一线三等角模型

专题九：“一线三角型”模型的应用1如图，在△ ABC中，AB=AC P、M分别在BC AC边上,

且.APM ，AP=MP，求证：△ APB^A PMC

分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据已有的知识经验，学生很快能够解决。

2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图，

△ ABC为等边三角形，.APM =60 , BP=1,CM =?，求△ ABC的边长

3

AD//BC, AD 二3cm, BC 二7cm, 一B 二

3、如图，等腰梯形ABCD中,

60 ，

P为BC上一点(不与B C重合)，连结AP,过P点作PM交DC于M,使得

APM "B。

(1)求证：△ ABP^A PCM

(2)求AB的长；

(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3若存在, 求出BP的长；若不存在，请说明理由

4、如图，AB I BD,CD _ BD ，且 AB = 6cm,CD = 4cm, BD = 14cm , 问：在

BD 上是否存在P 点，使以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、DC 为顶点的三角形相似？如果存在，求 BP 的长；如果不存在，请说明理由。

5、已知在梯形 ABCD 中, AD//BC, AD ：： BC ，且 AD=5,AB=DC=2

(1) 如图a ，P 是AD 上的一点，满足.BPC- A

①求证：△ ABP^A DPC ②求AP 的长。

(2) 如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合)，且满

足.BPE W^A ，PE

交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q,那么:

①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP 二x,CQ 二y ，求y 关于x

的函数解析式, 并写出函数自变量的取值范围；

②当CE=1时，求出AP 的长 6、正方形ABCD 边长为4, M N 分别是BC CD 上的两个动点， 当M

点在BC 上运动时，保持AM 和 MN 垂直，如图。

(1) 证明 Rt △ ABMh Rt △ MCN

(2) 设BM =x ，梯形ABCN 勺面积为y ,求y 与x 之间的函数 关系

式；当M 点运动到什么位置时，四边形 ABCNS 积最大，并求出

占 ~~

最大面积;

(3) 当M点运动到什么位置时Rt△ ABMT Rt△ AMN求x的值

7、如图，正方形ABCD勺边长为4cm点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP,过点P作PQ _ AP交DC于点Q, 设BP的长为xcm ,

CQ的长为ycm。

(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值；

1

(2)当y = — cm时，求x的值。

4

8如图，边长为1的正方形OABC勺顶点为坐标原点，点A在

x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动

(不与B、C重合)，连结0D过点D作DE丄0D，交边AB于点E，连

结0E设CD=t。

(1)当时，求直线DE的函数表达式；

3

(2)当OD2• DE2的算术平方根取最小值时，求点E的坐标。

9、如图，在矩形ABCD中, AB二m (m是大于0的常数)，

BC=8 E为线段BC上的动点(不与B C重合)，连结DE

作EF — DE，EF与射线BA交于点F,设CE二x, BF二y

(1) 求y关于x的函数关系式；

(2) 若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

12

(3) 若y二一，要使△ DEF为等腰三角形，m的值应为多少?

m

D

10、如图，已知在矩形ABCD中, AB=2,BC=3 P是线段AD边上

的任意一点(不含端点A、D),连结PC,过点P作PE_ PC交AB于E。

(1)在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使得QC _QE ?若存在，

求线段AP 与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由;

(2)当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围

11、在四边形ABCD中AB _ BC,DC _ BC, AB 二a,DC 二b, BC 二a b，且a ^b，取

AD的中点P,连结PB PG

(1)试判断三角形PBC的形状；

(2)在线段BC上，是否存在点M使AM丄MD。若存在，:/

眉-------- 厂

请求出BM的长；若不存在，请说明理由。