高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲

高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性
【本讲主要内容】
函数的单调性、奇偶性及函数的周期性
【知识掌握】 【知识点精析】
1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的
21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函
数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。

并统称具有上述情况的函数具有单调性。

注：
（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。

（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。

（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3
x
y =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。

（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。

（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。

如2)1()(2
+-=x x f 求)(2
x f 的单调增区间 令12
≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数 又2
x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴),1(+∞是函数)(2x f 的增区间 令12
<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数 又2
x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴)0,1(-是函数)(2x f 的增区间
综上所述，函数)(2
x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞
（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。

2. 函数的奇偶性：对于函数)(x f y =，D 是其定义域，若任取D x ∈，都有
)()(x f x f =-，则称)(x f y =是偶函数，若任取D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f y =是奇函数，函数的奇偶性是函数的整体性质，无论是奇函数，还是偶函数，都称
它们具有奇偶性，这点不同于单调性。

注：
（1）由定义可知，函数定义域在x 轴上反映出具有关于原点对称的特征，这是函数具有奇偶性的必要条件，也即不是这一特征，不说函数的奇偶性。

当然，既然有奇函数，偶函数，也就有非奇非偶函数，那么是否有既是奇函数又是偶函数呢？有，如0)(=x f ，D x ∈是常函数，则只要D 关于原点对称即是既奇又偶函数。

（2）函数的奇偶性，从其图象上反映出来的特征其实是它的对称性，奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，且条件具有充要性。

这一图象特征，又可延伸到《解析几何》的研究方法上。

（3）对于奇函数)(x f y =，若D ∈0，则必有0)0(=f 。

（4）在初等函数中，一次函数b kx y +=只可能是奇函数，但要求0=b ，二次函数
c bx ax y ++=2只可能是偶函数，但也要0=b （对称轴是y 轴），指数、对数函数是不具
有奇偶性的，三角函数具有奇偶性。

（5）在公共定义域内，两个同奇偶的函数之和、差、积、商不改变其奇偶性，一奇一偶的积、商为奇函数，这一点类似符号法则（视奇为“－”偶为“+”）。

（6）判断函数)(x f y =的奇偶性的方法 关系式：)(x f -与)(x f 关系
计算式：0)()(=-+x f x f 或是
1)
()
(-=-x f x f （奇函数）
0)()(=--x f x f 或是
1)
()
(=-x f x f （偶函数）
（7）任意一个函数)(x f y =都可以构造出具有奇偶性的函数 如)()()(x f x f x F -+=（偶函数）
)()()(x f x f x G --=（奇函数）
3. 函数的周期性：对于函数)(x f y =，若存在一个常数T （0≠T ）使得对于定义域中的任意x 值，都有)()(x f x T f =+成立，则称T 是)(x f 的周期。

周期性也是函数的一个整体性质，这点在三角函数中有充分的表现，在高数中常以抽象函数的形式出现，其图象特征便是规律性再现。

注：
（1）抽象函数的周期表现，对于函数)(x f y =，若))(()(b a b x f a x f ≠+=+
)(x f ⇒是周期函数，且b a T -=，若)())(()(x f b a b x f a x f ⇒≠+-=+是周期函数，
且)(2b a T -=
（2）从函数图象上分析，定义在R 的一个函数，如果图象有两条对称轴，
m x =与n x =（n m ≠），则它必有无数对称轴，且它是周期函数，)(2n m T -=，如果其图象有一个对称中心，一条对称轴，则它必有无数的对称中心与对称轴，且它是周期函数，)(4n m T -=。

（3）若T 是)(x f 的周期，则kT （Z k k ∈≠,0）亦为)(x f 的周期，一般我们尽可能选择正数，较小的数作其周期（即最小正周期）。

【解题方法指导】
[例1] 判断下列函数的奇偶性
（1）1
1
)(+-=
x x x f
（2）x
x
x f a
+-=11log )( （3）)1(log )(2
++=x x x f a （4）x
x x
x a a a a x f --+-=)(
解：
（1）1=x 时函数有意义，但1-≠x ，故定义域不是对称性 ∴)(x f 是非奇非偶函数 （2）)(11log 11log )(x f x
x
x x x f a a
-=+--=-+=- ∴)(x f 是奇函数（这里要注意对数的运算法则） （3）1
1log )1(log )(2
2++=++
-=-x x x x x f a
a
)()1(log 2x f x x a -=++-=
∴)(x f 是奇函数
（判断奇偶性不应仅从形式上观察，以x -代x 可能使得函数表达式不具可判断的形式，要依赖函数本身的运算性质进行变形比较，方可得结论。

）
（4）)()(x f a
a a a a a a a x f x
x x
x x x
x x -=+--=+-=----- ∴)(x f 是奇函数
本函数也可分解令x
a x g =)(，则)
()()
()()(x g x g x g x g x f -+--=，而分子是奇函数，分母是偶
函数，故其商为奇函数。

[例2] 已知1tan 2sin )(++=x b x a x f ，且4)2(=-f ，求)2(+πf 的值。

分析：已知条件中含有2个参数，仅由)2(-f 的值求)2(+πf 的值，就要建立)2(+πf 与)2(-f 的相关联，整体求解，而非确定b a ,再求解，这种关联便是通过函数的奇偶性来确定。

解：设=-=1)()(x f x g x b x a tan 2sin + 则)tan()2sin(1)()(x b x a x f x g -+-=--=-
b x a --=2sin )(tan x g x -=
)tan()22sin(1)()(x b x a x f x g +++=-+=+ππππ
)(tan 2sin x g x b x a =+= ∴)(x g 是周期为π的奇函数
1]1)2([1)2(1)2(1)2()2(+---=+--=+=++=+f g g g f ππ 242)2(2-=-=--=f
即2)2(-=+πf
[例3] 函数)(x f y =是以4为周期的函数，且当)2,2[-∈x 时，12
1
)(+=
x x f ，则当2),42,2[∈+∈n n n x 时，试求)(x f 的解析式。

分析：区间)42,2[+n n 呈现两种情形
)(12Z k k n ∈-=图象如)2,2[-∈x 时，)(2Z k k n ∈=图象如)4,0[∈x
解：当)(12Z k k n ∈-=，则)24,24[)42,2[+-=+k k n n
)24,24[+-∈∀k k x )2,2[4-∈-⇒k x
∴k x k x k x f 212
1
1)4(21)4(-+=+-=
- 而4=T ∴n x k x k x f x f -=-+=-=2
1
2121)4()(
当)2(2∈=k k n ，则)42,2[+n n )44,4[+=k k
∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-∈+=⇒-=∈+=∈)4,2[12
1)2,0[121)(1
21)()4,2[121)()2,0[x x x x x f x x ，f x x x ，f x 时时
1)4(2
1
)4()2,0[4)24,4[+-=
-⇒∈-⇒+∈∀k x k x f k x k k x ∴n x k x k x f x f -+=-+=
-=12
1
2121)4()( 1)4(2
1
)4()4,2[4)44,24[--=
-⇒∈-⇒++∈∀k x k x f k x k k x ∴n x k x k x f x f --=--=
-=12
1
2121)4()( 综上所述，当n 为奇数时，n x x f -=2
1
)(，)42,2[+∈n n x
当n 为偶数时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++∈--+∈-+=)42,22[12
1)22,2[12
1
)(n n x n x n n x n x x f
注：函数周期性不是高考的重点，但对于可结合图象变换，求具周期性的函数解析式等
问题是要考查的。

[例4] 设R a ∈，1
22
2)(+-+⋅=x x a a x f （R x ∈）是奇函数。

（1）求a 的值；
（2）判断函数的单调性，并证明你的结论。

解：
（1）)(x f 是奇函数，则必要条件为0)0(=f 即
02
2
2=-a 1=⇒a 将1=a 代入得1
21
2)(+-=x x x f 是奇函数，即1=a 为所求
（2）1
22
112212)(+-=+-+=x x x x f 观察分析)(x f 是R 上增函数。

证明：方法一：),(,21+∞-∞∈∀x x 且21x x <
)
12)(12()
22(2122122)()(2
1
211221++-=+-+=-x x x x x x x f x f （*） ∵ 指数函数x
2是R 上的增函数 ∵21x x <∴21
22
x x <
即0(*)022
21
<⇒<-x x 即)()(21x f x f <
∴)(x f 是R 上增函数
方法二：0)
12(22ln 2)(2
>+⋅='x x
x f ∴)(x f 是R 上的增函数 注：对于可导函数，以导数为工具判断单调性经常是快捷的方法，要注意正确使用。

【考点突破】
【考点指要】
高考历来将函数的性质，特别是围绕函数的奇偶、单调、周期性展开，其题目综合性强，角度易变，联系其它章节诸如不等式，解析几何，、三角函数，导数等较多，一定要全面把握，注重联系，其中方程思想、函数思想、数形结构思想，化归构造等方法，都是要充分考虑与应用的。

【综合测试】
一. 选择题：
1.（05年某某）若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，
则使得0)(<x f 的x 取值X 围是（ ）
A. )2,(-∞
B. ),2(+∞
C. ),2()2,(+∞⋃--∞
D. )2,2(-
2.（06年某某）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为（ ）
A. 1-
B. 0
C. 1
D. 2 3.（05年某某）设)(1
x f
-是函数)1)((2
1)(>-=
-a a a x f x x
的反函数，则使1
)(1
>-x f 成立的x 的X 围是（ ）
A. ),21(2+∞-a a
B. )21,(2a a --∞
C. ),21
(2a a
a - D. ),[+∞a 4.（06年全国II ）函数)(x f y =的图象与函数)0(log )(2>=x x x g 的图象关于原点对称，则)(x f 的表达式为（ ）
A. )0(log 1
)(2>=
x x
x f
B. )0()
(log 1
)(2<-=
x x x f
C. )0(log )(2>-=x x x f
D. )0)((log )(2<--=x x x f
5.（02年某某）函数x x y sin +=，],[ππ-∈x 的大致图象是（ ）
6.（06年）已知⎩⎨⎧≥<+-=1log 1
4)13()(x x
x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值X 围是（ ）
A. )1,0(
B. )3
1,0( C. )3
1,71[ D. )1,7
1[
二. 填空题
7.（03年）函数x x g x x f -=+=2)(),1lg()(2，x x h 2tan )(=中，是偶函数。

8.（05年某某）设)(x f 的定义在R 上的奇函数，且)(x f 的图象关于直线2
1
=x 对称，则=++++)5()4()3()2()1(f f f f f 。

9.（05年全国）若正整数m 满足m m 10210
5121
<<-，则=m （3010.02lg =）
10.（05年某某）w 是正实数，设})](cos[)(|{是奇函数θθ+==x w x f S w ，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S w 的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S w 含2个元素，则w 的取值X 围是。

三. 解答题
11.（05年某某）设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，
)7()7(x f x f +=-，且在闭区间]7,0[上，只有0)3()1(==f f
（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性；
（2）试求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上根的个数，并证明你的结论。

12.（06年某某）
已知函数x x x f 8)(2
+-=，m x x g +=ln 6)( （1）求)(x f 在]1,[+t t 上的最大值)(t h ；
（2）是否存在实数m ，使得)(x f y =的图象与)(x g y =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值X 围；若不存在，说明理由。

【综合测试答案】
一. 1. D
提示：偶函数在对称区间上的单调性相反 2. B
提示：)(x f 的周期为4 ∴)2()6(f f = 而0)2()2()2(=⇒-=f f f 3. A
提示：)(x f 是增函数，满足条件1)(1
>-x f
的x 值，即满足1>x 时)(x f 的值，即求
)(x f 的值域，也可利用)(1
x f
-与)(x f 单调性相同来解。

4. D 提示：可利用解析几何中求轨迹的方法解决，也可分析出两个函数图象可构成一个奇函数设为)(x F 的图象，设)(log )()(002x x g x F x x -=-=-⇒>-⇒<
)(log )(2x x F -=-⇒∴)(log )(2x x F --=
即⎩
⎨⎧<>=0)(0)()(x x f x x g x F
5. C
提示：函数非奇非偶 6. C
提示：)31,71[1
log 41)13(1
00
13∈⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+⋅-<<>-a a a a a a
二.
7. )1lg()(2
x x f +=，x x g -=2)( 8. 0 9. 155
提示：本题利用x y lg =是增函数估算 10. ]2,(ππ
提示：设)(x f 为奇函数的θ为w
k 2π
π+
∴w
k S w
2π
π+=
（Z k ∈）
由题意]2,(121πππ
∈⇒<≤w w
三.
11. 提示：
（1）)(x f 是非奇非偶函数，若为偶函数0)7(=⇒f 矛盾，若为奇函数0)0(=f 矛盾
（2）)()10()()10(x f n x f x f x f =+⇒=+ 图象关于7=x 对称，)(x f 在[0，2000]内有400个根
在[2000，2005]上有2个根，在[2000-，0]有400个根，共计802个根 12. 提示：
（1）动区间]1,[+t t ，定轴4=x ，讨论轴与区间相对位置利用单调性，求得
⎪⎩
⎪⎨⎧>+-≤≤<++-=484316376)(22t t t t t t t t h
（2）令)()()(x f x g x -=ϕ，令)(x ϕ的图象与x 轴有且仅有三个不同交点 利用导数)(x ϕ'求得单调区间和极值
7)(-=m x 极大ϕ，153ln 6)(-+=m x 极小ϕ
结合图象3ln 615700
-<<⇒⎩⎨
⎧<>m 极小
极大ϕϕ。