工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案

概率统计简明教程(同济)Chapter3

0.0125

课堂: P27, 5.

问题: 若已知取到的是次品, 它属于三个厂的概率分别是多少{由果寻因}? 这就要利用 Tomas Bayes (英国, 1763年)公式. 贝叶斯公式: 设事件A1, A2, …, An两两不相容, 事件B 满足 B = BA1 BA2 … BAn,
P( AB) P( B) 0 : P( A | B) . P( B)

乘法公式: P( A) 0 : P( AB) P( A) P( B | A).
P( B) 0 : P( AB) P( B) P( A | B). 推广? P( A1 A2 An1 ) 0(n 2) :
P( B | A1 ) 0.02, P( B | A2 ) 0.01, P( B | A3 ) 0.03
P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BA3 )
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 )
P( AB) 2 P( B | A) P( B); P( A) 3 P( AB) 2 P( B | A) P( B). P( A) 3

无论A发生与否对B的概率没有影响, 就称事件A与事件B(相互)独立. 直观意义: 事件A与B没有“关系”, “影响”. 这往往可根据事件的实际意义判断(P23).

例8(P23) Solution 待求概率的事件为A, Ai = {第i 台需工人维护}( i = 1, 2, 3). A1, A2, A3相互独立.
A A1 A2 A3 P( A) P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 )

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习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件； (3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ； (4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。

工程数学-概率统计简明教程答案

习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件� A (1) 抛一枚硬币两次�观察出现的面�事件}{两次出现的面相同�A � (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数�事件{�A 一分钟内呼叫次数不超过次}� 3(3) 从一批灯泡中随机抽取一只�测试其寿命�事件{�A 寿命在到小时之间}。

20002500解(1) )},(),,(),,(),,{(�� )},(),,{(��A .(2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数�则 },2,1,0|{��k k X � }3,2,1,0|{��k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命�单位�小时��则 )},0({��X � )}2500,2000({��X A . 2. 袋中有10个球�分别编有号码1至10�从中任取1球�设�A {取得球的号码是偶数}��B {取得球的号码是奇数}�{取得球的号码小于5}�问下列运算表示什么事件� �C (1)�(2)B A �A B �(3)�(4)A C A C �(5)C A �(6)C B ��(7)C A �. 解(1) 是必然事件� ��B A � (2) ��A B 是不可能事件� (3) {取得球的号码是2�4}� �A C (4) �A C {取得球的号码是1�3�5�6�7�8�9�10}� (5) �C A {取得球的号码为奇数�且不小于5}�{取得球的号码为5�7�9}� (6) ��C B C B ��{取得球的号码是不小于5的偶数}�{取得球的号码为6�8�10}�(7) ��C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6�8�10} 3. 在区间上任取一数�记]2,0[��121x x A ��2341x x B �求下列事件的表达式�(1)�(2)B A �B A �(3)B A �(4)B A �. 解(1) ��2341x x B A �;(2) ��B x x x B A �21210或��2312141x x x x �;(3) 因为B A ��所以��B A � (4)��223410x x x A B A 或��223121410x x x x 或或 4. 用事件的运算关系式表示下列事件� C B A ,,(1) 出现�都不出现�记为�� A C B ,1E (2) 都出现�不出现�记为�� B A ,C 2E (3) 所有三个事件都出现�记为�� 3E(4) 三个事件中至少有一个出现�记为�� 4E(5) 三个事件都不出现�记为�� 5E (6) 不多于一个事件出现�记为�� 6E (7) 不多于两个事件出现�记为�� 7E (8) 三个事件中至少有两个出现�记为�。

概率统计同济课后习题答案

概率统计同济课后习题答案在学习概率统计这门课程时，课后习题往往是巩固知识、检验理解的重要环节。

同济大学出版的概率统计教材以其严谨的体系和丰富的内容备受青睐，然而，课后习题的解答有时却让同学们感到困惑。

接下来，我将为大家详细呈现一些常见课后习题的答案及解题思路。

首先，我们来看一道关于随机事件概率的题目。

题目：假设在一个袋子中装有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出3 个球，求取出的球中至少有 1 个红球的概率。

解题思路：我们可以先求出取出的 3 个球中没有红球的概率，即从3 个白球中取出 3 个球的组合数除以从 8 个球中取出 3 个球的组合数。

然后用 1 减去这个概率，就得到至少有 1 个红球的概率。

具体计算过程如下：从 8 个球中取出 3 个球的组合数为：C(8, 3) ＝ 56从 3 个白球中取出 3 个球的组合数为：C(3, 3) ＝ 1所以取出的 3 个球中没有红球的概率为：1/56则至少有 1 个红球的概率为：1 1/56 ＝ 55/56再来看一道关于随机变量分布的题目。

题目：已知随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，且 P(X ＝ 1) ＝P(X ＝ 2)，求λ 的值。

解题思路：根据泊松分布的概率质量函数 P(X ＝ k) ＝（λ^k e^（λ)）／ k! ，分别代入 k ＝ 1 和 k ＝ 2 ，然后根据已知条件 P(X ＝ 1) ＝ P(X ＝ 2) 建立方程求解。

具体计算过程如下：P(X ＝ 1) ＝（λ^1 e^（λ)）／ 1! ＝λ e^（λ)P(X ＝ 2) ＝（λ^2 e^（λ)）／ 2! ＝（λ^2 e^（λ)）／ 2因为 P(X ＝ 1) ＝ P(X ＝ 2) ，所以λ e^（λ) ＝（λ^2 e^（λ)）／ 2化简得到：λ ＝ 2接下来是一道关于数学期望和方差的题目。

题目：设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜ 1 ，求E(X) 和 D(X) 。

概率统计简明教程(同济)Chapter

期望就是所得赌本(3 : 1)?
■ Remark E(X)不一定存在. ■ 所以, E(X)不存在.
■ P78: ■ P82: ■ 例4(P78)
■ 再考虑X为连续型随机变量情形:
■若
■ 绝对收敛, 则称其为X的数学期望.
■ 例6 X ~ U(a, b) E(X) = (a + b)/2.
■ Proof
Chapter 7 随机变量的数字特征
■ 随机变量的分布完全描述了随机现象的统计规律性.
■ 当随机变量的分布不太容易得出时,可以只考虑少数几个随机变量的数字特征: 数学期望, 方差, 协方差和相关系数, 矩 (P85, P114).
第一节数学期望
■ 先考虑X为离散型随机变量情形.
■ 该数据集的平均值:
■ Solution Z = X - Y.
第三节协方差和相关系数
■ 若X与Y独立:
■ 若E(X - E(X))(Y- E(Y)) 0, 则X与Y不
独立.
■ 当X与Y不独立也可能成立.
■ 例18(P86)
■ 由此可见, E(X - E(X))(Y- E(Y))可以从某一个侧面刻画X与Y之间的关系, 称为 X与Y的协方差, 记为cov(X, Y).
■ 例7 X ~ N( , 2) E(X) = .
■ Proof
■ 绝对收敛?
■ 例8 X ~ E( ) E(X) = 1/ .
■ Proof
■ P81: ■ P82:
■ E(X2) (前面的例子) ?
■ 例10(P82) ■ Solution
■ 数学期望的性质 ■ (均假设所涉及的随机变量的数学期望
■ (2) 频率具有稳定性:
■ 证明时要用到切比雪夫不等式.

(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)

习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。

（同济大学应用数学系主编）概率统计简明教程的习题答案（可编辑）

习题一解答 1 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 1 抛一枚硬币两次观察出现的面事件 2 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数事件一分钟内呼叫次数不超过次 3 从一批灯泡中随机抽取一只测试其寿命事件寿命在到小时之间解 1 2记为一分钟内接到的呼叫次数则 3 记为抽到的灯泡的寿命单位小时则2 袋中有个球分别编有号码1至10从中任取1球设取得球的号码是偶数取得球的号码是奇数取得球的号码小于5 问下列运算表示什么事件 1 2 3 45 6 7 解 1 是必然事件 2 是不可能事件 3 取得球的号码是24 4 取得球的号码是135678910 5 取得球的号码为奇数且不小于5 取得球的号码为579 6 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6810 7 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6810 3 在区间上任取一数记求下列事件的表达式 1 2 3 4 解1 2 3 因为所以 4 4 用事件的运算关系式表示下列事件1 出现都不出现记为2 都出现不出现记为3 所有三个事件都出现记为 4 三个事件中至少有一个出现记为 5 三个事件都不出现记为 6 不多于一个事件出现记为 7 不多于两个事件出现记为8 三个事件中至少有两个出现记为解 1 2 3 4 5 6 7 8 5 一批产品中有合格品和废品从中有放回地抽取三次每次取一件设表示事件第次抽到废品试用表示下列事件1 第一次第二次中至少有一次抽到废品2 只有第一次抽到废品3 三次都抽到废品 4 至少有一次抽到合格品只有两次抽到废品解 1 23 4 5 6 接连进行三次射击设第次射击命中三次射击恰好命中二次三次射击至少命中二次试用表示和解习题二解答 1．从一批由45件正品5件次品组成的产品中任取3件产品求其中恰有1件次品的概率解这是不放回抽取样本点总数记求概率的事件为则有利于的样本点数于是 2．一口袋中有5个红球及2个白球从这袋中任取一球看过它的颜色后放回袋中然后再从这袋中任取一球设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同求 1 第一次第二次都取到红球的概率 2 第一次取到红球第二次取到白球的概率 3 二次取得的球为红白各一的概率 4 第二次取到红球的概率解本题是有放回抽取模式样本点总数记 1 2 3 4 题求概率的事件分别为ⅰ有利于的样本点数故ⅱ有利于的样本点数故ⅲ有利于的样本点数故ⅳ有利于的样本点数故 3．一个口袋中装有6只球分别编上号码1至6随机地从这个口袋中取2只球试求 1 最小号码是3的概率 2 最大号码是3的概率解本题是无放回模式样本点总数ⅰ最小号码为3只能从编号为3456这四个球中取2只且有一次抽到3因而有利样本点数为所求概率为ⅱ最大号码为3只能从123号球中取且有一次取到3于是有利样本点数为所求概率为 4．一个盒子中装有6只晶体管其中有2只是不合格品现在作不放回抽样接连取2次每次取1只试求下列事件的概率 1 2只都合格 2 1只合格1只不合格 3 至少有1只合格解分别记题 1 2 3 涉及的事件为则注意到且与互斥因而由概率的可加性知 5．掷两颗骰子求下列事件的概率 1 点数之和为7 2 点数之和不超过5 3 点数之和为偶数解分别记题 1 2 3 的事件为样本点总数ⅰ含样本点 16 61 34 43 ⅱ含样本点 11 12 21 13 31 14 41 22 23 32 ⅲ含样本点 11 13 31 15 51 22 24 42 26 62 3335 53 44 46 64 55 66 一共18个样本点 6．把甲乙丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去假设每间宿舍最多可住8人试求这三名学生住不同宿舍的概率解记求概率的事件为样本点总数为而有利的样本点数为所以 7．总经理的五位秘书中有两位精通英语今偶遇其中的三位求下列事件的概率 1 事件其中恰有一位精通英语 2 事件其中恰有二位精通英语 3 事件其中有人精通英语解样本点总数为 1 2 3 因且与互斥因而 8．设一质点一定落在平面内由轴轴及直线所围成的三角形内而落在这三角形内各点处的可能性相等计算这质点落在直线的左边的概率解记求概率的事件为则为图中阴影部分而最后由几何概型的概率计算公式可得 9．见前面问答题2 3 10．已知求 1 2 3 4 5 解 1 2 3 4 5 11．设是两个事件已知试求及解注意到因而于是习题三解答 1．已知随机事件的概率随机事件的概率条件概率试求及解 2．一批零件共100个次品率为10从中不放回取三次每次取一个求第三次才取得正品的概率解 3．某人有一笔资金他投入基金的概率为058购买股票的概率为028两项投资都做的概率为019 1 已知他已投入基金再购买股票的概率是多少 2 已知他已购买股票再投入基金的概率是多少解记基金股票则 1 2 4．给定验证下面四个等式解 5．有朋自远方来他坐火车船汽车和飞机的概率分别为03020104若坐火车迟到的概率是025若坐船迟到的概率是03若坐汽车迟到的概率是01若坐飞机则不会迟到求他最后可能迟到的概率解迟到坐火车坐船坐汽车乘飞机则且按题意由全概率公式有 6．已知甲袋中有6只红球4只白球乙袋中有8只红球6只白球求下列事件的概率 1 随机取一只袋再从该袋中随机取一球该球是红球 2 合并两只袋从中随机取一球该球是红球解 1 记该球是红球取自甲袋取自乙袋已知所以 2 7．某工厂有甲乙丙三个车间生产同一产品每个车间的产量分别占全厂的253540各车间产品的次品率分别为542求该厂产品的次品率解 8．发报台分别以概率0604发出和由于通信受到干扰当发出时分别com同样当发出信号时com收到和求 1 收到信号的概率 2 当收到时发出的概率解记收到信号发出信号 1 2 9．设某工厂有三个车间生产同一螺钉各个车间的产量分别占总产量的253540各个车间成品中次品的百分比分别为542如从该厂产品中抽取一件得到的是次品求它依次是车间生产的概率解为方便计记事件为车间生产的产品事件次品因此 10．设与独立且求下列事件的概率解 11．已知独立且求解因由独立性有从而导致再由有所以最后得到 12．甲乙丙三人同时独立地向同一目标各射击一次命中率分别为131223求目标被命中的概率解记命中目标甲命中乙命中丙命中则因而 13．设六个相同的元件如下图所示那样安置在线路中设每个元件不通达的概率为求这个装置通达的概率假定各个元件通达与否是相互独立的解记通达元件通达则所以 14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为02机器发生故障时全天。

概率统计同济课后习题答案

概率统计同济课后习题答案在学习概率统计这门课程时，课后习题的练习和答案的参考对于巩固知识、加深理解起着至关重要的作用。

同济大学出版的概率统计教材备受广大师生的青睐，而对应的课后习题答案则成为了同学们在学习过程中的得力助手。

首先，我们来谈谈为什么课后习题的答案如此重要。

课后习题是对课堂所学知识的一种检验和拓展，通过完成这些习题，我们能够更加深入地理解概念、掌握方法，并发现自己在学习中的薄弱环节。

而答案则为我们提供了一个标准和参考，让我们知道自己的解题思路是否正确，计算过程是否准确。

如果答案与自己的结果不一致，还能促使我们重新思考、查找错误，从而提高学习效果。

在面对同济版概率统计课后习题答案时，我们不能仅仅满足于知道最终的结果，更要注重解题的过程和方法。

比如，在求解概率问题时，要清楚地知道如何运用概率的定义、性质和公式，如何进行事件的运算和概率的计算。

对于统计部分的习题，要理解各种统计量的意义和计算方法，掌握数据的处理和分析技巧。

以一道常见的概率习题为例：假设有两个相互独立的事件 A 和 B，P(A) ＝ 04，P(B) ＝ 06，求 P(A ∪ B)。

这道题的答案应该是：P(A ∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) P(A)P(B) ＝ 04 ＋ 06 04×06 ＝ 076 。

但我们不能只是记住这个数字，而要明白为什么可以使用这个公式，以及每个步骤的依据是什么。

再来看一道统计习题：已知一组数据 10，12，15，18，20，求这组数据的均值和方差。

答案是：均值为（10 ＋ 12 ＋ 15 ＋ 18 ＋ 20) ／ 5 ＝ 15 ，方差为（10 15)²＋（12 15)²＋（15 15)²＋（18 15)²＋（20 15)²／ 5 ＝ 13 。

同样，我们要理解均值和方差的计算公式，以及如何代入数据进行计算。

然而，在使用课后习题答案时，也需要注意一些问题。

概率统计简明教程习题答案

概率统计简明教程习题答案概率统计简明教程习题答案概率统计是一门研究随机事件发生规律的学科，它在各个领域中都有广泛的应用。

为了帮助读者更好地掌握概率统计的知识，我们为你准备了一些习题，并提供了详细的答案解析。

通过解答这些习题，相信你会对概率统计有更深入的理解。

1. 掷骰子问题问题：一个六面骰子，每个面的数字为1、2、3、4、5、6。

如果我们连续掷两次骰子，求以下事件的概率：（1）两次掷得的点数之和为7；（2）第一次掷得的点数比第二次掷得的点数大。

解答：（1）两次掷得的点数之和为7的情况有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)共6种，而每次掷骰子的可能结果有6种，所以该事件的概率为6/36=1/6。

（2）第一次掷得的点数比第二次掷得的点数大的情况有(2,1)、(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)共15种，而每次掷骰子的可能结果有6种，所以该事件的概率为15/36=5/12。

2. 抽样问题问题：有一箱中有10个球，其中3个红球，7个蓝球。

现从箱中随机抽取两个球，求以下事件的概率：（1）两个球都是红球；（2）两个球都是蓝球；（3）一个球是红球，一个球是蓝球。

解答：（1）两个球都是红球的情况只有一种，即从3个红球中选取2个红球，所以该事件的概率为C(3,2)/C(10,2)=3/45=1/15。

（2）两个球都是蓝球的情况只有一种，即从7个蓝球中选取2个蓝球，所以该事件的概率为C(7,2)/C(10,2)=21/45=7/15。

（3）一个球是红球，一个球是蓝球的情况有C(3,1) * C(7,1) = 3 * 7 = 21种，所以该事件的概率为21/45=7/15。

3. 正态分布问题问题：某商品的重量服从正态分布，平均重量为500g，标准差为10g。

概率统计简明教程习题答案

习题三解答1．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .解 4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==3.04.06.05.01=+--=2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。

解 10789989981989910090910=⨯=⨯⨯⨯⨯=p . 3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解记=A {基金}，=B {股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P(1) .327.058.019.0)()()|(===A P AB P A B P (2) 678.028.019.0)()()|(===B P AB P B A P . 4．给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式：),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =，).()|(B P A B P =解 )(213.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ====)(5.07.035.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--==)(3.05.015.0)()()|(B P A P AB P A B P ====)(5.015.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--==5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。

【尚择优选】概率统计简明教程课后习题答案(非常详细版)

习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件； (3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ； (4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。

概率统计同济课后习题答案

概率统计同济课后习题答案概率统计是一门重要的数学学科，对于许多理工科专业的学生来说，掌握好这门课程至关重要。

而课后习题则是巩固知识、检验学习效果的重要手段。

然而，在完成课后习题的过程中，很多同学可能会遇到各种各样的困难，这时候一份详细准确的课后习题答案就显得尤为重要。

在同济大学出版的概率统计教材中，课后习题涵盖了丰富的知识点和题型，能够帮助同学们全面深入地理解概率统计的基本概念和方法。

接下来，让我们逐步探讨这些课后习题的答案。

首先，来看一些关于概率基本概念的习题。

比如，有这样一道题：在一个装有 5 个红球和 3 个白球的盒子中，随机取出 3 个球，求取出的球中红球个数的概率分布。

对于这道题，我们首先要确定可能的取值，即取出的红球个数可以是 0、1、2、3。

然后，分别计算每种取值的概率。

计算时，需要用到组合数的知识。

假设取出的红球个数为X，当 X ＝ 0 时，概率为 C(3, 3) ／ C(8, 3) ；当 X ＝ 1 时，概率为 C(5, 1)C(3, 2) ／ C(8, 3) ；当 X ＝ 2 时，概率为 C(5, 2) C(3, 1) ／ C(8, 3) ；当X ＝ 3 时，概率为 C(5, 3) ／ C(8, 3) 。

再看一道关于条件概率的习题：已知事件 A 的概率为 04，事件 B的概率为 03，事件 A 和 B 同时发生的概率为 01，求在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。

这道题主要考查条件概率的计算公式，即在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率等于事件 A 和 B 同时发生的概率除以事件 B 的概率，即 01 ／ 03 ＝ 1/3 。

接下来是关于随机变量的数字特征的习题。

例如，已知随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x ， 0 ＜ x ＜ 1 ，求 X 的数学期望和方差。

计算数学期望时，需要用到积分的知识，E(X) ＝∫0, 1 x 2x dx ；计算方差时，先求出 E(X^2) ，然后根据方差的定义计算，即 Var(X) ＝E(X^2) E(X)＾2 。

工程数学《概率统计简明教程》习题全解

习题三解答1．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .解 4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==3.04.06.05.01=+--=3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19 (1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解记=A {基金}，=B {股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P(1) .327.058.019.0)()()|(===A P AB P A B P(2) 678.028.019.0)()()|(===B P AB P B A P . 5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。

求他最后可能迟到的概率。

解 =B {迟到}，=1A {坐火车}，=2A {坐船}，=3A {坐汽车}，=4A {乘飞机}，则 41==i iBAB ，且按题意25.0)|(1=A B P ，3.0)|(2=A B P ，1.0)|(3=A B P ，0)|(4=A B P .由全概率公式有：∑==⨯+⨯+⨯==41145.01.01.03.02.025.03.0)|()()(i i i A B P A P B P6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。

求下列事件的概率：(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

概率与数理统计第四版(简明版)课后习题答案

三、判断题
• 1、× 2、√ 3、× 4、×5、√6、× 7、× 8、× 9、×10、√
四、单项选择题
• 1、D 2、C 3、A 4、B 5、D6、B 7、C 8、B 9、B 10、A
五、多项选择题多项选择题
• 1、A B C 2、AC D 3、A C4、AD 5、BC 6、CDE7、A B 8、AB C 9、CD10、C E
第二章
二、填空题
• 1、统计报表专门调查全面调查非全面调查经常性调查一次性调查 • 2、调查目的确定调查对象和调查单位调查项目和调查表确定调查时间制定调查工作的组织设施计划 • 3、日报旬报月报季报半年报年报；电讯邮寄；基层报表综合报表 • 4、一种专门组织的一次性全面调查
100以下 100—110 110—120 120以上合计 2 16 7 2 27 7. 41 59.26 25.92 7.41 100 7.41 66.67 92.59 100 —
向下累计 100 92.56 33.33 7.41 —
（2）连续型，因百分数可以无限分割。（3）95%和125%，根据上下限与相邻组组距计算的。 3 95% 125% • 3、等级学生数频率(%) （1）
复习思考题答案
第一章
二、填空题
• • • • • • • • • • 1、统计工作统计资料统计学 2、社会经济现象总体数量方面 3、同质性大量性变异性 4、总体单位总体 5、品质数量标志 6、离散型连续型 7、指标名称指标数值 8、质量指标 9、品质数量 10、可变标志变异
四、单项选择题
• 1、C2、C 10、D 3、B 4、C 5、D 6、A 7、C 8、C 9、D

工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案

习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A : (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件 A = {两次出现的面相同} ; (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件 A = { 一分钟内呼叫次数不超过 3 次}; (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件 A = { 寿命在2000 到2500 小时之间}. 解(1) = {( +,+), (+,), (,+), (,)} , A = {(+,+), (,)} . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数,则= { X = k | k = 0,1,2,LL} , A = { X = k | k = 0,1,2,3} . (3) 记X 为抽到的灯泡的寿命(单位:小时) ,则= { X ∈(0, + ∞)} , A = { X ∈(2000, 2500)} . 2. 袋中有10 个球, 分别编有号码 1 至10, 从中任取 1 球, A = {取得球的号码是偶数}, = {取设 B 得球的号码是奇数}, C = {取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件: (1) A U B ;(2) AB ;(3) AC ;(4) AC ;(5) A C ;(6) B U C ;(7) A C . 解(1) A U B = 是必然事件; (2) AB = φ 是不可能事件; (3) AC = {取得球的号码是2,4}; (4) AC = {取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; (5) A C = {取得球的号码为奇数,且不小于5} = {取得球的号码为5,7,9}; (6) B U C = B I C = {取得球的号码是不小于 5 的偶数} = {取得球的号码为6,8,10}; (7) A C = AC = {取得球的号码是不小于 5 的偶数}={取得球的号码为6,8,10} 1 1 3 3. 在区间[0 ,2] 上任取一数,记 A = x < x ≤ 1 , B = x ≤ x ≤ ,求下列事件的表达式: 2 2 4 (1) A UB ;(2) A B ;(3) AB ;(4) A U B . 1 3 解(1) A U B = x ≤ x ≤ ; 2 4 1 3 1 1 3 (4) A U B = A U x 0 ≤ x < 或< x ≤ 2 = x 0 ≤ x < 或< x ≤ 1或< x ≤ 2 4. 用事件A, B,C 2 2 4 4 2 的运算关系式表示下列事件: (1) A 出现, B, C 都不出现(记为E1 ) ; (2) A, B 都出现, C 不出现(记为 E 2 ) ; (3) 所有三个事件都出现(记为E3 ) ; (4) 三个事件中至少有一个出现(记为 E 4 ) ; (5) 三个事件都不出现(记为E5 ) ; (6) 不多于一个事件出现(记为 E 6 ) ; (7) 不多于两个事件出现(记为 E 7 ) ; (8) 三个事件中至少有两个出现(记为E8 ) . 解(1) E1 = AB C ; (3) E3 = ABC ; (5) E5 = A B C ; (2) E 2 = ABC ; (4) E 4 = A U B U C ; (6) E6 = A B C U AB C U A BC U A B C ; ww (7) E 7 = ABC = A U B U C ;(8) E8 = AB U AC U BC . 5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设Ai 表示事件"第i 次w. kh 1 (2) A B = x 0 ≤ x ≤ 或 1 < x ≤ 2 I B = 2 (3) 因为 A B ,所以AB = φ ; da w.1 x ≤ x ≤ 4 1 U x1 < x ≤2 co3 ; 2 m 抽到废品" i = 1,2,3 ,试用Ai 表示下列事件: , (1) 第一次,第二次中至少有一次抽到废品; (2) 只有第一次抽到废品; (3) 三次都抽到废品; (4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有两次抽到废品. 解(1) A1 U A2 ;(2) A1 A2 A3 ; (3) A1 A2 A3 ; (4) A1 U A2 U A3 ; (5) A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 . 6. 接连进行三次射击,设Ai ={第i 次射击命中}, i = 1,2,3 , B = {三次射击恰好命中二次}, C = {三次射击至少命中二次};试用Ai 表示 B 和 C . 解 B = A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 C = A1 A2 U A1 A3 U A2 A3习题二解答w. 1.从一批由45 件正品,5 件次品组成的产品中任取 3 件产品,求其中恰有 1 件次品的概率. 50 解这是不放回抽取,样本点总数n = ,记求概率的事件为 A ,则有利于 A 的样本点数 3 45 5 k = . 于是 2 1 45 5 45 × 44 ×5 × 3! 99 k 2 1 P( A) = = = = 50 × 49 × 48 × 2! 392 n 50 3 2.一口袋中有 5 个红球及 2 个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后, 再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同.求(1) 第一次,第二次都取到红球的概率; (2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球为红,白各一的概率; (4) 第二次取到红球的概率. 解本题是有放回抽取模式, 样本点总数n = 7 2 . 记(1)(2)(3)(4) 题求概率的事件分别为A, B, C , D . kh 25 5 P( A) = = 49 7 5 × 2 10 (ⅱ) 有利于 B 的样本点数k B = 5× 2 ,故P( B) = 2 = 49 7 20 (ⅲ) 有利于 C 的样本点数k C = 2 × 5 × 2 ,故P(C ) = 49 7 × 5 35 5 = . (ⅳ) 有利于D 的样本点数k D = 7 × 5 ,故P( D) = 2 = 49 7 7 3.一个口袋中装有 6 只球,分别编上号码 1 至6,随机地从这个口袋中取2 只球,试求:(1) 最小号码是 3 的概率;(2) 最大号码是 3 的概率. 解本题是无放回模式,样本点总数n = 6 × 5 . (ⅰ) 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6 这四个球中取 2 只,且有一次抽到3,因而有利2×3 1 样本点数为 2 × 3 ,所求概率为= . 6×5 5 (ⅱ) 最大号码为3,只能从1,2,3 号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为 2 × 2 , (ⅰ)有利于 A 的样本点数k A = 5 2 ,故ww da w. 2 2× 2 2 = . 6 × 5 15 4.一个盒子中装有 6 只晶体管,其中有 2 只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取 2 次, 每次取 1 只,试求下列事件的概率: (1) 2 只都合格; (2) 1 只合格,1 只不合格; (3) 至少有 1 只合格. 解分别记题(1),(2),(3)涉及的事件为A, B, C ,则 4 2 4 × 3 × 2 2 P( A) = = = 6 6 × 5× 2 5 2 4 2 1 1 4 × 2 × 2 8 P( B) = = = 6×5 15 6 2 注意到 C = A U B ,且 A 与 B 互斥,因而由概率的可加性知 2 8 14 P(C ) = P( A) + P( B) = + = 5 15 15 5.掷两颗骰子,求下列事件的概率: (1) 点数之和为7;(2) 点数之和不超过5;(3) 点数之和为偶数. 解分别记题(1),(2),(3)的事件为A, B, C ,样本点总数n = 6 2 (ⅰ) A 含样本点(2,5), (5,2) ,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) 6 1 ∴P ( A) = 2 = 6 6 (ⅱ) B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) 10 5 ∴P( B) = 2 = 18 6 ( ⅲ) C 含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18 个样本点. 18 1 ∴P(C ) = = 36 2 6.把甲,乙,丙三名学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住8 人, 试求这三名学生住不同宿舍的概率. 解记求概率的事件为 A , 样本点总数为53 , 而有利 A 的样本点数为 5 ×4 ×3 , 所以 5 × 4 × 3 12 P ( A) = = . 25 53 7.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率: "其中恰有一位精通英语" ; (1) 事件 A : (2) 事件B : "其中恰有二位精通英语" ; (3) 事件 C : "其中有人精通英语" . 5 解样本点总数为 3 所求概率为2 3 1 2 2 × 3 × 3! 6 3 (1) P( A) = = = = ; 5 × 4 × 3 10 5 5 3 (3) 因 C = A U B ,且 A 与 B 互斥,因而 3 3 9 P(C ) = P( A) + P( B) = + = . 5 10 10 8.设一质点一定落在xOy 平面内由x 轴, y 轴及直线x + y = 1 所围成的三角形内,而落在这三SA 1 角形内各点处的可能性相等,计算这质点落在直线x = 1 / 3 的左边的概率. y 解记求概率的事件为 A ,则S A 为图中阴影部分,而| |= 1 / 2 , 1 1 2 1 5 5 | S A |= = × = 2 2 3 2 9 18 最后由几何概型的概率计算公式可得| S | 5 / 18 5 O P( A) = A = = . || 1/ 2 9 9. (见前面问答题 2. 3) 10.已知 A B , P( A) = 0.4 , P( B) = 0.6 ,求 2 2 3 2 1 3 × 3! 3 (2) P( B) = = ; = 5 × 4 × 3 10 5 3 1/3 图 2.3 ww 1.已知随机事件 A 的概率P( A) = 0.5 ,随机事件 B 的概率P( B) = 0.6 ,条件概率P( B | A) = 0.8 , 试求P( AB ) 及P( A B ) . 解P( AB ) = P( A) P ( B | A) = 0.5 × 0.8 = 0.4 P ( A B ) = P ( A U B ) = 1 P ( A U B ) = 1 P ( A) P ( B ) + P ( AB ) = 1 0.5 0.6 + 0.4 = 0.3 2.一批零件共100 个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个) ,求第三次才取得正品的概率. 10 × 9 × 90 81 9 = = 解p= . 100 × 99 ×98 99 × 98 1078 3.某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概率为0.19 (1) 已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少? (2) 已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少? 解记 A = {基金}, B ={股票},则P( A) = 0.58, P( B) = 0.28, P( AB ) = 0.19 w. kh (4) P( B A) = P( A B) = P(φ ) = 0 , P( A B ) = P( A U B) = 1 P( A U B) = 1 0.6 = 0.4 ; (5) P( A B) = P( B A) = 0.6 0.4 = 0.2. 11. A, B 是两个事件, 设已知P( A) = 0.5 ,P( B) = 0.7 ,P( A U B) = 0.8 , 试求P( A B) 及P( B A). 解注意到P( A U B) = P( A) + P( B) P( AB ) , 因而P( AB ) = P( A) + P( B) P( A U B) = 0.5 + 0.7 0.8 = 0.4 . 于是, P( A B) = P( A AB ) = P( A) P( AB) = 0.5 0.4 = 0.1 ; P( B A) = P( B AB) = P( B) P( AB) = 0.7 0.4 = 0.3 . da w. 习题三解答课后答案(1) P( A ) , P(B ) ;(2) P( A U B) ;(3) P( AB ) ;(4) P( B A), P( A B ) ;(5) P( A B) . 解(1) P( A ) = 1 P( A) = 1 0.4 = 0.6 , P( B ) = 1 P( B) = 1 0.6 = 0.4 ; (2) P( A U B) = P( A) + P( B) P( AB ) = P( A) + P ( B) P( A) = P( B) = 0.6 ; (3) P( AB ) = P( A) = 0.4 ; 网co 1 m x. (1) (2) P( B | A) = P( A | B) = P( AB) 0.19 = = 0.327. P( A) 0.58 co P( AB) 0.19 = = 0.678 . P( B) 0.28 4.给定P( A) = 0.5 , P( B) = 0.3 , P( AB ) = 0.15 ,验证下面四个等式: P( A | B) = P( A), P( A | B ) = P( A), P( B | A) = P( B) , P( B | A ) = P( B). P( AB) 0.15 1 = = = P( A) 解P( A | B) = P( B) 0.3 2 P( AB ) P( A) P( AB ) 0.5 0.15 0.35 = P( A | B ) = = = = 0.5 = P( A) P( B ) 1 P( B) 0.7 0.7 P( AB) 0.15 P( B | A) = = = 0.3 = P( B) P( A) 0.5 P( A B) P( B) P( AB ) 0.3 0.15 0.15 P( B | A ) = = = = = P( B) 1 P ( A) 0.5 0.5 P( A ) 5.有朋自远方来,他坐火车,船,汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车, 迟到的概率是0.25,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到.求他最后可能迟到的概率. m 网解且按题意则 B = {迟到},A1 = {坐火车},A2 = {坐船},A3 = {坐汽车}, A4 = {乘飞机}, B = U BAi , 4 P( B | A1 ) = 0.25 , P( B | A2 ) = 0.3 , P( B | A3 ) = 0.1 , P( B | A4 ) = 0 . 由全概率公式有: 4 i =1 6.已知甲袋中有 6 只红球,4 只白球;乙袋中有8 只红球,6 只白球.求下列事件的概率: (1) 随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球; (2) 合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球. 解(1) 记 B = {该球是红球}, A1 = {取自甲袋}, A2 = {取自乙袋},已知P( B | A1 ) = 6 / 10 , P( B | A2 ) = 8 / 14 ,所以1 6 1 8 41 P( B) = P( A1 ) P( B | A1 ) + P( A2 ) P( B | A2 ) = × + × = 2 10 2 14 70 14 7 = (2) P( B) = 24 12 7.某工厂有甲,乙,丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%, 40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率. 解0.25 ×0.05 ×+0.35 ×0.04 + 0.4 ×0.02 = 0.0125 + 0.0140 + 0.008 = 0.0345 = 3.45% 8.发报台分别以概率0.6,0.4 发出" " 和" " ,由于通信受到干扰,当发出" " 时,分别以概率0.8 和0.2 收到" " 和" " ,同样,当发出信号" " 时,分别以0.9 和0.1 的概率收到" " 和" " . 求(1) 收到信号" " 的概率;(2) 当收到" " 时,发出" " 的概率. 解记 B = {收到信号" " }, A = {发出信号" " } (1) P( B) = P( A) P( B | A) + P( A ) P ( B | A ) = 0.6 × 0.8 + 0.4 ×0.1 = 0.48 + 0.04 = 0.52 P( A) P( B | A) 0.6 × 0.8 12 = = . (2) P( A | B) = P ( B) 0.52 13 9.设某工厂有A, B, C 三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产量的25%,35%, 40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件,得到的是次ww w. kh 课后P( B) = ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) = 0.3 ×0.25 + 0.2 ×0.3 + 0.1 ×0.1 = 0.145 da w. i =1 答案 For evaluation only. 后再由P( A B ) = 1 / 9 ,有 1 / 9 = P( A ) P ( B ) = (1 P( A))(1 P( B)) = (1 P( A)) 2 所以 1 P( A) = 1 / 3 .最后得到P( B) = P( A) = 2 / 3. 12.甲,乙,丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1/3,1/2,2/3,求目标被命中的概率. da w. 答案网11.已知A, B 独立,且P( A B ) = 1 / 9, P( AB ) = P( A B) ,求P( A), P( B ) . 解因P( AB ) = P( A B) ,由独立性有P( A) P( B ) = P( A ) P( B ) 从而P( A) P( A) P( B) = P( B) P( A) P( B) 导致P( A) = P( B) co B = U Ai ,因i =1 3 P ( A U B ) = P ( AB ) = 1 P ( A) P ( B ) = 1 pq 而ww 3 4 则 A = A1 A2 U A3 A4 U A5 A6 , 所以 5 6 P( A) = P( A1 A2 ) + P( A3 A4 ) + P( A5 A6 ) 图 3.1 P( A1 A2 A3 A4 ) P( A3 A4 A5 A6 ) P( A1 A2 A5 A6 ) + P( A1 A2 A3 A4 A5 A6 ) = 3(1 p) 2 3(1 p ) 4 + (1 p) 6 14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作日里发生 3 次故障的概率. 5 解p = (0.2) 3 (0.8) 2 = 0.0512 . 3 15.灯泡耐用时间在1000 小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率. 3 3 解p =(0.2) 3 + × 0.8 × (0.2) 2 = 0.008 + 0.096 = 0.104 . 3 2 16.设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知 A 至少出现一次的概率等于19/27, 求事件 A 在每次试验中出现的概率P( A) . w. 3 2 1 1 1 8 P( B) = 1 P I Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 1 × × = 1 = 3 2 3 9 9. i =1 13.设六个相同的元件,如下图所示那样安置在线路中,设每个元件不通达的概率为p ,求这个装置通达的概率.假定各个元件通达与否是相互独立的. 1 2 解记 A = {通达}, Ai = {元件i 通达}, i = 1,2,3,4,5,6 课解记B = {命中目标}, A1 = {甲命中}, A2 = {乙命中}, A3 = {丙命中},则m 品,求它依次是车间A, B,C 生产的概率. 解为方便计,记事件A, B, C 为A, B, C 车间生产的产品,事件D = {次品},因此P( D) = P( A) P( D | A) + P( B) P( D | B) + P(C ) P( D | C ) = 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0125 + 0.014 + 0.008 = 0.0345 P( A) P( D | A) 0.25 × 0.05 P ( A | D) = = = 0.362 P ( D) 0.0345 P( B) P( D | B) 0.35 × 0.04 P ( B | D) = = = 0.406 P ( D) 0.0345 P(C ) P( D | C ) 0.4 × 0.02 P (C | D ) = = = 0.232 P( D ) 0.0345 10. A 与 B 独立, P( A) = p, P( B) = q , 设且求下列事件的概率:P( A U B) ,P( A U B ) ,P( A U B ) . 解P( A U B) = P( A) + P( B) P( A) P( B) = p + q pq P( A U B ) = P( A) + P( B ) P( A) P( B ) = p + 1 q p(1 q) = 1 q + pq 解依假设记Ai = { A 在第i 次试验中出现}, i = 1,2,3. 3 19 = P U Ai = 1 P( A1 A2 A3 ) = 1 (1 p) 3 27 i =1 8 , 此即p = 1 / 3 . 所以, (1 p ) 3 = 27 17.加工一零件共需经过 3 道工序,设第一,二,三道工序的次品率分别为2%,3%,5%. 假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率. 解注意到,加工零件为次品,当且仅当1-3 道工序中至少有一道出现次品.记Ai = {第i 道工序为次品}, i = 1,2,3. 则次品率 3 p = P U Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 1 0.98 × 0.97 × 0.95 = 1 0.90307 ≈ 0.097 i =1 18.三个人独立破译一密码,他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,0.4. 求此密码被译出的概率. 解记 A = {译出密码}, Ai = {第i 人译出}, i = 1,2,3. 则 3 P( A) = P U Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) i =1 = 1 0.75 × 0.65 × 0.6 = 1 0.2925 = 0.7075 19.将一枚均匀硬币连续独立抛掷10 次,恰有 5 次出现正面的概率是多少?有 4 次至 6 次出现正面的概率是多少? 10 10 1 63 解(1) = ; 5 2 256 10 10 1 . ∑ k 2 k =4 20.某宾馆大楼有 4 部电梯,通过调查,知道在某时刻T ,各电梯正在运行的概率均为0.75, 6 p = P( A)求: 81 3 (3) (0.75) = = 256 4 4 (1) 在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率; (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率; (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率. 255 解(1) 1 (1 0.75) 4 = 1 (0.25) 4 = 256 2 2 4 27 3 1 2 2 (2) (0.75) (0.25) = 6 × × = 2 128 4 4 1. 下列给出的数列,哪些是随机变量的分布律,并说明理由. i (1) pi = , i = 0,1,2,3,4,5 ; 15 5 i2 , i = 0,1,2,3 ; (2) pi = 6 1 (3) pi = , i = 2,3,4,5 ; 4 i +1 , i = 1,2,3,4,5 . (4) pi = 25 ( ) kh 课后(2) da w.习题四解其一条件为pi ≥ 0, i = 1, 2, L ,其二条件为∑ pi = 1 . i 要说明题中给出的数列,是否是随机变量的分布律,只要验证pi 是否满足下列二个条件: 依据上面的说明可得(1) 中的数列为随机变量的分布律; (2)中的数列不是随机变量的分布律, 59 4 = < 0; 因为p3 = (3) 中的数列为随机变量的分布律; (4) 中的数列不是随机变量的分布律, 6 6 5 20 这是因为∑ pi = ≠ 1. 25 i =1 c 使并求:P( X ≤ 2 ) ; 2. 试确定常数 c , P( X = i ) = i , (i = 0,1,2,3,4) 成为某个随机变量X 的分布律, 2 5 1 P < X < . 2 2 4 c c 16 ; 解要使i 成为某个随机变量的分布律,必须有∑ i = 1 ,由此解得 c = 31 2 i =0 2 (2) P( X ≤ 2 ) = P( X = 0 ) + P( X = 1) + P( X = 2) 16 1 1 28 = 1 + + = 31 2 4 31 5 16 1 1 12 1 (3) P < X < = P ( X = 1) + P ( X = 2) = + = . 2 31 2 4 31 2 3. 一口袋中有 6 个球,在这 6 个球上分别标有-3,-3,1,1,1,2 这样的数字.从这袋中任取一球,设各个球被取到的可能性相同,求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数. 1 1 1 解X 可能取的值为-3,1,2,且P( X = 3) = , P( X = 1) = , P( X = 2) = ,即X 的分布律为 3 2 6 X -3 1 2 1 1 1 概率 3 2 6 X 的分布函数0 x < 3 1 F (x ) = P( X ≤ x ) = 3 ≤ x <1 3 5 1≤ x < 2 6 1 x≥2 4. 一袋中有 5 个乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取 3 个,以X 表示取出的 3 个球中最大号码,写出X 的分布律和分布函数. 解依题意X 可能取到的值为3,4,5,事件{X = 3} 表示随机取出的 3 个球的最大号码为3, w. 则另两个球的只能为 1 号,2 号,即P( X = 3) = 3 1×2 3 号码为4,因此另外 2 个球可在1,2,3 号球中任选,此时P( X = 4) = = ;同理可得10 5 3 4 1×2 6 = . P( X = 5) = 10 5 3 X 的分布律为kh da w. 课后答案网 1 1 = ;事件{X = 4}表示随机取出的 3 个球的最大 5 10 3 3 6 概率X 3 4 5 10 10 10 X 的分布函数为0 F (x ) = 1 10 4 10 x<3 3≤ x <4 4≤ x<5 1 x≥5 5. 在相同条件下独立地进行 5 次射击, 每次射击时击中目标的概率为0.6, 求击中目标的次数X 的分布律. 解依题意X 服从参数n = 5, p = 0.6 的二项分布,因此,其分布律具体计算后可得X 概率0 32 3125 48 625 144 625 216 625 P( Ai ) = 课10 , i = 1, 2, L 而13 P( X = k ) = P A1 L Ak 1 Ak = P A1 L P Ak 1 ( ) ( ) 即X 服从参数p = P( X = 1) = 10 的几何分布. 13 (2)由于每次取出的产品不再放回,因此,X 可能取到的值为1,2,3,4, X 的分布律为w. X 10 3 × 10 5 , P( X = 2) = = , 13 13 × 12 26 3 × 2 ×10 5 3 × 2 × 1 × 10 1 = , P(X = 4) = = . P ( X = 3) = 13 × 12 × 11 143 13 × 12 × 11 ×10 286 kh X 1 10 13 ww 概率(3)X 可能取到的值为1,2,3,4, 10 3 × 11 33 , P( X = 2) = = , 13 13 × 13 169 3 × 2 × 12 72 3 × 2 ×1 6 = , P( X = 4) = = . P ( X = 3) = 13 × 13 × 13 2197 13 × 13 × 13 2197 P( X = 1) = 所求X 的分布律为 1 10 13 概率由于三种抽样方式不同,导致X 的分布律也不一样,请仔细体会它们的不同处. 7. 设随机变量X ~ B(6, p ) ,已知P( X = 1) = P( X = 5) ,求p 与P( X = 2) 的值. da w. ( ) 3 P( Ak ) = 13 k 1 后 6. 从一批含有10 件正品及 3 件次品的产品中一件一件的抽取.设每次抽取时,各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律. (1) 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品; (2) 每次取出的产品都不放回这批产品中; (3) 每次取出一件产品后总是放回一件正品. 解(1)设事件Ai , i = 1,2, L 表示第i 次抽到的产品为正品,依题意, A1 ,L , An , L 相互独立,且答案网10 , k = 1, 2, L 13 2 5 26 3 5 143 2 33 169 3 72 2197 co 162 625 243 3125 1 2 3 4 4 1 286 4 6 2197 m 5 5 P( X = k ) = 0.6 k 0.4 5 k , k = 0,1, L ,5 , k For evaluation only. 解由于X ~ B(6, p ) ,因此P( X = 6) = p k (1 p )6 k , k = 0,1, L ,6 . 5 P( X = 1) = 6 p(1 p ) , P( X = 5) = 6 p 5 (1 p ), 1 5 即解得p = ; 6 p(1 p ) = 6 p 5 (1 p ), 2 2 6 2 6 6 1 1 6×5 1 15 × = 此时, P( X = 2) = = . 2 2 64 2 2! 2 6 k 由此可算得8. 掷一枚均匀的硬币 4 次,设随机变量X 表示出现国徽的次数,求X 的分布函数. 解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为,因此X 服从n = 4, p = 的二项分布,即k 4 k 1 2 1 2 4 1 1 P( X = k ) = k 2 2 , k = 0,1,2,3,4 x<0 0 ≤ x <1 1≤ x < 2 由此可得X 的分布函数0, 1 , 16 5 , 16 11 , 16 15 , 16 F (x ) = k =0 k! 4 k 4 e ≥ 0.99 k = 0 k! 查泊松分布表可求得n = 9 . P( X ≤ n ) = ∑ n ww 10. 有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000 辆汽车通过,求事故次数不少于 2 的概率. 解设X 为1000 辆汽车中出事故的次数,依题意,X 服从n = 1000, p = 0.0001 的二项分布,即X ~ B(1000,0.0001) ,由于n 较大, p 较小,因此也可以近似地认为X 服从λ = np = 1000 × 0.0001 = 0.1 的泊松分布,即X ~ P (0.1) ,所求概率为11. 某试验的成功概率为0.75,失败概率为0.25,若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数,写出X 的分布律. 解设事件Ai 表示第i 次试验成功,则P( Ai ) = 0.75 ,且A1 ,L , An , L 相互独立.随机变量X 取k 意味着前k 1 次试验未成功,但第k 次试验成功,因此有P( X = k ) = P A1 L Ak 1 Ak = P A1 L P Ak 1 P( Ak ) = 0.25 k 10.75 w. ≈1 P( X ≥ 2) = 1 P( X = 0) P( X = 1) 0.10 0.1 0.11 0.1 e e 0! 1! = 1 0.904837 0.090484 = 0.004679. kh ( ) ( ) 2 0.25 × 0.75 即P( X ≤ n 1) = ∑ n 1 4 k 课P( X ≤ n 1) < 0.99, P( X ≤ n ) ≥ 0.99, e 4 < 0.99 后1, x≥4 9. 某商店出售某种物品,根据以往的经验,每月销售量X 服从参数λ = 4 的泊松分布,问在月初进货时,要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要? 解设至少要进n 件物品,由题意n 应满足所求的分布律为X 概率da w. 3≤ x <4 答案网2≤ x<3 ( ) 1 0.75 … … co k 0.25 k 1 × 0.75 m … … For evaluation only. 12. 设随机变量X 的密度函数为 f (x ) = 2x , 0<x< A 0, 其他, 试求: (1)常数 A ; (2)X 的分布函数. 解(1) f (x ) 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件,其一为 f (x ) ≥ 0 ;其二为+∞ A ∫∞ f ( x )dx = 1 ,因此有∫0 2 xdx = 1 ,解得 A = ±1 ,其中 A = 1 舍去,即取 A = 1 . (2)分布函数 F (x ) = P ( X ≤ x ) = ∫∞ f (x )dx x ∫∞ 0dx = x x<0 x ∫∞ 0dx + ∫0 2 xdx 0 1 x ∫∞ 0dx + ∫0 2 xdx + ∫1 0dx 0 0 ≤ x <1 x ≥1 0 ≤ x <1 x = x 1 2 解得 A = ;11 1 2 = ∫∞ 2 e 0 x 1 1 课(3) F (x ) = ∫∞ x 后(2) P(0 < X < 1) = ∫0 e x dx = ∫0 e x dx = 11 2 f (x )dx 2 x dx ∫∞ 2 e = kh x x1 x dx + ∫0 e dx 2 w. = = 1 x e 2 1 1 + 1 e x 2 2 1 x e 2 1 1 e x 2 1 x e dx ∞ 2 0 1 x1 x x ∫∞ 2 e dx + ∫0 2 e dx ∫ x ww ( ) 14. 证明:函数 f (x ) = x 2c e c 0 x2 为某个随机变量X 的密度函数. 证由于 f (x ) ≥ 0 ,且∫∞ f (x )dx = ∫∞ e +∞ +∞ x c da w. 1 1 e 1 ; 2 +∞ +∞ +∞ x x x ∫∞ Ae dx = 2 ∫0 Ae dx = 2∫0 Ae dx =1 答案网X 的分布函数. +∞ x 解(1)系数 A 必须满足∫∞ Ae dx = 1 ,由于e x 为偶函数,所以( ) x<0 x≥0 x<0 x≥0 x<0 x≥0 x<0 x≥0 x≥0 ( c 为正的常数) x<0 x2 2 c dx x2 2c d x2 = e 2c 2c x2 +∞ = ∫0 e +∞ co =1, 0 x ≥1 13. 设随机变量X 的密度函数为 f (x ) = Ae ,∞ < x < +∞ ,求: (1)系数 A ; (2)P(0 < X < 1) ; (3) m 0 x<0 因此 f (x ) 满足密度函数的二个条件,由此可得 f (x ) 为某个随机变量的密度函数. 15. 求出与密度函数x≤0 0< x≤2 x>2 x f (x ) = 0.5e x 0.25 0 对应的分布函数 F (x ) 的表达式. 解x 当0 < x ≤ 2 时, F (x ) = ∫ ∞ f ( x )dx = ∫ ∞ 0.5e x dx + ∫0 0.25dx = 0.5 + 0.25 x 0 x 当x ≤ 0 时, F (x ) = ∫∞ f ( x )dx = ∫∞ 0.5e x dx = 0.5e x x 0 2 x 当x > 2 时, F (x ) = ∫∞ 0.5e x dx + ∫0 0.25dx + ∫2 0dx = 0.5 + 0.5 = 1 综合有0.5e x , x ≤ 0; F (x ) = 0.5 + 0.25 x, 0 ≤ x ≤ 2; 1, x ≥ 2. 16. 设随机变量X 在(1,6 ) 上服从均匀分布,求方程t 2 + Xt + 1 = 0 有实根的概率. 解X 的密度函数为 f (x ) = 2 17. 设某药品的有效期X 以天计,其概率密度为(x + 100 )3 , 解(1) F (x ) = ∫∞ f (x )dx = x kh ∫ (x + 100) dx, 0 3 x 0, 其他. 求:(1) X 的分布函数;(2) 至少有200 天有效期的概率. 0, x < 0; 课后 f (x ) = 20000 答案 4 61 P X 2 ≥ 4 = P( X≤ 2或X ≥ 2) = P( X ≤ 2) + P( X ≥ 2) = 0 + ∫2 dx = . 5 5 x>0; ( ) 0, w. = 0, 1 (1 + x )e , x 1 (2) P( X > 200) = 1 P( X ≤ 200) = 1 F (200) = 1 1 ww 18. 设随机变量X 的分布函数为x≤0 x>0 F (x ) = 求X 的密度函数,并计算P( X ≤ 1) 和P( X > 2) . 解由分布函数 F (x ) 与密度函数 f (x ) 的关系,可得在 f (x ) 的一切连续点处有 f (x ) = F ′(x ) ,因此 f (x ) = xe x , 0, 1 所求概率P( X ≤ 1) = F (1) = 1 (1 + 1)e = 1 2e 1 ; 19. 设随机变量X 的分布函数为 F (x ) = A + B arctan x,∞ < x < +∞ ,求(1) 常数A, B ;(2) P ( X < 1) ; (3) 随机变量X 的密度函数. P ( X > 2 ) = 1 P ( X ≤ 2 ) = 1 F (2 ) = 1 1 (1 + 2 )e 2 = 3e 2 . da w. 20000 x ≥ 0. x < 0; x ≥ 0. 10000 1 = . 9 10000 , (x + 100)2 x>0 其他网其他. 方程t + Xt + 1 = 0 有实根的充分必要条件为X 2 4 ≥ 0 ,即X 2 ≥ 4 ,因此所求得概率为1 , 5 0, 1< x < 6; (200 + 100)2 ( ) co m 解: (1) 要使 F (x ) 成为随机变量X 的分布函数, 必须满足lim F (x ) = 0, lim F ( x ) = 1 , 即x → ∞ x → +∞x → ∞ x → +∞ lim ( A + B arctan x ) = 0 lim ( A + B arctan x ) = 1 A B=0 π π 2 计算后得A+ 解得 B =1 2 1 A= 2 1 B= π = 1 π 1 π π = π 4 π 4 2 1 ,∞ < x < +∞ . π 1 + x2 答案( 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(单位:min)服从λ = 的指数分布,其密度函数为 f (x ) = 1 5 e , 5 0 x ,某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开. kh +∞ (1)设某顾客某天去银行,求他未等到服务就离开的概率;(2)设某顾客一个月要去银行五次,求他五次中至多有一次未等到服务的概率. 解(1)设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间,依题意X 服从λ = 的指数分布, 且顾客等待时间超过10min 就离开,因此,顾客未等到服务就离开的概率为P( X ≥ 10) = ∫10 1 5 e dx = e 2 ; 5 x 课其他后x>0 da w. ) 2 5 f (x ) = F ′(x ) = 网(3)X 的密度函数co 1 5 1 5 = 1 1 1 1 + arctan1 + arctan( 1) 2 π 2 π (2)设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数,则Y服从n = 5, p = e 2 的二项分布,所求概率为ww w. 5 = e 2 0 0 P(Y ≤ 1) = P (Y = 0) + P(Y = 1) ( ) (1 e ) )( ) 21. 设X 服从Ν (0,1) , 借助于标准正态分布的分布函数表计算: 1 ) P( X < 2.2) ; 2 ) ( ( P ( X > 176 ) ; (3) P( X < 0.78) ; (4) P ( X <1.55) ; (5) P ( X >2.5) . 解查正态分布表可得(1) P( X < 2.2) = Φ(2.2) = 0.9861 ;(2) P( X > 1.76) = 1 P( X ≤ 1.76 ) = 1 Φ (1.76 ) = 1 0.9608 = 0.0392 ; (3) P( X < 0.78) = Φ ( 0.78) = 1 Φ(0.78) = 1 0.7823 = 0.2177 ; (4) P ( X < 1.55) = P( 1.55 < X < 1.55) = Φ (1.55) Φ( 1.55) ( 5 ) = Φ (1.55) (1 Φ (1.55)) = 2Φ (1.55) 1 = 2 × 0.9394 1 = 0.8788 = 1 + 4e 2 1 e 2 ( 5 + e 2 1 e 2 1 ( ) 4 4 m 1 1 1 1 时, F (x ) = + arctan x 也满足分布函数其余的几条性质. 2 π 2 π (2) P ( X < 1) = P( 1 < X < 1) = F (1) F ( 1) 另外,可验证当 A = , B = P( X > 2.5) = 1 P( X ≤ 2.5) = 1 [2Φ(2.5) 1] For evaluation only. 22. 设X 服从Ν ( 1,16) , 借助于标准正态分布的分布函数表计算:1) ( X < 2.44) ;2) ( X > 1.5) ; ( P ( P (3) P( X < 2.8) ; (4) P ( X < 4) ; (5) P( 5 < X < 2 ) ; (6) P ( X 1 > 1) . 解当X ~ Ν ( , σ 2 ) 时, P(a ≤ X ≤ b ) = Φ b a Φ ,借助于该性质,再查标准正态分布函σ σ= 2 2Φ (2.5) = 2(1 0.9938) = 0.0124 . 数表可求得 2.44 + 1 = Φ (0.86) = 0.8051 ; 4 1.5 + 1 (2) P( X > 1.5) = 1 Φ = 1 Φ( 0.125 ) 4 = 1 (1 Φ (0.125)) = Φ(0.125) = 0.5498 ; (1) P( X < 2.44) = Φ (5) P( 5 < X < 2) = Φ (6) P ( X 1 > 1) = 1 P( X 1 ≤ 1) = 1 P(0 ≤ X ≤ 2 ) = 1 Φ 门,求: (1)某天迟到的概率; (2)一周(以 5 天计)最多迟到一次的概率. 解(1)由题意知某人路上所花时间超过40 分钟,他就迟到了,因此所求概率为40 30P( X > 40) = 1 Φ = 1 Φ(1) = 1 0.8413 = 0.1587 ; 10 (2)记Y为 5 天中某人迟到的次数,则Y服从n = 5, p = 0.1587 的二项分布,5 天中最多迟到一ww 次的概率为w. = 0.9332 1 + 0.9938 = 0.927 24. 某人上班所需的时间X ~ Ν (30,100 ) (单位:min)已知上班时间为8:30,他每天7:50 出 5 5 0 5 4 P(Y ≤ 1) = (0.1587 ) × (0.8413) + 0.1587 × (0.8413) = 0.8192 . 1 1 kh 2.2 2.05 1.8 2.05 P(2 0.2 ≤ X ≤ 2 + 0.2 ) = Φ Φ 0.1 0.1 = Φ(1.5) Φ( 2.5) = Φ (1.5) 1 + Φ(2.5) 课23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布Ν (2.05,0.01) ,合格品的规格规定为 2 ±0.2 ,求该厂滚珠的合格率. 解所求得概率为 2 + 1 0 + 1 Φ 4 4 = 1 Φ(0.75) + Φ(0.25) = 1 0.7724 + 0.5987 = 0.8253 . 1. 二维随机变量( X , Y ) 只能取下列数组中的值: (0,0), ( 1,1), 1, , (2,0) ,且取这些组值的概率依次为, , 1 1 1 5 , ,求这二维随机变量的分布律.6 3 12 12 解由题意可得( X , Y ) 的联合分布律为da w.习题五解答 1 3 后答案网 2 + 1 5 + 1 Φ = Φ(0.75) Φ( 1) 4 4 = Φ (0.75) Φ (1) + 1 = 0.7734 0.8413 + 1 = 0.9321 ; co m (3) P( X < 2.8) = Φ 2.8 + 1 = Φ( 0.45) = 1 Φ(0.45) = 1 0.6736 = 0.3264 ; 4 4 + 1 4 + 1 (4) P ( X < 4) = Φ Φ = Φ(1.25) Φ ( 0.75 ) 4 4 = Φ (1.25) 1 + Φ (0.75) = 0.8944 1 + 0.7734 = 0.6678 ;. X\Y 1 3 1 -1 0 0 1 12 1 3 1 0 0 6 5 2 0 0 12 2. 一口袋中有四个球,它们依次标有数字1, 2,2,3 .从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球.设每次取球时,袋中每个球被取到的可能性相同.以X,Y分别记第一,二次取到的球上标有的数字,求( X , Y ) 的分布律及P( X = Y ) . 解X 可能的取值为1, 2,3 ,Y可能的取值为1, 2,3 ,相应的,其概率为1× 2 1 1× 1 1 = , P( X = 1, Y = 3) = = , 4×3 6 4 × 3 12 2 ×1 1 2 ×1 12 ×1 1 P( X = 2, Y = 1) = = , P ( X = 2, Y = 2 ) = = , P ( X = 2 , Y = 3) = = , 4×3 6 4×3 6 4×3 6 1 1× 2 1 P( X = 3, Y = 1) = , P( X = 3, Y = 2) = = , P ( X = 3, Y = 3) = 0. 12 4×3 6 P( X = 1, Y = 1) = 0, P( X = 1, Y = 2) = 或写成X\Y 1 2 3 1 2 1 6 1 6 1 6 3 网P( X = 0, Y = 0 ) = ww 8×8 16 8× 24 = , P( X = 0, Y = 1) = = , 10 × 10 25 10 ×10 25 2×8 4 2×2 1 P( X = 1, Y = 0 ) = = , P ( X = 1, Y = 1) = = , 10 × 10 25 10 × 10 25 或写成w. 3. 箱子中装有10 件产品,其中 2 件为次品,每次从箱子中任取一件产品,共取 2 次,定义随机变量X,Y如下: X= 0, 若第一次取出正品; Y= 0, 若第二次取出正品; 1, 若第一次取出次品; 1, 若第二次取出次品. 分别就下面两种情况求出二维随机变量( X , Y) 的联合分布律: (1)放回抽样; (2)不放回抽样. 解(1)在放回抽样时,X 可能取的值为0,1 ,Y可能取的值也为0,1 ,且kh X\Y0 1 课P( X = Y ) = P ( X = 1, Y = 1) + P ( X = 2, Y = 2 ) + P( X = 3, Y = 3) = (2)在无放回情形下,X,Y可能取的值也为0 或1,但取相应值的概率与有放回情形下不一样,具体为P( X = 0, Y = 0 ) = 8 × 7 28 8× 2 8 = , P( X = 0, Y = 1) = = , 10 × 9 45 10 × 9 45 2×8 8 2 ×1 1 P( X = 1, Y = 0) = = , P( X = 1, Y = 1) = = , 10 × 9 45 10 × 9 45 或写成. 16 1 12 0 1 12 1 6 0 1 . 6 0 16 25 4 25 1 4 25 1 25 X\Y 0 1 0 1 4. 对于第 1 题中的二维随机变量( X , Y ) 的分布,写出关于X 及关于Y的边缘分布律. 解把第 1 题中的联合分布律按行相加得X 的边缘分布律为X -1 0 2 概率按列相加得Y的边缘分布律为Y概率07 12 1 3 1 12 5 12 1 6 5 12 28 45 8 45 8 45 1 45 1 Y 的边缘分布律为在无放回情况下X 的边缘分布律为Y的边缘分布律为kh Y概率 1 2 其他x 2 x +1 2 ww 易算得 D 的面积为S = × 1 ×= f ( x, y ) = 4, 0, ( X , Y ) 的分布函数y x F (x, y ) = ∫∞ ∫ ∞ f ( x, y )dxdy w. 2 6. 求在 D 上服从均匀分布的随机变量( X , Y) 的密度函数及分布函数,其中 D 为x 轴,y 轴及直线y = 2 x + 1 围成的三角形区域. 解区域 D 见图 5.2. 1 1 ,所以( X , Y ) 的密度函数 2 4 ( x, y ) ∈ D y 1 1 2 1 当≤ x < 0,0 ≤ y < 2 x + 1 时, 2 y x F (x, y ) = ∫0 dy ∫ y 1 4dx = 4 xy + 2 y y 2 ; 当x < 或y < 0 时, F (x, y ) = 0 ; da w. Y 0 4 5 概率答案网 4 5 1 5 1 概率X 后 1 5 课0 4 5 1 概率 1 5 0 4 5 1 1 5 -1 1 0 2 图 5.2 当≤ x < 0, y ≥ 2 x + 1 时, F (x, y ) = ∫ 1 dx ∫0 2 1 4dy = 4 x 2 + 4 x + 1 ; co 1 x 5. 对于第 3 题中的二维随机变量( X , Y) 的分布律,分别在有放回和无放回两种情况下,写出关于X 及关于Y的边缘分布律. 解在有放回情况下X 的边缘分布律为X 0 1 m 1 3. 当x ≥ 0,0 ≤ y < 1 时, F (x, y ) = ∫ 0 0 dy y 1 4dx 0 2 2 x +1 y ∫ = 2y y 2 ; 当x ≥ 0, y ≥ 1 时, F (x, y ) = ∫ 1 dx ∫0 2 4dy = 1 综合有0, 4 xy y 2 + 2 y, F ( x, y ) = 4 x 2 + 4 x + 1, 2y y2, 1, = ∫0 2 x +1 4dy , 0, 1 < x<0 2 其他= 4(2 x + 1), 0, = ∫ y 1 4dx, 2 0 0 < y <1 其他0, 16 4 4 16 , 而P( X = 0)P (Y = 0) = × = ,即25 5 5 25 P( X = 0, Y = 0) = P( X = 0)P(Y = 0 ) ;容易验证P( X = 0, Y = 1) = P( X = 0)P(Y = 1), 解 1 1 1 4 1 1 1 1 1 f , = 4 ,而 f X = 2, f Y = ,易见 f , ≠ f X f Y ,所以X 与Y不相 4 3 3 3 4 4 3 4 3 ww 互独立. 10. 设X,Y相互独立且分别具有下列的分布律: X -2 -1 0 0.5 概率写出表示( X , Y ) 的分布律的表格. 解由于X 与Y 相互独立,因此 1 4 1 3 1 12 1 3 w. 9. 在第 6 题中,X 与Y是否独立,为什么? kh ) ( ) 1 4 P( X = 1, Y = 0 ) = P( X = 1)P(Y = 0), P( X = 1, Y = 1) = P( X = 1)P(Y = 1) ,由独立性定义知X 与Y相互独立. 28 4 4 16 , 而P( X = 0)P (Y = 0) = × = ,易见在无放回情况下, 由于P( X = 0, Y = 0 ) = 45 5 5 25 P( X = 0, Y = 0) ≠ P ( X = 0 )P(Y = 0) ,所以X 与Y 不相互独立. 课解在有放回情况下, 由于P( X = 0, Y = 0 ) = 后8. 在第 3 题的两种情况下,X 与Y是否独立,为什么? da w. = 2(1 y ), 0, 答案 f Y ( y ) = ∫ ∞ f ( x, y )dx +∞ 网Y的边缘密度函数为0 < y <1 其他Y概率P X = x i , Y = y j = P ( X = x i )P Y = y j , i = 1,2,3,4, j = 1,2,3, ( 例如P( X = 2, Y = 0.5) = P ( X = 2 )P (Y = 0.5) = ×= 1 2 1 8 其余的联合概率可同样算得,具体结果为X\Y -0.5 -2 1 8 1 1 16 3 1 16 co 1 < x<0 2 其他 f X (x ) = ∫∞ f (x, y )dy +∞ -0.5 1 2 m 1 1 4 7. 对于第 6 题中的二维随机变量( X , Y ) 的分布,写出关于X 及关于Y 的边缘密度函数. 解X 的边缘密度函数为 1 x < 或y < 0 2 1 ≤ x < 0且0 ≤ y < 2 x + 1 2 1 ≤ x < 0且y ≥ 2 x + 1 2 x ≥ 0且0 ≤ y < 1 x ≥ 0且y ≥ 1 3 1 4 For evaluation only. -1 6 12 12 1 1 1 1 1 48 48 1 1 0.5 12 12 11. 设X 与Y是相互独立的随机变量, 服从[0,0.2] 上的均匀分布, 服从参数为 5 的指数分布, X Y 0 1 24 1 6 求( X , Y ) 的联合密度函数及P( X ≥ Y ) . 解. 由均匀分布的定义知 f X (x ) = 5, 0, 0 < x < 0.2 其他y >0 其他y 由指数分布的定义知fY (y) = 5e 5 y , 0, 因为X 与Y独立,易得( X , Y ) 的联合密度函数0, 概率P( X ≥ Y ) = ∫∫ f (x, y )dxdy , G 其他0.2 x 0.2 (3)关于X 的边缘密度函数 f X (x ) = ∫ ∞ f (x, y )dy = +∞ kh 0, (2) P(0 ≤ X ≤ 1,0 ≤ Y ≤ 2) = ∫0 dy ∫0 12e (3x + 4 y ) dx = (1 e 3 )(1 e 8 ) ; 2 1 +∞ (3 x + 4 y ) dy, ∫0 12e 课解(1) k 必须满足∫∞ ∫ ∞ f ( x, y )dxdy = 1 ,即∫0 dy ∫0 ke (3 x + 4 y ) dx = 1 ,经计算得k = 12 ; +∞ +∞ +∞ +∞ 后其他0, 求: (1)系数k ; (2) P(0 ≤ X ≤ 1,0 ≤ Y ≤ 2 ) ; (3)证明X 与Y相互独立. f ( x, y ) = ke (3 x + 4 y ) , w. = 4e 4 y , k (1 x ) y, 0, +∞ 3e 0, 同理可求得Y的边缘密度函数为fY (y) = x>0 ww 13. 已知二维随机变量( X , Y ) 的联合密度函数为 f ( x, y ) = 其他其他0, 易见 f (x, y ) = f X (x ) f Y ( y ),∞ < x < +∞,∞ < y < +∞ ,因此X 与Y相互独立. 0 < x < 1,0 < y < x (1)求常数k ; (2)分别求关于X 及关于Y的边缘密度函数; (3)X 与Y是否独立? +∞ +∞ 1 x 解(1) k 满足∫∞ ∫ ∞ f ( x, y )dxdy = 1 ,即∫0 dx ∫0 k (1 x ) ydy = 1 解得k = 24 ; (2)X 的边缘密度函数 f X (x ) = ∫ ∞ f (x, y )dy = ∫0 24(1 x ) ydy , x 0, = 12 x 2 (1 x ), 0, da w. x > 0, y > 0 x>0 其他x>0 其他3x 答案P( X ≥ Y ) =∫0 dx ∫0 25e 5 y dy = ∫0 5 1 e 5 x dx = e 1 . 12. 设二维随机变量( X , Y ) 的联合密度函数为( ) , 网其中区域G = {( x, y ) | x ≥ y}见图 5.3,经计算有图 5.3 0 < x <1 其他0 < x <1 其他co 0.2 x f ( x, y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = 25e 5 y , 0 < x < 0.2, y > 0 m For evaluation only. Y 的边缘密度函数为fY (y) = 1 y y < 1 0< ∫ 24(1 x ) ydx, 0, 其他 2 0 < y <1 12 y (1 y ) , 其他0, 1 1 3 1 9 27 1 1 1 1 1 ( 3 ) f , = 24 × × = , 而 f X (x ) = 12 × × = , f Y ( y ) = 12 × × = 4 2 2 4 16 16 2 4 3 2 4 1 1 1 1 f , ≠ f X f Y ,因此X 与Y不相互独立. 2 4 2 4 = , 易见14. 设随机变量X 与Y的联合分布律为X\Y 0 1 2 3 5 0 2 25 1 b a 1 25 且P(Y = 1 | X = 0) = , (1) 求常数a, b 的值; (2)当a, b 取(1)中的值时,X 与Y是否独立?为什解(1) a, b 必须满足∑ ∑ p ij = 1 ,即j =1 i =1 2 3 概率定义及已知的条件得P(Y = 1 | X = 0) = ww 因此,X 与Y不独立. 15. 对于第 2 题中的二维随机变量( X , Y ) 的分布,求当Y = 2 时X 的条件分布律. 解易知p2 = P(Y = 2) = ,因此Y = 2 时X 的条件分布律为 1 2 w. 4(2 x + 1), 0, 3 P ( X = 0, Y = 1) b = = 2 5 P( X = 0) +b 25 3 17 14 由此解得 b = ,结合 a + b = 可得到 a = , 25 25 25 14 a= 25 即 3 b= 25 14 3 5 17 (2)当 a = , b = 时,可求得P( X = 0) = , P(Y = 0 ) = ,易见25 25 25 25 2 P( X = 0, Y = 0) = ≠ P ( X = 0 )P(Y = 0 ) 25 kh X|Y=2 概率 1 p12 1 = p 2 3 16. 对于第 6 题中的二维随机变量( X , Y ) 的分布,求当X = x, 解X 的边缘密度函数为(由第7 题所求得) f X (x ) = 1 < x<0 2 其他da w. 2 p 22 1 = p2 3 课后答案 2 3 1 2 17 ,另外由条件+b+a+ + + = 1 ,可推出 a + b = 25 25 25 25 25 网么? co 3 p32 1 = p 2 3 3 25 2 25 1 < x < 0 时Y 的条件密度函数. 2 m For evaluation only. 由条件密度函数的定义知当X = x, f (x, y ) f Y |X ( y | x) = = f X (x ) 1 Y 的条件密度函数为< x<0 时 2 4 , 4(2 x + 1) 0, 0 < y < 2x + 1 其他= 1 , 2x + 1 0, 0 < y < 2x + 1 其他习题六解答 1. 设X 的分布律为X -2 1 8 -0.5 1 4 0 1 8 2 4 解由X 的分布律可列出下表概率X X +2 X +1 X2 1 8 1 4 1 8 后由此表可定出(1) X + 2 的分布律为课X +2 概率(2) X + 1 的分布律为kh X +1 (3) X 2 的分布律为w. ) 概率ww 1 8 1 1 7 2 其中P X = 4 = P ( X = 2 ) + P( X = 2) = + = . 8 6 24 概率( 2. 设随机变量X 服从参数λ = 1 的泊松分布,记随机变量Y= 由于X 服从参数λ = 1 的泊松分布,因此1k 1 e 1 , k = 0,1,2, L , e = k! k! e 1 e 1 + = 2e 1 ; 0! 1! da w. 0 1 8 3 2 1 4 答案-2 0 3 4 网-0.5 1.5 1.5 0.25 0 2 1 0 2 4 -1 4 2 4 1 8 1 6 -3 1 3 -1 1 6 1 4 1 4 1 1 8 3 2 1 4 X2 0 4 7 24 布律. 解P( X = k ) = 而P(Y = 0 ) = P( X ≤ 1) = P( X = 0) + P ( X = 1) = P(Y = 1) = P( X > 1) = 1 P ( X ≤ 1) = 1 2e 1 . co 1 6 1 3 1 1 概率 6 3 求出:以下随机变量的分布律. (1) X + 2 ; (2) X + 1 ;(3) X 2 . 4 6 -3 16 6 1 3 3 1 8 16 1 3 0, 若X ≤ 1; 1, 若X > 1, m 试求随机变量Y 的分 For evaluation only. 即Y的分布律为Y0 1 概率2e 1 1 2e 1 2x, 0, 0 < x < 1; 其他, 3. 设X 的密度函数为 f (x ) = 求以下随机变量的密度函数: (1)2 X ; (2) X + 1 ; (3) X 2 . 解求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数,然后再求密度函数.如果y = g (x ) 为单调可导函数,则也可利用性质求得. (1)解法一:设Y = 2 X ,则Y的分布函数y FY ( y ) = P (Y ≤ y ) = P(2 X ≤ y ) = P X ≤ 2 0 y <0 2 y y 0 ≤ <1 = ∫02 2 xdx 2 y ≥1 1 2 ∫0 2 xdx 0 y2 4 1 y<0 0≤ y<2 y≥2 = 解法二: y = 2 x , x = f Y ( y ) = f X (h( y )) h ′( y ) 1。

概率统计同济课后习题答案

概率统计同济课后习题答案在学习概率统计这门课程时，课后习题往往是巩固知识、检验理解程度的重要环节。

对于同济大学出版的概率统计教材，课后习题的答案更是备受关注。

下面，我将为大家详细解析一些常见的课后习题，希望能对大家的学习有所帮助。

首先，让我们来看一道关于随机事件概率的题目。

题目：在一个装有 5 个红球和 3 个白球的盒子中，随机取出 3 个球，求取出的球中恰好有 2 个红球的概率。

解题思路：我们可以先计算从 8 个球中取出 3 个球的总组合数，然后计算取出恰好 2 个红球的组合数。

总组合数为 C(8, 3) ＝ 56。

取出恰好 2 个红球的组合数为 C(5, 2) × C(3, 1) ＝ 30。

所以，取出的球中恰好有 2 个红球的概率为 30/56 ＝ 15/28。

接下来，看一道关于随机变量分布的题目。

题目：已知随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，且 P(X ＝ 1) ＝P(X ＝ 2)，求λ 的值。

解题思路：因为随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，所以 P(X ＝k) ＝（λ^k ／ k!） × e^（λ)。

由 P(X ＝ 1) ＝ P(X ＝ 2)可得：λ × e^（λ) ＝（λ^2 ／ 2) × e^（λ)，解方程可得λ ＝ 2。

再看一道关于数学期望和方差的题目。

题目：设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜ 1，求E(X) 和 D(X)。

解题思路：首先计算 E(X)，E(X) ＝∫（0 到 1) x × 2x dx ＝ 2/3。

然后计算 E(X^2) ＝∫（0 到 1) x^2 × 2x dx ＝ 1/2。

所以 D(X) ＝ E(X^2) E(X)＾2 ＝ 1/2 （2/3)＾2 ＝ 1/18。

下面是一道关于大数定律的题目。

题目：设 X1, X2,， Xn 是相互独立同分布的随机变量，且 E(Xi) ＝μ，D(Xi) ＝σ^2，证明：当 n 充分大时，样本均值X近似服从正态分布N(μ, σ^2 ／ n)。

概率统计同济课后习题答案

概率统计同济课后习题答案在学习概率统计这门课程时，课后习题的练习与解答对于巩固知识、加深理解起着至关重要的作用。

同济大学出版的概率统计教材以其严谨的体系和丰富的内容备受青睐，然而，课后习题的答案却常常让同学们感到困惑。

接下来，我将为大家详细解析部分概率统计同济课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

首先，我们来看一道关于随机变量概率分布的题目。

题目：设随机变量 X 的概率分布为 P(X ＝ k) ＝Cλ^k ／ k!，k ＝ 0, 1, 2, ，其中λ ＞ 0 为常数，求常数 C 的值。

解答：因为随机变量的概率分布之和必须为 1，所以有：∑k=0 到∞ P(X ＝ k) ＝ 1即：∑k=0 到∞ Cλ^k ／ k! ＝ 1我们知道e^λ ＝∑k=0 到∞ λ^k ／ k!所以C × e^λ ＝ 1，解得 C ＝ e^（λ)接下来，看一道关于期望和方差的题目。

题目：已知随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜ 1 ，求 E(X) 和 D(X)。

解答：首先计算期望 E(X)：E(X) ＝∫0 到 1 x × f(x) dx ＝∫0 到 1 2x^2 dx ＝ 2/3然后计算方差 D(X)：D(X) ＝ E(X^2) E(X)＾2E(X^2) ＝∫0 到 1 x^2 × f(x) dx ＝∫0 到 1 2x^3 dx ＝ 1/2所以 D(X) ＝ 1/2 （2/3)＾2 ＝ 1/18再看一道关于正态分布的题目。

题目：设随机变量 X 服从正态分布N(μ, σ^2)，已知 P(X ＜ 2) ＝ 08，求 P(0 ＜ X ＜ 4)。

解答：因为正态分布是关于均值μ 对称的，所以 P(X ＜μ) ＝ 05 。

又因为 P(X ＜ 2) ＝ 08 ，所以μ ＞ 2 。

P(X ＞ 2) ＝ 1 08 ＝ 02由于正态分布的对称性，P(X ＜μ 2) ＝ P(X ＞μ ＋ 2) ＝ 02所以 P(0 ＜ X ＜ 4) ＝P(μ 2 ＜ X ＜μ ＋ 2) ＝ 1 2 × 02 ＝ 06下面是一道关于条件概率的题目。

工程数学《概率统计简明教程》习题全解(高...

习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。

解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。