH ，且△B ＝△H ＝90°，AE ＝EP ，△△ABE △△EHP （AAS ），△BE ＝PH ＝4，当△CPD ＝90°时，如图，过点P 作PH △BC ，交BC 延长线于点H ，延长HP 交AD 的延长线于N ，则四边形CDNH 是矩形，△CD ＝NH ＝4，DN ＝CH ，设BE ＝x ，则EC ＝5-x ，△将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，△AE ＝EP ，△AEP ＝90°，△△AEB +△PEH ＝90°，且△BAE +△AEB ＝90°，△△BAE ＝△PEH ，且△B ＝△EHP ＝90°，AE ＝EP ，△△ABE △△EHP （AAS ），△PH ＝BE ＝x ，AB ＝EH ＝4，△PN ＝4-x ，CH ＝4-（5-x ）＝x -1＝DN ，△△DPC ＝90°，△△DPN +△CPH ＝90°，且△CPH +△PCH ＝90°，△△PCH ＝△DPN ，且△N ＝△CHP ＝90°，△△CPH △△PDN ，△DN NP PH CH =，△1x x -=41x x --△x ＝372± △点P 在矩形ABCD 外部，△x ＝372+，△BE ＝372+，综上所述：当BE 的长为4或372+时，△DPC 为直角三角形．【点睛】本题是考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．【答案】（1）见详解；（2）点M的坐标为（1，3）；（3）R（203，0）【分析】（1）先判断出△ACB=△ADC，再判断出△CAD=△BCE，进而判断出△ACD△△CBE，即可得出结论；（2）过点M作MF△y轴，垂足为F，过点N作NG△MF，判断出MF=NG，OF=MG，设M（m，n）列方程组求解，即可得出结论；（3）过点Q作QS△PQ，交PR于S，过点S 作SH△x轴于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论．【详解】（1）证明：△△ACB＝90°，AD△l，△△ACB＝△ADC．△△ACE＝△ADC+△CAD，△ACE＝△ACB+△BCE，△△CAD＝△BCE，△△ADC＝△CEB＝90°，AC＝BC．△△ACD△△CBE，△CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF△y轴，垂足为F，过点N作NG△MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且△OMN＝90°，△由（1）得△OFM△△MGN，△MF＝NG，OF＝MG，设M（m，n），△MF＝m，OF＝n，△MG＝n，NG＝m，△点N的坐标为（4，2）△42m n n m +=⎧⎨-=⎩解得13m n =⎧⎨=⎩△点M 的坐标为（1，3）；（3）如图3，过点Q 作QS △PQ ，交PR 于S ，过点S 作SH △x 轴于H ，对于直线y ＝﹣4x +4，由x ＝0得y ＝4，△P （0，4），△OP ＝4，由y ＝0得x ＝1，△Q （1，0），OQ ＝1，△△QPR ＝45°，△△PSQ ＝45°＝△QPS ．△PQ ＝SQ ．△由（1）得SH ＝OQ ，QH ＝OP ． △OH ＝OQ+QH ＝OQ+OP ＝4+1＝5，SH ＝OQ ＝1．△S （5，1），设直线PR 为y ＝kx+b ，则451b k b =⎧⎨+=⎩，解得435b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩．△直线PR 为y ＝35x +4．由y ＝0得，x ＝203，△R （203，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，△ACB =90°，CB =CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD △ED 于D ，过B 作BE △ED 于E ．求证：△BEC △△CDA ；（2）模型应用：①已知直线AB 与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，sin△ABO =35，OB =4，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y =2x -5上的一点，若△APD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D 的坐标．【答案】（1）见解析；（2）①137y x =-+；②D （3，1）或1923,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】（1）解：由题意可得， 90ACB ADC BEC ∠∠∠===︒ ，△90EBC BCE BCE ACD ∠+∠=∠+∠=︒ ，△EBC ACD ∠=∠ ，在BEC △和CDA 中EBC ACD E D BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△BEC CDAAAS ∆∆≌（），（2）解：①如图，过点C 作 CD x ⊥ 轴于点D ，在Rt △ABO 中 sin△ABO 35=，OB =4， △设AO =3m ，AB =5m ，△OB =4m =4，△m =1，△AO =3，同（1）可证得CDB BOA ∆∆≌，△4CD BO == ，3BD AO ==，△437OD =+=，△74C -（，），△03A （，），设直线AC 解析式为 3y kx =+ ，把C 点坐标代入可得734k -+=，解得 17k =- ， △直线AC 解析式为137y x =-+； ②设D 坐标为（x ，2x -5）,当D 在AB 的下方时，过D 作DE △y 轴于E ，交BC 于F ,同（1）可证得△ADE △△DPF ，△DF =AE =6-（2x -5）=11-2x ，DE =x,△11-2x +x =8,△x =3，△D （3，1），当D 在AB 的上方时，如图，过D 作DE △y 轴于E ，交BC 的延长线于F , 同（1）可证得ADE DPF △△≌，△DF =AE =（2x -5）-6=2x -11，DE =x ，△2x -11+x =8，△193x =，△1923,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上述D （3，1）或1923,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法一次函数的解析式、正弦的定义、勾股定理、等腰三角形的判定和性质及方程思想，作辅助线构造模型是解本题的关键． 3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC △△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒，△AD MN ⊥，△90ACD CAD ∠+∠=︒，△BCE =∠∠CAD ，又△AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，△()≌ADC CEB AAS ，△AD CE =，DC BE =， △直线MN 经过点C ，△DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△ △CE AD =，CD BE =，△DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△ △CE AD =，CD BE =，△DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ；（2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积， △2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m ，垂足分别是D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α，补充∠BAC ＝（用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝ 180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，△BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD△直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在。

12.2三角形全等的判定-一线三等角全等模型(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调“一线三等角”全等模型的识别和应用，以及SSA判定方法的正确使用。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与“一线三等角”全等模型相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和量角器来构造满足“一线三等角”条件的三角形，并验证它们的全等关系。
3.能够运用“一线三等角”全等模型解决实际问题，如几何图形的拼接、角度的求解等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.增强空间观念：通过“一线三等角”全等模型的探究，使学生能够把握图形的空间特征，提高空间想象力和直观感知能力。
2.提升逻辑推理能力：在学习SSA判定方法的过程中，培养学生严谨的逻辑思维，让学生学会从特殊到一般、从具体到抽象的分析和解决问题。
- SSA判定方法的应用：重点讲解在已知一边和两个角（其中一个为非夹角）的情况下，如何判定两个三角形全等，并强调在应用时需要注意角的对应关系。
-实际问题的解决：将全等知识应用于解决实际问题，如测量、建筑、艺术等领域的问题。
举例：在讲解“一线三等角”全等模型时，可以给出以下例题进行强调：
问题：在直线MN上，有∠AMN=∠BPN=∠CQO=90°，AB=BC，证明△ABC全等于△PQN。
其次，实践活动中的分组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是由于主题难度较大或者他们对讨论的主题不够感兴趣。针对这个问题，我计划在下次的活动中，提供更多元化的讨论主题，或者引入一些竞争机制，以提高学生的参与度和积极性。
在学生小组讨论环节，我发现很多学生能够提出有见地的观点，但他们的表达和逻辑推理能力还有待提高。在接下来的教学中，我将更加注重培养学生的表达能力和逻辑思维，通过提问和引导，帮助他们更好地组织语言和思考。

初中中考数学专题复习——一线三角三等角型

“一线三等角”基本图形解决问题三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、解决问题有化繁为简的效果。

在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等。

所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，也会存在相似三角形，当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了，综合性题目往往就会把相似和全等的转化，作为出题的一种形式，需要大家注意。

本文将重点对这一基本图形进行探讨。

通过对题目的有效分解，打破同学们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力。

一、知识梳理：（1）四边形ABCD 是矩形，三角板的直角顶点M 在BC 边上运动，直角边分别与射线BA 、射线CD 交于E 、F ，在运动过程中，△EBM ∽△MCF.（2）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有 △ABD ∽△DEC. 如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有△DBE ∽△ECF.（图1）（图2）二、【例题解析】【例1】(2014四川自贡）阅读理解：如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；321FD B M C拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．【练习】1、已知矩形ABCD中， AB=3，AD=2，点P是AB上的一个动点，且和点A,B 不重合，过点P作PE垂直DP，交边BC于点E,设,PA=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围 .2、如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连接ON，若ON=8，求MQ的长.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点（不与BC 重合）.连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x,BF=y,(1)求y关于x的函数关系式（2）若m=8，求x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？AB E【例2】等边△ABC 边长为6，P 为BC 边上一点，∠MPN =60°，且PM 、PN 分别于边AB 、AC交于点E 、F .（1）如图1，当点P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状；（2）如图2，若点P 在BC 边上运动，且保持PE ⊥AB ，设BP =x ，四边形AEPF 面积的y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）如图3，若点P 在BC 边上运动，且∠MPN 绕点P 旋转，当CF =AE =2时，求PE 的长.图1 图2 图3分析过程：（1）△EPF 为等边三角形. （2）设BP=x ，则CP ＝6－x. 由题意可 △BEP 的面积为238x . △CFP 的面积为23(6)2x -.△ABC 的面积为93. 设四边形AEPF 的面积为y. ∴ 93y =-238x 23(6)2x --=25363938x x -+-. 自变量x 的取值范围为3＜x ＜6. （3）可证△EBP ∽△PCF.∴BP BECF CP=.设BP=x ，则 (6)8x x -=. 解得 124,2x x ==.∴ PE 的长为4或23.【练习】.如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM =∠B ；（1）求证：△ABP ∽△PCM ；（2）设BP =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围．（3）当△APM 为等腰三角形时，求PB 的长．（4) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．A P M【例3】在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ【练习】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE = (2)、当m DBAD=，求DF DE 的值【例4】如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(﹣3，0)，B(1.0)，C(0，﹣3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；(3)设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：(1)y=x2+2x ﹣3；(2)S 有最大值827，点P 的坐标为（23-，415-）； (3)M 的坐标为（0，23）或（0，27-）或（0，﹣1）或（0，﹣3）.课后作业：1. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ； (2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4．如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．2. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。

第12章：一线三等角与全等三角形

第12章：一线三等角与全等三角形-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12一线三等角与全等三角形一、一线三等角概念“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

二、一线三等角的类型同侧：锐角直角钝角异侧：三、“一线三等角”的性质当∠1=∠2=∠3，且当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如右图，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 四、“一线三等角”的应用 1.适用于直角的情况例1：在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F .（1）当直线l 绕点C 旋转到如图1的位置时，○1图中有几对相等的锐角 ○2求证：AEC ∆≌CFB ∆； ○3试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线l 绕点C 旋转到如图2的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；（3）当直线l 绕点C 旋转到如图3的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，不必说明理由.图1 图2 图3lFE BACl FEBAC lFEBAC DCCDC D BADB CAAB3巩固提高1：1.如图，ABC ∆是等腰三角形，DE 过直角顶点A ，︒=∠=∠90E D ，则下列结论正确的个数有（）○1AE CD =； ○221∠=∠； ○3︒=∠+∠9043； ○4BE AD =. （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个2.适用于锐角或钝角的情况例2：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CF ，BE ＝CD ，若∠A ＝40°，则∠EDF 的度数为（）A.75°B.70°C.65°D.60° ?演练题：1.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F .若25=AB ，4=AE ，则=EF __________.2.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，且CD AE ⊥于点E ，CD BF ⊥交CD 的延长线于点F .若2:1:=AE BF ，4=AE ，则=AB _________.3.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，过点A 作CD AE ⊥于点E .若︒=∠45BED ，4=AE ，则=AB ___________.4321EB DC Al F EBACEC DBAEC DAB4．（1）已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．当点B，C位于直线l的同侧时（如图1），易证△ABD≌△CAE．如图2，若点BC在直线l的异侧，其它条件不变，△ABD≌△CAE是否依然成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）变式一：如图3，△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，点B、C 位于l的同一侧，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，求证：△ABD≌△CAE．（3）变式二：如图4，△ABC中，依然有AB＝AC，若点B，C位于l的两侧，如果∠BDA+∠BAC ＝180°，∠BDA＝∠AEC，求证：BD＝CE+DE．5.如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；4。

专题2 全等模型——一线三等角(K字)

初中数学︵一线三等角︶培优篇全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握．【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等．【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B + CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等⇒△BED ≅△ACE例1．（1）如图1，已知：在△ABC 中，90BAC AB AC ，，直线m 经过点A ，BD 直线m ，CE 直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE BD CE ．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ，其中α为任意钝角，请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．初中数学︵一线三等角︶培优篇例2．在直线m 上依次取互不重合的三个点D 、A 、E ，在直线m 上方有AB AC ，且满足BDA AEC BAC ．（1）如图1，当90 时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；（2）如图2，当0180 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；初中数学︵一线三等角︶培优篇例3．如图（1）AB ＝9cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝7cm ，点P 在线段AB 上以2cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，它们运动的时间为t （s ）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由；（2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝50°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为xcm /s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．初中数学︵一线三等角︶培优篇【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等．【常见模型及证法】异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED + 任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等⇒△BED ≅△ACE例1．老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．理由如下：因为ABCD 是正方形（已知）所以∠B ＝90°且AD ＝AB 和AD ∥BC 又因为DF ⊥AE （已知）即∠DF A ＝90°（垂直的意义）所以∠DF A ＝∠B （等量代换）又AD ∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF 和△EAB 中12DFA B AD AB所以△ADF ≌△EAB （AAS ）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．初中数学︵一线三等角︶培优篇你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．初中数学︵一线三等角︶培优篇例2．过正方形ABCD （四边都相等，四个角都是直角）的顶点A 作一条直线MN ．（1）当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE MN 于点E ，过点D 作DF MN 于点F 如图（1），请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图（2），其它条件不变，EF 、BE 、DF 的关系会发生变化，请直接写出EF 、BE 、DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使MN 与BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF 、BE 、DF 的关系又会发生变化，请直接写出EF 、BE 、DF 的数量关系，不必证明．初中数学︵一线三等角︶培优篇1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A ．3 B．22．如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板面的距离分别为AD 、BE ．（1）求证：ADC CEB △≌△3．（1）【问题发现】如图1，△ABC 与△CDE 中，∠B ＝∠E ＝∠ACD ＝90°，AC ＝CD ，B 、C 、E 三点在同一直线上，AB ＝3，ED ＝4，则BE ＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝4，过点C 作CD ⊥AC ，且CD ＝AC ，求△BCD 的面积．初中数学︵一线三等角︶培优篇4．已知：CD是经过∠BCA 的顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E 、F 是直线CD 上两点，∠BEC ＝∠CF A ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，∠BCD ＞∠ACD ．①如图1，∠BCA ＝90°，∠α＝90°，写出BE ，EF ，AF 间的等量关系：． ②如图2，∠α与∠BCA 具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA 的数量关系．（2）如图3．若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α＝∠BCA ，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．初中数学︵一线三等角︶培优篇。

初二上学期全等三角形专题之一线三等角模型教案(有答案)

一线三等角互动精讲【知识梳理】【例题精讲】题型一、一线三等角（直角）例1、已知如图1，△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于E，CE⊥AE于E．（1）证明：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A点顺时针旋转，当点B、C在AE同侧且BD＜CE，其它条件不变，在图2上画出此时的图，并直接写出BD与DE、CE的关系，不须证明；（3）继续绕点A顺时针旋转，当B、C在AE同侧且BD＞CE其它条件不变，在图3上画出此时的图，并写出BD与DE、CE的关系，请加以证明．例2、已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点。

(1) 如图1，若点C的横坐标为－4，求点B的坐标；(2) 如图2，BC交x轴于D，若点C的纵坐标为3，A(5，0)，求点D的坐标；(3) 如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求S△BEM∶S△ABO。

5432215215221=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+=OD OD S S S DCMDMB BCM △△△ ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,54D题型二、一线三等角（一般角）例3、如图，在△ABC中，AB=AC，P、M分别在BC、AC边上，且∠APM=∠B，AP=MP，求证：△APB≌△PMC例4、已知，M是等边△ABC边BC上的点，如图，连接AM，过点M作∠AMH＝60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过H作HD⊥BC于点D(1) 求证：MA＝MH(2) 猜想写出CB、CM、CD之间的数量关系式，并加以证明【课堂练习】1、如图，等腰Rt △ACB 中，∠ACB=90°,∠CAB=∠CBA=45°，AC=BC ，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF=AE ．（1）如图1，过F 点作FG ⊥AC 交AC 于G 点，求证：△AGF ≌△ECA, AG=EC ；（2）如图2，在（1）的条件下，连接BF 交AC 于D 点，若AD=3CD ，求证：E 点为BC 中点；（3）如图3，当E 点在CB 的延长线上时，连接BF 与AC 的延长线交于D 点，若34=BE BC ，则________=CDAD2、等腰Rt△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，点A、点B分别是y轴、x轴上的两个动点。

第12章：一线三等角与全等三角形

一线三等角与全等三角形一、一线三等角概念“一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

二、一线三等角的类型同侧：锐角直角钝角异侧：三、“一线三等角”的性质当∠1=∠2=∠3，且当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. 如右图，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 四、“一线三等角”的应用 1.适用于直角的情况例1：在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F . （1）当直线l 绕点C 旋转到如图1的位置时，○1图中有几对相等的锐角？ ○2求证：AEC ∆≌CFB ∆； ○3试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线l 绕点C 旋转到如图2的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；（3）当直线l 绕点C 旋转到如图3的位置时，试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，不必说明理由.图1 图2 图3lFE B ACl FEB AC lFEBAC DCCA BD C D BAD B CAACB巩固提高1：1.如图，ABC ∆是等腰三角形，DE 过直角顶点A ，︒=∠=∠90E D ，则下列结论正确的个数有（） ○1AE CD =； ○221∠=∠； ○3︒=∠+∠9043； ○4BE AD =. （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个2.适用于锐角或钝角的情况例2：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CF ，BE ＝CD ，若∠A ＝40°，则∠EDF 的度数为（） A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 演练题：1.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F .若25=AB ，4=AE ，则=EF __________.2.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，且CD AE ⊥于点E ，CD BF ⊥交CD 的延长线于点F .若2:1:=AE BF ，4=AE ，则=AB _________.3.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，点D 为斜边AB 上一点，连接CD ，过点A 作CD AE ⊥于点E .若︒=∠45BED ，4=AE ，则=AB ___________.4321EB DC Al F EBACFEC DBAEC DAB4．（1）已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．当点B，C位于直线l的同侧时（如图1），易证△ABD≌△CAE．如图2，若点BC在直线l的异侧，其它条件不变，△ABD≌△CAE是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）变式一：如图3，△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，点B、C位于l的同一侧，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，求证：△ABD≌△CAE．（3）变式二：如图4，△ABC中，依然有AB＝AC，若点B，C位于l的两侧，如果∠BDA+∠BAC＝180°，∠BDA＝∠AEC，求证：BD＝CE+DE．5.如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B 运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；。

人教版八年级数学上第十二章全等三角形小专题(三) 全等三角形的基本模型习题课件

八年级数学上册人教版
6．如图，已知∠AOB＝90°，OM 是∠AOB 的平分线，一个三角尺的直角顶点 P 在射线 OM 上滑动，两直角边分别与 OA，OB 交于点 C，D.求证：PC ＝PD.
八年级数学上册人教版
证明：过点 P 作 PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F， ∴∠PEC＝∠PEO＝∠PFD＝90°. ∵OM 是∠AOB 的平分线，∴∠EOP＝∠FOP.
八年级数学上册人教版
证明：(1)∵∠BEC＝∠A＋∠B，且∠BEC＝∠BEF＋∠FEC，且∠A＝∠BEF， ∴∠B＝∠FEC.
八年级数学上册人教版
(2)在△ABE 和△CEF 中， ∠B＝∠FEC， AB＝CE， ∠A＝∠C， ∴△ABE≌△CEF(ASA)，∴AE＝FC.
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∠E＝∠ADC，
在△CBE 与△ACD 中，∠BCE＝∠CAD， CB＝AC，
∴△CBE≌△ACD(AAS)．∴CE＝AD＝2.5 cm，BE＝DC， ∴DC＝CE－DE＝2.5－1.7＝0.8(cm)， ∴BE＝0.8 cm.
∠PCE＝∠PDF，
在△PCE 和△PDF 中，∠PEC＝∠PFD， PE＝PF，
∴△PCE≌△PDF(AAS)．∴PC＝PD.
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模型四：一线三等角模型【模型展示】
八年级数学上册人教版
7．如图，A，E，C 在一条直线上，已知：B，F 是直线 AC 的同侧两点，且∠A＝∠BEF＝∠C，AB＝CE.求证： (1)∠B＝∠FEC； (2)AE＝FC.
证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AEF＝∠CEB＝∠ADC＝90°， ∴∠AFE＋∠EAF＝90°， ∠ECB＋∠CFD＝90°. ∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECB. 在△AEF 和△CEB 中，∠AEF＝∠CEB，AE＝CE，∠EAF＝∠ECB， ∴△AEF≌△CEB(ASA)．

全等模型：一线三等角(K字)2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型解读(浙教版)解析版

全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅ ，已知：在ABC 中，【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）根据AAS 可证明ADB CEA ≌，可得AE BD AD CE ==，，可得DE BD CE =+．（2）由已知条件可知180BAD CAE α∠+∠=︒−，180DBA BAD α∠+∠=︒−，可得DBA CAE ∠=∠，结合条件可证明ADB CEA ≌，同（1）可得出结论．【详解】证明：（1）如图1，∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中，BDA CEA CAE ABDAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)ADB CEA ≌△△，∴AE BD AD CE ==，，∴DE AE AD BD CE =+=+；（2）如图2，∵BDA BAC α∠=∠=，∴180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒−，∴DBA CAE ∠=∠，在ADB 和CEA 中，BDA CEA CAE ABDAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)ADB CEA ≌△△，∴AE BD AD CE ==，，∴DE AE AD BD CE =+=+．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到AE BD AD CE ==，是解题的关键．例2．（2023春·上海·七年级专题练习）在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE △的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD+CE(2)DE ＝BD+CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD+CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD+CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【详解】（1）解：DE ＝BD+CE ∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD+AE ＝BD+CE ，故答案为：DE ＝BD+CE ．（2）DE ＝BD+CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD+∠EAC ＝∠BAD+∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD+AE ＝BD+CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC•h ＝12，S △ABF ＝12BF•h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF+S △ABD ＝S △FBD+S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【答案】（1）△ACP 与△BPQ 全等，理由见解析；（2）PC ⊥PQ ，证明见解析；（3）存在，当t ＝1s ，x ＝2cm/s或t ＝94s ，x ＝289cm/s 时，△ACP 与△BPQ 全等．【分析】（1）利用SAS 定理证明ACP BPQ ∆≅∆；（2）根据全等三角形的性质判断线段PC 和线段PQ 的位置关系；（3）分ACP BPQ ∆≅∆，ACP BQP ∆≅∆两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．【详解】（1）△ACP 与△BPQ 全等，理由如下：当t ＝1时，AP ＝BQ ＝2，则BP ＝9﹣2＝7，∴BP ＝AC ，又∵∠A ＝∠B ＝90°，在△ACP 和△BPQ 中，AP BQ A B CA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）；（2）PC ⊥PQ ，证明：∵△ACP ≌△BPQ ，∴∠ACP ＝∠BPQ ，∴∠APC+∠BPQ ＝∠APC+∠ACP ＝90°．∴∠CPQ ＝90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；（3）①若△ACP ≌△BPQ ，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，∴9﹣2t ＝7，解得，t ＝1（s ），则x ＝2（cm/s ）；②若△ACP ≌△BQP ，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，则2t ＝12×9，解得，t ＝94（s ），则x ＝7÷94＝289（cm/s ），故当t ＝1s ，x ＝2cm/s 或t ＝94s ，x ＝289cm/s 时，△ACP 与△BPQ 全等．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键．例4．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =−+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．【答案】（1）见详解；（2）点M 的坐标为（1，3）；（3）R （203，0）【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC ，再判断出∠CAD=∠BCE ，进而判断出△ACD ≌△CBE ，即可得出结论；（2）过点M 作MF ⊥y 轴，垂足为F ，过点N 作NG ⊥MF ，判断出MF=NG ，OF=MG ，设M （m ，n ）列方程组求解，即可得出结论；（3）过点Q 作QS ⊥PQ ，交PR 于S ，过点S 作SH ⊥x 轴于H ，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q （1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR 的解析式，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠ACB ＝90°，AD ⊥l ，∴∠ACB ＝∠ADC ．∵∠ACE ＝∠ADC+∠CAD ，∠ACE ＝∠ACB+∠BCE ，∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，AC ＝BC ．∴△ACD ≌△CBE ，∴CD ＝BE ，（2）解：如图2，过点M 作MF ⊥y 轴，垂足为F ，过点N 作NG ⊥MF ，交FM 的延长线于G ，由已知得OM ＝ON ，且∠OMN ＝90°，∴由（1）得△OFM ≌△MGN ，∴MF ＝NG ，OF ＝MG ，设M （m ，n ），∴MF ＝m ，OF ＝n ，∴MG ＝n ，NG ＝m ，∵点N 的坐标为（4，2）∴42m n n m +=⎧⎨−=⎩解得13m n =⎧⎨=⎩∴点M 的坐标为（1，3）；（3）如图3，过点Q 作QS ⊥PQ ，交PR 于S ，过点S 作SH ⊥x 轴于H ，对于直线y ＝﹣4x+4，由x ＝0得y ＝4，∴P （0，4），∴OP ＝4，由y ＝0得x ＝1，∴Q （1，0），OQ ＝1，∵∠QPR ＝45°，∴∠PSQ ＝45°＝∠QPS ．∴PQ ＝SQ ．∴由（1）得SH ＝OQ ，QH ＝OP ．∴OH ＝OQ+QH ＝OQ+OP ＝4+1＝5，SH ＝OQ ＝1．∴S （5，1），设直线PR 为y ＝kx+b ，则451b k b =⎧⎨+=⎩，解得435b k =⎧⎪⎨=−⎪⎩．∴直线PR 为y ＝35-x+4．由y ＝0得，x ＝203，∴R （203，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

全等模型 —“一线三等角”

全等模型—“一线三等角”一线三等角模型，顾名思议，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型贯穿初中几何的始终，在相似三角形这个章节中是很重要的知识点，下面来具体分析一下。

1，等腰直角三角形一线三等角模型口诀：多个垂直先倒角相等，互余角少不了分析1：已知△OAB是等腰直角三角形，过点O作直线CD且AD⊥CD，BC⊥CD，由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形∴∠BOA=90°OB=OA即∠COB＋∠AOD=90°又因为AD⊥CD，BC⊥CD所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）则有∠COB=∠DAO∠CBO=∠AOD综上结论，则有在△BCO和△ODA中∠COB=∠DAOOB=OA（角边角）∠CBO=∠AOD因此△BCO≌△ODA分析2，已知△OAB是等腰直角三角形，做一条直线穿过∠BOA，AD⊥CD，BC⊥CD，如下图所示：由题意得，∵△OAB是等腰直角三角形∴∠BOA=90°OB=OA即∠COB＋∠AOD=90°又因为AD⊥CD，BC⊥CD所以∠COB＋∠CBO=90°（互余角）∠DAO＋∠AOD=90°（互余角）因此∠CBO＋∠DAO=90°（互余角）则有∠COB=∠DAO，∠CBO=∠AOD综上结论，则有在△BCO和△ODA中，∠COB=∠DAO，OB=OA，∠CBO=∠AOD因此△BCO≌△ODA“一线三等角”全等模型——适用于直角的情况条件：∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA,结论：△ACE≌△BAF.由题意得，∵∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°∴∠EAC＋∠BAF=90°（互余角），∠EAC＋∠ECA=90°，∠ABF＋∠BAF=90°，即∠ABF=∠EAC，在△ACE和△BAF中，∠ABF=∠EAC∠BFA=∠AEC（角角边）AC=BA因此：△ACE≌△BAF（AAS）则有：CE=AF，AE=BF，EF=CE＋BF．条件：∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA,结论：△ACE≌△BAF由题意得，∵∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°∴∠EAC＋∠BAF=90°（互余角）∠EAC＋∠ECA=90°∠ABF＋∠BAF=90°即∠ABF=∠EAC在△ACE和△BAF中∠ABF=∠EAC∠BFA=∠AEC（角角边）AC=BA因此：△ACE≌△BAF（AAS）则有：CE=AF AE=BFEF=BF－EC【典例1】：已知，如图所示，B,C,E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD,则不正确的结论是（）A,∠A与∠D互为余角B,∠A=∠DCEC,△ABC≌△CED D,∠ACB=∠DCE【答案】D【精准解析】由题意得因为AC⊥CD，所以∠ACD=90°，所以∠ACB＋∠DCE=90°故选择D 又因为∠B=∠E=90°所以∠A＋∠ACB=90°∠D＋∠DCE=90°∠A=∠DCE∠ACB=∠D故B正确所以∠A＋∠D=90°故A正确再根据全等三角形判定定理得：AC=CD∠B=∠E∠A=∠DCE因此最终答案是D2，“一线三等角”全等模型的拓展——同时也适用于锐角和钝角的情况条件：∠CAE=∠B=∠D，AC=AE结论：△ABC≌△EDA由题意得，∠CAB＋∠CAE＋∠EAD=180°∠CAB＋∠B＋∠C=180°∵∠CAE=∠B∴∠C=∠EAD在△CAB和△EAD中，∠B=∠D，∠C=∠EAD，AC=AE，因此△CAB≌△EAD（AAS）所以BC=AD，AB=DE，BD=BC＋DE由题意得，∠CAB＋∠CAE＋∠EAD=180°∠CAB＋∠B＋∠C=180°∵∠CAE=∠B∴∠C=∠EAD在△CAB和△EAD中，∠B=∠D，∠C=∠EAD，AC=AE，因此△CAB≌△EAD（AAS），锐角和钝角的结论：BC=AD，AB=DE，BD=BC＋DE．【典例2】：在三角形ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，BE=CD,BD=CF,求∠EDF的度数?【答案】由题意得在△BDE和△CFD中BE=CD∠B=∠C（边角边）BD=CF所以△BDE≌△CFD∵∠BDE＋∠EDF＋∠FDC=180°∠BDE＋∠B＋∠BED=180°∵∠EDF=∠B又因为∠A=40°∠B=∠C根据三角形内角和得∠B=∠EDF=∠B=70°=70°因此∠EDF=∠B=70°【精准解析】根据已知条件证明△BDE≌△CFD，即ED=DF，∠EDF=∠B=∠C，因此属于一线三等角模型，已知∠A=40°，即先求∠B=∠C=70°，即可得出答案【典例3】如图，在三角形ABC中，依然有AB=AC,若点B,C位于直线l的两侧，若果∠BDA＋∠BAC=180°，∠BDA=∠AEC，求证BD=CE＋DE【答案】由题意得∵∠BDA＋∠BAC=180°∠BDA＋∠BDE=90°∴∠BAC=∠BDE又∵∠ABD＋∠BAD=∠BDE∠CAE＋∠BAD=∠BAC∴∠ABD=∠CAE在△BDA和△CEA中∠ABD=∠CAE∠BDA=∠AEC（角角边）AB=AC所以△BDA≌△CEA即AD=CE BD=AE因此BD=CE＋DE【精准答案】首先证明△BDA≌△CEA，由此得到AD=CE BD=AE，即可得出答案。

八年级数学三角形与全等三角形知识点大全

八年级数学三角形与全等三角形知识点大全一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形：三边都相等的三角形3、等腰三角形：有两条边相等的三角形4、不等边三角形：三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中,相等的两边都叫腰,另一边叫底,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角6、三角形分类：不等边三角形等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边注：1）在实际运用中,只需检验最短的两边之和大于第三边,则可说明能组成三角形 2）在实际运用中,已经两边,则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和 3）所有通过周长相加减求三角形的边,求出两个答案的,注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x,则存在两种可能：即可能是第一个△周长大,也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线11、三角形的稳定性,四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。

证明方法：利用平行线性质2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角和为360度6、等腰三角形两个底角相等三、多边形及其内角和1、多边形：在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N 边形：如果一个多边形由N 条线段组成,那么这个多边形就叫做N 边形。

八年级数学学案28 全等三角形的复习(3)--一线三等角

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12.2三角形全等的判定-一线三等角全等模型(教案)

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