2011届徐州市高三数学第一次质量检测(参考答案及评分标准word版)

2011届徐州市高三数学一检试题
参考答案与评分标准
一 填空题
1.3-；
2.{|12}x x ≤≤；
3.30；
4.13；
5.3-；
6.3
π
； 7.4； 8.0.3；
10
.(； 11
12. [2,1]--； 13．[1
5]，； 14.6 . 二 解答题 15.（1）2(
)sin(2)cos(2)2cos 1212612312
f π
π
ππ
ππ=⨯
+-⨯++ sin cos 1cos 326π
ππ=-++ …………………………………………2分
01=-++
1=……………………………………………………………………………6分
（1）2()sin(2)cos(2)2cos 63
f x x x x ππ=+-++
sin2cos cos2sin cos2cos sin2sin 2cos216633x x x x x ππππ
=+-+++ …………………10分
cos212sin(2)16
x x x π
=++=++，………………………………………12分
∴当sin(2)16x π
+=时，max ()213f x =+=，
此时，22,62x k ππ+=π+即()6
x k k π
=π+∈Z ，…………………………………14分
16.（1）设AC BD G = ,连接FG ，易知G 是AC 的中点， ∵F 是EC 中点．∴在△ACE 中，FG ∥AE ， …………2分 ∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，
∴ AE ∥平面BFD ． ………………………………6分
（2） 平面ABCD ⊥平面ABE ,BC AB ⊥,
平面ABCD 平面ABE AB =BC ∴⊥平面ABE ,又AE ⊂ 平面,ABE BC AE ∴⊥, 又AE BE ⊥ ，BC BE B = ,AE ∴⊥平面,BCE AE BF ∴⊥,………………………10分 在BCE △中，,BE CB F =为CE 的中点，BF CE ∴⊥,AE CE E = BF ∴⊥平面ACE ，
G B A
D
C
F
E
又BF ⊂平面BDF ， ∴平面BDF ⊥平面ACE ．……………………………………14分
17．解：（1）设点C 受A 污染源污染程度为
2
ka
x ，点C 受B 污染源污染程度为2(18)kb x -，
其中k 为比例系数，且0k >． ………………………………………………4分
从而点C 处受污染程度22(18)ka kb
y x x =
+-，018x <<． ………………………6分 （2）因为1a =，所以，22
(18)k kb
y x x =
+-， …………………8分 '3322[
](18)b y k x x -=+-，令'
0y =
，得x =， …………………10分 又此时6x =，解得8b =，
而当8b =时，()()()
()()()
33
23
333
3183324218'221818x x x x y k k x x x x -+--=⋅=⋅--．当06x <<时，'0y <，y 在()0,6上为单调减函数；当618x <<时，'0y >，y 在()6,18上为单调增函数．所以y 在6x =处取得最小值．故所求b 的值为8． …………………12分
所以，污染源B 的污染强度b 的值为8． …………………14分 18.（1） 12c e a =
=，且过点3(1,)2
P ， 222221
91,
42,,a b a c a b c ⎧+=⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎩
解得2,
a b =⎧⎪⎨
⎪⎩ ∴椭圆方程为22143x y +=.………………………4分 (2)设点12(4,),(4,)M y N y 则1122(5,),(3,),F M y F N y == 1212150F M F N y y ⋅=+=
， 1215y y ∴=-，
又211111
1515
MN y y y y y y =-=-= －+≥
MN ∴
的最小值为10分
(3)圆心C 的坐标为12
(4,
)2
y y +，半径212y y r -=
. 圆C 的方程为2
2
21221()(4)()24
y y y y x y +--+-=，
整理得：2212128()160x y x y y y y y +--+++=. …………………………16分
1215y y =- ，22128()10x y x y y y ∴+--++=
令0y =，得2810x x -+=
，4x ∴=∴圆C
过定点(4.……………………………………………………………16分
19．解：（1）∵22n n S pa n =-，∴1122(1)n n S pa n ++=-+，∴1122n n n a pa pa ++=--，
∴1222n n p a a p p +=
+--，∴11(1)2
n n p
a a p ++=+-， …………………4分 ∵1122a pa =-，∴102
p
a p =
>-，∴110a +> ∴
11012
n n a p
a p ++=≠+-，∴数列{}1n a +为等比数列． …………………6分 （2）由（1）知1(
)2n n p a p +=-，∴()12
n
n p a p =-- …………………8分 又∵23a =，∴2
(
)132
p p -=-，∴4p =，∴21n n a =- …………………10分 （3）由（2）得2log 2n n b =，即*,()n b n n N =∈， 数列{C }n 中，k b （含k b 项）前的所有项的和是： 0
1
22
(1)
123)
(2
222)
222
2
k k
k k k -
++++++++++
⨯=+- （ ……………12分 当k=10 时，其和是10552210772011+-=<
当k=11 时，其和是11662221122011+-=>
又因为2011-1077=934=467⨯2，是2的倍数 ……………………14分 所以当2810(1222)467988m =++++++= 时，T 2011m =，
所以存在m=988使得T 2011m = …………………………………16分 20．（1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，
显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，
有且仅有一个等于1的解或无解 ，
结合图形得0a <. ………………4分
（2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；
②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),
1()(1),(1).
|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨
-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-， 所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤.
综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤. ………………………8分
（3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪
--++-<⎨⎪-+-<-⎩
≤≥…16分
① 当1,22
a
a >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，
且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.
② 当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2
a
-上递减，
在[1,]2
a
--，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=
++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.
③ 当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2
a
-上递减，
在[1,]2
a
--，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=
++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.
④ 当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a
-上递减，
在[,1]2a ，[,2]2
a
-上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，
经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3
,322
a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.
综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +； 当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +； 当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.
P
附加题答案
21..A【证明】因为PA与圆相切于A，
所以2
DA DB DC
=⋅，
因为D为PA中点，所以DP DA
=，
所以DP2=DB·DC，即
PD DB
DC PD
=．……………5分
因为BDP PDC
∠=∠，所以BDP
∆∽PDC
∆，
所以DPB DCP
∠=∠．…………………… 10分
B．解：矩阵M的特征多项式为
x
f
-
-
-
-
=
λ
λ
λ
2
2
1
)
(=4
)
)(
1
(-
-
-x
λ
λ………………………1分
因为3
1
=
λ方程0
)
(=
λ
f的一根，所以1
=
x………………………3分
由0
4
)1
)(
1
(=
-
-
-λ
λ得1
2
-
=
λ，…………………………………5分
设1
2
-
=
λ对应的一个特征向量为⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
y
x
α,
则
⎩
⎨
⎧
=
-
-
=
-
-
2
2
2
2
y
x
y
x
得y
x-
=…………………………………………8分
令1
,1-
=
=y
x则,
所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
-
=
1
1
α………10分
C．消去参数t，得直线l的直角坐标方程为21
y x
=+；…………… 2分
)
4
π
ρθ
=+即2(sin cos)
ρθθ
=+，
两边同乘以ρ得22(sin cos)
ρρθρθ
=+，
得⊙C的直角坐标方程为：22
(1)(1)2
x x
-+-=, …………………… 6分
圆心C到直线l
的距离d=
所以直线l和⊙C相交．…………………………………………………… 10分
D.
因为22
y=
≤22
[1][12]33
x x
+-++=⨯………6分
∴y≤3…8分，
==”号，即当0
x=时，
max
3
y=………10分
22.（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 的方程为2x y =…………4分
(2)证明：设22
1122(,),(,)A x x B x x ， ∵2y x =， ∴ 2y x '=，∴ ,AN BN 的斜率
分别
为122,2x x ，故AN 的方程为21112()y x x x x -=-，BN 的方程为22222()y x x x x -=- …7分
即2
11
2
22
22y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，两式相减，得122N x x x +=，又122M x x x +=， ∴ ,M N 的横坐标相等，于是MN x ⊥………………10分
23.(1)()P ξ是“ξ个人命中,3ξ-个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0，1，2，3.
002
212
1122(0)C 1C (1)(1)P a a ξ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭
, 1020121212111222(1)C C (1)C 1C (1)(1)P a a a a ξ⎛⎫==⋅-+--=- ⎪⎝⎭, 110222
1212111222(2)C C (1)C 1C (2)P a a a a a ξ⎛⎫==⋅-+-=- ⎪⎝⎭
,
2122
1212(3)C C 2
a P a ξ==⋅=.
所以ξ的分布列为
ξ的数学期望为
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
41
0(1)1(1)2(2)32
a a E a a a a ξ+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯
=
. ……………5分 (2) ()221
(1)(0)1(1)(1)2P P a a a a ξξ⎡⎤=-==
---=-⎣
⎦,
22
112(1)(2)(1)(2)22
a P P a a a ξξ-⎡⎤=-==---=⎣⎦, 222
112(1)(3)(1)22a P P a a ξξ
-⎡⎤=-==--=⎣
⎦. 由2
(1)0,120,2
1202
a a a a ⎧
⎪-≥⎪
-⎪≥⎨
⎪⎪-≥⎪
⎩和01a <<，得102a <≤,即a 的取值范围是10,2⎛⎤
⎥⎝⎦. …… 10分
第22题。