中考数学压轴题专项汇编专题一线三等角模型
2023年中考数学压轴题培优教案专题04 一线三等角模型(含答案解析)
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型在直线AB 上有一点P,以A,B,P 为顶点的∠1,∠2,∠3相等,∠1,∠2的一条边在直线AB 上,另一条边在AB 同侧,∠3两边所在的直线分别交∠1,∠2非公共边所在的直线于点C,D ． 1．当点P 在线段AB 上,且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图,若∠1为直角,则有△ACP ∽△BPD ．（2）如图,若∠1为锐角,则有△ACP ∽△BPD ．2．当点P 在AB 或BA 的延长线上,且∠3两边在AB 同侧时． 如图,则有△ACP ∽△BPD ．3．当点P 在AB 或BA 的延长线上,且∠3两边在AB 异侧时． 如图,则有△ACP ∽△BPD ． 【例1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形．如图1,已知：在△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,直线l 经过点A ,BD ⊥直线l ,CE ⊥直线l ,垂足分别为点D ,E ．求证：DE =BD +CE ．321DBPAC 3CDBP A321CPDBA321CDBAP（2）组员小明想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC 中,AB=AC,D,A,E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过△ABC的边AB,AC 向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7,则S△AEI=______．【例2】．（2022·全国·八年级专题练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB= AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．(1)如图1,当α=90°时,猜想线段DE,CE之间的数量关系是____________；(2)如图2,当0<α<180°时,问题（1）中结论是否仍然成立？如成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由；(3)应用：如图3,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与CB的延长线交于点F,若BC=3FB,△ABC的面积是12,求△FBD与△ACE的面积之和．【例3】．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图,△ABC中∠B=∠C=30°,∠DEF=30°,且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转,在旋转过程中,射线DE与线段AB相交于点P,射线EF与射线CA相交于点Q,连结PQ．(1)如图1,当点Q在线段CA上时,①求证：△BPE∽△CEQ；②线段BE,BP,CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；(2)当△APQ为等腰三角形时,求CQBP 的值．一、解答题1．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时．①请说明△ADC≌△CEB的理由；②请说明DE=AD+BE的理由；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出等量关系,并予以证明．(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．2．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB＝AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．（3）拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点（D,A,E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE,若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC,求证：△DEF是等边三角形．3．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上,老师给出了一个模型：如图1,∠BAD=∠ACB=∠AED=90°,由∠1+∠2+∠BAD=180°,∠2+∠D+∠AED=180°,可得∠1==______．我们把这个模型称为“一线三∠D；又因为ACB=∠AED=90°,可得△ABC∽△DAE,进而得到BCAC等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发,将三等角变为非直角,如图2,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点P是BC边上的一个动点（不与B、C,点D是AC边上的一个动点,且∠APD=∠B．①求证：△ABP∽△PCD；②当点P为BC中点时,求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2,当△APD为等腰三角形时,请直接写出BP的长．4．（2022·山东烟台·七年级期末）问题背景：（1）如图①,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E,易证：DE=______+______．（2）拓展延伸：如图②,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,请求出DE,BD,CE三条线段的数量关系,并证明．（3）实际应用：如图③,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(−2,0),点A的坐标为(−6,3),请直接写出B点的坐标．5．（2021·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习）（1）模型建立,如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：x+3与y轴交于A点,与x轴交于B点,将线段AB绕点B逆时针旋转90度,得到线段BC,过①已知直线y＝34点A,C作直线,求直线AC的解析式；②如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,已知点D在第一象限,且是直线y＝2x﹣5上的一点,若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标．6．（2022·江苏·八年级专题练习）（1）课本习题回放：“如图①,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm．求BE的长”,请直接写出此题答案：BE的长为________．（2）探索证明：如图②,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,AB=AC,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,且∠BED=∠CFD=∠BAC．求证：ΔABE≌ΔCAF．（3）拓展应用：如图③,在ΔABC中,AB=AC,AB>BC．点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面积为15,则ΔACF与ΔBDE的面积之和为________．（直接填写结果,不需要写解答过程）7．（2022·全国·八年级课时练习）通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题：（1）如图1,∠BAD＝90°,AB＝AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°,得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°,可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝,BC ＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2,∠BAD＝∠CAE＝90°,AB＝AD,AC＝AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图,已知四边形ABCD和DEGF为正方形,△AFD的面积为S1,△DCE的面积为S2,则有S1S2（填“＞、＝、＜”）8．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,直线l 经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时,①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合）,请你探究直线l,EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）9．（2021·四川达州·九年级期中）模型探究：（1）如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：BE=CD；模型应用：（2）已知直线l1:y=2x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2,如图2,求直线l2的函数表达式；x+4上,且AB=4√2．若直线与y轴的交点为M,M为AB中点．试判断（3）如图3,已知点A、B在直线y=12在x轴上是否存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．10．（2022·全国·八年级课时练习）如图,线段AB=6,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边做正方形APCD,且点C、D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使得∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）,（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系,并说明理由；（3）△AEF的周长是否为定值,若是,请求出这个定值,若不是,请说明理由．11．（2022·全国·八年级课时练习）如图,在△ABC中,AB＝AC＝2,∠B＝40°,点D在线段BC上运动（D不与B,C重合）,连接AD,作∠ADE＝40°,DE交线段AC于E．（1）当∠BDE＝115°时,∠BAD＝°,点D从B向C运动时,∠BAD逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由；（3）在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,判断当∠BAD等于多少时,△ADE是等腰三角形．12．（2022·重庆江北·,在平面直角坐标系中,已知A(a,0)、B(0,b)分别在坐标轴的正半轴上．（1）如图1,若a、b满足(a−4)2+√b−3=0,以B为直角顶点,AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,则点C的坐标是（________）；（2）如图2,若a=b,点D是OA的延长线上一点,以D为直角顶点,BD为直角边在第一象限作等腰直角△BDE,连接AE,求证：∠ABD=∠AED；（3）如图3,设AB=c,∠ABO的平分线过点D(2,−2),直接写出a−b+c的值．13．（2021·湖北·咸宁市第三初级中学八年级期中）如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,点A、B分别在x 轴、y轴上．（1）如图①,若点C的横坐标为5,求点B的坐标；的值；（2）如图②,若x轴恰好平分∠BAC,BC交x轴于点M,过点C作CD⊥x轴于点D,求CDAM（3）如图③,若点A的坐标为(−4,0),点B在y轴的正半轴上运动时,分别以OB、AB为边在第一、第二象限中作等腰Rt△OBF,等腰Rt△ABE,连接EF交y轴于点P,当点B在y轴上移动时,PB的长度是否发生改变？若不变求PB的值；若变化,求PB的取值范围．14．（2022·江西·丰城九中七年级期末）综合与探究：在平面直角坐标系中,已知A（0,a）,B（b,0）且a,b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0（1）求A,B两点的坐标（2）已知△ABC中AB=CB,∠ABC＝90°,求C点的坐标（3）已知AB＝√10,试探究在x轴上是否存在点P,使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．15．（2022·全国·八年级课时练习）如图,在△ABC中,AB＝AC＝2,∠B＝∠C＝40°,点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合）,连接AD,作∠ADE＝40°,DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝105°时,∠EDC＝°,∠DEC＝°；点D从点B向点C运动时,∠BDA逐渐变．（填“大”或“小”）（2）当DC等于多少时,△ABD≌△DCE？请说明理由．（3）在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以,请直接写出∠BDA的度数；若不可以,请说明理由．16．（2021·北京·北师大实验中学九年级开学考试）在正方形ABCD中,点E在射线CB上（不与点B,C重合）,连接DB,DE,过点E作EF⊥DE,并截取EF=DE（点D,F在BC同侧）,连接BF．（1）如图1,点E在BC边上．①依题意补全图1；②用等式表示线段BD,BE,BF之间的数量关系,并证明；（2）如图2,点E在CB边的延长线上,其他条件均不变,直接写出线段BD,BE,BF之间的数量关系．17．（2022·全国·八年级课时练习）在综合实践课上,李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知,在等腰△ABC纸片中,CA=CB=5,∠ACB=120°,将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°,∠MPN=30°）按如图所示放置,顶点P在线段BA上滑动（点P不与A,B重合）,三角尺的直角边PM始终经过点C,并与CB的夹角∠PCB=α,斜边PN交AC于点D．（1）当∠BPC=100°时,α=______°；（2）当AP等于何值时,△APD≌△BCP？请说明理由；（3）在点P的滑动过程中,存在△PCD是等腰三角形吗？若存在,请求出夹角α的大小；若不存在,请说明理由．18．（2021·河南·舞阳县教研室八年级期中）如图,等腰直角△ABC中,BC＝AC,∠ACB＝90°,现将该三角形放置在平面直角坐标系中,点B坐标为（0,2）,点C坐标为（6,0）．（1）过点A作AD⊥x轴,求OD的长及点A的坐标；（2）连接OA,若Р为坐标平面内不同于点A的点,且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等,请直接写出满足条件的点P的坐标；（3）已知OA＝10,试探究在x轴上是否存在点Q,使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．19．（2021·山东·肥城市汶阳镇初级中学七年级阶段练习）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB．E、F是直线CD上两点,∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部,∠BCD>∠ACD．①如图1,∠BCA=90°,∠α=90°,直接写出BE,EF,AF间的等量关系：__________．②如图2,∠α与∠BCA具有怎样的数量关系,能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系,并对结论进行证明；（2）如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,①中的结论是否成立？若成立,进行证明；若不成立,写出新结论并进行证明．20．（2022·全国·八年级课时练习）（1）如图（1）在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB＝AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．【例1】．（2022·全国·八年级课时练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形．如图1,已知：在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,BD⊥直线l,CE⊥直线l,垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．（2）组员小明想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC 中,AB=AC,D,A,E三点都在直线l上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过△ABC的边AB,AC 向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若S△AEG=7,则S△AEI=______．{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEAAB=AC,∴△ADB≌△CEA（AAS）,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．理由：如图2中,∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,∴∠DBA=∠CAE,在△ADB和△CEA中,{∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠CAEAB=AC,∴△ADB≌△CEA（AAS）,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）如图3,过E作EM⊥HI于M,GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI=∠GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中,{∠GIN=∠EIM EM=GN∠GNI=∠EMI,∴△EMI≌△GNI（AAS）,∴EI=GI,∴I是EG的中点．S△AEG=3.5．∴S△AEI=12故答案为：3.5．【点睛】本题是四边形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,正方形的性质,直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【例2】．（2022·全国·八年级专题练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D,A,E,在直线m上方有AB= AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α．(1)如图1,当α=90°时,猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是____________；(2)如图2,当0<α<180°时,问题（1）中结论是否仍然成立？如成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由；(3)应用：如图3,在△ABC中,∠BAC是钝角,AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC,直线m与CB的延长线交于点F,若BC=3FB,△12,求△FBD与△ACE的面积之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立,理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°,进而得到∠DBA＝∠EAC,然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC,最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α,进而得到∠DBA＝∠EAC,然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC,最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE,∠BDA＝∠AEC＝∠BAC,得出∠CAE＝∠ABD,由AAS证得△ADB≌△CAE,得出S△ABD＝S△CEA,再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比,得出S△ABF即可得出结果．（1）解：DE＝BD+CE,理由如下,∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°,∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°,∴∠DBA ＝∠EAC ,∵AB ＝AC ,∴△DBA ≌△EAC （AAS ）,∴AD ＝CE ,BD ＝AE ,∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ,故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立,理由如下,∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α,∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α,∴∠DBA ＝∠EAC ,∵AB ＝AC ,∴△DBA ≌△EAC （AAS ）,∴BD ＝AE ,AD ＝CE ,∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ,∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ,∴∠CAE ＝∠ABD ,在△ABD 和△CAE 中,{∠ABD =∠CAE ∠BDA =∠CEA AB =AC,∴△ABD ≌△CAE （AAS ）,∴S △ABD ＝S △CAE ,设△ABC 的底边BC 上的高为h ,则△ABF 的底边BF 上的高为h ,∴S △ABC ＝12BC •h ＝12,S △ABF ＝12BF •h ,∵BC ＝3BF ,∴S △ABF ＝4,∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4,∴△FBD与△ACE的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质,三角形的面积,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【例3】．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图,△ABC中∠B=∠C=30°,∠DEF=30°,且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转,在旋转过程中,射线DE与线段AB相交于点P,射线EF与射线CA相交于点Q,连结PQ．(1)如图1,当点Q在线段CA上时,①求证：△BPE∽△CEQ；②线段BE,BP,CQ之间存在怎样的数量关系？请说明理由；(2)当△APQ为等腰三角形时,求CQ的值．BP②BE²=BP·CQ,理由如下∶∵△BPE∽△CEQ∴BE CQ=BPCE∴BE·CE=BP·CQ∵点E为边BC的中点,∴BE=CE,∴BE²=BP·CQ；(2)解：①当点Q在线段AC上时,∵∠A=180°-∠B-∠C=120°,为钝角,∴△APQ为等腰三角形时有AP=AQ,∵∠B=∠C,∴AB=AC,∴BP=CQ,∴CQBP=1②当点Q在线段CA的延长线上时,如图：连接PQ∵∠BAC=120°,∴∠BAQ=60°,当△APQ为等腰三角形时,有△APQ为等边三角形设AB=AC=2a,则BC=2√3a,BE=CE=√3a,设AQ=AP=x,则CQ=2a+x,BP=2a-x,由（1）得∶BE²=BP·CQ∴(√3a)²=(2a+x)(2a-x),解得∶x=a,∴BP=a,CQ=3a,∴CQBP=3综上CQBP的值为1或3．【点睛】本题考查三角形相似综合问题,熟练掌握一线三等角的相似三角形模型是解题关键．一、解答题1．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时．①请说明△ADC≌△CEB的理由；②请说明DE=AD+BE的理由；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出等量关系,并予以证明．(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．【答案】(1)①理由见解析；②理由见解析(2)DE=AD−BE,证明见解析(3)DE=BE−AD【分析】本题“一线三垂直”模型即可证明全等,根据全等三角形的性质即可分别在三个图形中证明AD、EB、DE之间的关系．(1)解：①∵AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,∴∠ADC=∠BEC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠BCE,在△ADC和△CEB中{∠ADC=∠BEC ∠DAC=∠BCEAC=BC,∴△ADC≌△CEB,②∵△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=BE,∵DC+CE=DE,∴AD+EB=DE,(2)结论：DE=AD−BE,∵BE⊥EC,AD⊥CE,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BCE=90°,∴∠ACD=∠EBC,∴△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=BE,∴DE=EC−CD=AD−EB, (3)结论：DE=BE−AD,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∵BE⊥MN,AD⊥MN,∴∠ADC=∠DEC=90°,∴∠ACD+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠BCE,在△ADC和△CEB中{∠ADC=∠BEC ∠DAC=∠BCE AC=BC∴△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=BE,∴DE=CD−EC=EB−AD．【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质,灵活运用“一线三垂直”模型是解题的关键．2．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB＝AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α,其中αABD≌△CAE是否成立？如成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．（3）拓展应用：如图3,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点（D,A,E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE,若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC,求证：△DEF是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立,理由见详解；（3）见详解【分析】（1）根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断ΔADB≌ΔCEA；（2）利用∠BDA=∠BAC=α,则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α,得出∠CAE=∠ABD,然后问题可求证；（3）由题意易得BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°,由（1）（2）易证ΔADB≌ΔCEA,则有AE=BD,然后可得∠FBD=∠FAE,进而可证ΔDBF≌ΔEAF,最后问题可得证．【详解】（1）证明：∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD,∵在ΔADB和ΔCEA中,{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEAAB=AC,∴ΔADB≌ΔCEA(AAS)；解：（2）成立,理由如下：∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α, ∴∠CAE=∠ABD,∵在ΔADB和ΔCEA中,{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEAAB=AC,∴ΔADB≌ΔCEA(AAS)；（3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°,∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−120°,∴∠CAE=∠ABD,∴ΔADB≌ΔCEA(AAS),∴AE=BD,∵∠FBD=∠FBA+∠ABD,∠FAE=∠FAC+∠CAE,∴∠FBD=∠FAE,∴ΔDBF≌ΔEAF（SAS）,∴FD=FE,∠BFD=∠AFE,∴∠BFA=∠BFD+∠DFA=∠AFE+∠DFA=∠DFE=60°,∴△DFE是等边三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定,熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．3．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上,老师给出了一个模型：如图1,∠BAD=∠ACB=∠AED=90°,由∠1+∠2+∠BAD=180°,∠2+∠D+∠AED=180°,可得∠1=∠D；又因为ACB=∠AED=90°,可得△ABC∽△DAE,进而得到BCAC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发,将三等角变为非直角,如图2,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合）,点D是AC边上的一个动点,且∠APD=∠B．①求证：△ABP∽△PCD；②当点P为BC中点时,求CD拓展：（3）在（2）的条件下如图2,当△APD为等腰三角形时,请直接写出BP的长．【答案】感知：（1）AEDE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质,即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD,即可求证；②根据相似三角形的性质计算,即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况,根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质,即可求解．．综上所述,当△APD为等腰三角形时, BP的长为2或113【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4．（2022·山东烟台·七年级期末）问题背景：（1）如图①,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E,易证：DE=______+______．（2）拓展延伸：如图②,将（1）中的条件改为：在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,请求出DE,BD,CE三条线段的数量关系,并证明．（3）实际应用：如图③,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点C的坐标为(−2,0),点A的坐标为(−6,3),请直接写出B点的坐标．∴△ADB≌△CEA,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE,即：DE=BD+CE,故答案为：BD；CE；（2）解：数量关系：DE=BD+CE,证明：在△ABD中,∠ABD=180°−∠ADB−∠BAD,∵∠CAE=180°−∠BAC−∠BAD,∠BDA=∠AEC,∴∠ABD=∠CAE,在△ABD和△CAE中,{∠ABD＝∠CAE∠BDA＝∠AECAB＝CA∴△ABD≌△CAE,∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AD+AE=BD+CE；（3）解：如图,作AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,由（1）可知,△AEC≌△CFB,∴CF=AE=3,BF=CE=OE−OC=4,∴OF=CF−OC=1,∴点B的坐标为B(1,4)．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2021·浙江·义乌市绣湖中学教育集团八年级阶段练习）（1）模型建立,如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：x+3与y轴交于A点,与x轴交于B点,将线段AB绕点B逆时针旋转90度,得到线段BC,过①已知直线y＝34点A,C作直线,求直线AC的解析式；②如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,已知点D在第一象限,且是直线y＝2x﹣5上的一点,若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标．综上可知满足条件的点D的坐标分别为(3,1)或(9，13)或(193，233)．【点睛】本题为一次函数的综合应用,涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想,解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．6．（2022·江苏·八年级专题练习）（1）课本习题回放：“如图①,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm．求BE的长”,请直接写出此题答案：BE的长为________．（2）探索证明：如图②,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,AB=AC,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,且∠BED=∠CFD=∠BAC．求证：ΔABE≌ΔCAF．（3）拓展应用：如图③,在ΔABC中,AB=AC,AB>BC．点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠BED=∠CFD=∠BAC．若的面积为15,则ΔACF与ΔBDE的面积之和为________．（直接填写结果,不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC,根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得∠BEA＝∠AFC,∠4＝∠ABE,根据AAS可证明△ABE≌△CAF；（3）先证明△ABE≌△CAF,得到ΔACF与ΔBDE的面积之和为△ABD的面积,再根据CD=2BD故可求解．【详解】解：（1）∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E＝∠ADC＝90°,∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°,∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中,{∠E=∠ADC∠EBC=∠DCABC=AC∴△CEB≌△ADC（AAS）,∴BE＝DC,CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE−DE,DE＝1.7cm,∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm,∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：∵∠1＝∠2,∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3,∠3＋∠4＝∠BAC,∠1＝∠BAC,∴∠BAC＝∠ABE＋∠3,∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC,∠ABE＝∠4,AB＝AC,∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵∠BED=∠CFD=∠BAC7．（2022·全国·八年级课时练习）通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题：（1）如图1,∠BAD＝90°,AB＝AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°,得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°,可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝,BC ＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2,∠BAD＝∠CAE＝90°,AB＝AD,AC＝AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图,已知四边形ABCD和DEGF为正方形,△AFD的面积为S1,△DCE的面积为S2,则有S1S2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H,EQ⊥FG于点Q,进而可得∠BAF=∠ADH,然后可证△ABF≌△DAH,则有AF=DH,进而可得DH=EQ,通过证明△DHG≌△EQG可求解问题；（3）过点D作DO⊥AF交AF于O,过点E作EN⊥OD交OD延长线于N,过点C作CM⊥OD交OD延长线于M,由题意易得∠ADC=∠90°,AD=DC,DF=DE,然后可得∠ADO=∠DCM,则有△AOD≌△DMC,△FOD≌△DNE,进而可得OD=NE,通过证明△ENP≌△CMP及等积法可进行求解问题．【详解】解：（1）∵△ABC≌△DAE,∴AC=DE；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H,EQ⊥FG于点Q,如图所示：∴∠DAH+∠ADH=90°,∵∠BAD=90°,∴∠BAF+∠DAH=90°,∴∠BAF=∠ADH,∵BC⊥AF,∴∠BFA=∠AHD=90°,∵AB=DA,∴△ABF≌△DAH,∴AF=DH,同理可知AF=EQ,∴DH=EQ,∵DH⊥FG,EQ⊥FG,∴∠DHG=∠EQG=90°,∵∠DGH=∠EGQ∴△DHG≌△EQG,∴DG=EG,即点G是DE的中点；（3）S1=S2,理由如下：如图所示,过点D作DO⊥AF交AF于O,过点E作EN⊥OD交OD延长线于N,过点C作CM⊥OD交OD延长线于M∵四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°,AD=DC,DF=DE∵DO⊥AF,CM⊥OD,∴∠AOD=∠CMD=90°,∠OAD+∠ODA=90°,∠CDM+∠DCM=90°,又∵∠ODA+∠CDM=90°,∴∠ADO=∠DCM,∴△AOD≌△DMC,∴S△AOD=S△DMC,OD=MC,同理可以证明△FOD≌△DNE,∴S△FOD=S△DNE,OD=NE,∴MC =NE,∵EN⊥OD,CM⊥OD,∠EPN=∠CMP,∴△ENP≌△CMP,∴S△ENP=S△CMP,∵S△ADF=S△AOD+S△FOD,S△DCE=S△DCM−S△CMP+S△DEN+S△ENP,∴S△DCE=S△DCM+S△DEN=S△AOD+S△FOD,∴S△DCE=S△ADF即S1=S2．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法,熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．8．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,直线l 经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时,①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合）,请你探究直线l,EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）【答案】（1）①证明见解析,②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．【分析】（1）①根据∠AEC＝∠BFC＝90°,利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB即可；②根据AAS证△EAC≌△FCB,推出CE＝BF,AE＝CF即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等,求出线段之间的关系即可．【详解】（1）证明：①∵AE⊥EF,BF⊥EF,∠ACB＝90°,∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°,∴∠EAC+∠ECA＝90°,∠ECA+∠FCB＝90°,∴∠EAC＝∠FCB,②EF＝AE+BF；证明：在△EAC和△FCB中,{∠AEC =∠CFB ∠EAC =∠FCB AC =BC,∴△EAC ≌△FCB （AAS ）,∴CE ＝BF ,AE ＝CF ,∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF ,即EF ＝AE +BF ；（2）①当AD ＞BD 时,如图①,∵∠ACB ＝90°,AE ⊥l 直线,同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角）,又∵AC ＝BC ,BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°,∴△ACE ≌△CBF （AAS ）,∴CF ＝AE ,CE ＝BF ,∵CF ＝CE +EF ＝BF +EF ,∴AE ＝BF +EF ；②当AD ＜BD 时,如图②,∵∠ACB ＝90°,BF ⊥l 直线,同理可证∠CBF ＝∠ACE （同为∠BCD 的余角）,又∵AC ＝BC ,BE ⊥l 直线,即∠AEC ＝∠BFC ＝90°．∴△ACE ≌△CBF （AAS ）,∴CF ＝AE ,BF ＝CE ,∵CE ＝CF +EF ＝AE +EF ,∴BF ＝AE +EF ．【点睛】本题考查了三角形综合题,主要涉及到了全等三角形的判定与性质,解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS）,利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．9．（2021·四川达州·九年级期中）模型探究：（1）如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E．求证：BE=CD；模型应用：（2）已知直线l1:y=2x+4与坐标轴交于点A、B,将直线l1绕点A逆时针旋转90°至直线l2,如图2,求直线l2的函数表达式；x+4上,且AB=4√2．若直线与y轴的交点为M,M为AB中点．试判断（3）如图3,已知点A、B在直线y=12在x轴上是否存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形．。
2024年中考数学总复习第一部分考点精讲第四单元三角形微专题一线三等角模型
∵∠DEF＝60°，
∴∠CEF＋∠BED＝120°，
例2题图
微专题 一线三等角模型
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF， ∴ BD BE ，
CE CF
∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE＝3，
∴ 4 3 ，∴CF＝ 9.
3 CF
4
例2题图
微专题 一线三等角模型
例3 如图，在△ABC中，点D为BC上一点，连接AD，点E为
例3题图
微专题 一线三等角模型
二阶 构造模型
方法CB＝90°， 且点C在直线l上． 辅助线作法：分别过点A，B作AD⊥l，BE⊥l. 结论：若AC＝BC，则△ACD≌△CBE，DE＝AD＋BE； 若AC≠BC，则△ACD∽△CBE.
微专题 一线三等角模型
拓展模型 1．一线三等角 “中点型一线三等角”：当∠1＝∠2＝∠3 且D是BC的中点时， △BDE∽△CFD∽△DFE.
上一点，连接AE，DE，若∠BAE＝∠CED，AB＝CE，求证：
△AED是等腰直角三角形．
证明：在△ABE和△ECD中，
BAE CED
AB
EC
,
B C
∴△ABE≌△ECD(ASA)，
∴AE＝ED，
例1题图
微专题 一线三等角模型
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∠BAE＝∠CED， ∴∠CED＋∠AEB＝90°， ∴∠AED＝90°， ∵AE＝ED，∠AED＝90°， ∴△AED是等腰直角三角形．
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，∠ADE＝60°，
∵∠F＋∠DAF＝∠ADE＋∠EDC， F ∴∠DAF＝∠EDC，
例5题图
微专题 一线三等角模型
在△ADF和△DEC中，
2023年中考数学常见几何模型归纳(全国通用版)：一线三等角模型(从全等到相似)(解析版)
专题05一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B +CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED +任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ，AB AC ，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转 045 ，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转 4590 ，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE ，1DE ，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析(3)258BFC S【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ，45EAC ACE ，再根据90BDA CEA ，求出45ABD ，45ACE ，即可得出45DAB ABD EAC ACE ，最后根据三角函数得出1AD BD ，1AE CE ，即可求出2DE AD AE ；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt △AEC 中，根据勾股定理求出5AC ，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF ，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：∵90BAC ，AB AC ，∴90452ABC ACB ，∵l BC ∥，∴45DAB ABC ，45EAC ACE ，∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ，∴904545ABD ，904545ACE ，∴45DAB ABD EAC ACE ，∴sin 12AD BD AB DAB ，sin 1AE CE AC EAC ，∴2DE AD AE ．(2)①DE =CE +BD ；理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ，∴90DAB DBA ，∵90BAC ，∴90DAB CAE ，∴DBA CAE ，∵AB =AC ，∴ABD CAE ≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ，∴90DAB DBA ，∵90BAC ，∴90DAB CAE ，∴DBA CAE ，∵AB =AC ，∴ABD CAE ≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，∴314AE AD DE ，在Rt △AEC 中，根据勾股定理可得：5AC ，∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DF CE ∥，∴AD AF AE CF ，即345AF ，解得：154 AF ，∴155544CF AC AF ，∵AB =AC =5，∴1152552248BFC S CF AB ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明∶DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC = ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA=∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC= ，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°- ．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC= ，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．∴△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF ，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l 于E ，CF l 于F ．若1AE ，2CF ，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，BE CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE ，6cm AD ，求BE 的长．∵∠EDF =45゜∴∠ADE +∠BDF =180゜−∠EDF =135゜∴∠ADE =∠BFD在△AED 和△BDF 中A B ADE BFD AE BD ∴△AED ≌△BDF (AAS )答案为：△BDF ；②∵△ABC 是等边三角形∴∠B =∠C =60゜∴∠BDE +∠BED =180゜−∠B =120゜∵∠EDF =60゜∴∠BDE +∠CDF =180゜−∠EDF =120゜∴∠BED =∠CDF在△BDE 和△CFD 中B C BED CDF BD CF∴△BDE ≌△CFD (AAS )故答案为：△CFD ；③∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC =90゜，AB =BC∴∠ABE +∠CBF =180゜−∠ABC =90゜∵AE ⊥l ，CF ⊥l ∴∠AEB =∠CFB =90゜∴∠ABE +∠EAB =90゜∴∠EAB =∠CBF在△ABE 和△BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC∴△ABE ≌△BCF (AAS )∴AE =BF =1，BE =CF =2∴EF =BE +BF =2+1=3故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示∵四边形OABC 是正方形∴∠AOC =90゜，AO =OC∴∠COE +∠AOD =180゜−∠ACO =90゜∵AD ⊥x 轴，CE ⊥x 轴∴∠CEO =∠ADO =90゜模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C ．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ ．当 在许可范围内变化时， 取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当 在许可范围内变化时， 取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有 、 的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE ；证明见解析；（2）30 ；75 ；（3）可能；30 ，30 或52.5 ，75 ．【分析】（1）证明△ADB ≌△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=∠2或∠1=∠CQP ，即∠2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=∠1或∠2=∠CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则∠2=∠B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，∵BDA BAC ，∴180DBA BAD BAD CAE ，∴DBA CAE ，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE BD ，AD CE ，∴DE AE AD BD CE ；（2）在△ABP 中，2230APC B ，∴1150 ，同理可得：230 ；由2 或1CQP ，即230 ，解得30 ，则△ABP ∽△PCQ ；∴当 在许可范围内变化时，30 时，总有△ABP ∽△PCQ ；由1 或2CQP ，同理可得：75 ．∴当 在许可范围内变化时，75 总有△ABP ∽△QCP ；（3）可能．①当30 ，30 时，则230B ，则△ABP ∽△PCQ ∽△BCA ；②当75 ，52.5 时，同理可得：115075 ，23052.5 ，∴△ABP ∽△CQP ∽△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN ＝，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为（请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．，3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B 时，求证：AD BC AP BP ．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB ，45B ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ，若CE CD 的长．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB ，6BC ．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM 的最小值；②当AG GM 取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE或3DE 【分析】（1）证明出DCE AEF 即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM ．此时，AG GM 取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ．设AF x ，则4BF x ， 142MN x ．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM ，则有 21342x x ，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB，根据5AM ，可得3543GH MH ，进而求出125GH ，95MH ．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC=．设DE y ，则6AE y ，即有164y y ，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ，∴90CED DCE ．∵EF CE ，∴90CED AEF ，∴DCE AEF ，∴AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC 是直角二角形．∴132BM CM GM．∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM ，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM ．此时，AG GM 取最小值．在Rt ABM中，5AM ．∴AG GM 的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ．设AF x ，则4BF x ，∴ 11422MN BF x ．∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM ，由①知AG GM 的最小值为5、即5AM，又∵3GM ，∴2AG ．∴ 21342x x ，解得1x ，即1AF ．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB，由①知AG GM 的最小值为5，即5AM ，又∵3GM ，∴3543GH MH ．∴125GH ，95MH ．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB ，即1293556FB ，解得3FB ．∴1AF AB FB ．由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y ，则6AE y ，∴164y y，解得3y或3．∵036，036 ，∴3DE或3DE 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ，Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ 相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE ，CD kCH ，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ，(2)EK LH ，证明见解析；(3)ET HT ，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ，根据余角性质得到PMR NRQ ，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR ，NRQ PMR ；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC ，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL ，可得到EK LH ；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM ，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN ，得到EM HN ，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT ．（1）解：∵MRN △是等腰直角三角形，∴=MR RN ，90MRN ，∵MP PQ ，NQ PQ ，∴90MPR NQR ，∴90PMR MRP MRP NRQ ，∴PMR NRQ ，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR∴MPR NRQ ≌△△，∴QN PR ，NRQ PMR ，故答案为：PR ，PMR ；（2）解：∵四边形ACEF 是正方形，∴AC CE ，90ACE ，∵EK BK ∴90B EKC ，∴90BAC ACB ACB ECK ，∴BAC ECK ，∵四边形ACEF 是矩形，∴∴BAC ECM ，∴ACB △同理：BCD NHC ∽△△，∴在NHT △和EMT △中， 3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．由（1）可得：△NFO ∽△OEM ，∴NF OF NO OE ME MO∵点M （2，1），∴OE 1，∵tanα＝ON OM ＝32，∴3NF OF ，∴NF ＝3，OF ＝33 ，3课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD l ，过点B 作BE l ，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE ．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为 4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x 与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45 后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．由已知得OM＝ON，且∠OMN＝∴由（1）得△OFM≌△MGN，∴MF＝NG，OF＝MG，设M（∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，，∵点N的坐标为（4，2）∴42m nn m解得13mn∴点M的坐标为（1，3）；（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得∴P（0，4），∴OP＝4，由y＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°，∴∠PSQ＝45°．∴PQ＝SQ．∴由（1）得SH2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．当D在AB的下方时，过D作DE⊥轴于E，交BC于F,同（1）可证得△ADE≌△DPF，∴=AE=6-（2x-5）=11-2x，DE=x,3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN 于D ，BE MN 于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE ，证明过程见解析；(3)DE BE AD ，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，∵90ACB ，∴90ACD BCE ，∵AD MN ，∴90ACD CAD ，∴BCE ∠∠CA D ，又∵AC BC ，90ADC CEB ，∴() ≌ADC CEB AAS ，∴AD CE ，DC BE ，∵直线MN 经过点C ，∴DE CE DC AD BE ；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE ，理由如下：∵AD MN 于D ，BE MN 于E ∴90ADC BEC ACB ，∴90CAD ACD ，90ACD BCE ，∴CAD BCE ，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB，∴ ADC CEB AAS △≌△∴CE AD ，CD BE ，∴DE CE CD AD BE ；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD ，理由如下：∵AD MN 于D ，BE MN 于E ∴90ADC BEC ACB ，∴90CAD ACD ，90ACD BCE ，∴CAD BCE ，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB，∴ ADC CEB AAS △≌△∴CE AD ，CD BE ，∴DE CD CE BE AD .【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD ， 1.7cm DE ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN 的边AM 、AN 上，AB AC ，点E ，F 在MAN 内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ．求证：ABE CAF ≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC 中，AB AC ，AB BC ．点D 在边BC 上，2CD BD ，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ．若ABC 的面积为15，则ACF 与BDE 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB ≌△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得∠BEA ＝∠AFC ，∠4＝∠ABE ，根据AAS 可证明△ABE ≌△CAF ；（3）先证明△ABE ≌△CAF ，得到ACF 与BDE 的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD 故可求解．【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，E ADC EBC DCA BC AC∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵BED CFD BAC∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又AB AC∴△ABE≌△CAF，∴ABE CAFS S∴ACF与BDE的面积之和等于ABE与BDE的面积之和，即为△ABD的面积，∵2CD BD，△ABD与△ACD的高相同则13ABD ABCS S△△=5故ACF与BDE的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别是D、E．求证：BD＋CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD、CE与DE之间满足BD＋CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC= ，证法见详解，（3）180º- ，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 ABC中，沿 ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝∴线段BC 与AI 之间的数量关系为【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合，解题的关键是根据题意找到相似三角形，列出比例式求解．7．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，ABC 是等腰直角三角形，AC BC ，直线l 过点C ，AM l ，BN l ，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC ，90ACB ，N ，B ，E 三点共线，CN NE ，45E ，1CN ，2BN ．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE 中，45CDE ，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC ，90ACB ，若1tan 2DCA ，直接写出AE AD 的值为．8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD 于点B ，CD BD 于点D ，P 是BD 上一点，AP PC ，AP PC ，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c ________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC ，AB BC ，2AB ，4CD ，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ，且DM交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF 与BGM 的关系为：________，若AB 3AF ，则FG ________．9．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为时，△CDE与△ACE相似．【分析】因为DE ∥AB 得到∠DEC ＝∠ACE ，所以△CDE 与△ACE 相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠ACE ，△ODE ∽△OBA ，∴△ODE 也是等边三角形，则OD ＝OE ＝DE ，设E （a ，0），则OE ＝OD ＝DE ＝a ，BD ＝AE ＝4﹣a ．∵△CDE 与△ACE 相似，分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时，则∠DCE ＝∠CEA ，∴CD ∥AE ，∴四边形AEDC 是平行四边形，∴AC ＝a ，，∵BD ＝2AC ，∴4﹣a ＝2a ，∴a ＝．∴E ；②当△CDE ∽△AEC 时，∠DCE ＝∠EAC ＝60°＝∠B ，∴∠BCD +∠ECA ＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠BCD +∠ECA ＝∠BDC +∠BCD ，∴∠ECA ＝∠BDC ，∴△BDC ∽△ACE ，∴，∴BC ＝2AE ＝2（4﹣a ）＝8﹣2a ，∴8﹣2a +2＝4，∴a ＝．∴．综上所述，点E 的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF ，BDE 与CFD 相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC 为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF 沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD .①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值；②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE 与CFD 的周长之比.【答案】（1）~ BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF ；②BDE 与CFD 的周长之比为13.【分析】（1）根据三角形的内角和得到BED CDF ，即可证明；（2）①设AE x ，AF y ，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ，DF AF y ，60EDF A ，根据三角形的内角和定理得BED CDF ，即可证明~ BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ，再根据比例关系求出AE AF的值；②同理可证~ BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD，得28810x x y y ，再得到13x y ，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~ BDE CFD ，理由：B C EDF ，在BDE 中，180B BDE BED ，180180BDE BED B ，180BDE EDF CDF ∵，180180BDE CDF EDF ，BED CDF ，B C ∵，~BDE CFD ；（2）①设AE x ，AF y ，ABC ∵是等边三角形，60A B C ，8AB BC AC ，由折叠知，DE AE x ，DF AF y ，60EDF A ，在BDE 中，180B BDE BED ，180120BDE BED B ，180120BDE BED B ∵，180BDE EDF CDF ∵，180120BDE CDF EDF ，BED CDF ，60B C ∵，~BDE CFD ，BD BE DE CF CD FD，8BE AB AE x ∵，8CF AC AF y ，6CD BC BD 2886x x y y ， 2868y x y x y x ，105147x y ，57AE AF ；②设AE x ，AF y ，ABC ∵是等边三角形，60A ABC ACB ，8AB BC AC ，由折叠知，DE AE x ，DF AF y ，60EDF A ，在BDE 中，180ABC BDE BED ，180120BDE BED ABC ，180BDE EDF CDF ∵，180120BDE CDF EDF ，BED CDF ，60ABC ACB ∵，120DBE DCF ，~BDE CFD ，BD BE DE CF CD FD8BE AB AE x ∵，8CF AF AC y ，10CD BC BD ，28810x x y y ，2(8)10(8)y x y x y x ，13x y .~BDE CFD ∵.BDE 与CFD 的周长之比为13DE x DF y .【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x与直线CD 交于点 2,1M ，且两直线夹角为 ，且3tan 2，请你求出直线CD 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，3AB ，5BC ，点E 为BC 边上—个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90 ，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若DPC △为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．由（1）得NFO OEM △∽△∵M 坐标 2,1∴2OE ，ME ∵3tan 2 ∴32ON OM 解得：12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE 于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE BF；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB 延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．【拓展延伸】（7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB 于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是．。
2025年中考数学总复习第二部分重难专题突破专题3一线三等角类型问题的探究
（1） 求抛物线对应的函数表达式.
解：（1） ∵ 抛物线的对称轴是直线x＝4，A（2，
Hale Waihona Puke Rt△ABF中，BF＝d，∴ AB＝ ＋ ＝ d.∴ cosα＝ ＝
＝
.
变式训练
1. （1） 发现：如图①，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点
C，过点D作DE⊥AC，交CA的延长线于点E，由∠1＋∠2＝∠2＋∠D＝90°，
得∠1＝∠D，又∠ACB＝∠DEA＝90°，可以得到△ABC≌△DAE，进而
∵ 点A的坐标为（－1，－4），∴ AD＝1，OD＝CE＝4.
∵ ∠OBA＝90°，∴ ∠OBE＋∠ABC＝90°.
∵ ∠ABC＋∠BAC＝90°，∴ ∠BAC＝∠OBE.
∠＝∠ = °，
在△ABC和△BOE中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴ △ABC≌△BOE.∴ AC＝BE，BC＝OE.
第1题
设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x.
∴ AC＝BE＝x－1.∴ CE＝BE＋BC＝x－1＋x＝4，解得x＝ .
∴
x－1＝ .∴
点B的坐标为
② 当点B在OA的右侧时，
同理，可得点B的坐标为
综上所述，点B的坐标为
− ,−
,− .
− ,−
或
.
,−
.
例2 如图所示的抛物线的对称轴是直线x＝4，该抛物线与x轴交于A，B
2024中考数学总复习冲刺专题：《一线三等角模型》通用版
《一线三等角模型》一、教材分析“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、直角一线三等角和钝角一线三等角.“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.它一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.二、核心素养分析2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.三、学情分析本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数；④二元一次方程（组）.本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.四、教学任务分析1.课堂教学目标（1）知识与技能：探索“一线三等角”的基本特征，并且能够在不同背景中认识和把握基本图形，能利用“一线三等角”模型解决相关计算和证明问题；能够构造“一线三等角”模型，解决较为复杂的几何问题.（2）过程与方法：通过观察分析，大胆猜想，探索“一线三等角”基本图形，培养学生合作交流、逻辑推理的能力；让学生在解决相关问题时感受几何基本模型对几何学习的重要性.（3）情感态度与价值观：在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识，在动手动脑的过程中发展想象力，体会模型思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想；提高解题技巧，提升数学核心素养.2.教学重点和难点（1）教学重点①识别“一线三等角”模型的基本特征，并应用“一线三等角”模型解决相关问题；②构造“一线三等角”模型，解决复杂的几何问题.（2）教学难点构造“一线三等角”模型，并解决较为复杂的几何问题.五、具体教学过程设计1、概述：引导学生回顾一线三等角模型的基本分类：1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD 1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD同侧锐角直角钝角异侧2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP∽△BPD同侧锐角直角钝角222111122222211111异侧3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时.结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.2、模块一三角齐见，模型自现——图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.（一）典例精讲例1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．222111例1图例2图2.如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．（1）如图1，当点Q 在线段CA 上时，①求证：△BPE ∽△CEQ ；②线段BE ，BP ，CQ 之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当△APQ 为等腰三角形时，求BPCQ的值．3、模块二模型隐藏，及时添补——模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.（一）知识铺垫找角、定线、构相似如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D 两点作直线l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
中考专题：“一线三等角”模型的用途(苏科版,包含答案)
中考专题：一线三等角模型的多个用途本文介绍一个基本数学模型，并运用该基本模型的构建来解决问题.一、基本模型如图1，点,,B E C 三点共线，且已知90AEF ECF ABE ∠=∠=∠=︒，易得ABE ECF ∆∆:.当然，如果这两个三角形中只要有一组边对应相等，则有ABE ECF ∆≅∆的结论.此模型中，我们还可以将条件一般化:如图2，若ADE B C α∠=∠=∠=∠，则ABD DCE ∆∆:.我们从上面的图形中可得出一种几何基本模型:“一线三等角”模型.二、用途1.直接用途当图形中出现基本模型时，我们可以直接应用模型高效地解决问题.例1 如图3，已知抛物线与x 轴交于,A B 两点，点A 的坐标为(2,0)，它与y 轴交于C 点，点C 的坐标为(0,3)，它对称轴是直线4x =. (1)求此抛物线的函数关系式;(2)若抛物线上有一点P ，且90PBC ∠=︒，求点P 坐标.解析 第(1)题易得此抛物线的函数关系式为:21234y x x =-+.第(2)题，我们可以从原图中直接得出基本模型如图4，易证BCO PBD ∆∆:， 所以12DB CO DP BO ==.设BD x =，则2DP x =，∴点P 的坐标为(6,2)x x +. 将其代入抛物线的函数关系式，得212(6)2(6)34x x x =+-++. 解得124,0x x ==(舍)，∴点P 的坐标为(10,8).2.补形用途(1)当图形中的基本模型不完整时，我们可以通过添加辅助线补形得出我们需要的模型，再运用模型以便高效地解决问题.例2 如图5，平面内4条直线1l ，2l ，3l ，4l 是一组平行线，每相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度.正方形ABCD 的4个顶点,,,A B C D 都在这些平行线上，其中点,A C 分别在直线1l 和4l 上，则此正方形的面积是 .解析 在四条平行线的背景下，我们可以画出符号题意得两个图形，如图6、图7，要求正方形的面积，须先求其边长.图6中的正方形边长显然是3，则其面积为9;而图7可以添加辅助线构建出“一线三等角”模型即可解决问题.如图7，过点D 作1DH l ⊥于点H ，延长HD 交直线4l 于点G ，则Rt ADH Rt DCG ∆≅∆.由“一线三等角”模型，可得1AH DG ==.由于2DH =，根据勾股定理，得, 2225AD AH DH =+=，所以此时正方形面积为5.(2)当图形中没有基本的模型图形时，我们可以考虑“无中生有”，构造出我们需要的基本模型，再运用此基本模型解决问题.例3 如图8，在边长相同的小正方形组成的网格中，点,,,A B C D 都在这些小正方形的顶点上，,AB CD 相交于点P ，则tan APD ∠的值为 .解析 本题求tan APD ∠的值的方法不是唯一的，要求一个角的三角函数值，一般情况下，我们要将其置于一个直角三角形中.本题我们构造“一线三等角”的基本模型是高效的解决方案之一如图9，取格点E ，连结AE ，BE ，可知ABE ∆是等腰直角三角形.过点E 作EF AB ⊥于点F ，由“三线合一”和“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”的知识点可得12EF BF AB ==，由题意知//BD AC ，所以13BP BD AP AC ==. 因此1142BP AB BF ==， 即12BP PF BF ==， ∴tan 2EF APD PF ∠==运用建模的数学思想可以将复杂问题简单化，将未知转化为已知，它也能提高我们的数学应用能力和创新能力.我们在解题的过程中，要遵循我们的认知规律:一方面，我们要注意以解决问题为契机建构知识，并学会联系与联想;另一方面，我们应该掌握分析问题的途径，经历思考和选择的过程，从多种方法策略中寻找和筛选合适的解决方案，从而将问题逐步分解加以解决.。
备战2025年中考数学冲刺专项训练(全国)专题11 全等三角形六种基本模型(原卷版)
专题11全等三角形六种基本模型通用的解题思路：模型一：一线三等角模型一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
或叫“K字模型”。
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型——旋转型全等一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：1△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；题型三：倍长中线模型构造全等三角形倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
常用于构造全等三角形。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。
三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD题型四：平行线+线段中点构造全等模型题型五：等腰三角形中的半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
2024年中考数学专题复习题型突破讲义全等模型之一线三等角
全等模型之一线三等角类型1 一线三垂直例1 如图,AB⊥BC,CD⊥BC,AE⊥DE,AE=DE,求证:AB+CD=BC.【变式1】如图，AC=CE，∠ACE=90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB=6 cm，DE=2 cm，则BD=（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm变式1题图变式2题图【变式2】如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=2.5 cm,BE=0.8 cm,则DE 的长为_______.【变式3】如图1,图2,在平面直角坐标系中,等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上,求第三个顶点的坐标.①∠A=∠DCE，∠ACB=∠D，类型2 一线三等角（非直角）例2 如图，直线m经过等边三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点D，E，使得∠ADB＝60°，∠AEC＝60°．求证：BD＋CE＝DE.【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE=（）A．3 B．2 C．94D．92变式4题图变式5题图【变式5】如图,点B,C,D在同一条直线上,点A和点E在BD的同侧,且AB=CD,∠ACE=∠B=∠D.若BC=2,AB=3,则BD的长为____.【变式6】如图,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF.（两个三角形在直线同侧）已知AP=BD（两个三角形在直线异侧）已知CP=PD∴∠A+∠AEB=∠AEB+∠CED=90°.∴∠BAE=∠CED.在△ABE 和△ECD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,ED AE CED A C B ∴△ABE ≌△ECD （AAS ）.∴AB=EC,BE=CD.∴AB+CD=EC+BE=BC.【变式1】B 【解析】∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴90ABC CDE ∠=∠=︒.∵∠ACE ＝90°，∴90ACB DCE ∠+∠=︒.∵90ACB BAC ∠+∠=︒，∴BAC DCE ∠=∠.在△ABC 和△CDE 中，90，，＝，∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩ABC CDE BAC DCE AC CE ∴()ABC CDE AAS ≌.∴6==AB CD ，2==BC DE .∴268=+=+=BD BC CD （cm ）.【变式2】1.7 cm 【解析】∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠ADC=∠E=90°.∴∠ACD+∠CAD=90°. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°.∴∠BCE=∠CAD.∴△BCE ≌△CAD.∴CD=BE=0.8 cm ，CE=AD=2.5 cm.∴DE=CDCE=2.50.8=1.7（cm ）．【变式3】解：如图1,过点B 作BD ⊥x 轴于点D.∴∠BCD+∠DBC=90°.由等腰Rt △ABC 可知,BC=AC,∠ACB=90°.易知∠BCD+∠ACO=90°.∴∠DBC=∠ACO.在△BCD 和△CAO 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,AC BC ACO DBC AOC BDC∴△BCD ≌△CAO （AAS ）.∴CD=OA,BD=OC.∵OA=3,OC=2,∴CD=3,BD=2.∴OD=5.∴B(5,2).如图2,过点A 作AD ⊥y 轴D 于点.在△ACD 和△CBO 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,CB AC OCB DAC COB ADC∴△ACD ≌△CBO （AAS ）.∴CD=OB,AD=CO.∵B(1,0),C(0,3),∴OB=1,OC=3.∴AD=3,OD=2.∴A(3,2).例2 证明：∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°.∴∠DAB ＋∠CAE ＝120°. 又∠ADB ＝∠AEC ＝60°，∴∠ABD ＋∠DAB ＝120°.∴∠ABD ＝∠CAE.∴△ABD ≌△CAE （AAS ）.∴BD ＝AE ，AD ＝CE.∴DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE ．【变式4】A 【解析】∵AB ＝AC ＝9，∴∠B ＝∠C.∵∠ADE ＝∠B ，∠BAD ＝180°﹣∠B ﹣∠ADB ，∠CDE ＝180°﹣∠ADE ﹣∠ADB ， ∴∠BAD ＝∠CDE.∵AE 的中垂线交BC 于点D ，∴AD ＝ED.在△ABD 与△DCE 中，，，，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BAD CDE B C AD ED∴△ABD ≌△DCE （AAS ）.∴CD ＝AB ＝9，BD ＝CE.∵CD ＝3BD ，∴CE ＝BD ＝3.【变式5】5 【解析】∵∠=∠=∠ACE B D ，180︒∠+∠+∠=∠+∠+∠=ACB ACE ECD B A ACB ，∴A ECD ∠=∠.在ABC 和CDE 中，，，，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩A ECD AB CD B D∴()ABC CDE ASA ≌.∴3CD AB ==.∵2BC =，∴5BD =.【变式6】证明:∵∠1=∠2=∠BAC,且∠1=∠BAE+∠ABE,∠2=∠CAF+∠ACF,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∴∠BAE=∠ACF,∠ABE=∠CAF.在△ABE 和△CAF 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,CAF ABE CA AB ACF BAE∴△ABE ≌△CAF(ASA).。
中考数学压轴必刷 专题4一线三等角模型(学生版)
【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4一线三等角模型【例1】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC中，90BAC∠=︒，AB AC=，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E．求证：DE BD CE=+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC=，D，A，E三点都在直线l上，并且有BDA AEC BACα∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE=+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若7AEGS=△，则AEIS=△______．【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从点B向点C运动时，∠BDA 逐渐变．（填“大”或“小”）（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【例3】在正方形ABCD 中，点E 在射线CB 上（不与点B ，C 重合），连接DB ，DE ，过点E 作EF DE ⊥，并截取EF DE =（点D ，F 在BC 同侧），连接BF ．（1）如图1，点E 在BC 边上．①依题意补全图1；②用等式表示线段BD ，BE ，BF 之间的数量关系，并证明；（2）如图2，点E 在CB 边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段BD ，BE ，BF 之间的数量关系．【例4】（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点，且∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ．△BDE 与△CFD 相似吗？请说明理由；（2）模型应用：△ABC 为等边三角形，其边长为8，E 为AB 边上一点，F 为射线AC 上一点，将△AEF 沿EF 翻折，使A 点落在射线CB 上的点D 处，且BD ＝2．①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF 的值；②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求△BDE 与△CFD 的周长之比．【例5】．如图，已知等边△ABC 的边长为6，点D 是边BC 上的一个动点，折叠△ABC ，使得点A 恰好与边BC 上的点D 重合，折痕为EF （点E 、F 分别在边AB 、AC 上）．（l ）当AE ：AF ＝5：4时，求BD 的长；（2）当ED ⊥BC 时，求EB 的值；（3）当以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似时，求BE的长．【例6】在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠P AC=2√55，求tan C的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC=35，ADAC=25，直接写出tan∠CEB的值．1．如图1，AB＝12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝8．点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由B点向点D运动．它们的运动时间为t（s）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝2时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图2，将图1中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”改为“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为每秒x 个单位，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x ，t 的值；若不存在，请说明理由．2．如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝120°，AB ＝AC =√3．现将△ABC 和△DEF 按如图所示的方式叠放在一起，△ABC 保持不动，△DEF 运动，且满足：点E 在边BC 上运动（不与点B ，C 重合），且边DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于点M ．（1）求证：∠BAE ＝∠MEC ；（2）当E 在BC 中点时，请求出ME ：MF 的值；（3）在△DEF 的运动过程中，△AEM 能否构成等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的BE 的长；若不能，则请说明理由．3．如图，在△ACB 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动（点E 不与点B ，C 重合），满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．（1）求证：△BDE ∽△CEF ；（2）当点E 移动到BC 的中点时，且BD ＝3，CF ＝2，则DE EF 的值为 √62．4．在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰ABC 纸片中，5CA CB ==，120ACB ∠=︒，将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN （90M ∠=︒，30MPN ∠=︒）按如图所示放置，顶点P 在线段BA 上滑动（点P 不与A ，B 重合），三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当100BPC ∠=︒时，α=______°；（2）当AP 等于何值时，APD BCP ≌△△？请说明理由； （3）在点P 的滑动过程中，存在PCD 是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角α的大小；若不存在，请说明理由．5．已知直线l 1：y ＝﹣x +b 与x 轴交于点A ，直线l 2：y ＝43x ﹣163与x 轴交于点B ，直线l 1、l 2交于点C ，且C 点的横坐标为1．（1）求直线l 1的解析式和点A 的坐标．（2）直线l 1与y 轴交于点D ，将l 1向上平移9个单位得l 3，l 3与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点P 为l 3上一动点，连接AP 、BP ，当△ABP 的周长最小时，求△ABP 的周长和点P 的坐标． （3）将l 1绕点C 逆时针旋转，使旋转后的直线l 4过点G （﹣2，0），过点C 作l 5平行于x 轴，点M 、N 分别为直线l 4、l 5上两个动点，是否存在点M 、点N ，使△BMN 是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，等腰直角△ABC 中，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B 坐标。
中考数学复习 一线三等角模型(含解析)
中考数学复习一线三等角模型（含解析）1.如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则与线段BC相等的线段是()A.ACB.AFC.CFD.EF第1题图2.如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC 的边长为()A.3B.4C.5D.6第2题图3.如图，A、B、C是直线l上的三个点，∠DAB＝∠DBE＝∠ECB＝α，且DB＝BE.若α＝120°，点F在直线l的上方，连接AF、BF、CF，△BEF为等边三角形，则可判断△ACF的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰或等边三角形D.无法确定第3题图4.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，点E是AD上一点，连接BE，若∠BAC＝∠BED，∠BAC＋∠ADC＝180°，AE＝1，BE＝CD＝2，则DE的长是________．第4题图5.如图，点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上，AF⊥EG.若AB＝5,AE＝DG＝1,则BF＝________．第5题图6.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是∠ACB内部一点，连接CD，作AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为点D，E.若BE＝DE＝2，则△ACD的周长是________．第6题图7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°.(1)当∠BDA＝115°时，∠AED＝________°；(2)当CD＝________时，△ABD≌△DCE.第7题图8.已知，在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．(1)如图①，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；(2)如图②，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE＋DN；(3)如图③，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，MN＝2，MD＝3，求MG的长．第8题图微专题一线三等角模型1.D 【解析】∵∠ACE ＝∠B ＋∠CAB ＝∠ACF ＋∠ECF ，∠B ＝∠E ＝∠ACF ＝60°，∴∠ECF ＝∠CAB ，∵AB ＝CE ，∴△ABC ≌△CEF (ASA)，∴BC ＝EF .2.B 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，∴∠BAP ＋∠APB ＝180°－60°＝120°，∵∠APD ＝60°，∴∠APB ＋∠DPC ＝180°－60°＝120°，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB PC ＝BP CD ，即AB AB －2＝21，∴AB ＝4，即△ABC 的边长为4.3.B 【解析】∵△BEF 为等边三角形，∴BF ＝EF ，∠BFE ＝∠FBE ＝∠FEB ＝60°.∵∠DBE ＝120°，∴∠DBF ＝60°.∵∠DAB ＝∠DBE ＝α，∴∠ADB ＋∠ABD ＝∠CBE ＋∠ABD ＝180°－α.∴∠ADB ＝∠CBE .在△ADB 和△CBE DAB ＝∠BCEADB ＝∠CBE ＝BE，∴△ADB ≌△CBE (AAS)，∴∠ABD ＝∠CEB ，∴∠ABD ＋∠DBF＝∠CEB ＋∠FEB ，∴∠ABF ＝∠CEF .又∵AB ＝CE ，∴△AFB ≌△CFE (SAS)，∴AF ＝CF ，∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFC ＝∠AFB ＋∠BFC ＝∠CFE ＋∠BFC ＝60°，∴△ACF 为等边三角形．4.3【解析】如解图，延长AD 至点F ，∵∠BAC ＝∠BED ，∠BAC ＋∠ADC ＝180°，∴∠BAC ＝∠BED ＝∠FDC ，∵∠FDC ＝∠ACD ＋∠DAC ，∠BAC ＝∠BAE ＋∠DAC ，∴∠ACD ＝∠BAE ，∵∠BED ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC ＝∠EBA ，∴△ACD ∽△BAE ，∴CD AE ＝AD BE，∵AE ＝1，BE ＝CD ＝2，∴AD ＝4，∴DE ＝AD －AE ＝3.第4题解图5.54【解析】如解图，设AF 与EG 交于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠B ＝90°，∠FAB＋∠GAH ＝90°.∵AF ⊥EG ，∴∠AGE ＋∠GAH ＝90°.∴∠AGE ＝∠FAB .∴△ABF ∽△GAE ，∴AB GA ＝BF AE，∵AB ＝5，AE ＝GD ＝1，∴AG ＝AD －GD ＝5－1＝4，∴54＝BF 1，解得BF ＝54.第5题解图6.6＋25【解析】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠ACD.在△BCE和△CAD E＝∠ADC，EBC＝∠DCA，＝CA，∴△BCE≌△CAD(AAS)，∴CE＝AD，BE＝CD＝2，∴AD＝BE＋DE＝4，由勾股定理得AC＝CD2＋AD2＝25，∴△ACD的周长为25＋2＋4＝6＋25.7.(1)65【解析】∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，∴∠EDC＝180°－∠BDA －∠ADE＝25°，∴∠AED＝∠EDC＋∠C＝25°＋40°＝65°；(2)2【解析】∵∠C＝∠B＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，当DC＝AB时，在△ABD和△DCE ADB＝∠DECB＝∠C＝DC，∴△ABD≌△DCE(AAS)，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE.8.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠AFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠AFE＋∠DFG＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，∵EF＝FG，∴△AEF≌△DFG(AAS)；(2)证明：如解图①，延长NF，EA，交点记为点H，∴∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝90°.∵F是AD的中点，∴AF＝DF，∴△AHF≌△DNF，∴AH＝DN，FH＝FN.∵∠EFN＝90°，∴△HEN为等腰三角形，∴EH＝EN.∵EH ＝AE ＋AH ＝AE ＋DN ，∴EN ＝AE ＋DN ；第8题解图①(3)解：如解图②，过点G 作GP ⊥AD ，交AD 的延长线于点P ，连接DG ，∴∠P ＝90°，同(1)的方法得，△AEF ≌△PFG ，∴AF ＝PG ，AE ＝PF ，∵AE ＝AD ，∴PF ＝AD ，∴PF －FD ＝AD －FD ，∴PD ＝AF ，∴PG ＝PD .∴∠PDG ＝∠MDG ＝45°，在Rt △EFG 中，EF ＝FG ，∴∠FGE ＝45°，∴∠FGE ＝∠GDM .∵∠GMN ＝∠DMG ，∴△MGN ∽△MDG ，∴MG MD ＝MN MG，∴MG ＝MD ·MN ＝3×2＝ 6.第8题解图②。
2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题(含解析)
2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题（含解析）一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。
类型一：三垂直模型1.（雅礼）如图，点A 是双曲线()80y x x=<上一动点，连接OA ，作OB OA ⊥，使2OA OB =，当点A 在双曲线()80y x x =<上运动时，点B 在双曲线ky x=上移动，则k 的值为.【解答】解：过A 作AC ⊥y 轴于点C ，过B 作BD ⊥y 轴于点D ，∵点A 是反比例函数y ＝（x ＜0）上的一个动点，点B 在双曲线y ＝上移动，∴S △AOC ＝×|﹣8|＝4，S △BOD ＝|k |，∵OB ⊥OA ，∴∠BOD +∠AOC ＝∠AOC +∠OAC ＝90°，∴∠BOD ＝∠OAC ，且∠BDO ＝∠ACO ，∴△AOC ∽△OBD ，∵OA ＝2OB ，∴＝（）2＝，∴＝，∴|k |＝2．∴k ＜0，∴k ＝﹣2，故答案为：﹣2．2.（青竹湖）如图，︒=∠90AOB ，反比例函数()04<-=x xy 的图象过点()a A ,1-，反比例函数xky =()0,0>>x k 的图象过点B ，且x AB //轴，过点B 作OA MN //，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，交双曲线x ky =于另一点，则OBC ∆的面积为.【解答】解：∵反比例函数的图象过点A （﹣1，a ），∴a ＝﹣＝4，∴A（﹣1，4），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE＝4，OE＝1，∵AB∥x轴，∴BF＝4，∵∠AOB＝90°，∴∠EAO+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，∴∠EAO＝∠BOF，∴△AEO∽△OFB，∴＝，∴OF＝16，∴B（16，4），∴k＝16×4＝64，∵直线OA过A（﹣1，4），∴直线AO的解析式为y＝﹣4x，∵MN∥OA，∴设直线MN的解析式为y＝﹣4x+b，∴4＝﹣4×16+b，∴b＝68，∴直线MN的解析式为y＝﹣4x+68，∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，∴M（17，0），N（0，68），解得，或，∴C（1，64），﹣S△OCN﹣S△OBM＝﹣﹣＝510，∴△OBC的面积＝S△OMN故答案为510．3．（广益）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为．【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，∵∠OAB＝90°，∴∠OAM+∠BAN ＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BAN＝∠AOM，∴△AOM∽△BAN，∴＝，∵点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，∴A（2，），B（k，1），∴OM＝2，AM＝，AN＝﹣1，BN＝k﹣2，∴＝，解得k1＝2（舍去），k2＝8，∴k的值为8，故答案为：8．4．（长沙中考2020）在矩形ABCD 中，E 为DC 上的一点，把ADE ∆沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：ABF FCE∆∆:（2）若23,4AB AD ==，求EC 的长；（3）若2AE DE EC -=，记,BAF FAE αβ∠=∠=，求tan tan αβ+的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠BAF=∠CFE ，∴△ABF ∽△FCE ．（2）解：∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴AF=AD=4，∴()22224232AF AB --，∴CF=BC-BF=AD-BF=2，由（1）得△ABF ∽△FCE ，∴CE CF BF AB =，∴2223CE =，∴EC=233（3）解：由（1）得△ABF ∽△FCE ，∴∠CEF=∠BAF=α，∴tan α+tan β=BF EF CE EFAB AF CF AF+=+，设CE=1，DE=x ，∵2AE DE EC -=，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，2244AE DE x -=+∵△ABF ∽△FCE ，∴AB CF AF EF =2144x x x x -=+(211121x x x xx ++-+ ，∴112x x +=，∴1x x =-x 2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，213x -=，EF=x=2，AF=2244AE DE x -=+=23tan α+tan β=CE EF CF AF +33323．5.（广益）矩形ABCD中，8AB=，12AD=，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；（2）如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图2【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠BEP＝90°，由折叠知，∠DPE＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠CPD＝90°，∴∠BEP＝∠CPD，∵∠B＝∠C＝90°，∴△EBP∽△PCD；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝12，由折叠知，PE＝AE，DP＝AD＝12，在Rt△DPC中，CP＝＝4，∴BP＝BC﹣CP＝12﹣4，在Rt△PBE中，PE2﹣BE2＝BP2，∴AE2﹣（8﹣AE）2＝（12﹣4）2，∴AE＝18﹣6；（2）如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x，∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴＝，∴＝，∴BF＝3．6．（长郡）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知点Q 是射线OC 上一点，182OQ =，点P 是x 轴正半轴上一点，tan 1POC ∠=，连接PQ ，A 经过点O 且与QP 相切于点P ，与边OC 相交于另一点D ．(1)若圆心A 在x 轴上，求A 的半径；(2)若圆心A 在x 轴的上方，且圆心A 到x 轴的距离为2，求A 的半径；(3)在（2）的条件下，若10OP <，点M 是经过点O ，D ，P 的抛物线上的一个动点，点F 为x 轴上的一个动点，若满足1tan 2OFM ∠=的点M 共有4个，求点F 的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵圆心A 在x 轴上，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，∴PQ ⊥x 轴，OP 为直径，∵tan ∠POC ＝1，，∴PQ ＝OP ，∵在Rt △OPQ 中，．∴OP ＝18．∴⊙A 的半径为9；（2）如图所示，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点Q 作QB ⊥x 轴于B ，连接AP ，∵PQ是⊙A的切线，∴AP⊥PQ，则∠APQ＝90°，∵AM⊥x轴，QB⊥x轴，∴∠AMP＝∠PBC＝90°，∴∠PAM＝90°﹣∠APM＝∠QPB，∴△APM∽△PBQ，∴，∵tan∠POC＝1，QB＝18，∴OB＝QB＝18，∵AM＝2，设MP＝MO＝x，∴PB＝18﹣2x，∴，解得x＝3或x＝6，∴MO＝3或MO＝x，∴A（3，2）或A（6，2），∴AP＝＝或AP＝＝2．∴半径为或2．（3）∵OP＜10，∴BO＝3，P（6，0），∴A（3，2），∵tan∠POC＝1，设D（a，a），∵，∴（3﹣a）2+（2﹣a）2＝13，解得：a＝0或a＝5，∴D（5，5），设抛物线解析式为y＝ax2+bx，将点P（6，0），D（5，5）代入得，，解得：，∴y＝﹣x2+6x，∵点F可能在点O的左边或点P的右边，，则|K FM|＝，设直线MF：或，联立，，得或，当或，解得：或，∴直线MF：或，令y＝0，解得：或，∴或．7.（麓山国际）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为；（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．＝AC•AB，【解答】解：（1）如图1，设∠A＝90°，AC≤AB，S△ABC①若AC＝，i）AB＝AC＝2，∴S＝，ii）BC＝AC＝2，则AB＝，∴S＝，②若AB＝，i）AB＝AC，即AC＝，∴S＝，ii）BC＝AB＝2，则AC＝∴S＝，③若BC＝，若AB＝AC＝＝1，∴S＝，若AB＝AC，AB＝，，S＝××＝，故答案为：或1或或或．（2）证明：如图2，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，∠B＝30°，∴BC＝2CD，∠BCD＝90°﹣∠B＝60°，∵∠ACB＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°，∴Rt△ACD中，AD＝CD，∴AC＝，∴，∴△ABC是智慧三角形．（3）∵△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，∴BC＝AB，∵△ABC是直角三角形，∴AB不可能为斜边，即∠ACB≠90°∴∠ABC＝90°或∠BAC＝90°①当∠ABC＝90°时，过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥EB于F，过C作CG⊥x轴于G，如图3，∴∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°，∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△BCF∽△ABE，∴，设AE＝a，则BF＝AE＝a，∵A（3，0），∴OE＝OA+AE＝3+a，∵B的纵坐标为，即BE＝，∴CF＝BE＝2，CG＝EF＝BE+BF＝，B（3+a，），∴OG＝OE﹣GE＝OE﹣CF＝3+a﹣2＝1+a，∴C（1+a，），∵点B、C在在函数y＝上（x＞0）的图象上，∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝1，∴k＝，②当∠BAC＝90°时，过C作CM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，如图4，∴∠CMA＝∠ANB＝∠BAC＝90°，∴∠MCA+∠MAC＝∠MAC+∠NAB＝90°，∴∠MCA＝∠NAB，∴△MCA∽△NAB，∵BC＝，∴2AB2＝BC2＝AB2+AC2，∴AC＝AB，∴△MCA≌△NAB（AAS），∴AM＝BN＝，∴OM＝OA﹣AM＝3﹣，设CM ＝AN ＝b ，则ON ＝OA +AN ＝3+b ，∴C （3﹣，b ），B （3+b ，），∵点B 、C 在在函数y ＝上（x ＞0）的图象上，∴（3﹣）b ＝（3+b ）＝k解得：b ＝，∴k ＝18+15，综上所述，k 的值为或。
中考数学压轴题 一线三等角(三垂直)
中考数学压轴题一线三等角一线三等角模型一 . 一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角” 。
二 . 一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角异侧相似篇同侧锐角直角钝角异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠ 1= ∠ 2= ∠ 3，易得△ AEC ∽△ BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△ AEC ≌ △ BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式 (了解)如图 3-3，当∠1=∠2 且时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，这是内心的性质，反之未必是内心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是△PEF 的旁心.5 .“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
专题07 一线三等角模型压轴题真题分类(解析版)—八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题07一线三等角模型中档大题与压轴题真题分类（解析版）基础模型已知:点P 在线段AB 上,∠1=∠2=∠3,且AP =BD (或AC =BP 或CP =PD )结论1:△APC ≌△BDP已知:点P 在线段AB 的延长线上,∠1=∠2=∠3,且AP =BD (或AC =BP 或CP =PD )结论2:△APC ≌△BDP模型拓展已知:点P 在线段AB 上,∠1=∠2=∠3,且AP =BD (或AC =BP 或CP =PD )已知:点P 在线段AB 的延长线上,∠1=∠2=∠3,且AP =BD (或AC =BP 或CP =PD )结论3:△APC ≌△BDP 结论4:△APC ≌△BDP专题简介：本份资料包含一线三等角模型常考的中档大题、一线三等角模型常规压轴题、坐标系中的三垂直模型类压轴题，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题。
适合于培训机构的老师给学生作专题复习培训时使用或者冲刺压轴题高分时刷题使用。
题型1：一线三等角模型中档大题1.如图，90B C ∠=∠=︒，BAE CED ∠=∠，且AB CE =．（1）试说明：ADE 是等腰直角三角形；（2）若2CDE BAE ∠=∠，求CDE ∠的度数．【解答】证明：（1）在△ABE 与△ECD 中，，∴△ABE ≌△ECD （ASA ），∴AE ＝ED ，∵∠BAE +∠AEB ＝90°，∴∠AEB +∠CED ＝90°，∴△AED 是等腰直角三角形；（2）∵△ABE ≌△ECD ，∴∠AEB ＝∠CDE ，∵∠AEB +∠BAE ＝90°，∵∠CDE ＝2∠BAE ，∴2∠BAE +∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝30°，∴∠CDE ＝60°．2.如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，D 、E 分别为AB 、BC 上一点，∠CDE ＝∠A ．若BC ＝BD ，求证：CD ＝DE ．【解答】证明：∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B ，∵AC ＝BCBC ＝BD ，∴AC ＝BD ，∵∠CDB ＝∠A +∠ACD ＝∠CDE +∠BDE ，∠CDE ＝∠A ，∴∠ACD ＝∠BDE ，在△ACD 与△BDE 中，，∴△ACD ≌△BDE （ASA ），∴CD ＝DE ．3．（雅礼）如图，在△ABC 中，B C ∠=∠，点D 是边BC 上一点，CD AB =，点E 在边AC 上．（1）若ADE B ∠=∠，求证：①BAD CDE ∠=∠；②BD CE =；（2）若BD CE =，70BAC ∠=︒，求ADE ∠的度数．【解答】（1）证明：①∵在△ABC 中，∠BAD +∠B +∠ADB ＝180°，∴∠BAD ＝180°﹣∠B ﹣∠ADB ，又∵∠CDE ＝180°﹣∠ADE ﹣∠ADB ，且∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠CDE ；②由①得：∠BAD ＝∠CDE ，在△ABD 与△DCE 中，，∴△ABD ≌△DCE （ASA ），∴BD ＝CE ；（2）解：在△ABD 与△DCE 中，，∴△ABD ≌△DCE （SAS ），∴∠BAD ＝∠CDE ，又∵∠ADE ＝180°﹣∠CDE ﹣∠ADB ，∴∠ADE ＝180°﹣∠BAD ﹣∠ADB ＝∠B ，在△ABC 中，∠BAC ＝70°，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝∠C ＝（180°﹣∠BAC ）＝×110°＝55°，∴∠ADE ＝55°．4.如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =，求1cm BE =，求DE 的长．【解答】解：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠ADC ＝∠E ＝90°，∴∠ACD +∠CAD ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD ，在△BCE 和△CAD 中，，∴△BCE ≌△CAD （AAS ），∴CD ＝BE ＝1（cm ），CE ＝AD ＝2.5（cm ），∴DE ＝CE ﹣CD ＝2.5﹣1＝1.5（cm ）．5.已知,如图①,在△ABC中,∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D.E，求证：DE=BD+CE.(2)如图②,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D. A.E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由。
专题1.5 一线三等角模型(压轴题专项讲练)(浙教版)(原卷版)
专题1.5 一线三等角模型【典例1】已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．①依题意补全图1；②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为 ．（1）①由题意画出图形即可；②证明△CEA≌△ADB（AAS），根据全等三角形的性质得到AD＝CE，BD＝AE，结合图形证明结论；（2）根据三角形的外角性质得到∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答．解：（1）①依题意补全图形如图1所示．②用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．证明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．∵∠BAC＝90°，直线l过点A，∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．∴∠ECA＝∠BAD．又∵AC＝AB，∴△CEA≌△ADB（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD．∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（2）用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE∠ADB=∠CEA，BA=AC∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．故答案为：DE＝BD+CE．1．（2021秋•淮阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB 上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（ ）A．75°B．80°C．65°D．95°2．（2021秋•南充期末）如图，点B，C，E在同一直线上，且AC＝CE，∠B＝∠D＝90°，AC⊥CD，下列结论不一定成立的是（ ）A．∠A＝∠2B．∠A+∠E＝90°C．BC＝DE D．∠BCD＝∠ACE3．（2021秋•邗江区期中）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为8，则a，b，c三个正方形的面积和为（ ）A．18B．26C．28D．344．（2021秋•德州期中）如图，A、C、E三点在向一直线上，△ABC、△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，OC，则有以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．其中正确的是（ ）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．（2021秋•房山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 度．（用含α的代数式表示）6．（2021春•香坊区期末）如图，A、E、B三点共线，AC＝EB，AE＝BF，∠A＝∠B＝80°，则∠CEF的度数为 °．7．（2021秋•台江区期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为 ．8．（2020•南关区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得到AD，边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝10，EN＝4，则DM＝ ．9．（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．10．（2021秋•莱阳市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．11．（2022•麻栗坡县校级模拟）如图，点A、E、C在同一条直线上，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE．求证：AB＝CE．12．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．13．（2021秋•沙河口区期末）在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且ED＝EF，∠DEF＝∠B．（1）如图1，求证：BC＝BD+CF；（2）如图2，连接CD，若DE∥AC，求证：CD平分∠ACB．14．（2021秋•佳木斯期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．15．（2021秋•青山区期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；（2）求证：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为 ．（用含a，b，c的式子表示）16．（2022•信阳一模）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．。
2024年中考数学总复习第一部分考点精练第四单元三角形微专题一线三等角模型
是AB的中点，连接DE，CE，若∠A＝∠B＝∠DEC，则 BE 的
4
BC
值为____5____．
第2题图
微专题 一线三等角模型
3. 如图，在等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D， E分别落在AB，BC上，AD＝5，连接CF，若CF 平分∠ACB，
5
则BE的长为____2____．
第3题图
微专题
一线三等角模型
微专题 一线三等角模型
1. 如图，在矩形ABCD中，点 E，F 分别在边CD，BC上，且
AE⊥EF 于点 E，AD＝6，EC＝2，EF＝3，则AE的长为( C )
A. 6
B. 8
C. 9
D. 10
第1题图
微专题 一线三等角模型
2.
如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝10，点 E
n＋2)，则
22
GN＝n，GC＝－ 1 n2＋ 3 n.
①当△NCM∽△O2CB时，2 NM NC ，
OB OC
第7题解图
微专题 一线三等角模型
∵OB＝4，OC＝2，
∴CN∶MN＝OC∶OB＝1∶2，
∴NH＝2CG＝2(－ 1 n2＋ 3 n)＝－n2＋3n，MH＝2NG＝2n， 22
∴GH＝GN＋NH＝n＋(－n2＋3n)＝－n2＋4n，
5. 如图，AB为⊙O的直径，点C是AB延长线上一点，点D是 ⊙O
上一点，连接AD，DC，且AD＝DC，过点O 作OE∥AD交DC于
点 E，若 ∠A＝30°，AB＝4，求CE的长．
解：如解图，连接OD，
∵AD＝DC，∠A＝30°，
∴∠C＝∠A＝30°.
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝30°，
专题5 一线三等角模型
专题5 一线三等角模块一：三垂直模型【例1】已知：如图(1)，AB=BC，AB⊥BC，AE⊥BD于E，CD⊥BD，求证：ED AE CD=−【例2】已知：如图(2)，AB=BC，AB⊥BC，AE⊥BD于F，BC⊥CD，求证：EC AB CD=−【例3】如图，ABC∠=∠=︒，则下列结论正确的个D E∆是等腰直角三角形，DE过直角顶点A，90数有( )A CD=AE；②12∠=∠；④AD=BE.∠=∠；③34A. 1B. 2C. 3D. 4【例4】如图(3)，AB =EC ，AE ⊥ED ，BE ⊥AB ，CD ⊥CE ，求证：BC AB CD =+【例5】如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC =BC ，D 是BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为E ，BFAC ，交CE 的延长线于点F ，求证：AC =2BF .【例6】如图，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，∥AD BC ，AB =BC ，E 是AB 的中点，CE BD ⊥.求证：AE =AD .【例7】如正方形ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为()010，，()84，，点C 在第一象限．求正方形边长及顶点C 的坐标．(计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.)【例8】四边形ABCD 是正方形．⑴如图1，点G 是BC 边上任意一点(不与B 、C 两点重合)，连接AG ，作BF ⊥AG 于点F ，DE ⊥AG 于点E ．求证：△ABF ≌△DAE ；⑵在⑴中，线段EF 与AF 、BF 的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)；⑶如图2，点G 是CD 边上任意一点(不与C 、D 两点重合)，连接AG ，作BF ⊥AG 于点F ，DE ⊥AG 于点E ．那么图中全等三角形是 ，线段EF 与AF 、BF 的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)．模块二：一线三等角模型同侧锐角 直角 钝角异侧x图2图1G G ABCD EFF E DCBA【例9】如图，在△ABC中，AB=AC，P、M分别在BC、AC边上，且APM B∠=∠，AP=MP，求证：△APB≌△PMC。
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专题17 一线三等角模型
破解策略
在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ．
1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ．
321D
B
P
A
C
（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ．
3
C
D
P
A
证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ，
∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD
（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ．
231D
B
P
A
C
2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．
32
1C
P
D
B
A
证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ，
∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD
3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．
32
1C
D
B
A
P
证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠BP D ．
∵∠1＝∠2，∴∠PAC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ． 例题讲解
例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2．
（1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值； （2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α．
①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和a 的三角函数表示）．
②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1S 2的表达式．
N
F
C M
E B
D
A
F N
M
E B
D A
C
F
N D
A
B
E
M C
图1 图2 图3 解：（1）如图4，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．
H G A
D
B
E M
C F
N
则S 1S 2＝
1
2
MG AD
12
NH BD ＝
14
AD AM sin A BD BN sinB ．
由题意可知∠A ＝∠B ＝60º，所以sin A ＝sin B ＝32
． 由“一线三等角模型”可知△AMD ∽△BDN ． ∴
AM AD
BD BN
，从而AM BN ＝AD BD ＝8，∴S 1S 2＝12．
（2）①如图5，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．
H
G C
A
D
B
E M N F
则S 1S 2＝12MG AD 12NH BD ＝1
4
AD AM sin A
BD BN sinB ．
由“一线三等角模型”可得△AMD ∽△BDN ， 所以
AM AD
BD BN
=
，从而AM BN ＝AD BD ＝ab ， 所以S 1S 2＝
1
4
a ²
b ²sin²a ； ②如图6，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．
H
G
C
M E
B
A D
N F
则S 1S 2＝12MG AD 12NH BD ＝14
AD AM sin A BD BN sinB ．
由“一线三等角模型”可得△AMD ∽△BDN ，
所以
AM AD
BD BN
=
，从而AM BN ＝AD BD ＝ab ， 所以S 1S 2＝
1
4
a ²
b ²sin²a ； 例2：如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE ＝30°．
（1）设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； （2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
E
C
D B A
解（1）∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°， ∴∠ABD ＝∠ACB ＝30°， ∴∠ABD ＝∠ADE ＝30°，
∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠ABD ＋∠DAB ，
∴∠EDC ＝∠DAB ， ∴△ABD ∽△DCE ；
∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°， 过A 作AF ⊥BC 于F ， ∴∠AFB ＝90°，
∵AB ＝2，∠ABF ＝30°， ∴AF ＝
1
2
AB ＝1， ∴BF
∴BC ＝2BF
＝ 则DC
＝x ，EC ＝2－y ∵△ABD ∽△DCE ， ∴
AB DC
BD CE =
，
∴
2x =
，
化简得：2
122
y x =
+(0x <<． E
C
D
B
A
（2）①当AD ＝DE 时，如图2， △ABD ≌△DCE ，
则AB ＝CD ，即2
＝x ，
x
＝2
，代入2122
y x =+
解得：y
＝4-AE
＝4- ②当AE ＝ED 时，如图，
∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°， 所以∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°
则ED ＝
12 EC ，即y ＝1
2 （2－y ） 解得y ＝23，即AE ＝2
3
；
③当AD ＝AE 时，有∠AED －∠EDA ＝30°，∠EAD ＝120°
此时点D 和点B 重合，与题目不符，此情况不存在． 所以当△是ADE 等腰三角形时，AE ＝4－23或AE ＝
23
A
B
C
E
进阶训练
1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在BC 边上移动（不与点B ，C 重台）．满足
∠DEF ＝∠B ，且点D ，F ．分别在边AB ，AC 上．当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平 分∠DF C ．
D
F
A
1．略
【提示】由题意可得∠B ＝∠DEF ＝∠C．由“一线三等 角模型”可得△BDE ∽△CEF ，可得BE CF ＝DE
EF
．而BE ＝CE · 所以
CE CF ＝DE
EF
，从而△DEF ∽ECF ．所以∠DEF ＝∠EFC ，即FE 平分∠DF C ．
2． 如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，BC 边上，AD ＝2BE ＝6．将DE 绕点 E 顺时针旋转60°，得到EF ．取EF 的中点G ，连结AG ．延长CF 交AG 于点H ．若2AH ＝5HG ，求BD 的长．
G
H F
D
C
B
2．BD ＝9． 【提示】如图，过点F 作FI ∥AC 交BC 于点I ．则∠FIE ＝∠ACB ＝∠AB C ．易证△DBE ≌△E IF ，则IF ＝BE ，IE ＝BD ，所以BC ＋BE ＝AD ，即IC ＝BE ＝IF ，则∠ACH ＝ ∠BCH ＝30°．延长CH 变AB 于点J ，则CJ ⊥AB ，．A ＝ BJ
分别过点G ，E 作AB 的垂线段，垂足为K ，L ，·则KL ＝KJ ·
AJ JK
＝AH HG ＝52，所以AJ ：JK ：KL ：BL ＝5：2：2：l ．因为BE ＝3，∠LEB ＝ 30°，所以BL ＝1．5．AB ＝15．所以BD
＝9．
L K J I
B
C
D E
F H G。