浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点考点及练习

浙教版数学八年级上册第二章《特殊三角形》复习
一、知识结构
本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：
等腰Rt
两直角三角形全等的判定
直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形
等腰三角形特殊三角形
二、重点回顾
1．等腰三角形的性质：
等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。

2．等腰三角形的判定：
有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。

注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？ 3．等边三角形的性质：
等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。

4．等边三角形的判定：
有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。

5．直角三角形的性质：
直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。

30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定：
有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。

一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。

7．直角三角形全等的判定：
斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。

8．角平分线的性质：
在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。

三、重点解读
1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。

一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；
F
E
O
B
C
A
F
E O B C
A
1
2D E F B C
A D E
A B C
2．等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”；
3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；
4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c ”就认定是斜边。

不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5；
5．“HL ”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样有效。

切记!!! 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，也就是边边角，没有边边角定理。

因此在证明全等时千万不要这样做。

本章解题时用到的主要数学思想方法：
⑴ 分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中）（留意后面的例题）
⑵ 方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长（留意后面的例题）
⑶ 等面积法
四、典型例题 （一）、角平分线+平行线
1、在△ABC 中，三内角互不相等，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB 。

过O 点作EF, 使EF ∥BC 。

（1）图中有几个等腰三角形？（2）猜测线段BE 、CF 、EF 有什么数量关系，并说明理由。

2、在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACB,过O 点作EF ， 使EF ∥BC ，且∠EBO=30°。

若BE=5，△ABC 的周长为_________。

（二）、角平分线+垂线
3、如图：AB=AC ，∠1=∠2，AE ⊥CD 于F 交BC 于点E ，求证：AB=CE 。

4、如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2CE
E
D C
A B
F F E A B C
D
M
N D
B
A C E
(三)、直角三角形的一个锐角平分线+斜边上的高线
5、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，CD ⊥AB 于D ，它们交于点F ，△CFE 是等腰三角形吗？试说明理由.
（四）、等边三角形的几个基本图形：
6、等边三角形ABC 中，BD=CE ，连接AD 、BE 交于点F 。

∠AFE=_________。

7、如图点A 、C 、E 在同一直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，M 、N 分别是AD 、BE 的中点。

说明： △CMN 是等边三角形。

8、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC•的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，可得结论h 1+h 2+h 3=h ，请你探索以下问题：当点P 在△ABC 内（图2）和点P 在△ABC 外（图3）这两种情况时，h 1、h 2、h 3与h•之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由．
B
A D C
E P
B A D
C
F E
P B
A
D
C
F E P
A B C D E
M
N
图1 A B C D
E
M N
图2 A B
C D M N 图3 C
M
A B
E
D
（五）、等腰直角三角形的几个基本应用
9、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥M 于E 。

(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，说明△ADC ≌△CEB 的理由； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，说明DE=AD －BE 的理由；
(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问DE 、 AD 、BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由.
10、如图，在直角△ABC 中，∠C=90，AC=BC ，D ，E 分别在BC 和AC 上，且BD=CE ，M 是AB 的中点。

求证：△MDE 是等腰直角三角形。

（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理与方程
11、观察下面表格中所给出的三个数a ，b ，c ，其中a ，b ，c 为正整数，且a<b<c （1）：试找出他们的共同点，并证明你的结论 （2）：当a=21时，求b ，c 的值
,3,4,5 32+42=52 5,12,13 52+122=132 7,24,25 72+242=252 9,40,41 92+402=412
…….. ……
21,b,c 212+b 2=c 2
A
B
C
D
12、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ 。

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．
13、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积 分析：对于没有图形的大题（指需要过程的题目），最好自己画图，与人方便，与己方便。

解：设这个等腰三角形为ABC ，高为AD ，设BD 为x ，则AB 为（16-x ）， 由勾股定理得：x 2+82=(16-x)2 即x 2+64=256-32x+x 2 ∴ x=6
∴ S ∆ABC =BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
14、矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。

（七）、需要分类讨论的（主要是由语言的模糊造成要讨论）
有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形。

有一个直角三角形的两条直角边为3，4，则第三条边长为__________
如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。

（八）作图题
如图，求作一点P ，使PC=PD,并且使点P 到∠AOB 两边的距离相等，并说明你的理由．
E
G
C D
B
A
作图题的基本要求：结论不能丢。

格式：什么什么即为所求。

【考点精练】
一、基础训练
1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．
（1）（2）（3）
2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，•若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_______．
3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．4．如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．
（4）（5）
5．如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______米（精确到1米）．
6．等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P•运动的时间应为________．
7．如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20•°，且AE=•AD，则∠CDE=________．
（7）（8）（9）
8．如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）
A．44° B．68° C．46° D．22°
9．如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，•使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）
A．L1B．L2C．L3D．L4
10．如图10，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．•则∠A等于（）A．30° B．36° C．45° D．72°
M
D B
C
A （10） （11）
11．同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，•是一跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，OA=OB ．当跷跷板的一头A 着地时，∠OAC=25°，•则当跷跷板的另一头B 着地时，∠AOA ′等于（ ） A ．25
° B ．50° C ．60° D ．130°
12、直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( )
A. ab=h 2
B. a 2+b 2=2h 2
C.
a 1+
b 1=h
1
D.
21a +21b =21h
如图所示，在△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC 于点D ，M 为AD 上任一点，则MC 2
-MB 2
等于
二、能力提升 13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm 和15cm 两部分，求它的底边长．
14．（计算型说理题）已知如图△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 到E 使CE=CD ．•试判断DB 与DE 之间的大小关系，并说明理由。

15．如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ，•给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ．
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC 是等腰三角形．
三、应用与探究
16．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、•CA 上的点． （1）若AD=BE=CF ，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论．
（2）若△DEF 是等边三角形，问AD=BE=CF 成立吗？试证明你的结论．
直角三角形
1）直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。

直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质。

又叫Rt 三角形。

2）直角三角形的性质：
（1）直角三角形两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半；且三边比为1比根号3比2；
（4）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；
（5）在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 (勾股定理)；
（6）直角三角形斜边上的高h等于该直角三角形外接圆半径斜边上的中线等于该直角三角形内切圆半径.
( 7) 直角三角形的垂直平分线交于斜边的中点。

（8）直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

3)直角三角形的判定：
（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形；
（2）一个三角形,如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；
（3）若a^2+b^2=c^2，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边直角三角形（勾股定理的逆定理）；
（4）若三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形；
（5）两个锐角互余的三角形是直角三角形.
4）直角三角形角的性质
若直角三角形ABC中∠C=90°，则
sinA=cosB，sinB=cosA，sinA=cos（90°-A）=sin（180°-A）
cosA=sin（90°-A）=-cos（180°-A）
tanA=-tan（180°-A）
对于特殊角30°，45°，60°，15°，75°，90°
sin30°=cos60°=1/2
sin45°=cos45°=√2/2
sin60°=cos30°=√3/2
sin75°=cos15°=（根号6+根号2）/4 cos75°=sin15°=（根号6-根号2）/4
tan75°=2+根号3 tan15°=2-根号3
sin90°=1 cos90°=0 tan90°=无限大
等腰三角形
1)等腰三角形的定义：
有两边相等的三角形是等腰三角形
2）等腰三角形的性质：
1.等腰三角形的两个底角相等。

（简写成“等边对等角”）
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）
3.等腰三角形的两底角的平分线相等。

（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
6等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)
7等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴
3）.等腰三角形的判定：
有两条边相等的三角形是等腰三角形
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）
在一个三角形中，一边上的高线与此边上的中线，及此边对角角平分线中任意两线重合可推知此三角形为等腰三角形。

等边三角形
等边三角形也称正三角形。

1)等边三角形的定义：
有三边都相等的三角形是等边三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形。

2)等边三角形的性质：（具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊）
1等边三角形的内角都相等，且为60度
2等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
3等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线
3）等边三角形的判定：（首先考虑判断三角形是等腰三角形）
（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形,且每个角都为60°
（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
等腰直角三角形定义
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45度，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为（根号2加1），所以r:R=1:（根号2加1）。

关系
等腰直角三角形的边角之间的关系：
（1）三角形三内角和等于180°；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.
（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.（三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等）.
（2）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。

（3）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

（4）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。

注意！①三角形的内心、重心都在三角形的内部
.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。

（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。

）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

黄金三角形1、名称定义
所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值；对应的还有：黄金矩形等。

2、黄金三角形的分类
黄金三角形分两种：一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；这种三角形既美观又标准。

这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(√5-1)/2. 另一种也是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：(√5-1)/2
3、黄金三角形的特征
黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°.它的腰与它的底成黄金比．当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形．这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线．
黄金三角形的一个几何特征是：它是唯一一种能够由5个与其全等的三角形生成其相似三角形的三角形。

把五个黄金三角形称为“小三角形”，拼成的相似黄金三角形称为“大三角形”。

则命题可以理解为：五个小三角形能够不重叠又不超出地充满大三角形。

要满足这种填充，必要条件之一是大三角形的每条边都可以由若干条小三角形的边相加而成。

根据定义，第一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5+1)/2的等腰三角形，顶角为36°，底角为72°。

设小三角形的底为a，则腰为b=(√5+1)a/2，因为大三角形的面积为小三角形的5倍。

则大三角形的边长
为小三角形对应边长的√5倍，即大三角形的底为A=√5 a，腰为B=√5 *(√5+1)a/2=(√5+5)a/2。

大三角形的腰B与小三角形边的关系满足：
B=2a+b
而大三角形的底A与小三角形边的关系可列举如下：
2ab<A<b+a
可见大三角形底边的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超地来填充（图1）。

故命题错。

另外一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5-1)/2的等腰三角形，顶角为108°，底角为36°。

设小三角形的底为a，则腰为b=(√5-1)a/2。

同样可以证明：
A=2b+a
2b<B<3b
a<B<b+a
可见大三角形腰的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超出地填充（图2）。

故命题错。

事实上，勾为a，股为b=2a的<a>直角三角形可以满足命题要求。

显然，弦c=√a2+b2 =√5 a
大三角形的对应边：
A=√5 a=c
B=2A=2c
C=√5 *(√5a)=5a=2b+a
满足上述必要条件。

是否成立还要验证，结果是对的（图3）。

本三角形是否唯一满足命题还不清楚。

顶角36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍。

顶角是108°的黄金三角形把顶角一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍。