一线三等角模型资料讲解
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? （2）设△AOE与△FOB的面积分别为S1 ，S2，求证：S1=S2； （3）记△OEF的面积为S． ①求出S与k的函数关系式并写出自变量k 的取值范围； ②以OF为直径作⊙N，若点E恰好在⊙N 上，请求出此时△OEF的面积S． （4）当点F在BC上移动时，△OEF与 △ECF的面积差记为S，求当k为何值时， S有最大值，最大值是多少？
B
y
C
D B
D
OA
x
O
A
E
2013一调22题
C'
D
CD
C' C
C
A
B A' A
B
D
A(A')
B
图1
图2
?（2）问题探究
?如图3，△ABC中， E
P
AG⊥BC于点G，以A
Q
F
为直角顶点，分别以
A
AB、AC为直角边，向
△ABC外作等腰 Rt△ABE和等腰 Rt△ACF，过点E、F
B
G
图3
E
C
P
作射线GA的垂线，垂
? ①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式 ，并求出l的最大值；
? ②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动 ，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直 接写出对应的点P的坐标.
模型拓展 一线三锐角
B
j
O
A
D
B
P
E C
E
B P
E
H
F
A M
N
B
GC
图4
E
P
jA
B
P
模型应用
? （2012南充）19．矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点． EF⊥EC交AB于点F．连接FC.
? （1）求证：△AEF∽△DCE； ? （2）求tan∠ECF的值．
AF
B
E
D
C
? 已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2． 分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建 立如图所示的平面直角坐标系．若点F是 边BC上的一个动点（不与B、C重合）， 过F点的反比例函数（k＞0）的图象与边 交于点E． （1）直接写出线段AE、BF的长（用含k 的代数式表示）；
C
模型应用
? .如图，已知RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动 （不能到达B，C），过D作∠BAC=45°，DE交AC于E.
? (1）求证：ΔABD∽ΔDCE； ? (2）设BD=x，AE=y，求y关于x得函数关系式，并写出自变量x得取
值范围；
． ? (3）当ΔADE是等腰三角形时，求AE的长
PQ，设运动时间为t秒，△CPQ的面积为S．
? （1）求S关于t的函数表达式，并求出t为何值时，S取得最大值 ；
? （2）当S最大时，从以下①、②中任选一题作答，若两题都做只 以第①题计分．
? ①在抛物线y=x2+bx+c的对称轴l上，是否存在点F，使△FDQ为直来自百度文库 三角形，
? 若存在,请直接写出所有y 符合条件的点Fy 的l 坐标；否则请说明理由．
jA
足分别为P、Q. 试探究
EP与FQ之间的数量关
系，并证明你的结论.
B
P
? （3）拓展延伸
?
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、
AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线 GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF 之间的数量关系，并说明理由.
? （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的
面积等于△ABC的面积的
1 4
时，求线段EF的长．
? 已知如图，在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ，AD=2 ，BC=4，点M是 AD 的中点，△MBC 是等边三角形 ．
? （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯 形；
? （2）动点P、Q分别在线段BC和 MC上运动，且∠MPQ=60°保持 不变．设PC=x，MQ=y求y与x的 函数关系式.
2013一调23题
? (11分)如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点
C的坐标为（6，0）．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交
于点D．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
?
（Ⅱ）动点P从C出发，沿线段CB向终点B运动，同时动点Q从
A出发，沿线段AC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，连接
? （5）请探索：是否存在这样的点E，使 得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在 OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存 在，请说明理由．
? 3．如图，已知y1=k1x+k1（ k1≠0）与反比例函数 (k2≠0)的 图象交于点A、C，其中A点坐标 （1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限 内，当取何值时，y1＜y2？ （3）若一次函数y1=k1x+k1与x 轴交于B点，连接OA，求 △AOB的面积： （4）在（3）的条件下，在坐 标轴上是否存在点P，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出 P点的坐标；若不存在，请说明 理由．
A
D
B
A
D
B
Q
P
O
Cx
O
Cx
y
A
D
B
Q
P
O
Cx
yl
A
D
B
O 备用图
Cx
l
M
D
F
N
Q
? （2011河南）23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物 线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
? （1）求该抛物线的解析式；
? （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合） ，过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点 E.
A
E
BD
C
模型应用
? （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）△ABC 中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B
? （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
? （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转， DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重 合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证 明你的结论．
一个特殊图形的应用 ——一线三等角模型
? 考试过程中学生若能遇到自己平时非常熟悉的题 型，快速找到解决问题的突破口，就能减轻思维量， 提高做题速度，缓解考试紧张情绪，取得理想的成绩 。因此，平时教学中模型的渗透就非常重要。
?一线三等角解题理念 : 有边相等证全等 ; 没边相等证相似 .
建立模型
? 2013一调13 如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x轴、 y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经 过点D.则________．
B
y
C
D B
D
OA
x
O
A
E
2013一调22题
C'
D
CD
C' C
C
A
B A' A
B
D
A(A')
B
图1
图2
?（2）问题探究
?如图3，△ABC中， E
P
AG⊥BC于点G，以A
Q
F
为直角顶点，分别以
A
AB、AC为直角边，向
△ABC外作等腰 Rt△ABE和等腰 Rt△ACF，过点E、F
B
G
图3
E
C
P
作射线GA的垂线，垂
? ①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式 ，并求出l的最大值；
? ②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动 ，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直 接写出对应的点P的坐标.
模型拓展 一线三锐角
B
j
O
A
D
B
P
E C
E
B P
E
H
F
A M
N
B
GC
图4
E
P
jA
B
P
模型应用
? （2012南充）19．矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点． EF⊥EC交AB于点F．连接FC.
? （1）求证：△AEF∽△DCE； ? （2）求tan∠ECF的值．
AF
B
E
D
C
? 已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2． 分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建 立如图所示的平面直角坐标系．若点F是 边BC上的一个动点（不与B、C重合）， 过F点的反比例函数（k＞0）的图象与边 交于点E． （1）直接写出线段AE、BF的长（用含k 的代数式表示）；
C
模型应用
? .如图，已知RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动 （不能到达B，C），过D作∠BAC=45°，DE交AC于E.
? (1）求证：ΔABD∽ΔDCE； ? (2）设BD=x，AE=y，求y关于x得函数关系式，并写出自变量x得取
值范围；
． ? (3）当ΔADE是等腰三角形时，求AE的长
PQ，设运动时间为t秒，△CPQ的面积为S．
? （1）求S关于t的函数表达式，并求出t为何值时，S取得最大值 ；
? （2）当S最大时，从以下①、②中任选一题作答，若两题都做只 以第①题计分．
? ①在抛物线y=x2+bx+c的对称轴l上，是否存在点F，使△FDQ为直来自百度文库 三角形，
? 若存在,请直接写出所有y 符合条件的点Fy 的l 坐标；否则请说明理由．
jA
足分别为P、Q. 试探究
EP与FQ之间的数量关
系，并证明你的结论.
B
P
? （3）拓展延伸
?
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、
AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线 GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF 之间的数量关系，并说明理由.
? （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的
面积等于△ABC的面积的
1 4
时，求线段EF的长．
? 已知如图，在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ，AD=2 ，BC=4，点M是 AD 的中点，△MBC 是等边三角形 ．
? （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯 形；
? （2）动点P、Q分别在线段BC和 MC上运动，且∠MPQ=60°保持 不变．设PC=x，MQ=y求y与x的 函数关系式.
2013一调23题
? (11分)如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点
C的坐标为（6，0）．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交
于点D．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
?
（Ⅱ）动点P从C出发，沿线段CB向终点B运动，同时动点Q从
A出发，沿线段AC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，连接
? （5）请探索：是否存在这样的点E，使 得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在 OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存 在，请说明理由．
? 3．如图，已知y1=k1x+k1（ k1≠0）与反比例函数 (k2≠0)的 图象交于点A、C，其中A点坐标 （1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限 内，当取何值时，y1＜y2？ （3）若一次函数y1=k1x+k1与x 轴交于B点，连接OA，求 △AOB的面积： （4）在（3）的条件下，在坐 标轴上是否存在点P，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出 P点的坐标；若不存在，请说明 理由．
A
D
B
A
D
B
Q
P
O
Cx
O
Cx
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A
D
B
Q
P
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A
D
B
O 备用图
Cx
l
M
D
F
N
Q
? （2011河南）23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物 线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
? （1）求该抛物线的解析式；
? （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合） ，过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点 E.
A
E
BD
C
模型应用
? （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）△ABC 中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B
? （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
? （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转， DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重 合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证 明你的结论．
一个特殊图形的应用 ——一线三等角模型
? 考试过程中学生若能遇到自己平时非常熟悉的题 型，快速找到解决问题的突破口，就能减轻思维量， 提高做题速度，缓解考试紧张情绪，取得理想的成绩 。因此，平时教学中模型的渗透就非常重要。
?一线三等角解题理念 : 有边相等证全等 ; 没边相等证相似 .
建立模型
? 2013一调13 如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x轴、 y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经 过点D.则________．