一线三等角模型
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一个特殊图形的应用——一线三等角模型
考试过程中学生若能遇到自己平时非常熟悉的题 型，快速找到解决问题的突破口，就能减轻思维量， 提高做题速度，缓解考试紧张情绪，取得理想的成绩 。因此，平时教学中模型的渗透就非常重要。
一线三等角解题理念: 有边相等证全等; 没边相等证相似.
建立模型
2013一调13 如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x轴、 y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经 过点D.则________．
模型拓展 一线三锐角
DHale Waihona Puke Baidu
B
E
O
A
j
B
P
C
E B P C
模型应用
.如图，已知RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运 动（不能到达B，C），过D作∠BAC=45°，DE交AC于E. (1）求证：ΔABD∽ΔDCE； (2）设BD=x，AE=y，求y关于x得函数关系式，并写出自变量x得取 值范围； (3）当ΔADE是等腰三角形时，求AE的长
一线三钝角
C F
A E
B
模型应用
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC.AB=DC=AD=6,ABC=70 0 ,点 E,F分别在线段AD,DC上，且 BEF=1100, 若AE=3,求DF的长。
A
E
D F
B
C
归纳总结
一线三等角模型： 三个相等的角，顶点在同一直线上时，左右两个三角形相似，若共 线三顶点中间一顶点是中点时，图中三个角所在的相关三角形两两相 似。
B
y B
C
D
D O A x
O A E
2013一调22题
C' D C D C' C C
A
B
A' A
B
D
A(A')
B
图1
图2
（2）问题探究 如图3，△ABC中， AG⊥BC于点G，以A 为直角顶点，分别以 AB、AC为直角边，向 △ABC外作等腰 Rt△ABE和等腰 Rt△ACF，过点E、F 作射线GA的垂线，垂 足分别为P、Q. 试探究 EP与FQ之间的数量关 系，并证明你的结论.
A Q D B A D B
P O C x O C x
D 到 DM 的距离 = 0.00厘米 mDM = 4.22厘米 mQN = 4.22厘米
l M D
y A Q D B
y A
l D B
P O C x O 备用图 C x
F
N
Q
（2011河南）23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物 线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8. （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合） ，过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点 E. ①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式 ，并求出l的最大值； ②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动 ，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直 接写出对应的点P的坐标.
B
C J K
D
O
A
E
D
F
E
C F
A E
B
从复杂图形中分离出基本图形，对解决问题有化繁为简的效果。 三等角模型在解题中，可以帮助我们快速找到解决问题的突破口。希 望这个模型能起到抛砖引玉的作用，让我们平时多总结多归纳，出现 更多的好方法。！
已知如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，AD=2，BC=4，点M 是AD的中点，△MBC是等边三角 形． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯 形； （2）动点P、Q分别在线段BC和 MC上运动，且∠MPQ=60°保持 不变．设PC=x，MQ=y求y与x的 函数关系式. B （3）在（2）中，当取最小值时 ，判断△PQC的形状，并说明理 由．
．
A E B D C
模型应用 （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）△ABC 中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形． （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转， DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重 合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证 明你的结论． （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的 1 面积等于△ABC的面积的 4 时，求线段EF的长．
2013一调23题
(11分)如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点 C的坐标为（6，0）．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交 于点D． （Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）动点P从C出发，沿线段CB向终点B运动，同时动点Q从 A出发，沿线段AC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，连接 PQ，设运动时间为t秒，△CPQ的面积为S． （1）求S关于t的函数表达式，并求出t为何值时，S取得最大值 ； （2）当S最大时，从以下①、②中任选一题作答，若两题都做只 以第①题计分． ①在抛物线y=x2+bx+c的对称轴l上，是否存在点F，使△FDQ为直角 三角形， y y 的坐标；否则请说明理由． l 若存在,请直接写出所有符合条件的点 F
3．如图，已知y1=k1x+k1（ k1≠0）与反比例函数 (k2≠0)的 图象交于点A、C，其中A点坐标 （1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限 内，当取何值时，y1＜y2？ （3）若一次函数y1=k1x+k1与x 轴交于B点，连接OA，求 △AOB的面积： （4）在（3）的条件下，在坐 标轴上是否存在点P，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出 P点的坐标；若不存在，请说明 理由．
E Q A
P F
B
图3
E
G
C
P
j
A
B
P
（3）拓展延伸 如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、 AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线 GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF 之间的数量关系，并说明理由.
E
E A M N B G 图4 C H F
M A D
60° Q C P
（2012成都）(本小题满分10分) 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角 三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E 与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P ，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时 a ，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP= a，CQ=9 2 时，P、Q两点间的距离 (用含a的代数式表示)．
P
j
A
B
P
模型应用
（2012南充）19．矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点． EF⊥EC交AB于点F．连接FC. （1）求证：△AEF∽△DCE； （2）求tan∠ECF的值．
A F
B
E
D
C
已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2． 分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建 立如图所示的平面直角坐标系．若点F是 边BC上的一个动点（不与B、C重合）， 过F点的反比例函数（k＞0）的图象与边 交于点E． （1）直接写出线段AE、BF的长（用含k 的代数式表示）； （2）设△AOE与△FOB的面积分别为S1 ，S2，求证：S1=S2； （3）记△OEF的面积为S． ①求出S与k的函数关系式并写出自变量k 的取值范围； ②以OF为直径作⊙N，若点E恰好在⊙N 上，请求出此时△OEF的面积S． （4）当点F在BC上移动时，△OEF与 △ECF的面积差记为S，求当k为何值时， S有最大值，最大值是多少？ （5）请探索：是否存在这样的点E，使 得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在 OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存 在，请说明理由．
考试过程中学生若能遇到自己平时非常熟悉的题 型，快速找到解决问题的突破口，就能减轻思维量， 提高做题速度，缓解考试紧张情绪，取得理想的成绩 。因此，平时教学中模型的渗透就非常重要。
一线三等角解题理念: 有边相等证全等; 没边相等证相似.
建立模型
2013一调13 如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x轴、 y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经 过点D.则________．
模型拓展 一线三锐角
DHale Waihona Puke Baidu
B
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O
A
j
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E B P C
模型应用
.如图，已知RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运 动（不能到达B，C），过D作∠BAC=45°，DE交AC于E. (1）求证：ΔABD∽ΔDCE； (2）设BD=x，AE=y，求y关于x得函数关系式，并写出自变量x得取 值范围； (3）当ΔADE是等腰三角形时，求AE的长
一线三钝角
C F
A E
B
模型应用
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC.AB=DC=AD=6,ABC=70 0 ,点 E,F分别在线段AD,DC上，且 BEF=1100, 若AE=3,求DF的长。
A
E
D F
B
C
归纳总结
一线三等角模型： 三个相等的角，顶点在同一直线上时，左右两个三角形相似，若共 线三顶点中间一顶点是中点时，图中三个角所在的相关三角形两两相 似。
B
y B
C
D
D O A x
O A E
2013一调22题
C' D C D C' C C
A
B
A' A
B
D
A(A')
B
图1
图2
（2）问题探究 如图3，△ABC中， AG⊥BC于点G，以A 为直角顶点，分别以 AB、AC为直角边，向 △ABC外作等腰 Rt△ABE和等腰 Rt△ACF，过点E、F 作射线GA的垂线，垂 足分别为P、Q. 试探究 EP与FQ之间的数量关 系，并证明你的结论.
A Q D B A D B
P O C x O C x
D 到 DM 的距离 = 0.00厘米 mDM = 4.22厘米 mQN = 4.22厘米
l M D
y A Q D B
y A
l D B
P O C x O 备用图 C x
F
N
Q
（2011河南）23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物 线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8. （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合） ，过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点 E. ①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式 ，并求出l的最大值； ②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动 ，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直 接写出对应的点P的坐标.
B
C J K
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O
A
E
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F
E
C F
A E
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从复杂图形中分离出基本图形，对解决问题有化繁为简的效果。 三等角模型在解题中，可以帮助我们快速找到解决问题的突破口。希 望这个模型能起到抛砖引玉的作用，让我们平时多总结多归纳，出现 更多的好方法。！
已知如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，AD=2，BC=4，点M 是AD的中点，△MBC是等边三角 形． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯 形； （2）动点P、Q分别在线段BC和 MC上运动，且∠MPQ=60°保持 不变．设PC=x，MQ=y求y与x的 函数关系式. B （3）在（2）中，当取最小值时 ，判断△PQC的形状，并说明理 由．
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A E B D C
模型应用 （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田10分）△ABC 中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形． （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转， DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重 合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证 明你的结论． （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的 1 面积等于△ABC的面积的 4 时，求线段EF的长．
2013一调23题
(11分)如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点 C的坐标为（6，0）．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交 于点D． （Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）动点P从C出发，沿线段CB向终点B运动，同时动点Q从 A出发，沿线段AC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，连接 PQ，设运动时间为t秒，△CPQ的面积为S． （1）求S关于t的函数表达式，并求出t为何值时，S取得最大值 ； （2）当S最大时，从以下①、②中任选一题作答，若两题都做只 以第①题计分． ①在抛物线y=x2+bx+c的对称轴l上，是否存在点F，使△FDQ为直角 三角形， y y 的坐标；否则请说明理由． l 若存在,请直接写出所有符合条件的点 F
3．如图，已知y1=k1x+k1（ k1≠0）与反比例函数 (k2≠0)的 图象交于点A、C，其中A点坐标 （1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限 内，当取何值时，y1＜y2？ （3）若一次函数y1=k1x+k1与x 轴交于B点，连接OA，求 △AOB的面积： （4）在（3）的条件下，在坐 标轴上是否存在点P，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出 P点的坐标；若不存在，请说明 理由．
E Q A
P F
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图3
E
G
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A
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（3）拓展延伸 如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、 AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线 GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF 之间的数量关系，并说明理由.
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E A M N B G 图4 C H F
M A D
60° Q C P
（2012成都）(本小题满分10分) 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角 三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E 与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P ，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时 a ，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP= a，CQ=9 2 时，P、Q两点间的距离 (用含a的代数式表示)．
P
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A
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模型应用
（2012南充）19．矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点． EF⊥EC交AB于点F．连接FC. （1）求证：△AEF∽△DCE； （2）求tan∠ECF的值．
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已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2． 分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建 立如图所示的平面直角坐标系．若点F是 边BC上的一个动点（不与B、C重合）， 过F点的反比例函数（k＞0）的图象与边 交于点E． （1）直接写出线段AE、BF的长（用含k 的代数式表示）； （2）设△AOE与△FOB的面积分别为S1 ，S2，求证：S1=S2； （3）记△OEF的面积为S． ①求出S与k的函数关系式并写出自变量k 的取值范围； ②以OF为直径作⊙N，若点E恰好在⊙N 上，请求出此时△OEF的面积S． （4）当点F在BC上移动时，△OEF与 △ECF的面积差记为S，求当k为何值时， S有最大值，最大值是多少？ （5）请探索：是否存在这样的点E，使 得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在 OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存 在，请说明理由．