一线三等角模型16927PPT课件
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中考数学二轮复习《一线三等角模型》知识梳理及典例讲解课件
∠CAD＝45°.∴ DE＝CD－CE＝3.∵ F为AD的中点，∴ AF＝
DF＝ AD＝2.∵
∠ADC＝90°，∴ ∠EDM＝180°－∠ADC＝
90°.∵ ∠M＝45°，∴
DM＝
＝3，EM＝
＝3
.∴ MF＝
DF＋DM＝5.∵ ∠PFE＝45°，∴ ∠AFG＋∠EFM＝180°－
∠PFE＝135°.∵ ∠FAG＝45°，∴ ∠AFG＋∠FGA＝180°－
∠FAG＝135°.∴ ∠FGA＝∠EFM.又∵ ∠FAG＝∠M＝45°，
∴ △AFG∽△MEF.∴
＝ ，即 ＝ .∴
AG＝ .
典例5图答案
强化练习
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上.
典例4图答案
典例5 如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD上一点，且CE＝1，F
是AD的中点，对角线AC交BE于点N，P是线段BE上一点，连接EF，
PF，PF与AC相交于点G.若∠PFE＝45°，求AG的长.
解：如图，延长AD至点M，连接EM，使∠M＝45°.
∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
＝CE.在Rt△ABC中，BC＝
＝2
，∴ BD＝BC－DC＝2 －2.∴ CE
＝2 －2.∴ AE＝AC－CE＝4－2 .③ 当AE＝DE时，∠EAD＝∠ADE
＝45°，∴ ∠AED＝90°.∴ DE⊥AC.∵ ∠CAD＝∠C＝45°，∴ AD＝CD.∴
AE＝ AC＝1.综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2或4－2
DF＝ AD＝2.∵
∠ADC＝90°，∴ ∠EDM＝180°－∠ADC＝
90°.∵ ∠M＝45°，∴
DM＝
＝3，EM＝
＝3
.∴ MF＝
DF＋DM＝5.∵ ∠PFE＝45°，∴ ∠AFG＋∠EFM＝180°－
∠PFE＝135°.∵ ∠FAG＝45°，∴ ∠AFG＋∠FGA＝180°－
∠FAG＝135°.∴ ∠FGA＝∠EFM.又∵ ∠FAG＝∠M＝45°，
∴ △AFG∽△MEF.∴
＝ ，即 ＝ .∴
AG＝ .
典例5图答案
强化练习
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上.
典例4图答案
典例5 如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD上一点，且CE＝1，F
是AD的中点，对角线AC交BE于点N，P是线段BE上一点，连接EF，
PF，PF与AC相交于点G.若∠PFE＝45°，求AG的长.
解：如图，延长AD至点M，连接EM，使∠M＝45°.
∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，
＝CE.在Rt△ABC中，BC＝
＝2
，∴ BD＝BC－DC＝2 －2.∴ CE
＝2 －2.∴ AE＝AC－CE＝4－2 .③ 当AE＝DE时，∠EAD＝∠ADE
＝45°，∴ ∠AED＝90°.∴ DE⊥AC.∵ ∠CAD＝∠C＝45°，∴ AD＝CD.∴
AE＝ AC＝1.综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2或4－2
精品一线三等角相似模型.ppt课件
• （3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？求此时x的 值．
如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不 与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM； （2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的取值范
A型
基本 8型 图形
K型
一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三 个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
三角形基架
K型 矩形基架
梯形基架
毕达哥拉斯证法
赵爽弦图
K字型的一般形式
你能证明吗？
证明： 在ABC中 1 A ACB 180 又 2 DCE ACB 180
1 2 3 A DCE △ABC∽△CDE
1、如图，等边△ABC的边长为3
，点D是BC上一点，且BD=1，在
AC上取点E，使∠ADE=60度，AE
长为（ c ）
A. 3 B. 2
2
3
C.
7 3
D. 3
4
2.在矩形ABCD中,AB=4，BC=5，AF平 分∠DAE,EF⊥AE，
1.5 则CF= ______
∴ PM PC 5 PA AB 8
即
8x 5 58
39
∴BP= 8
A M
B
P
C
A
M
BP
CA MBPC5
• ∴BE= 3
【2014德州中考试题】 24．（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的 直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，说明理由．
（2016呼市T9）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一
如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不 与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM； （2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的取值范
A型
基本 8型 图形
K型
一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三 个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
三角形基架
K型 矩形基架
梯形基架
毕达哥拉斯证法
赵爽弦图
K字型的一般形式
你能证明吗？
证明： 在ABC中 1 A ACB 180 又 2 DCE ACB 180
1 2 3 A DCE △ABC∽△CDE
1、如图，等边△ABC的边长为3
，点D是BC上一点，且BD=1，在
AC上取点E，使∠ADE=60度，AE
长为（ c ）
A. 3 B. 2
2
3
C.
7 3
D. 3
4
2.在矩形ABCD中,AB=4，BC=5，AF平 分∠DAE,EF⊥AE，
1.5 则CF= ______
∴ PM PC 5 PA AB 8
即
8x 5 58
39
∴BP= 8
A M
B
P
C
A
M
BP
CA MBPC5
• ∴BE= 3
【2014德州中考试题】 24．（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的 直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，说明理由．
（2016呼市T9）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一
相似三角形基本模型一线三等角精品PPT课件
△ABE∽ △ECF ∽ △AEF
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法 解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的 中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找 相关结论。
C
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法 解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的 中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找 相关结论。
C
2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题 教学课件
∴∠BCE＝∠CAD. ∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC.
第1题图
在△BCE和△CAD中，
微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题
BEC CDA, BCE CAD, BC CA,
∴△BCE≌△CAD(AAS)， ∴CD＝BE， ∵DE＝2BE， ∴CE＝3BE，
∴BC＝ CE 2 BE 2 3BE 2 BE 2 10BE ，
微专题
一线三等角模型解 决全等、相似问题
微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题
一阶 认识模型
模型分析 1. 模型特点： ∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上，且∠1＝∠2＝∠3. 基本图形：
一线三等角
一线三垂直
微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题 2. 一线三等角模型的结论： (1)△APC和△BDP的关系是_△__A__P_C_∽__△__B__D_P__； (2)若在(1)中的条件下，增加条件_P_C__＝__P_D_(_或__A_P_＝__B__D_或__A__C_＝__B_P_)_，可以 得到△APC≌△BDP.
D G, DAE GEF , AE EF ,
∴△ADE≌△EGF(AAS)，
∴AD＝EG＝4.
∵E为CD的中点，
∴DE＝CE＝GF＝
1 2
CD＝2，
∴CG＝EG－EC＝2，
∴在Rt△CGF中，
CF＝ CG2 FG2 2 2 .
G
例3题图
微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题
例4 如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，E是AD上一点，连
例2题图
微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题 引入模型
2022成都26题图
微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题
《相似三角形的判段——“一线三等角”》公开课教学PPT课件(终稿)
思考
等腰ABC中AB AC，D是BC中点，有MDN B, 请找出图中所有的相似三角形.
上题中，若AB
AC
பைடு நூலகம்10,
BC
12,
SDMN
1 4
SABC ,
求MN长.
思考
变式1.在等腰ABC中，AB AC 10, BC 12, D是BC上任 一点，MDN B,若DM AB，是否有可能使SDNC 4SDMB，如果有可能求BD的长.
问题探究
变式2：在平面直角坐标系中，直线l1：y 2x 4与 x轴y轴分别交于A, B两点.将OAB沿l1翻折. （1） 求O的 对 称 点P的 坐 标.
（2） 直 线l2过 点P， 且 与直 线l1的 夹角 是45， 求 两直 线l1， l2的 交点 坐 标.
回顾反思
1、“一线三等角”模型的特征，以及模型的 提炼、变式和运用 2、从复杂图形中提炼,还原，创设出基本模 型、快速灵活运用基本结论、反思、拓展.
变式2.在等腰ABC中，AB AC 10, BC 12, D是BC上任一 点，MDN B,若BD 4，是否存在这样的位置，使DMN 成为直角三角形, 若存在求BM长.
相似三角形的判断—— “一线三角形”
情景再现
在等边ABC中，D是BC边上的一点，把 ABC折叠，使点 A落
在BC边上的点 D处，折痕为 MN.若 BD 2，请求出 AM 的值.
DC 3
AN
一线三等角
有三个相等角 三个相等角的顶点在一直线上
抽象模型
常见一线三等角图形
点P在线段AB上
点P在线段AB延长线上
问题探究
问题：如图在ABC中，AB AC 5, BC 8,点 D，E分别在BC, AC上，连接AD, DE,使1 B (1)当BD 2,求线段CE的长.
一线三等角模型ppt课件
一线三等角模型
2019
-
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中 是否有相似三角形？
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
2019 2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题； 重点：掌握“一线三等角”基本模型； 难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2019 3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
中点型“一线三等角”模型
中点型： 至少有三 对相似三 角形
β
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
2019
-
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1 t 2
4 2
t
2
1 t 2
4
2019
-
8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式； 方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
3 x
2
3 x 2
2
BC 4
3
13
13 2
PD PC AD PD 13 PC BC 2
15
2019
2019
-
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中 是否有相似三角形？
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
2019 2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题； 重点：掌握“一线三等角”基本模型； 难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2019 3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
中点型“一线三等角”模型
中点型： 至少有三 对相似三 角形
β
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
2019
-
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1 t 2
4 2
t
2
1 t 2
4
2019
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8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式； 方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
3 x
2
3 x 2
2
BC 4
3
13
13 2
PD PC AD PD 13 PC BC 2
15
2019
《一线三等角模型》课件
在建筑设计中，一线三 等角模型可防止建筑形 态过于普通化，同时保 证建筑的美学性与功能 性。
一线三等角模型的应用领域
室内设计
可以用于设计会议室、酒店等 场所。
建筑设计
可以用于设计公共建筑、景观 等。
家具设计
可以用于设计桌椅、灯具等家 具。
建模方法
1
建立坐标系
根据设计需求，建立二维坐标系。
2
构造一线三等角模型的形式
《一线三等角模型》PPT 课件
本PPT课件将介绍一线三等角模型的建模方法和应用，以及如何用Python实 现该模型。
什么是一线三等角模型？
1 基本概念
一条长度为1的线段在 平面上，等分成三段， 依次连接首尾得到一个 三角形，这即为一线三 等角模型。
2 特性
3 优点
等边、等角、狭长、占 用空间小、视觉上飘逸、 新颖。
上海环球金融中心 建筑设计
建筑主体外形线条流畅，中 心部分采用一线三等角模型 造型，整个建筑寓意成长、 挑战和超越。
实战演示
1
怎样运用Python实现一线三等角模型
介绍程序员如何使用Python语言进行一线三等角模型的建模和参数化，方便后 续分析应用。
2
ห้องสมุดไป่ตู้
实战演示案例
通过一线三等角模型和Python语言实现的案例，展示该模型方法和应用的可行 性。
总结
一线三等角模型的应用前景
这一模型的美学和实用性优点促进了其在设计领域中的广泛应用，未来发展前景广阔。
未来的研究与发展方向
未来的研究将着重在拓展该模型的应用领域，提高建模准确性和自动化程度。
在坐标系中，通过角平分线和圆心等方法构造出一线三等角模型。
3
最新一线三等角模型的研究教学讲义ppt课件
推广3：如果一个四边形有一组对角相等，那么 我们称它为半对角相等的四边形.如图1中的四 边形ABCD，其中∠B=∠D。解决下列问题：
考题赏析：
2015年第8题
8．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在 边AB上，∠AED＝60°，则一定有（ ）
A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30° C．∠ADE＝1/2∠ADC D．∠ADE＝1/3∠ADC
•
• 今天，我对自己的过错深感惶恐不安！我辜 负了国家对我的培养，辜负了社会对我的信任，
也辜负了影迷对我的喜爱！在此，我再次向大家
诚恳道歉！请大家原谅！
•
我相信，经过这次整顿，我会讲规矩、遵秩
序、重责任，在把好的作品献给大家的同时，也
要监督公司管理，守法经营，诚实守信，争做富
有文化内涵的好公司【这句浓缩一下就是
“我……争做富有文化内涵的好公司”，主语和
宾语不搭配，最后一句应改为“使公司更加富有
文化内涵”或者“使公司成为富有文化内涵的好
公司”。另外“讲规矩、遵秩序、重责任”三个 动宾短语之间，不用顿号，而用逗号。】
• 再次向社会，向一直支持我的影迷，向关 爱我的朋友家人【“朋友家人”容易产生 歧义，应改为“朋友和家人”】，真诚的 【“的”应为“地”】说一句，对不起！
2.常见类型
3.考题赏析
4.问题推广
• 推广1：如图1，已知四边形ABCD中， ∠B=∠C， AF、DE分别是∠BAD与∠CDA的 平分线。
• 结论：△ABF∽△ECD。
推广2：
已知：已知四边形ABCD中，∠B=∠C， AF、DE 分别是∠BAD与∠CDA的平分线，且E，F重合。
结论：（1）△ABE∽△ECD∽△DEA； （2）BE=CE； （3）BE2=AB×CD。
春季人教版九年级数学下册27.2一线三等角模型的应用(共15张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.1921.9.1901:37:4701:37:47September 19, 2021 • 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月19日星期日上午1时37分47秒01:37:4721.9.19 • 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午1时37分21.9.1901:37September 19, 2021 • 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月19日星期日1时37分47秒01:37:4719 September 2021 • 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午1时37分47秒上午1时37分01:37:4721.9.19
B
C
∴∠BED=∠CDF，
又∵∠CBA=∠ACB
∴△EBD∼△DCF.
问题2：若∠B=∠C=∠EDF=60°,△DBE与△FCD是否相似？
A
E
F
B
C
问题3.当三个角为任意角时，结论还成立吗？
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，E,D,F分别在AB,BC,AC上， 且∠EDF=∠B.这时△DBE与△FCD是否依然相似？
例3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，D是边BC上的动点（不
与B、C重合），∠ADE=∠B=α,DE交AC于E，且cosα=4/5.下列
结论：(1)△ADE~△ACD；(2)当BD=6时，△ABD与△DCE全等；
(3)△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5；(4)0<CE≤6.4.其中
B
C
∴∠BED=∠CDF，
又∵∠CBA=∠ACB
∴△EBD∼△DCF.
问题2：若∠B=∠C=∠EDF=60°,△DBE与△FCD是否相似？
A
E
F
B
C
问题3.当三个角为任意角时，结论还成立吗？
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，E,D,F分别在AB,BC,AC上， 且∠EDF=∠B.这时△DBE与△FCD是否依然相似？
例3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，D是边BC上的动点（不
与B、C重合），∠ADE=∠B=α,DE交AC于E，且cosα=4/5.下列
结论：(1)△ADE~△ACD；(2)当BD=6时，△ABD与△DCE全等；
(3)△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5；(4)0<CE≤6.4.其中
一线三等角公开课.ppt
（2）学习几何最重要是学会归纳一些简单 的基本图形，学会从复杂的图形里提 炼基本图形，并将其作为解决问题的 手段和方法。
（3）几何的学习中，要注重图形的运动和 变化，总结和发现图形之间的内在联 系，探求其规律，帮我们解决繁杂问题。
人教版数学九年级下
• 学习目标：
1、熟悉“一线三等角”的基本图形，并能解决相似中 的相关问题.
2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综 合解题能力.
• 学习重点：
运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
课前回顾
三角形相似的判定定理有哪些?
自主学习
1、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
A
D
A
E
E
B1
A 1
E
B
2
F
F
2
G
3C
D 3
G
C
2 1 B
D
A
E
2
1
B
F
3 C
D
3 C
典例解析 综合运用
例1：在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点， 且∠ADE=60°， BD=3，CE=2，则△ABC的边长为多少？
A
E
BD
C
典例解析 综合运用
例2、如图，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，B点坐标为（5，0） ，梯形OBCD中，CD∥OB，OD=BC=2，DC=3，∠DOB=60°，若点E、F分 别在线段DC、CB上
答：⊿ABE∽ ⊿ECF 理由：∵ ∠B=∠AEF=∠C=90°
A F
∴ ∠A+ ∠1＝90°， ∠2+ ∠1＝180°－ ∠AEF＝90 ° ∴ ∠A＝∠2
（3）几何的学习中，要注重图形的运动和 变化，总结和发现图形之间的内在联 系，探求其规律，帮我们解决繁杂问题。
人教版数学九年级下
• 学习目标：
1、熟悉“一线三等角”的基本图形，并能解决相似中 的相关问题.
2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综 合解题能力.
• 学习重点：
运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
课前回顾
三角形相似的判定定理有哪些?
自主学习
1、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
A
D
A
E
E
B1
A 1
E
B
2
F
F
2
G
3C
D 3
G
C
2 1 B
D
A
E
2
1
B
F
3 C
D
3 C
典例解析 综合运用
例1：在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点， 且∠ADE=60°， BD=3，CE=2，则△ABC的边长为多少？
A
E
BD
C
典例解析 综合运用
例2、如图，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，B点坐标为（5，0） ，梯形OBCD中，CD∥OB，OD=BC=2，DC=3，∠DOB=60°，若点E、F分 别在线段DC、CB上
答：⊿ABE∽ ⊿ECF 理由：∵ ∠B=∠AEF=∠C=90°
A F
∴ ∠A+ ∠1＝90°， ∠2+ ∠1＝180°－ ∠AEF＝90 ° ∴ ∠A＝∠2
初中数学北师大九年级上册图形的相似-相似三角形“一线三等角型”PPT
又ADE C B
△ADE ∽△ABD;
又D为中点
根据三线合一知 ABD为直角三角形
ADE为直角三角形
点
E在AC边上，且 ADE= C
（1）求证：△ABD ∽△DCE
（2）如果BD= x ,AE =y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.
（3）当点D是BC的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由
（1）证明：AB AC且ADE C ADE B C
DAB ADB 180 B
,求CF的长
证明： ABC 为பைடு நூலகம்边三角形
B C 60
又EDF ABC
EDF B C
在BDE中BED EDB 180 - B
且EDB CDF 180 - EDF
EDB CFD
△BDE ∽△CFD
BD BE CF CD
1 即 1 3
CF 1 CF 1
3
【例2】如图，在 ABC中，AC=AB=8，BC=10，D是BC边上的动点，
ADB CDE 180 ADE
又ADE B
ADB CED △ABD ∽△DCE ;
【例2】如图，在 ABC中，AC=AB=8，BC=10，D是BC边上的动点，
点
E在AC边上，且 ADE= C
（1）求证：△ABD ∽△DCE
（2）如果BD= x ,AE =y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.
（3）当点D是BC的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由
（2）解：由（1）可得
y 8
8-y
x
10-x
BD AB CE DC
x 8 8 - y 10 - x
化简得y 1 x2 - 5 x （8 0 x 10） 84
△ADE ∽△ABD;
又D为中点
根据三线合一知 ABD为直角三角形
ADE为直角三角形
点
E在AC边上，且 ADE= C
（1）求证：△ABD ∽△DCE
（2）如果BD= x ,AE =y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.
（3）当点D是BC的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由
（1）证明：AB AC且ADE C ADE B C
DAB ADB 180 B
,求CF的长
证明： ABC 为பைடு நூலகம்边三角形
B C 60
又EDF ABC
EDF B C
在BDE中BED EDB 180 - B
且EDB CDF 180 - EDF
EDB CFD
△BDE ∽△CFD
BD BE CF CD
1 即 1 3
CF 1 CF 1
3
【例2】如图，在 ABC中，AC=AB=8，BC=10，D是BC边上的动点，
ADB CDE 180 ADE
又ADE B
ADB CED △ABD ∽△DCE ;
【例2】如图，在 ABC中，AC=AB=8，BC=10，D是BC边上的动点，
点
E在AC边上，且 ADE= C
（1）求证：△ABD ∽△DCE
（2）如果BD= x ,AE =y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.
（3）当点D是BC的中点时，试说明 ADE是什么三角形，并说明理由
（2）解：由（1）可得
y 8
8-y
x
10-x
BD AB CE DC
x 8 8 - y 10 - x
化简得y 1 x2 - 5 x （8 0 x 10） 84
一线三等角ppt课件
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
一 找准切入点，初识模型
例1：如图在⊿ABC中，点D，E分别在BC， AC上连接AD，DE，使∠ 1=∠B= ∠C. (1),请写出三个正确结论。
三，增加思维点，研究模型
• 1，强化条件，深化模型
例3，⊿ABC中，AB=AC，点D为BC中点，以D
为顶点作∠MDN=∠B。
（1）
如图，当射线DM经过点A时，DM交AC边于点E,
写出图中所有与⊿ADE相似的三角形。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
• （2）如图，将∠MDN绕点D延逆时针方向 旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E， F（点E与点A不重合），写出图中所有的相 似三角形。并证明你的结论。
⊿BDF∽⊿CED∽⊿DEF
你还能得出其他结论吗？
FD平分∠BFE， ED平分∠FEC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
拓展应用
• （3）如图，D，E是D,A，E三点所在直线 m上的两动点（D，A，E三点互不重合）点 F为∠BAC平分线上的一点，且⊿ABF和 ⊿ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若 ∠ BDA=∠AEC= ∠BAC，试判断⊿DEF的形 状。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
一 找准切入点，初识模型
例1：如图在⊿ABC中，点D，E分别在BC， AC上连接AD，DE，使∠ 1=∠B= ∠C. (1),请写出三个正确结论。
三，增加思维点，研究模型
• 1，强化条件，深化模型
例3，⊿ABC中，AB=AC，点D为BC中点，以D
为顶点作∠MDN=∠B。
（1）
如图，当射线DM经过点A时，DM交AC边于点E,
写出图中所有与⊿ADE相似的三角形。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
• （2）如图，将∠MDN绕点D延逆时针方向 旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E， F（点E与点A不重合），写出图中所有的相 似三角形。并证明你的结论。
⊿BDF∽⊿CED∽⊿DEF
你还能得出其他结论吗？
FD平分∠BFE， ED平分∠FEC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
拓展应用
• （3）如图，D，E是D,A，E三点所在直线 m上的两动点（D，A，E三点互不重合）点 F为∠BAC平分线上的一点，且⊿ABF和 ⊿ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若 ∠ BDA=∠AEC= ∠BAC，试判断⊿DEF的形 状。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
一线三等角模型 ppt课件
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
13
13 2
方法一：勾股定理； 方法二：证明D是AH中点。
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
BC 4
PD PC AD PD PC 13 BC
2
2020/9/8
一线三等角模型
15
一线三等角压轴题（共同探讨解题方法和注意事项）
一线三等角模型
2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标：
用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题；
重点：掌握“一线三等角”基本模型；
难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
2020/9/8
特别是“一线三直角”辅助线的构造
一线三等角模型
3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
一
线
三
直角形一线三等角
等
角
钝角形一线三等角
一线三等角模型
最特殊 考到概 率最大
4
总结解题规律 一线三角两相似：
60° 60° 60°
60°
60° 60°”基本模型 以等腰三角形（含等边三角形）或等腰梯形为背景的一线三等角
注意：压轴题中出现射线、 直线要分类讨论！
思考：若把
tanBAO
3 3
样？
改t为anBAO
1 2
，解法是否一
2020/9/8
一线三等角模型
10
2a
9 a 9
2
9 2a
9
a
2
八年级全等模型第1讲一线三等角课件
斜边中点定理
中位线定理
证明角度相等方法
④角度的和差关系
⑤证明角所在的三角形全等或类似
⑥四点共圆，对角互补
⑦圆周角定理
⑧等（同）角的余（补）角相等
课堂练习
例1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE;
CD= DE，∠CDE=45°求证：BD= BC．
【解答】已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴∠B=45°∵CD= DE，∠CDE=45°
∴∠DCE=
180°−∠
2
= 67.5°
在△DCB中，同理∠CDB=180°-∠DCE-∠B=67.5°
∴∠DCE=∠CDB
∴BD= BC
对应边相等即可，再根据线段的和差关系不难解出答案。
课堂练习
二、等边三角形中的“一线三等角”
例1、如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB ， BC，AC上的点，∠DEF= 60°， BD=CE．求证：BE= CF．
【解答】
已知△ABC为等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∴∠BED+∠BDE=120°
∵∠DEF=60°
∴∠BED+∠FEC=120°
∴∠BDE=∠FEC
在△BED和△FCE中
∠ = ∠ = 60°
∵ ቐ =
∠ = ∠
∴△BED≌△FCE（ASA）
∴BE=CF
【分析】本题关键在于求证△BED≌△FCE（ASA）
一线三等角
中位线定理
证明角度相等方法
④角度的和差关系
⑤证明角所在的三角形全等或类似
⑥四点共圆，对角互补
⑦圆周角定理
⑧等（同）角的余（补）角相等
课堂练习
例1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE;
CD= DE，∠CDE=45°求证：BD= BC．
【解答】已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴∠B=45°∵CD= DE，∠CDE=45°
∴∠DCE=
180°−∠
2
= 67.5°
在△DCB中，同理∠CDB=180°-∠DCE-∠B=67.5°
∴∠DCE=∠CDB
∴BD= BC
对应边相等即可，再根据线段的和差关系不难解出答案。
课堂练习
二、等边三角形中的“一线三等角”
例1、如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB ， BC，AC上的点，∠DEF= 60°， BD=CE．求证：BE= CF．
【解答】
已知△ABC为等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∴∠BED+∠BDE=120°
∵∠DEF=60°
∴∠BED+∠FEC=120°
∴∠BDE=∠FEC
在△BED和△FCE中
∠ = ∠ = 60°
∵ ቐ =
∠ = ∠
∴△BED≌△FCE（ASA）
∴BE=CF
【分析】本题关键在于求证△BED≌△FCE（ASA）
一线三等角
一线三等角模型ppt课件
Page 8
3．如图，已知y1=k1x+k1（ k1≠0）与反比例函数 (k2≠0)的 图象交于点A、C，其中A点坐标 （1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限 内，当取何值时，y1＜y2？ （3）若一次函数y1=k1x+k1与x 轴交于B点，连接OA，求 △AOB的面积： （4）在（3）的条件下，在坐 标轴上是否存在点P，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出 P点的坐标；若不存在，请说明 理由．
B
y B
C
D
D O
Page 3
A
x
O
A
E
2013一调22题
C' D C D C' C C
A
B
A' A
B
D
A(A')
B
图1
图2
Page
4
（2）问题探究 如图3，△ABC中， AG⊥BC于点G，以A 为直角顶点，分别以 AB、AC为直角边，向 △ABC外作等腰 Rt△ABE和等腰 Rt△ACF，过点E、F 作射线GA的垂线，垂 足分别为P、Q. 试探究 EP与FQ之间的数量关 系，并证明你ຫໍສະໝຸດ 结论.Page16
已知如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，AD=2，BC=4，点M 是AD的中点，△MBC是等边三角 形． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯 形； （2）动点P、Q分别在线段BC和 MC上运动，且∠MPQ=60°保持 不变．设PC=x，MQ=y求y与x的 函数关系式. B （3）在（2）中，当取最小值时 ，判断△PQC的形状，并说明理 由．
Page 5
E Q A
P F
B
图3
E
3．如图，已知y1=k1x+k1（ k1≠0）与反比例函数 (k2≠0)的 图象交于点A、C，其中A点坐标 （1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限 内，当取何值时，y1＜y2？ （3）若一次函数y1=k1x+k1与x 轴交于B点，连接OA，求 △AOB的面积： （4）在（3）的条件下，在坐 标轴上是否存在点P，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出 P点的坐标；若不存在，请说明 理由．
B
y B
C
D
D O
Page 3
A
x
O
A
E
2013一调22题
C' D C D C' C C
A
B
A' A
B
D
A(A')
B
图1
图2
Page
4
（2）问题探究 如图3，△ABC中， AG⊥BC于点G，以A 为直角顶点，分别以 AB、AC为直角边，向 △ABC外作等腰 Rt△ABE和等腰 Rt△ACF，过点E、F 作射线GA的垂线，垂 足分别为P、Q. 试探究 EP与FQ之间的数量关 系，并证明你ຫໍສະໝຸດ 结论.Page16
已知如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，AD=2，BC=4，点M 是AD的中点，△MBC是等边三角 形． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯 形； （2）动点P、Q分别在线段BC和 MC上运动，且∠MPQ=60°保持 不变．设PC=x，MQ=y求y与x的 函数关系式. B （3）在（2）中，当取最小值时 ，判断△PQC的形状，并说明理 由．
Page 5
E Q A
P F
B
图3
E
一线三等角公开课.ppt
（2）学习几何最重要是学会归纳一些简单 的基本图形，学会从复杂的图形里提 炼基本图形，并将其作为解决问题的 手段和方法。
（3）几何的学习中，要注重图形的运动和 变化，总结和发现图形之间的内在联 系，探求其规律，帮我们解决繁杂问题。
答：⊿ABE∽ ⊿ECF 理由：∵ ∠B=∠AEF=∠C=90°
A F
∴ ∠A+ ∠1＝90°， ∠2+ ∠1＝180°－ ∠AEF＝90 ° ∴ ∠A＝∠2
1
2
B
E
C
∴ ⊿ABE∽ ⊿ECF
图1
2、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=60°，图中有没有相似三角形？并说明理由
。
A
F
3、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=120°，图中有没有相B 似
人教版数学九年级下
• 学习目标：
1、熟悉“一线三等角”的基本图形，并能解决相似中 的相关问题.
2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综 合解题能力.
• 学习重点：
运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
课前回顾
三角形相似的判定定理有哪些?
自主学习
1、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
三角形？并说明理由。
BA
BA CE
E
C
图2
DFECBiblioteka 抽象模型，揭示实质如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，图中有没有相似三角形，
并写出证明过程.
结论：
理由：
B
D
A
αα
C
α
E
总结规律
顺口溜： “一线三等角，相似容易找”
运用新知，看图作答
下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的 基本图形所形成的相似三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）
（3）几何的学习中，要注重图形的运动和 变化，总结和发现图形之间的内在联 系，探求其规律，帮我们解决繁杂问题。
答：⊿ABE∽ ⊿ECF 理由：∵ ∠B=∠AEF=∠C=90°
A F
∴ ∠A+ ∠1＝90°， ∠2+ ∠1＝180°－ ∠AEF＝90 ° ∴ ∠A＝∠2
1
2
B
E
C
∴ ⊿ABE∽ ⊿ECF
图1
2、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=60°，图中有没有相似三角形？并说明理由
。
A
F
3、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=120°，图中有没有相B 似
人教版数学九年级下
• 学习目标：
1、熟悉“一线三等角”的基本图形，并能解决相似中 的相关问题.
2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综 合解题能力.
• 学习重点：
运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
课前回顾
三角形相似的判定定理有哪些?
自主学习
1、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
三角形？并说明理由。
BA
BA CE
E
C
图2
DFECBiblioteka 抽象模型，揭示实质如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，图中有没有相似三角形，
并写出证明过程.
结论：
理由：
B
D
A
αα
C
α
E
总结规律
顺口溜： “一线三等角，相似容易找”
运用新知，看图作答
下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的 基本图形所形成的相似三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）
相关主题
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9
a
2
9 2
a 9 2
2
9 2a 1
a 27 10
A '( 2 7 , 3 6 ) 55
2020/6/11
.
11
一线三直角在几何综合题中的应用
2012年奉贤二模25题
构造一线三直角可以解决所有问题
.
12
（1）
2 45
3 45
2
45
22
32
3
26
45
1
5
2020/6/11
.
13
（2）
3x
2
2
一线三等角模型
.
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中是 否有相似三角形？
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
2020/6/11
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
x
x2 4
3
3 x2 4 2
3 x
y 1 x 2 4 3x 2 4 3 x 2 3 (0 x 3 )
2
2
4
2020/6/11
.
14
（2）
3x
2
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x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
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13 2
方法一：勾股定理； 方法二：证明D是AH中点。
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
BC 4
PD PC AD PD PC 13 BC
2
2020/6/11
.
15
一线三等角压轴题（共同探讨解题方法和注意事项）
.
16
一线三等角压轴题（共同探讨解题方法和注意事项）
.
17
肯学肯干 赢在精锐 谢谢！
.
18
a
1
2a
2
2 2a 1 a
2 1
方法一： 一线三直角
注意：点坐标的正负号问题！
.
9
一线三等角在直角坐标系中的应用
2014年宝山一模18题
67
9 2
(9 ,9 3 ) 22
93
9
2
思考：若把
tanBAO
3 3
样？
改t为anBAO
1 2
，解法是否一
2020/6/11
.
10
2a
9 a 9
2
9 2a
.
2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相关 问题；
重点：掌握“一线三等角”基本模型；
难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2020/6/11
.
3
“一线三等角”模型按照角度的分类Βιβλιοθήκη 锐角形一线三等角一
至少有三
对相似三
β
角形
2020/6/11
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
.
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1t 2
4
2
2
1t
t
2
4
.
8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式； 方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
线
三
直角形一线三等角
等
角
钝角形一线三等角
.
最特殊 考到概 率最大
4
总结解题规律 一线三角两相似：
60° 60° 60°
60°
60° 60°
.
5
“一线三等角”基本模型 以等腰三角形（含等边三角形）或等腰梯形为背景的一线三等角
注意：压轴题中出现射线、 直线要分类讨论！
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中点型“一线三等角”模型
中点型：