中考数学压轴题专项汇编专题一线三等角模型

专题17 一线三等角模型
破解策略
在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ．
1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ．
321D
B
P
A
C
（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ．
3
C
D
P
A
证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ，
∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD
（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ．
231D
B
P
A
C
2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．
32
1C
P
D
B
A
证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ，
∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD
3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．
32
1C
D
B
A
P
证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠BP D ．
∵∠1＝∠2，∴∠PAC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ． 例题讲解
例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2．
（1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值； （2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α．
①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和a 的三角函数表示）．
②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1S 2的表达式．
N
F
C M
E B
D
A
F N
M
E B
D A
C
F
N D
A
B
E
M C
图1 图2 图3 解：（1）如图4，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．
H G A
D
B
E M
C F
N
则S 1S 2＝
1
2
MG AD
12
NH BD ＝
14
AD AM sin A BD BN sinB ．
由题意可知∠A ＝∠B ＝60º，所以sin A ＝sin B ＝32
． 由“一线三等角模型”可知△AMD ∽△BDN ． ∴
AM AD
BD BN
，从而AM BN ＝AD BD ＝8，∴S 1S 2＝12．
（2）①如图5，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．
H
G C
A
D
B
E M N F
则S 1S 2＝12MG AD 12NH BD ＝1
4
AD AM sin A
BD BN sinB ．
由“一线三等角模型”可得△AMD ∽△BDN ， 所以
AM AD
BD BN
=
，从而AM BN ＝AD BD ＝ab ， 所以S 1S 2＝
1
4
a ²
b ²sin²a ； ②如图6，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．
H
G
C
M E
B
A D
N F
则S 1S 2＝12MG AD 12NH BD ＝14
AD AM sin A BD BN sinB ．
由“一线三等角模型”可得△AMD ∽△BDN ，
所以
AM AD
BD BN
=
，从而AM BN ＝AD BD ＝ab ， 所以S 1S 2＝
1
4
a ²
b ²sin²a ； 例2：如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE ＝30°．
（1）设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； （2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．
E
C
D B A
解（1）∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°， ∴∠ABD ＝∠ACB ＝30°， ∴∠ABD ＝∠ADE ＝30°，
∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠ABD ＋∠DAB ，
∴∠EDC ＝∠DAB ， ∴△ABD ∽△DCE ；
∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°， 过A 作AF ⊥BC 于F ， ∴∠AFB ＝90°，
∵AB ＝2，∠ABF ＝30°， ∴AF ＝
1
2
AB ＝1， ∴BF
∴BC ＝2BF
＝ 则DC
＝x ，EC ＝2－y ∵△ABD ∽△DCE ， ∴
AB DC
BD CE =
，
∴
2x =
，
化简得：2
122
y x =
+(0x <<． E
C
D
B
A
（2）①当AD ＝DE 时，如图2， △ABD ≌△DCE ，
则AB ＝CD ，即2
＝x ，
x
＝2
，代入2122
y x =+
解得：y
＝4-AE
＝4- ②当AE ＝ED 时，如图，
∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°， 所以∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°
则ED ＝
12 EC ，即y ＝1
2 （2－y ） 解得y ＝23，即AE ＝2
3
；
③当AD ＝AE 时，有∠AED －∠EDA ＝30°，∠EAD ＝120°
此时点D 和点B 重合，与题目不符，此情况不存在． 所以当△是ADE 等腰三角形时，AE ＝4－23或AE ＝
23
A
B
C
E
进阶训练
1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在BC 边上移动（不与点B ，C 重台）．满足
∠DEF ＝∠B ，且点D ，F ．分别在边AB ，AC 上．当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平 分∠DF C ．
D
F
A
1．略
【提示】由题意可得∠B ＝∠DEF ＝∠C．由“一线三等 角模型”可得△BDE ∽△CEF ，可得BE CF ＝DE
EF
．而BE ＝CE · 所以
CE CF ＝DE
EF
，从而△DEF ∽ECF ．所以∠DEF ＝∠EFC ，即FE 平分∠DF C ．
2． 如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，BC 边上，AD ＝2BE ＝6．将DE 绕点 E 顺时针旋转60°，得到EF ．取EF 的中点G ，连结AG ．延长CF 交AG 于点H ．若2AH ＝5HG ，求BD 的长．
G
H F
D
C
B
2．BD ＝9． 【提示】如图，过点F 作FI ∥AC 交BC 于点I ．则∠FIE ＝∠ACB ＝∠AB C ．易证△DBE ≌△E IF ，则IF ＝BE ，IE ＝BD ，所以BC ＋BE ＝AD ，即IC ＝BE ＝IF ，则∠ACH ＝ ∠BCH ＝30°．延长CH 变AB 于点J ，则CJ ⊥AB ，．A ＝ BJ
分别过点G ，E 作AB 的垂线段，垂足为K ，L ，·则KL ＝KJ ·
AJ JK
＝AH HG ＝52，所以AJ ：JK ：KL ：BL ＝5：2：2：l ．因为BE ＝3，∠LEB ＝ 30°，所以BL ＝1．5．AB ＝15．所以BD
＝9．
L K J I
B
C
D E
F H G。