九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.3 一元二次方程根的判别式习题课件 (新版)湘教版
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综上可知，我们不难发现一元二次方程ax2+ bx +c =0 (a≠0) 的根的情况可由Δ = b2- 4ac来判断:
当Δ >0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当Δ =0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
当Δ <0时，原方程没有实数根.
要点归纳
判别式的情况 Δ>0 Δ=0 Δ< 0 Δ≥0
根．
即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
一元二次方程ax2+ bx +c =0 (a≠0)的根的情况可由Δ = b2- 4ac来判断: 当Δ >0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当Δ =0时，原方程有两个相等的实数根，其根为 当Δ <0时，原方程没有实数根.
2.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:
当 b2 - 4ac＞0 时，x1=
， x2=
当 b2 - 4ac = 0 时， x1 = x2 =
当 b2 - 4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)， 所以原方程没有实数根.
我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx +c = 0 (a≠0)的 根的判别式，记作“Δ”，即Δ = b2-4ac .
(C)只有一个实数根
(D)没有实数根
x2-x+1=0 因为Δ =b2-4ac = ( -1 )2-4×1×1
所以，=1原-4=方-3程<0没, 有实数根.
2. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:
解：(1)因为Δ = b2-4ac =32-4×1×( -1 ) =9+ 4 =13>0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
九年级数学上册湘教版习题课件：2.3 一元二次方程根的判别式
8
16．下面是小敏同学做的题目： 关于 x 的方程 2kx2＋(8k＋1)x＋8k＝0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范 围． 解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，∴(8k＋1)2－4×2k×8k ＞0，∴k＞－116，∴当 k＞－116时，原方程有两个不相等的实数根． 以上解法对吗？若有错误，请你写出正确的过程． 解：以上解答不正确．正确过程如下：原方程有两个不相等的实数根．∴a≠0 且 b2－4ac＞0，∴2k≠0 且(8k＋1)2－4×2k×8k＞0，∴k＞－116且 k≠0 时原 方程有两个不相等的实数根．
第2章 一元二次方程
2.3 一元二次方程根的判别式
1
会用一元二次方程根的判别式判断根的情况． 【例 1】已知 a、b、c 是△ABC 的三边，则方程(a＋b)x2＋2cx＋a＋b＝0 根的 情况是________． 【思路分析】 因为 a、b、c 是△ABC 的三边，所以 a、b、c 均为正数，此 方程一定是一元二次方程，由 Δ＝(2c)2－4(a＋b)2＝4(a＋b＋c)(c－a－b)，由 三边关系得 a＋b＋c＞0，c－a－b＜0，∴Δ＜0. 【规范解答】 没有实数根
解：(1)把 x＝－1 代入方程得 2a－2b＝0，即 a＝b，∴△ABC 是等腰三角形．
(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，即 b2＋c2＝
a2，∴△ABC 是直角三角形．
(3)∵△ABC 是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程变为：2ax2＋2ax＝0，∵a≠0，
B．m＝1
C．m＜1
D．m≤1
5
9．一元二次方程 2x2－3x＋1＝0 的根的情况是( B )
A．有两个相等的实数根
16．下面是小敏同学做的题目： 关于 x 的方程 2kx2＋(8k＋1)x＋8k＝0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范 围． 解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，∴(8k＋1)2－4×2k×8k ＞0，∴k＞－116，∴当 k＞－116时，原方程有两个不相等的实数根． 以上解法对吗？若有错误，请你写出正确的过程． 解：以上解答不正确．正确过程如下：原方程有两个不相等的实数根．∴a≠0 且 b2－4ac＞0，∴2k≠0 且(8k＋1)2－4×2k×8k＞0，∴k＞－116且 k≠0 时原 方程有两个不相等的实数根．
第2章 一元二次方程
2.3 一元二次方程根的判别式
1
会用一元二次方程根的判别式判断根的情况． 【例 1】已知 a、b、c 是△ABC 的三边，则方程(a＋b)x2＋2cx＋a＋b＝0 根的 情况是________． 【思路分析】 因为 a、b、c 是△ABC 的三边，所以 a、b、c 均为正数，此 方程一定是一元二次方程，由 Δ＝(2c)2－4(a＋b)2＝4(a＋b＋c)(c－a－b)，由 三边关系得 a＋b＋c＞0，c－a－b＜0，∴Δ＜0. 【规范解答】 没有实数根
解：(1)把 x＝－1 代入方程得 2a－2b＝0，即 a＝b，∴△ABC 是等腰三角形．
(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，即 b2＋c2＝
a2，∴△ABC 是直角三角形．
(3)∵△ABC 是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程变为：2ax2＋2ax＝0，∵a≠0，
B．m＝1
C．m＜1
D．m≤1
5
9．一元二次方程 2x2－3x＋1＝0 的根的情况是( B )
A．有两个相等的实数根
1.2一元二次方程的解法(第5课时 一元二次方程根的判别式)(课件)九年级数学上册课件(苏科版)
当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，没有实数根.
b2－4ac叫做一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.
例题讲解
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1)x2+5x+6=0；
(2)2x2+4x－3=2x－4.
解：b2-4ac
解：化简得
=52-4×1×6
=1>0，
的值为1，求m的值及该方程的根.
解：b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)
=9m2-6m+1-8m2+4m
=m2-2m+1
=(m-1)2
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(舍去).
2
∴当m=2时，原方程变为2x -5x+3＝0，x＝ 或x=1.
当堂检测
12.已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
， =
= =
(3) 2x2－2x ＋ 1＝0.
比较这3个方程的解的情况，请你思考方程
这个方程没有实数根
的解可能出现几种不同情况？方程解的情况
与b2－4ac的值是否有关系？
新知归纳
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个不相等的实数根；
当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个相等的实数根；
第1章 · 一元二次方程
1.2
一元二次方程的解法
第5课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1．熟练运用公式法求解一元二次方程；
2．理解一元二次方程根的判别式的意义，能运用根的判别式
b2－4ac叫做一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.
例题讲解
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1)x2+5x+6=0；
(2)2x2+4x－3=2x－4.
解：b2-4ac
解：化简得
=52-4×1×6
=1>0，
的值为1，求m的值及该方程的根.
解：b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)
=9m2-6m+1-8m2+4m
=m2-2m+1
=(m-1)2
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(舍去).
2
∴当m=2时，原方程变为2x -5x+3＝0，x＝ 或x=1.
当堂检测
12.已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
， =
= =
(3) 2x2－2x ＋ 1＝0.
比较这3个方程的解的情况，请你思考方程
这个方程没有实数根
的解可能出现几种不同情况？方程解的情况
与b2－4ac的值是否有关系？
新知归纳
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个不相等的实数根；
当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个相等的实数根；
第1章 · 一元二次方程
1.2
一元二次方程的解法
第5课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1．熟练运用公式法求解一元二次方程；
2．理解一元二次方程根的判别式的意义，能运用根的判别式
湘教版九年级数学上册课件：2.2 一元二次方程的解法 (共35张PPT)
反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两 个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法 解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方 程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
x b b2 4ac ( b2 - 4ac ≥0) 2a
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系
数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与 系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二 次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2 一元二次方程的解法 —配方法
教学重、难 点
教 学 重 点 ： 运 用 开 平 方 法 解 形 如 （ x+m ） 2=n(n≥0)
的方程；领会降次—转化的数学思想.
教学难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n 的方 程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2 = n(n≥0)的方程.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解.
例 市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规 划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将 达到289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：这里 a 1 b 7 c 18
人教版九年级数学上册《解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式》教学课件
2
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
华师大版数学九年级上册一元二次方程根的判别式课件
2a
回顾
用公式法求下列方程的根:
12x2 x 2 0
2 1 x2 x 1 0
4
3x2 x 1 0
解：a 2,b 1,c 2 b2 4ac116170
解：a 1 ,b 1, c 1 4
b2 4ac 11 0
解：a 1,b 1,c 1 b2 4ac 1 4 3 0
反之，同样成立！
完 毕 感 谢
·
The user can perform the presentation on a projector or computer, and the powerpoint can be printed out and made into film.
练习
例：不解方程，判断下列一元二次方程根的个数：
(1)2x2 5x 3 0
b2 4ac 1 0, 方程有两个不相等的根.
23x2 3 6x
b2 4ac 0,
方程有两个相等的根.
(3)x2 x 1 0
b2 4ac 习1
一元二次方程的根的情况
x b b2 4ac 1 17
2a
4
1 17 1 17 x1 4 , x2 4
x b b2 4ac 1 0 2
2a
1
2
x1 x2 2
所以原方程无实数根
视察与思考
思考1：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况?
b2 4ac
思考2：一元二次方程根的情况有几种？
一元二次方程的根
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根
一元二次方程的根
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的
判别式，用符号“ ”来表示. 即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
回顾
用公式法求下列方程的根:
12x2 x 2 0
2 1 x2 x 1 0
4
3x2 x 1 0
解：a 2,b 1,c 2 b2 4ac116170
解：a 1 ,b 1, c 1 4
b2 4ac 11 0
解：a 1,b 1,c 1 b2 4ac 1 4 3 0
反之，同样成立！
完 毕 感 谢
·
The user can perform the presentation on a projector or computer, and the powerpoint can be printed out and made into film.
练习
例：不解方程，判断下列一元二次方程根的个数：
(1)2x2 5x 3 0
b2 4ac 1 0, 方程有两个不相等的根.
23x2 3 6x
b2 4ac 0,
方程有两个相等的根.
(3)x2 x 1 0
b2 4ac 习1
一元二次方程的根的情况
x b b2 4ac 1 17
2a
4
1 17 1 17 x1 4 , x2 4
x b b2 4ac 1 0 2
2a
1
2
x1 x2 2
所以原方程无实数根
视察与思考
思考1：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况?
b2 4ac
思考2：一元二次方程根的情况有几种？
一元二次方程的根
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根
一元二次方程的根
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根的
判别式，用符号“ ”来表示. 即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿1
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程根的判别式》是湘教版数学九年级上册第2.3节的内容。
本节主要让学生掌握一元二次方程的根的判别式（()），并能够应用判别式判断一元二次方程的根的情况。
这一节内容是整个一元二次方程部分的核心，对于学生理解和掌握一元二次方程的解法具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元一次方程和一元二次方程的基本概念，对代数运算有一定的掌握。
但是，对于一元二次方程的根的判别式的推导和应用，还需要进一步引导和启发。
此外，学生可能对于抽象的数学概念和证明过程感到困惑，需要通过具体的例子和实际操作来加深理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程根的判别式的定义和意义，掌握判别式的计算方法，并能够应用判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法目标：学生通过观察、实验、推理和证明等数学活动，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学学习，对数学产生兴趣和自信心，培养合作和交流的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根的判别式的定义和意义，判别式的计算方法。
2.教学难点：判别式的推导过程，以及如何应用判别式判断一元二次方程的根的情况。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、实验、推理和证明等数学活动，主动探索和发现一元二次方程根的判别式的性质和规律。
2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型等辅助教学手段，生动形象地展示一元二次方程根的判别式的概念和应用。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出一元二次方程根的判别式的概念，激发学生的兴趣和思考。
2.新课导入：介绍一元二次方程根的判别式的定义和意义，引导学生理解判别式的作用。
3.案例分析：通过具体的例子，讲解判别式的计算方法，让学生通过实际操作来加深理解。
4.性质探索：引导学生观察和分析判别式的性质，让学生通过推理和证明来发现规律。
苏科版数学九年级上册第5课时一元二次方程根的判别式同步课件
(1) 当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根.
(2) 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
(3)当b2-4ac<0时，方程没有实数根.
归纳总结
根据b2-4ac的值的符号，可以确定一元二次方程根的情况．
反过来，也可由一元二次方程根的情况来确定b2-4ac的值的符号．
即有：
b2-4ac＜０
特别注意：当 b2 －4ac＜0 时没有实数根．
b b 2 4ac
（4）代入求根公式： x
2a
（5）写出方程的解：x1=？、x2=？．
情景引入
问题：老师写了3个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，
大家都才解第一个方程呢，小华突然站起来说出每个方程解的
情况，你想知道他是如何判断的吗？
= 3，
2×1
∴ x1 = x2 = 3.
（3）∵ a=2,b=-2,c=1，
b2-4ac=(-2) 2-4×2×1=-4＜0,
∴ 这个方程没有实数根.
；(3)
2x2－2x＋1＝0．
探 索 思 考
1.视察上述方程的根的情况，
方程(1)有
两个不相等的 实数根，此时b2-4ac ＞ 0；
方程(2)有
两个相等的
解：原方程化为16y2－24y＋9＝0.
∵a＝16，b＝-24，c＝9，∴b2－4ac＝(-24)2－4×16×9＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
(3)5(x2＋1)－7x＝0.
解：原方程化为5x2－7x＋5＝0.
∵a＝5，b＝-7，c＝5，
∴ b2－4ac＝(-7)2－4×5×5＝49－100＝-51<0，
方程(3)
没有
2.3 一元二次方程根的判别式(课件)2024-2025学年湘教版数学九年级上册
第二章 一元二次方程
2.3 一元二次方程根的判别式
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 一元二次方程根的判别式
知1－讲
1. 定义：我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a ≠ 0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ＝b2－4ac.
确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别 式的前提是二次项系数不为0.
知1－练
例1 [中考·河南] 关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0 的根 的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
知1－练
解题秘方：由根的判别式与 0 的大小关系判断一元二次方 程根的情况.
感悟新知
知1－练
例2 [中考·锦州] 若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x＋3 ＝ 0
有两个实数根，则 k 的取值范围是( )
A．
k
＜
1 3
C． k ＜ 13且 k ≠ 0
B．
kHale Waihona Puke ≤1 3D．
k
≤
1 3
且
k
≠
0
感悟新知
解题秘方：根据根的情况与根的判别式的关系， 知1－练 列等式或不等式进行求解 .
解：∵ 关于 x 的一元二次方程 kx2 － 2x ＋ 3 ＝ 0， ∴ k ≠ 0. ∵方程有两个实数根，
∴
Δ
＝(－
2)
2
－
4k×
3
≥
0，解得
k
≤
1 3
，
∴ k 的取值范围是 答案：D
2.3 一元二次方程根的判别式
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 一元二次方程根的判别式
知1－讲
1. 定义：我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a ≠ 0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ＝b2－4ac.
确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别 式的前提是二次项系数不为0.
知1－练
例1 [中考·河南] 关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0 的根 的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
知1－练
解题秘方：由根的判别式与 0 的大小关系判断一元二次方 程根的情况.
感悟新知
知1－练
例2 [中考·锦州] 若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x＋3 ＝ 0
有两个实数根，则 k 的取值范围是( )
A．
k
＜
1 3
C． k ＜ 13且 k ≠ 0
B．
kHale Waihona Puke ≤1 3D．
k
≤
1 3
且
k
≠
0
感悟新知
解题秘方：根据根的情况与根的判别式的关系， 知1－练 列等式或不等式进行求解 .
解：∵ 关于 x 的一元二次方程 kx2 － 2x ＋ 3 ＝ 0， ∴ k ≠ 0. ∵方程有两个实数根，
∴
Δ
＝(－
2)
2
－
4k×
3
≥
0，解得
k
≤
1 3
，
∴ k 的取值范围是 答案：D
九年级数学上册第2章一元二次方程2.3一元二次方程根的判别式导学课件新版湘教版
➢ 四、听方法。
➢ 在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的研究方向； 分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行叙述。这些 都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法；因式分解 法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
2020/1/1
精品课件
6
2.3 一元二次方程的判别式
目标二 会根据一元二次方程根的情况求未知字母的值或取值范围
例2 高频考题 当m为何值时，一元二次方程(2m＋1)x2＋4mx＋ 2m－3＝0的根满足下列情况：
(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根．
[解析] 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根的条件是b2－ 4ac≥0且a≠0.
(1)根据判别式b2－4ac建立不等式或方程；
(2)一元二次方程的二次项系数不等于0.
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2.3 一元二次方程的判别式
2．若条件中是“方程有实数根”，要考虑方程有两种可 能：(1)方程为一元二次方程，(2)方程是一元一次方 程．若条件中指出方程是一元二次方程，则求得的未知字 母必须满足二次项系数不等于0；若条件中没有肯定是一 元二次方程，则要考虑方程是一元一次方程的情况．
➢ 优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2020/1/1
➢ 在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的研究方向； 分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行叙述。这些 都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法；因式分解 法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
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2.3 一元二次方程的判别式
目标二 会根据一元二次方程根的情况求未知字母的值或取值范围
例2 高频考题 当m为何值时，一元二次方程(2m＋1)x2＋4mx＋ 2m－3＝0的根满足下列情况：
(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根．
[解析] 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根的条件是b2－ 4ac≥0且a≠0.
(1)根据判别式b2－4ac建立不等式或方程；
(2)一元二次方程的二次项系数不等于0.
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2.3 一元二次方程的判别式
2．若条件中是“方程有实数根”，要考虑方程有两种可 能：(1)方程为一元二次方程，(2)方程是一元一次方 程．若条件中指出方程是一元二次方程，则求得的未知字 母必须满足二次项系数不等于0；若条件中没有肯定是一 元二次方程，则要考虑方程是一元一次方程的情况．
➢ 优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
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2.3一元二次方程根的判别式++课件 2024—2025学年湘教版数学九年级上册
板书设计
2.3一元二次方程根的判别式
根的判别式∆：
∆>0：
∆=0：
∆<0：
习题讲解书写部分
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.对于一元二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 , 下列说法：①当 =
+ 时，则方程 2 + + = 0一定有一根为 = −1；②若 > 0
B． 2 + 3 + 6 = 0
C． 2 + 8 + 16 = 0
D．( − 1)2 = 9
3.已知关于x 的一元二次方程 2 − = 2 有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是（ A ）
A．m＞－1 B．m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知关于 的方程 2 + (1 − ) − 1 = 0 ，下列说法正确的是( C )
2 − 4 − 2 + 4 = 0
( − 1) 2 − 4 + 4 = 0
∵方程有两个不相等的实数根，
∴k−1≠0，即k≠1，且△＞0，即（-4）2−4×（k−1）×4＞0，
解得k＜2，则k＜2且k≠1，
∴k＜2且k≠1；
作业布置
【综合拓展类作业】
已知关于x的方程 ( − 4) − 2 + 4 = 0
新知导入
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
1.二次项系数化为1：左右俩边同时除以二次项系数;
2.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边;
3.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方;
北师大版数学九年级上册2.3.2一元二次方程根的判别式课件
• 我们把 b2-4ac叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 根的判别式
用符号△表示。即△ =b2-4ac
综上可知，我们发现一元二次方程ax2+bx+c(a≠0) 根的情况可由△ =b2-4ac来判断：
1当 > 0 时，原方程有两个不相等的实数根；
2当 0 时，原方程有两个相等的实数根；
2.3 一元二次方程根的判别式
一元二次方程的一般形式：
ax2 bx c 0(a 0)
一元二次方程的求根公式：
b b2 4ac x
2a
(b2-4ac≥0)
用公式法解下列方程
( 1 ) 2x2 x 1
( 2 ) x2 4=4x ( 3 ) (x+1)(4x+1)=2x
观察上面三个方程根的情况，你有什么发现？
想一想：根据前面的结论，运用根的
判别式可以不解方程就知道方程根的情 况，反过来如果知道了方程根的情况， △的值会怎样呢？
1 当方程有两个不相等的实数根时，＞ 0 ； 2 当方程有两个相等的实数根时， 0 ；
3当方程没有实数根时，＜ 0
例2：已知关于 x的方程 x2 3x k ，0
问 k取何值时，这个方程有两个实数根?
思考题： m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？
本节课你有什么收获？
讨论：
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的根有哪几种情况？方程是否有根由什么决 定？
我们知道,任何一个一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
配方法
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
北师大版九年级上册第二单元一元二次方程解法复习及根的判别式应用的讲义
共 页 第8 页
17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______)
18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)
9．(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)
综合运用 一、填空题
20．若分式 x2 7x 8 的值是 0，则 x=______． x 1
21．关于 x 的方程 x2＋2ax＋a2－b2=0 的根是____________． 二、选择题
共 页 第2 页
一元二次方程的根有三种情况（根的判别式）
1、 当b2 4ac 0时, 方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
3、 当b2 4ac 0时, 方程没有实数根；
练习 1：1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
A． m 3 2
B． m 3 且 m≠1 2
C． m 3 且 m≠1 2
D． m 3 2
16．如果关于 x 的二次方程 a(1＋x2)＋2bx=c(1－x2)有两个相等的实根，那么以正数 a，b，c 为边长的三角形是
( )．
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
二、解答题
17．已知方程 mx2＋mx＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．
(4)、-3x2+22x-24=0
例 2、用公式法解方程 5x2-4x=12
步骤：1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用 a,b,c 写出各项系数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数值代入公式计算; 例 2、用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
例 3、解方程：x2-5x+12=0
17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______)
18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)
9．(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)
综合运用 一、填空题
20．若分式 x2 7x 8 的值是 0，则 x=______． x 1
21．关于 x 的方程 x2＋2ax＋a2－b2=0 的根是____________． 二、选择题
共 页 第2 页
一元二次方程的根有三种情况（根的判别式）
1、 当b2 4ac 0时, 方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
3、 当b2 4ac 0时, 方程没有实数根；
练习 1：1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
A． m 3 2
B． m 3 且 m≠1 2
C． m 3 且 m≠1 2
D． m 3 2
16．如果关于 x 的二次方程 a(1＋x2)＋2bx=c(1－x2)有两个相等的实根，那么以正数 a，b，c 为边长的三角形是
( )．
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
二、解答题
17．已知方程 mx2＋mx＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．
(4)、-3x2+22x-24=0
例 2、用公式法解方程 5x2-4x=12
步骤：1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用 a,b,c 写出各项系数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数值代入公式计算; 例 2、用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
例 3、解方程：x2-5x+12=0
湘教版九年级数学上：2.3《一元二次方程根的判别式》课件(共15张PPT)共17页
湘教版九年级数学上：2.3《一元二次 方程根的判别式》课件(共15张PPT)
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
END
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
END
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
九年级数学上册第二章一元二次方程专题(三)一元二次方程根的判别式ppt作业课件新版北师大版
4
类型四 判别式与隐含条件相结合 6．(2018·扬州)关于 x 的方程 mx2－2x＋3＝0 有两个不相等的实数根，那么 m 的 取值范围是_m_＜__13_且__m__≠__0__.
7．关于 x 的一元二次方程(1－m)x2－2x－1＝0 有两个实数根，则 m 的最大整数值 是__2__．
8．已知关于 x 的一元二次方程 mx2－4mx＋m－5＝0 有两个相等的实数根，求 m 的 值．
第二章 一元二次方程
专题(三) 一元二次方程根的判别式
类型一 已知常数和系数直接判断一元二次方程根的情况 1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)x2－ 3x－1＝0； 解：Δ＝( 3)2＋4×1＝7>0， ∴方程有两个不相等的实数根．
(2)3x2－4x＋3＝0；
解：Δ＝(－4)2－4×3×3<0， ∴方程无实数根．
A．±2 6 B．± 6 C．2 或 3
D. 2或 3
5．(2018·成都)若关于 x 的一元二次方程 x2－(2a＋1)x＋a2＝0 有两个不相等的 实数根，求 a 的取值范围．
解：∵关于 x 的一元二次方程 x2－(2a＋1)x＋a2＝0 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(2a＋1)]2－4a2＝4a＋1＞0， 解得 a＞－1.
m≠0， 解：由题意得 Δ＝0，即(4m)2－4m(m－5)＝0， m1＝0(舍去)，m2＝－53，∴m＝－53.
类型三 确定一元二次方程中字母的值或取值范围 3．关于 x 的一元二次方程(a－5)x2－4x－1＝0 有实数根，则 a 的取值范围是( C )
A．a≥1
B．a>1 且 a≠5
C．a≥1 且 a≠5
D．a≠5
4．(2018·桂林)已知关于 x 的一元二次方程 2x2－kx＋3＝0 有两个相等的实数根， 则 k 的值为( A )
类型四 判别式与隐含条件相结合 6．(2018·扬州)关于 x 的方程 mx2－2x＋3＝0 有两个不相等的实数根，那么 m 的 取值范围是_m_＜__13_且__m__≠__0__.
7．关于 x 的一元二次方程(1－m)x2－2x－1＝0 有两个实数根，则 m 的最大整数值 是__2__．
8．已知关于 x 的一元二次方程 mx2－4mx＋m－5＝0 有两个相等的实数根，求 m 的 值．
第二章 一元二次方程
专题(三) 一元二次方程根的判别式
类型一 已知常数和系数直接判断一元二次方程根的情况 1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)x2－ 3x－1＝0； 解：Δ＝( 3)2＋4×1＝7>0， ∴方程有两个不相等的实数根．
(2)3x2－4x＋3＝0；
解：Δ＝(－4)2－4×3×3<0， ∴方程无实数根．
A．±2 6 B．± 6 C．2 或 3
D. 2或 3
5．(2018·成都)若关于 x 的一元二次方程 x2－(2a＋1)x＋a2＝0 有两个不相等的 实数根，求 a 的取值范围．
解：∵关于 x 的一元二次方程 x2－(2a＋1)x＋a2＝0 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(2a＋1)]2－4a2＝4a＋1＞0， 解得 a＞－1.
m≠0， 解：由题意得 Δ＝0，即(4m)2－4m(m－5)＝0， m1＝0(舍去)，m2＝－53，∴m＝－53.
类型三 确定一元二次方程中字母的值或取值范围 3．关于 x 的一元二次方程(a－5)x2－4x－1＝0 有实数根，则 a 的取值范围是( C )
A．a≥1
B．a>1 且 a≠5
C．a≥1 且 a≠5
D．a≠5
4．(2018·桂林)已知关于 x 的一元二次方程 2x2－kx＋3＝0 有两个相等的实数根， 则 k 的值为( A )