23.2.3一元二次方程的解法
23.2.2_一元二次方程的解法(三)配方法 学案
23.2《一元二次方程的解法——配方法》学案学习目标：1、熟练掌握完全平方公式，会将一个二次三项式配成一个完全平方。
2、理解配方法的根据就是直接开平方。
3、会用配方法解一元二次方程。
注意变形形式的求解。
重点：1、理解配方法解方程的要求，2、能正确用配方法解一元二次方程。
难点：配完全平方的技巧。
学习过程：一、 复习导学：1、若x 2=a (a ≥0)，则x =_______.若（x +1）2=a (a ≥0)，则x =_______，即 x 1＝_______，x 2＝________. 直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数 的 ，右边是一个 。
2、解方程：（1）、23270x -= （2）、2(3)25x +=我们知道，形如02=-A x 的方程，可变形为)0(2≥=A A x ，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如20x bx c ++=的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题． 二、新课研讨：问题1、解下列方程：2x ＋2x ＝5； （2）2x －4x ＋3＝0.思考:能否经过适当变形，将它们转化为()2= a 的形式，应用直接开方法求解？解:（1）原方程化为2x ＋2x ＋1＝6， （方程两边同时加上1）_____________________, _____________________, _____________________.（2）原方程化为2x －4x ＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4）_____________________, _____________________, _____________________.1、象上面的方程求解，通过配成 式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方法是为了 ，把一个一元二次方程转化为两个 来解。
2、配方法是将方程左边变成含有未知数的 ，右边是 ，再用 直接开平方法求解。
23.2.4一元二次方程的解法(四) 学案
23.2 .3《一元二次方程的解法》学案(四)学习目标1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
重点难点难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
研讨过程一、复习旧知，提出问题1、用配方法解下列方程：（1）x x 10152=+ (2)2131203x x -+=2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？二、探索新知试一试：用配方法解方程x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0).问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠转化为2224()4b b ac x a a-+=呢？因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 移项，得配方，得 即2224()24b b ac x aa-+=问题2：当240b ac -≥，且0a ≠时，2244b ac a-大于等于零吗？得出结论：当240b ac -≥时，因为0a ≠，所以240a >，从而22404b ac a-≥。
问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？得出结论，当240b ac -≥时，一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根为2422b b ac x aa-+=±，即242b b ac x a-±-=。
由以上研究的结果，得到了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式： 242b b ac x a-±-=（240b ac -≥）这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结
一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
23.2 一元二次方程的解法---公式法
当b 2 4ac 0 b b 2 4ac 2 时，方程有 x . b 4ac 0 . 实数根吗 2a 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
特别提示:
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
1
1
1
解得
即即
x 2 2 0 4 14 x1 4 x17 2 4 17 x1 , x2 2 4 4 此方程无实数根
3、配方法解一元二次方程的基本 步骤： （1）化1:把二次项系数化为1； （2）移项； （3）配方：方程两边都加上一次 项系数的一半的平方； （4）变形：原方程变形为（x+m） 2=n的形式； （5）开方：如果右边是非负数， 就可以直接开平方求出方程的解， 如果右边是负数，则一元二次方 程无解． （6）求解； （7）定根
17 0 -8
+ 0 -
不等 相等 不存在
请观察上表，综合b2-4ac的符号，提出你的猜想。
2014年深圳市中考试题
7.下列方程中没有实数根的是（ ） A、x2+4x=10 B、3x2+8x-3=0 C、x2-2x+3=0 D、（x-2)(x-3)=12 分析：容易看出A、B两个一元二次方程中的二次 项系数和常数项异号，则4ac为负的，b2- 4ac>0； D选项的一元二次方程经变形为x2-5x-6=0，同样可 以看出b2- 4ac>0，所以选C.
m2 2
3 6 2 3 2 3 x D． 2
B．x
4．若使方程（m+1）x
23.2 3 解一元二次方程(2) 因式分解法
例2、解方程 3x( x 2) 5( x 2)
解：移项，得 方程右边化为零 3x( x 2) 5( x 2)
0 左边分解成两个一次因式的乘积 ( x 2)(3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0
两个一元一次方程的解就是原方程的解
解关于x的方程 x 2ax a b 0 解：原方程可变形为： 2－b2=0 (x－a) (x－a+b)(x－a－b)=0
2 2 2
x－a+b=0 或 x－a－b=0 ∴x1=a－b x2=a+b
(
)
当一元二次方程的一边为0，而另一 边易于分解成两个一次因式时，就 可以用因式分解法来解.
用因式分解法解下列方程：
(1)
2
2=3y y
3 2 y1 0, y2 . 2
(2) (2a－3)2=(a－2)(3a－4)
a1 a2 1
(3) (4x－3)2=(x+3)2
x1 0, x2 2.
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x1= A解 , x2= B解
简记歌诀： 右化零
两因式
左分解
各求解
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 ( x 5)( x 2) 18 解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
复习引入: 1、已学过的一元二次方程解法有
23.2.2一元二次方程的解法(因式分解法)
解方程 : x 2 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1); 3 3 而4 x 2 12 x 9 4( x 3 )( x 3 2 解方程 : 4 x 12 x 9 0得x1 , x2 ; 2 2 2 2 4 4 2 2 解方程 : 3x 7 x 4 0得x1 , x2 1; 而3x 7 x 4 3( x )( x 1) 3 3 看出了点什么?有没有规律 ?
9.x1 3, x2 9.
10.x1 3, x2 9.
9.x 2 12 x 27 0; 10 .2( x 3) x 9.
2 2
独立 作业
知识的升华
P46, 习题22.2: 5, 8.
祝你成功！
开启
智慧
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如： x 2 6 x 9 ( x 3) 2 ; x 2 5x 6 ( x 2)( x 3); 但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢? 4 x 2 12 x 9 ? . 3x 2 7 x 4 ?. 观察下列各式,也许你能发现些什么
解：去分母，得 2( x 3) 3x(3 2 x) 2 x(3x 1),
2
去括号，移项，合并同类项，得 2 x 7 x 6 0,
2
( x 2)( 2 x 3) 0 x 2 0或2 x 3 0
第22章一元二次方程学案
23.1 一元二次方程学案学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
课堂研讨：探究新知【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长是多少？设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？合作交流动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。
列出的方程是 .自主学习【做一做】根据题意列出方程：1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述四个方程结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。
【我学会了】1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。
展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。
【例2】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）81x（2）)242=xx=-x(5)1(3+【挑战自我】1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2；（2）7x－3=2x2;（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.2、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解； （1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2； （2）0822=-+x x ±2， ±43、要使02)1()1(1=+-+++x k xk k 是一元二次方程，则k=_______.4、已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值。
23.2一元二次方程的解法(配方法)
23.2一元二次方程的解法（配方法）◆随堂检测1.将一元二次方程2650xx 化成2()x a b 的形式，则b 等于_____.A.-4B. 4C.-14D. 14 2.22_____(___)n xx xm.3. 二次三项式271x x 的最小值为______.4. 若方程20x px q 可化为213()24x ，则p =_____，q =______.5. 方程2237yy 配方后得272()4y =_________.◆典例分析说明不论m 为何值时，关于x 的方程22(817)210m m xmx 都是一元二次方程。
解析：因为2228178161617(4)11mm mm m >0,所以不论m 为何值，该方程都是一元二次方程。
点评：关键是看二次项系数是否有可能为0。
◆课下作业●拓展提高7. 当x =______时，2362xx 有最大值，这个最大值是_______.8. 如果a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足式子222222abcab bc ，请指出△ABC的形状，并给出论证过程.9. 说明代数式2241xx 总大于224x x .10. 用配方法解下列方程（1）2312210xx（2）(2)(3)1x x（3）2(1)(1)12x x●体验中考1.（2009年山西太原）用配方法解方程2250x x时，原方程应变形为（）A．216x B．216xC．229x D．229x2.（2009年湖北仙桃）解方程：2420x x．3.（2008杭州）已知方程260x x q可以配成2()7x p的形式，那么262x x q 可以配成下列的_____A.2()5x p B. 2()9x pC. 2(2)9x p D. (2)5x p参考答案：随堂检测：1. D2.224nm，2nm。
《23.21 一元二次方程的解法——直接开平方法》
1.会用直接开平方法解形如 ( x a) b(b 0) 的方程. 2.了解转化、降次思想在解方程中的运用。 合理选择直接开平方法解法较熟练地解一元 二次方程。
2
1.如果
x a(a 0) ，则 x 就叫做a 的
（χ+1）2=4
解： (1)（χ+1）2=4
∴ χ+1=±2 ∴ χ1=1，χ2=－3.
12(2 x) 9 0
2
解：
（2）移项，得
系数化为1，得：
12(2-χ)2=9 9 3 2 (2 x) 12 4
直接开平方，得
3 3 2 x 4 2
3 x 2 2
3 3 即：x1 2 ，x2 2 2 2
2
平方根
。
2 x 2.如果 a(a 0)
x， 则 =
a
2 x 3.如果 64
x，则 =
8
。
(1). χ2=4
(2). χ2－1=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ ∴ 即: χ2=4 χ= 4 χ=±2 根据平方根的定义可知:χ是4的(平方根 ).
这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
a b
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
课本第37页习题22.2第1题、第2题。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
——整体思想的运用
32x 5 12 22x 5 4
2 2
3(2x 5) 2(2x 5) 4 12
2 2
华师大版九年级上册电子课本(新版) 第23章 一元二次方程
第23章一元二次方程 (2)§23.1 一元二次方程 (3)§23.2 一元二次方程的解法 (4)阅读材料 (13)§23.3 实践与探索 (14)小结 (16)复习题 (17)第23章一元二次方程绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？设宽为x 米，可列出方程900)10(=+x x ，整理得0900102=-+x x ．方程0900102=-+x x 中未知数x 的最高次数是2，它是一个一元二次方程．§23.1 一元二次方程问题1绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析我们已经知道可以运用方程解决实际问题．设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程x （x ＋10）＝900，整理可得0900102=-+x x ． （1）问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7．2万册．求这两年的年平均增长率．分析设这两年的年平均增长率为x ．已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即2)1(5)1)(1(5x x x +=++万册．可列得方程2.7)1(52=+x ， 整理可得02.21052=-+x x ． （2）思考这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）．显然，这两个方程都不是一元一次方程．那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？概括上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程（quadric equation with one unknown ）．通常可化成如下的一般形式：02=++c bx ax （a 、b 、c 是已知数，a ≠0），其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．练习将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）232=-x x ；（2）2237x x =-；（3）0)2(3)12(=---x x x x ；（4）4)5(3)1(2-+=-x x x ．习题23．11．关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？2．已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值．3．根据题意，列出方程（不必求解）：（1）学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半．已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径．（2）根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好．已知学校礼堂舞台前沿宽20米，问举行文娱会演时主持人应站在何处？§23.2 一元二次方程的解法试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流．（1）42=x ；（2）012=-x ．概括对于方程（1），有这样的解法：方程 42=x ， 意味着x 是4的平方根，所以4±=x ，即 x ＝±2．这种方法叫做直接开平方法．对于方程（2），有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得（x －1）（x ＋1）＝0，必有 x －1＝0或x ＋1＝0，分别解这两个一元一次方程，得1,121-==x x ．这种方法叫做因式分解法．思考（1）方程42=x 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？（2）方程012=-x 能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？做一做试用两种方法解方程09002=-x ．例1 解下列方程：（1）022=-x ；（2）025162=-x ．解 （1）移项，得22=x ．直接开平方，得2±=x ．即 2,221=-=x x ．（2）移项，得25162=x ．方程两边都除以16，得16252=x直接开平方，得45±=x ．即 45,4521=-=x x ．例2 解下列方程：（1）0232=+x x ；（2）x x 32=．解 （1）方程左边分解因式，得x （3x ＋2）＝0．所以 x ＝0或3x ＋2＝0．得 32,021-==x x ．（2）移项，得032=-x x ．方程左边分解因式，得x （x －3）＝0．所以 x ＝0或x －3＝0，得 3,021==x x ．练习1．解下列方程：（1）1692=x ；（2）0452=-x ；（3）025122=-y ；（4）022=-x x ；（5）0)1)(2(=+-t t ；（6）05)1(=-+x x x ．2．小明在解方程x x 32=时，将方程两边同除以x ，得到原方程的解x ＝3，这种做法对吗？为什么？例3 解下列方程：（1）04)1(2=-+x ；（2）09)2(122=--x ．分析两个方程都可以转化为 a =2的形式，用直接开平方法求解．解（1）原方程可以变形为4)1(2=+x ， 直接开平方，得x ＋1＝±2．所以 3,121-==x x ．（2）原方程可以变形为____________________，有 ____________________，得____________,21==x x ．读一读小张和小林一起解方程x （3x ＋2）－6（3x ＋2）＝0．小张将方程左边分解因式，得（3x ＋2）（x －6）＝0， 所以3x ＋2＝0或x －6＝0． 得 6,3221=-=x x ．小林的解法是这样的：移项，得 x （3x ＋2）＝6（3x ＋2），方程两边都除以（3x ＋2），得x ＝6．小林说：“我的方法多简便！”可另一个根32-=x 哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？练习解下列方程：（1）016)2(2=-+x ；（2）018)1(2=--x ；（3）1)31(2=-x ；（4）025)32(2=-+x ．例4 解下列方程：（1）522=+x x ；（2）0342=+-x x ．思考能否经过适当变形，将它们转化为a =2的形式，用直接开平方法求解？解（1）原方程两边都加上1，得6122=++x x ， _______________________,_______________________,_______________________．（2）原方程化为43442+-=+-x x ，_______________________，_______________________，_______________________．归 纳上面，我们把方程0342=+-x x 变形为1)2(2=-x ，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而能直接开平方求解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．例5用配方法解下列方程：（1）0762=--x x ；（2）0132=++x x ． 解（1）移项，得762=-x x ． 方程左边配方，得32237332+=+⋅⋅-x x ， 即 16)3(2=-x ．所以 x －3＝±4．得 1,721-==x x ．（2） 移项，得132-=+x x ．方程左边配方，得222)23(1)23(232+-=+⋅⋅+x x ， 即45)23(2=+x ． 所以2523±=+x ． 得2523,252321--=+-=x x x ．练习1．填空：（1）2x +6x+( )=(x+ )2；（2）2x -8x+( )=(x- )2；（3）x x 232++( )=(x+ )2；（4）42x -6x+( )=4(x- )2=(2x- )2．2．用配方法解下列方程：（1）2x ＋8x －2＝0；（2）2x －5x －6＝0．试一试用配方法解方程2x ＋px ＋q ＝0（q p 42-≥0）．思考如何用配方法解下列方程？（1）42x －12x －1＝0；（2） 32x ＋2x －3＝0．讨论请你和同桌讨论一下： 当二次项系数不为1时，如何应用配方法？探索我们来解一般形式的一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．因为a ≠0，方程两边都除以a ，得02=++a cx a bx ． 移项，得a c x a bx -=+2． 配方，得a c a b a b a bx x -=+⋅⋅+222)2()2(22， 即22244)2(a acb a bx -=+．因为a ≠0，所以42a ＞0，当2b －4ac ≥0时，直接开平方，得aac b a bx 2422-±=+． 所以aacb a bx 2422-±-=， 即a ac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=．由以上研究的结果，得到了一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a acb b x ． 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的根．这种解方程的方法叫做公式法．例6 解下列方程：（1）22x ＋x －6＝0；（2）2x ＋4x ＝2；（3）52x －4x －12＝0；（4）42x ＋4x ＋10＝1－8x ． 解（1）这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，2b －4ac ＝21－4×2×（－6）＝1＋48＝49， 所以47122491242±-=⨯±-=-±-=aacb b x ， 即23,221=-=x x ．（2）将方程化为一般式，得2x ＋4x －2＝0．因为2b －4ac ＝24， 所以622244±-=±-=x ． 即62,6221--=+-=x x ．（3） 因为2b －4ac ＝256， 所以5821016452256)4(±=±=⨯±--=x ． 得2,5621=-=x x ． （4） 整理，得42x ＋12x ＋9＝0．因为2b －4ac ＝0， 所以812±-=x ， 即2321-==x x ．练习用公式法解下列方程：（1）2x －6x ＋1＝0；（2）22x －x ＝6；（3）42x －3x －1＝x －2；（4）3x （x －3）＝2（x －1）（x ＋1）．思考根据你学习的体会小结一下： 解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下．应用现在我们来解决§23．1的问题1：x （x ＋10）＝900，2x ＋10x －900＝0，3755±-=x ，3755,375521+-=--=x x ． 它们都是所列方程的根，但负数根x1不符合题意，应舍去．取x ＝3755+-≈25．4，x ＋10≈35．4，符合题意，因此绿地的宽约为25．4米，长约为35．4米．例7学校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402m ，小道的宽应是多少？分析问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图23.2.1，不难发现小道的占地面积与位置无关．设道路宽为xm ，则两条小道的面积分别为32x 2m 和20x 2m ，其中重叠部分小正方形的面积为2x 2m ，根据题意，得 32×20－32x －20x ＋2x ＝540．图23.2.1图23.2.2试一试如果设想把道路平移到两边，如图23．2．2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，列方程是否符合题目要求？是否方便些？在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决．求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答．练习1．学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的32时较美观，求镶上彩纸条的宽．（精确到0．1厘米）2．竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式2021gt t v h -=．爆竹点燃后以初速度0v ＝20米/秒上升，经过多少时间爆竹离地15米？（重力加速度g ≈10米/秒2）例8某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31．5元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．分析 若一次降价百分率为x ，则一次降价后零售价为原来的（1－x ）倍，即56（1－x ）元；第二次降价百分率仍为x ，则第二次降价后的零售价为56（1－x ）的（1－x ）倍．解设平均降价百分率为x ，根据题意，得56（1－x ）2＝31．5．解这个方程，得75.1,25.021==x x ．因为降价的百分率不可能大于1，所以75.12=x 不符合题意，符合本题要求的是x ＝0．25＝25%．答： 每次降价百分率为25%．练习1．某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0．1%）2．据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率．习题23．21．解下列方程： （1）22x －6＝0； （2）27＝42x ；（3）32x ＝4x ； （4）x （x －1）＋3（x －1）＝0； （5）2)1(+x ＝2；（6）32)5(-x ＝2（5－x ）．2．解下列方程： （1）2)12(-x －1＝0； （2）212)3(+x ＝2；（3）2x ＋2x －8＝0；（4）32x ＝4x －1；（5）x （3x －2）－62x ＝0； （6）2)32(-x ＝2x ． 3．求满足下列要求的x 的所有值： （1）32x －6的值等于21；（2）32x －6的值与x －2的值相等． 4．用适当的方法解下列方程： （1）32x －4x ＝2x ；（2）312)3(+x ＝1；（3）2x ＋（3＋1）x ＝0； （4）x （x －6）＝2（x －8）；（5）（x ＋1）（x －1）＝x 22；（6）x （x ＋8）＝16； （7）（x ＋2）（x －5）＝1；（8）2)12(+x ＝2（2x ＋1）．5．已知A ＝22x ＋7x －1，B ＝6x ＋2，当x 为何值时A ＝B ？6．已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数．7．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．（精确到0．1米）（第7题）8．某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到48．3万元．问4、5两月营业额增长的百分率各是多少？ 9．学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚．一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏．请你设计，如何搭建较合适？阅读材料一元二次方程根的判别式 我们在一元二次方程的配方过程中得到 22244)2(aac b a b x -=+．（1）发现当且仅当2b －4ac ≥0时，右式2244aac b -有平方根.直接开平方，得aac b ab x 2422-±=+．也就是说，一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）当且仅当系数a 、b 、c 满足条件2b －4ac ≥0时有实数根．观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： ① 当2b －4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ② 当2b －4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根ab x x 221-==；③ 当2b －4ac ＜0时，方程没有实数根．这里的2b－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一个一元二次方程实数根的情况（是否有？如有，两实数根是相等还是不相等？），如对方程2x－x＋1＝0，可由2b－4ac＝1－4＜0直接判断它没有实数根；在用公式法解一元二次方程时，往往也是先求出判别式的值，直接代入求根公式．如第27页例6；还可以应用判别式来确定方程中的待定系数，例如：m取什么值时，关于x的方程++-mx-xm222=2)2(有两个相等的实数根？求出这时方程的根．§23.3 实践与探索试研究下列问题，并与你的同伴交流、讨论．问题1小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如图23．3．1．图23.3.1（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点．看看与你的感觉是否一致．问题2阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析 翻一番，即为原净收入的2倍．若设原值为1，那么两年后的值就是2．探索若调整计划，两年后的财政净收入值为原净收入值的1．5倍、1．2倍、……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现两年后市财政净收入翻一番？练习1．某花生种植基地原有花生品种的每公顷产量为3000千克，出油率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克．已知新品种花生的公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是公顷产量增长率的一半，求两者的增长率（精确到1%）．2．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？ （2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？3．某市人均居住面积14．6平方米，计划在两年后达到18平方米．在预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等．请你把问题补充完整，再予解答．问题3解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？ （1） 2x －2x ＝0； （2） 2x ＋3x －4＝0； （3） 2x －5x ＋6＝0．一般地，对于关于x 的一元二次方程2x ＋px ＋q ＝0（p 、q 为已知常数，2p －4q ≥0），试用求根公式求出它的两个根1x 、2x ，算一算21x x +、21x x ⋅的值，你能发现什么结论？与上面观察的结果是否一致？习题23．31．一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0．1米）2．水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折相同，每次打了几折？（精确到0．1折）3．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）4．某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？5．如图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形．要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等．请你给出设计方案．（画图并标注尺寸）(第5题)6．解下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法：（1）已知关于x的方程2x－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和q的值；（2）已知关于x的方程2x－6x＋2p－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值．小结一、知识结构二、概括1．要联系已有的方程知识，在学习中进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”，在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性．2．掌握一元二次方程的各种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法与公式法．着重体会相互之间的关系及其“转化”的思想，并能应用这一思想方法进行自主探索和合作交流．3．在应用一元二次方程解实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析；得到方程的解之后，必须检验是否符合题意．复习题A组1．解下列方程：（1）32x＝2x；（2）62x－40＝0；（3）x（3x－1）＝3－x；（4）y（y－2）＝4－y；（5）4x（1－x）＝1；（6）t（t－2）－32t＝0．2．已知A＝22x＋7x－1，B＝4x＋1，分别求出满足下列条件的x的值：（1）A与B的值互为相反数；（2）A的值比B的值大3．3．已知关于x的方程（2x－m）（mx＋1）＝（3x＋1）（mx－1）有一个根是0，求另一个根和m的值．4．已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数．5．要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分的面积为100平方米．求原正方形广场的边长．（精确到0．1米）6．村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为1．6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0．4米．求灌溉渠横截面上、下底边的长和灌溉渠的深度．7．求出本章习题23．1中第3题小题（2）所列方程解的近似值（精确到0．1米），并在学校举行大型活动时实地观察、比较一下效果．8．如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方航行，随即调整方向，以75海里/时的速度准备在B处迎头拦截．问经过多少时间能赶上？（第8题）B组9．解下列方程：（1）4（x －2）2－（3x －1）2＝0； （2）（2x －1）2＋3（2x －1）＋2＝0； （3）2x ＋5＝x 52；（4）32x 32--x ＝0．10．解下列关于x 的方程（a 、b 是常数，且ab ≠0）： （1）2x ＋ax －22a ＝0；（2）ab 2x －（2a －2b ）x －ab ＝0．11．已知x ＝1是一元二次方程（a －2）2x ＋（2a －3）x －a ＋1＝0的一个根，求a 的值． 12．已知关于x 的方程22x －4x ＋3q ＝0的一个根是1－2，求它的另一个根和q 的值． 13．已知代数式2x －5x ＋7，先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？14．学校原有一块面积为1500平方米的长方形场地，现结合整治环境，将场地的一边增加了5米，另一边减少了5米，结果使场地的面积增加了10%，求现在场地的长和宽．C 组15．试求出下列方程的解：（1）（2x －x ）2－5（2x －x ）＋6＝0；（2）112122=+-+x xxx ．16．证明： 不论m 取何值，关于x 的方程（x －1）（x －2）＝2m 总有两个不相等的实数根．17．已知xy ≠0，且32x －2xy －82y ＝0，求yx 的值．18．已知关于x 的方程（m －1）2x －（m －2）x －2m ＝0.它总是二次方程吗？试求出它的解．19．某产品每件生产成本为50元，原定销售价65元．经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降10%，第二个季度又将回升4%．若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题补充完整并解答．。
一元二次方程的解法(配方法)
x2 9x ___4___ (x __2___)2
x2
3
x
9
__1_6__
(x
3
___4__)2
2
x2 6 2x __18___ (x _3__2__)2
例2、用配方法解下列方程：
⑴ x2 6x 7 0 ⑵ x2 3x 1 0 ⑶ x2 4x 3 0
一半的平方，使左边成为完全平方. 3、如果方程的右边整理后是非负数，
用直接开平方法解之，
如果右边是个负数，
则指出原方程无实根.
实验手册： P16 练习2
A/1,2 思考B/3,4,5
课程结束
驶向胜利的彼岸
练习
①填空：
（1） x2 6x 2
（2） x2 －8x＋（ ）＝ x 2
∵ (x 1)2 0
2
∴ 2(x 1)2 1 0
22
2(x2 x 1 ) 1 2 1
∴代数式的值 恒大于0.
4
4
2(x 1 )2 1 22
课堂小结 配方法解一元二次方程的步骤：
1、把常数项移到方程右边， 用二次项系数除方程的两边
使新方程的二次项系数为1. 2、在方程的两边各加上一次项系数的
（3） x2 ＋x＋（ ）＝（x＋ ）2
（4）4 x2－6x＋（ ）＝4（x－ ）2
②用配方法解方程：
（1） x2＋8x－2＝0
（2） x2－5 x－6＝0
（3） x2 7 6x
（4） x2 10 2 6x
试一试
用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－ 4q≥0).
这里为什么要规定p2－4q≥0？
一元二次方程的标准解法
一元二次方程的标准解法
一元二次方程的标准解法如下：
对于一元二次方程形如ax²+bx+c=0的情况，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
1. 首先，计算该方程的判别式Δ = b² - 4ac。
根据Δ的值可以分
为三种情况：
- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
根据求根公式可得: x₁ = (-b + √Δ) / 2a
x₂ = (-b - √Δ) / 2a
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
根据求根公式可得：
x₁ = x₂ = -b / 2a
- 当Δ < 0时，方程没有实数根，只有两个共轭虚根。
根据求根
公式可得：
x₁ = (-b + √-Δ) / 2a
x₂ = (-b - √-Δ) / 2a
2. 根据计算得到的解x₁和x₂验证是否满足原方程。
将x₁和x₂代
入方程ax²+bx+c=0中，若两个解均使方程成立，则证明解是正确的。
标准解法中，通过求解方程的判别式Δ，可以判断方程的根的性质。
然后利用求根公式得到方程的实数根或共轭虚根。
最后通过验证解的
方法，验证计算得到的解是否满足原方程。
23.2.1一元二次方程的解法(一、二) 学案
23.2.1《一元二次方程的解法》（一）教学目标1、会用直接开平方法解形如b-2)(（a≠0,a b≥0）的方程；xa=k2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。
重点难点合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。
研讨过程一、导学1、你能解以下方程吗？1）x2=9 2)3y2－18=02、你是怎样解方程()21256x+=的？二、学习研讨解：1）方程x2=9 意味着x是的平方根，所以x= 即x=2)3y2—18=0 移项得：把系数化为一得：直接开平方得：这种运用方法，叫做直接开平方法。
你是怎样解方程()21256x+=的？解：1.直接开平方，得x+1=所以原方程的解是x1＝，x2＝你还有其它的解法吗？解法2：原方程可变形为：－＝0方程左边分解因式，得（x+1+16）(x+1－16)=0即可（x+17）(x－15)=0所以x＋17=0，x－15=0原方程的解为： x1＝，x2＝这种运用方法，叫做因式分解法。
试一试：解下列方程（1）（x＋1）2－4＝0；（2）12（2－x）2－9＝0.解（1）原方程可以变形为：直接开平方，得：所以原方程的解是x1＝，x2＝（2）原方程可以变形为________________________，有________________________.所以原方程的解是x1＝________，x2＝_________.说明：（1）这时，只要把)1(+x 看作一个整体，就可以转化为b x =2（b ≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。
在对方程4)1(2=+x 两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。
这种变形实质上是将原方程“降次”。
“降次”也是一种重要的数学方法。
练习： 解下列方程：（1）（x ＋2）2－16＝0； （2）(x －1)2－18＝0；（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x ＋3)2－25＝0.三、读一读小张和小林一起解方程 x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0.小张将方程左边分解因式，得(3x ＋2)(x －6)＝0,所以 3x ＋2＝0,或x －6＝0. 方程的两个解为：x 1＝32-，x 2＝6. 小林的解法是这样的：移项，得x(3x ＋2)＝6(3x ＋2),方程两边都除以（3x+2），得 x ＝6.小林说:“我的方法多简便！”可另一个解x 1＝32-哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？本课小结1、对于形如b k x a =-2)(（a ≠0,a b ≥0）的方程，只要把)(k x -看作一个整体，就可转化为n x =2（n ≥0）的形式用直接开平方法解。
高中数学_2.2.3一元二次不等式的解法教学设计学情分析教材分析课后反思
【教学设计】2.2.3 一元二次不等式的解法本节课的内容是高中数学B版必修一第二章第二节“2.2.3一元二次不等式的解法”的第1课时。
新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。
我将以此为基础从下面这几个方面加以说明。
一、课标要求二、教材分析（包括教材处理、教材的地位和作用、教学的重点和难点）1、教材处理：本节涉及的一元二次不等式概念的引入、解题方法的得出和应用方法三个方面的内容。
把教材中的引例生成情境，这样更能体现一元二次不等式来自实践，容易激发学生的学习兴趣。
2、教材的地位和作用：本节课是学生在已掌握了一元二次方程的解集、不等式的性质和不等式的解集基础上，进一步研究一元二次不等式的解法和应用，它一方面可以进一步对不等式的解法的理解与认识，同时也为今后进一步“3个二次”的关系打下坚实的基础。
因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
此外，《一元二次不等式的解法》是等式与不等式这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且方法得出的过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
3、教学的重点和难点：关键在于重难点如何确定、难点如何突破。
教学重点：1.等比数列前n项和公式的推导;2.等比数列前n项和公式的应用【重点的确定】通过对已学解一元二次方程的回顾，进一步体会一元二次不等式的解法的形式，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
因此它是本节课的重点内容。
教学难点：等比数列前n项和公式的推导。
【难点的确定】从学生的思维特点看，很容易把本节内容与一元二次方程的解法进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节一元二次不等式的解法与一元二次方程有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于二次项系数正负情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．因此它是本节课的难点内容。
23.2.1 一元二次方程的解法(1)
23.2．1一元二次方程的解法（1）解留初中于春杰【学习内容】一元二次方程的解法——直接开平方法【学习目的】1、了解形如（x＋m）2= n（n≥0）的一元二次方程的解法——直接开平方法2、会用直接开平方法解一元二次方程【知识重点、难点】重点：会用直接开平方法解一元二次方程难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系【学习方法】结合教材和提纲先独立思考，遇到疑难可以同桌交流，小组交流、师生交流。
学习过程：一、想一想1、我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根。
平方根有下列性质：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根。
如何求出适合等式x2=4的x的值呢?2、什么是完全平方式？利用公式计算：（1）(x+6)2（2）(x－12 )2注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。
二、看一看根据平方根的定义，由x2＝4可知，x就是4的平方根，因此x的值为2和－2即根据平方根的定义，得x2＝4x＝±2即此一元二次方程的解为：x1=2，x2 =－2这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
（如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。
）三、试一试例题学习例 1 解下列方程：（1）x2＝2 （2）4x2－1＝0分析：第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再两边同时除以4化为x2＝a的形式，再用直接开平方法解之。
例 2 解下列方程：⑴（x＋1）2= 2 ⑵（x－1）2－4 = 0⑶12（3－x）2－3 = 0分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边同除以12，再同第1小题一样地去解即可。
23.2一元二次方程的解法(李万青)导学案
23.2一元二次方程的解法（5）学习目标：1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。
2、提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、培养学生数学应用的意识。
学习重难点：认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，列出方程是本节课的重点，也是难点。
教材分析：列一元二次方程解应用题的学习是列一元一次方程解应用题知识的延续与深化。
教材联系生活实际，创设学生熟悉的情景，注重引导学生对实际问题中数量关系的分析和应用。
本节根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．学情分析：学生学完了一元二次方程的解法，通过本节课的学习，引导学生联系实际，进一步经历“问题情境---建立模型---求解---解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析和解决实际问题的经验，提高分析问题和解决问题的能力。
学法指导：素质教育和新的教改精神的根本是增强学生学习的自主性和学生的参与意识，使每一个学生想学、爱学、会学。
因此要充分考虑到学生心理特点和思维特点，充分发挥情感因素，使学生完全参与到整个教学中来。
⑴在复习引入时要注意每个学生的反映，对预备知识掌握比较好的学生要用适当的方式给予表扬，掌握差一些的学生要给予鼓励和适当的指导，使每一个学生愉快的进入下一个环节。
⑵学生自主学习时段，要注意学生的反馈情况，根据学生的反馈情况和学生的层次采取适当的方式对需要帮助的学生给予帮助，中上等的学生可以启发，中等的学生可以与他探讨，偏后的学生可以帮他分析。
学习准备：课本、导学案学习过程：一、课前预习：1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。
2、一元二次方程有哪些解法3、用多种方法解方程22-=++x x x(31)69二、课上探究：自主探究：绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？解：设宽为x米，可列出方程解出方程：合作交流：列一元二次方程解应用题的步骤：。
§23.2一元二次方程的解法(公式法)
§23.2一元二次方程的解法（公式法）(第4课时)班级_______ 姓名____________典例分析已知关于x 的方程23230kx kx k ++-=有两个相等的实数根，求k 的值。
课下练习一、选择题：1.若关于x 的方程23(4)x k -=有实数解，则k 得取值范围是（ ）. A. 0k > B. 0k < C. 0k ≤ D. 0k ≥2. 方程21x x =+的根是（ ）.A.x =B. x =C.无实根D. 2x =3. 下列方程中，没有实数根的是_____ A. 25(1)0x x --= B. 24(2)3x x += C. 2100x x -= D. 292160x x -+= 4.已知一直角三角形的三边长为a,b,c ，∠B=90°，那么关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++= 的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定5.关于的一元二次方程2(2)0x m x m -+-=的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.没有实数根D. 无法确定 二、填空题6.如果关于x 的方程2360x x a ++=有两个相等的实数根，那么a =______7. 若关于x 的方程220x x k +-=没有实数根，则k 得取值范围是______8.已知两数的积是12，两数的平方和是25，则这两个数的和为______9.若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 10.若关于x 的方程2210x x k ++-=的一个根是0，则k = ．11.一元二次方程250x x --=的根是_____ 三、解答下列各题12.不解方程，判断下列方程根的情况： ①24410x x -+= ②25(1)70x x +-=13.用公式法解一元二次方程。
初中数学单元教案
初中数学单元教案学习是一个边学新知识边巩固的过程，对学知识一定要多加计划，这样才能进步。
教师想要教好学生一份教案少不了。
因此，下面是店铺分享给大家的初中数学单元教案的资料，希望大家喜欢!初中数学单元教案一23.2.一元二次方程的解法(1)教学目标：1、会用直接开平方法解形如(a≠0,a ≥0)的方程;2、会用因式分解法解简单的一元二次方程。
3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用。
4、使学生经历探索解一元二次方程的过程。
重点难点：重点：掌握直接开平方法、因式分解法解一元二次方程，渗透转化思想。
难点：是怎样的一元二次方程适用于直接开平方法，怎样的一元二次方程适用于因式分解法，并理解一元二次方程有两个实数根，也可能无实数根。
教学过程：一、复习练习1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。
(1) (2) (3)2、要求学生复述平方根的意义。
(1)文字语言表示：如果一个数的平方等于，那么这个数叫的平方根。
(2)用式子表示：若，则叫做的平方根。
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
二、试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4; (2)x2-1=0;三、概括对于第(1)个方程，有这样的解法：方程x2=4，意味着x是4的平方根，所以 ,即x= 2.这种方法叫做直接开平方法.对于第(2)个方程，有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得(x-1)(x+1)=0，必有 x-1=0，或x+1=0,分别解这两个一元一次方程，得x1=1，x2=-1.这种方法叫做因式分解法.思考(1) 方程x2=4能否用因式分解法来解?要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式?(2) 方程x2-1=0能否用直接开平方法来解?要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式?初中数学单元教案二教学目标：1、知识目标：(1)知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素;(2)知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等;(3)能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。
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23.2.3一元二次方程的解法（2）
教学目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．
2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。
重点难点：
使学生掌握配方法，解一元二次方程。
把一元二次方程转化为
的形式。
教学过程：
一、复习提问
解下列方程，并说明解法的依据：
（1） （2） （3） 通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：
根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实
数解。
如
请说出完全平方公式。
二、引入新课
我们知道，形如的方程，可变形为，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如的一类方程，
q p x =+2)(2321x -=()2160x +-=()2210x --=()()()2
200x b b x a b b =≥-=≥和()212x -=-()()2
22
22222x a x ax a x a x ax a +=++-=-+02=-A x )0(2≥=A A x 20x bx c ++=
化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．
三、探索：
1、例1、解下列方程：
＋2x ＝5； （2）－4x ＋3＝0.
思 考
能否经过适当变形，将它们转化为
= a 的形式，应用直接开方法求解？ 解（1）原方程化为＋2x ＋1＝6， （方程两边同时加上1）
_____________________,
_____________________,
_____________________.
（2）原方程化为－4x ＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4） _____________________,
_____________________,
_____________________.
三、归 纳
上面，我们把方程－4x ＋3＝0变形为＝1，它的左边是一个含有未知
数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。
那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？
四、试一试：对下列各式进行配方：
2x 2x (
)22x 2x 2x ()2
2x -
；
；
；
通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。
五、例题讲解与练习巩固
1、例
2、 用配方法解下列方程：
（1）－6x －7＝0； （2）＋3x ＋1＝0.
2、练习：
①.填空：
（1） （2）－8x ＋（ ）＝（x- ）2 （3）＋x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； （4）4－6x ＋（ ）＝4（x － ）2 ② 用配方法解方程：
（1）＋8x －2＝0 （2）－5 x －6＝0.
（3）
六、试一试
用配方法解方程x 2＋px ＋q ＝0(p2－4q ≥0).
先由学生讨论探索，教师再板书讲解。
解：移项，得 x 2＋px ＝－q ，
配方，得 x 2＋2·x ·＋()2＝()2－q,
22_____)(_____8+=+x x x 2210_____(_____)x x x -=+22_____)(______5-=+-x x x 229______(_____)x x x -+=-22_____)(_____23-=+-x x x 22______(_____)x bx x ++=+2x 2x (
)()226x x ++=2x 2x 2x 2x 2x 276x x +=-2p 2p 2p
即 (x ＋) 2＝.
因为 p2－4q ≥0时，直接开平方，得
x ＋＝±.
所以 x ＝-±,
即 x ＝.
思 考：这里为什么要规定p2－4q ≥0？
七、讨 论
1、如何用配方法解下列方程？
4x 2－12x －1＝0;
请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？
2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。
先由学生讨论探索，再教师板书讲解。
解：（1）将方程两边同时除以4，得 x 2－3x －
41＝0 移项，得 x 2－3x ＝4
1 配方，得 x 2－3x+（
23）2＝41+（23）2 即 (x —23) 2＝2
5 直接开平方，得 x —2
3＝±210 2p 442q
p -2p
242q p -2p
242q p -242q
p p -±-
所以 x ＝2
3±210 所以x 1＝，x 2=
3，练习：用配方法解方程：
（1） （2）3x 2＋2x －3＝0.
（3）
（原方程无实数解） 本课小结： 让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
课后反思： 。
2103+210
3-02722=--x x 05422=+-x x。