江苏数学高考真题(含答案)

绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕
数学I
考前须知
考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求
1. 本试卷共4页，包含非选择题〔第1题 ~ 第20题，共20题〕.本卷总分值为160分，考试时间为120
分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上
1.集合{}
=1,2A ，{}
=+2
,3B a a ，假设
A B ={1}那么实数a 的值为________
2.复数z=〔1+i 〕〔1+2i 〕,其中i 是虚数单位，那么z 的模是__________
3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，
现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，那么应从丙种型号的产品中抽取 件.
4.右图是一个算法流程图，假设输入x 的值为
1
16
，那么输出的y 的值是 .
5.假设tan 1
-=46πα⎛⎫ ⎪⎝
⎭,那么tan α= .
6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，那么
1
2
V V 的值是
7.记函数2()6f x x x =+-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，那么x ∈ D 的概率是
8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2
213
x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,那么四边形F 1 P F 2 Q 的面积是
9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，36763，44
S S ==， 那么8a =
10.某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，那么x 的值是
11.函数
()3
x
x
1
2x+e -e
-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，假设
()()
2a-1+2a ≤f f 0，那么实数a 的取值范围是 。

12.如图，在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC ,的模分别为1,1，2OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，
OB 与OC 的夹角为45°。

假设OC =m OA +n OB 〔m ，n ∈R 〕，那么m+n=
13.在平面直角坐标系xOy 中，A 〔-12,0〕，B 〔0,6〕，点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，假设PA ·PB ≤20，那么点P 的横坐标的取值范围是
14.设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间)0,1⎡⎣上，()2,,x x D
f x x x D ⎧∈=⎨∉⎩
其中集合D=1
,n x x n N n +⎧
⎫-=
∈⎨⎬⎩⎭
，那么方程f(x)-lgx=0的解的个数是 . 15.〔本小题总分值14分〕
如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F 〔E 与A 、D 不重合〕分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD . 求证：〔1〕EF ∥平面ABC ； 〔2〕AD ⊥AC.
16. 〔本小题总分值14分〕 向量a =〔cos x ,sin x 〕,,
.
〔1〕假设a ∥b ，求x 的值； 〔2〕记
,求
的最大值和最小值以及对应的x 的值
17.〔本小题总分值14分〕
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆10:＞＞22
22x y +=(a b )a b
E 的左、右焦点分别为
F 1，F 2，离心率
为
1
2
，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.
〔1〕求椭圆E 的标准方程；
〔2〕假设直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.
18. 〔本小题总分值16分〕
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm.〔容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计〕 〔1〕将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中局部的长度； 〔2〕将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中局部的长度.
19.〔本小题总分值16分〕
对于给定的正整数k ,假设数列l a n l 满足a a a a a a a --+-++-++++++=1111...
...2n k n k n n n k n k n k =2ka n 对任意正整数n(n> k) 总成立，那么称数列l a n l 是“P(k)数列〞.学科@网
(1)证明：等差数列l a n l 是“P(3)数列〞；
（1） 假设数列l a n l 既是“P(2)数列〞，又是“P(3)数列〞，证明：l a n l 是等差数列. 20.〔本小题总分值16分〕 函数()
f
x =x x +++>∈321(a 0,b R)a bx 有极值，且导函数()f
x ，
的极值点是()
f x 的零点。

〔极值点是指函数取极值时对应的自变量的值〕 （1） 求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2） 证明：b ²>3a; （3） 假设()f x ，()f
x ，
这两个函数的所有极值之和不小于7
-2，求a 的取值范围。

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕
数学II 〔附加题〕
考前须知
考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求
1. 本试卷共2页，均为非选择题〔第21题 ~ 第23题〕。

本卷总分值为40分，考试时间为30分钟。

考试
结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗
21.【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．。

假设多做，那么按作答的前两小题评分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.【选修4-1：几何证明选讲】〔本小题总分值10分〕
如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足。

求证：〔1〕∠P AC =∠CAB ; 〔2〕AC 2 =AP ·AB 。

B.[选修4-2：矩阵与变换]〔本小题总分值10分〕 矩阵A= ，B=
.
(1) 求AB;
假设曲线C 1;22y =182
x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程.
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值10分〕
在平面坐标系中xOy 中，直线l 的参考方程为x 82
t t
y ⎧=-+⎪
⎨=
⎪⎩〔t 为参数〕,曲线C 的参数方程为2
x 2s ,22s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩〔s 为参数〕。

设p 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值学@科@网 Ｄ．［选修4-5：不等式选讲］〔本小题总分值10分〕 a,b,c,d 为实数，且a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,证明ac+bd ≤8.
2
x 2s ,
22s
y ⎧=⎪⎨
⎪=⎩ 22.〔本小题总分值10分〕
如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 13 ，∠BAD =120º. 〔1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； 〔2〕求二面角B-A 1D-A 的正弦值。

23. 〔本小题总分值10〕
N,n≥2〕,这些球除颜色外全部相同。

现将口袋中的球随机的一个口袋有m个白球，n个黑球〔m,n∈2
逐个取出，并放入如下图的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉〔k=1,2,3，……，m+n〕.
〔1〕试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
〔2〕随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证明
2021年高考江苏卷数学试题〔标准答案〕
一 、填空题: 此题考查根底知识、 根本运算和根本思想方法. 每题5 分， 共计70 分.
1. 1
2.10
3.18
4.2-
5.
75
6.
32
7.
59
8. 23
9. 32
10.30
11. 1[1,]2
- 12.3
13.[52,1]-
14. 8
二 、 解答题
15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力 和推理论证
能力.总分值14 分.
证明：〔1〕在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥. 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 〔2〕因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD
平面BCD =BD ，
BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，
所以BC ⊥平面ABD .
因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD . 又AB ⊥AD ，BC
AB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC.
16.本小题主要考查向量共线、数量积的概念及运算， 考查同角三角函数关系、诱导公式、两角 和(差)的三
角函数、三角函数的图像与性质， 考查运算求解能力.学科.网总分值14 分.
解：〔1〕因为
co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，a ∥b ， 所以3cos 3sin x x -=.
假设cos 0x =，那么sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠. 于是3
tan 3
x =-
. 又
，所以5π6
x =
.
〔2〕π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6
f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+
a b . 因为
，所以ππ7π[,]666x +
∈， 从而π31cos()6
2
x -≤+≤. 于是，当ππ
66x +
=，即0x =时，取到最大值3； 当π6
x +=π，即5π6x =时，取到最小值3-17.本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等根底知 识， 考查分
析问题能力和运算求解能力.总分值14 分. 解：〔1〕设椭圆的半焦距为c .
因为椭圆E 的离心率为1
2，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c
=，
解得2,1a c ==，于是223b a c =-=
因此椭圆E 的标准方程是22
143
x y +=.
〔2〕由〔1〕知，1(1,0)F -，2(1,0)F .
设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.
当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001
y x +，直线2PF 的斜率为
01y x -. 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为
001x y -+，直线2l 的斜率为00
1x y --， 从而直线1l 的方程：00
1
(1)x y x y +=-
+， ① 直线2l 的方程：00
1
(1)x y x y -=-
-. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2
00
1(,
)x Q x y --.
因为点Q 在椭圆上，由对称性，得2
0001x y y -=±，即22001x y -=或22
001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200
143
x y +=.
由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得004737,77x y ==；22
002200
114
3x y x y ⎧+=⎪⎨+
=⎪⎩，无解. 因此点P 的坐标为4737
(
,)77
. 18.本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念， 考查正弦定理、余弦定理等根底知识， 考查空间 想象能力和
运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.总分值16 分.
解:〔1〕由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥. 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处. 因为107,40AC AM ==， 所以2
2
40(107)30MC =
-=，从而 3
sin 4
MAC =
∠， 记AM 与水面的焦点为1P ,过1P 作P 1Q 1⊥AC , Q 1为垂足， 那么 P 1Q 1⊥平面 ABCD ，故P 1Q 1=12， 从而 AP 1=
11
16sin P MAC
Q =∠.
答：玻璃棒l 没入水中局部的长度为16cm.
( 如果将“没入水中局部冶理解为“水面以上局部冶，那么结果为24cm)
〔2〕如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1.
记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.学科&网 过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足， 那么GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，
所以KG 1=
6214
242
-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠那么114
sin sin()cos 25
KGG KGG απ=+==∠∠.
因为2απ<<π，所以3cos 5
α=-.
在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7
sin 25
β=. 因为02βπ<<
，所以24cos 25
β=
. 于是42473
sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555
NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=
⨯+-⨯=∠. 记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，那么 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=
22
20sin P NEG
Q =∠.
答:玻璃棒l 没入水中局部的长度为20cm.
(如果将“没入水中局部冶理解为“水面以上局部冶，那么结果为20cm)
19.本小题主要考查等差数列的定义、通项公式等根底知识, 考查代数推理、转化与化归及综 合运用数学知
识探究与解决问题的能力.总分值16 分.
证明:〔1〕因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，那么1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-
122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =
所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“()3P 数列〞.
〔2〕数列{}n a 既是“()P 2数列〞，又是“()3P 数列〞，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①
当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③
n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④
将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,
a a a 是等差数列，设其公差为d'.
在①中，取4n =，那么235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，那么124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.
20.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题, 考查综合运用数学思 想方法分析与
解决问题以及逻辑推理能力.总分值16 分.
解：〔1〕由3
2
()1f x x ax bx =+++，得2
2
2()323()33
a a f x x ax
b x b '=++=++-.
当3
a
x =-时，()f x '有极小值23a b -.
因为()f x '的极值点是()f x 的零点.
所以33()1032793a a a ab f -=-
+-+=，又0a >，故223
9a b a
=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231
(27a )039a b a
-
=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；
3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=
3a x --，2=3
a x -+. 列表如下
故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，
因此223
9a b a
=+，定义域为(3,)+∞.
〔2〕由〔12
9. 设23
()=9t g t t
+，那么22223227()=99t g t t t -'-=.
当)t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在)+∞上单调递增.
因为3a >，所以>(g g
因此2>3b a .
〔3〕由〔1〕知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223
x x a +=-，222
12469a b x x -+=.
从而3232
12111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++
2222
121122121212(32)(32)()()23333
x x x ax b x ax b a x x b x x =
++++++++++ 346420279
a a
b ab -=-+=
记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，
因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213
()=9h a a a -+，3a >. 因为223
()=09h a a a '-
-<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7
(6)=2
h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.
因此a 的取值范围为(36]，.
21.【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．
.假设多做，那么按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-1：几何证明选讲]
本小题主要考查圆与相似三角形等根底知识, 考查推理论证能力.总分值10 分.
证明：〔1〕因为PC 切半圆O 于点C ， 所以PCA CBA =∠∠， 因为AB 为半圆O 的直径， 所以90ACB =︒∠,
因为AP ⊥PC ，所以90APC =︒∠， 所以PAC CAB ∠=∠.
〔2〕由〔1〕知APC ACB △∽△，故AP AC
AC AB
=， 所以2·AC AP AB =. B. [选修4-2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等根底知识, 考查运算求解能力.总分值10 分. 解：〔1〕因为A =0110⎡⎤⎢
⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
， 所以AB =0110⎡⎤⎢
⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 〔2〕设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ,
那么000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002
x y
x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩. 因为00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以22
00188x y +=，
从而22
188
x y +=，即228x y +=.
因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：
22
8x y +=. C. [选修4-5：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的参数方程及互化等根底知识, 考查运算求解能力.总分值10 分. 解：直线l 的普通方程为280x y -+=.
因为点P 在曲线C 上，设2(2,)P s ，
从而点P 到直线l 的的距离22
d =
=，
当s =
min 5
d =
.
因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值5
. D. [选修4-5：不等式选讲]
本小题主要考查不等式的证明, 考查推理论证能力.总分值10分. 证明：由柯西不等式可得：2
2
2
2
2
()()()ac bd a b c d +≤++， 因为2
2
2
2
4,16,a b c d +=+= 所以2
()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤.
22. 【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等根底知识, 考查运用空间向量解决问
题的能力.总分值10 分.
解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ， 所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .
如图，以1{,,}AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz .
因为AB =AD =2，AA 1，120BAD ∠=︒.
那么11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -.
(1) 11(3,1
,3),(3,1A B AC =--=，
那么111111(3,1,3)(3,1,3)1
cos ,77||||
A B AC A B AC A B AC ⋅--⋅=
==-.
因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为
17
.
(2)平面A 1DA 的一个法向量为(3,0,0)AE =. 设(,,)x y z =m 为平面BA 1D 的一个法向量， 又1(3,1
,3),(3,3,0)A B BD =--=-， 那么10,0,A B BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即330,330.
x y z x y --=-+=⎪⎩
不妨取x =3，那么3,2y z ==，
所以3,2)=m 为平面BA 1D 的一个法向量， 从而(3,0,0)3,2)3
cos ,4||||34
AE AE AE ⋅=
==⨯m m m ,
设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，那么3|cos |4
θ=
. 因为[0,]θ∈π，所以2
7sin 1cos 4
θθ=-=
. 因此二面角B -A 1D -A 的正弦值为
74
. 23.【必做题】本小题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等根底知识, 考查组合数及其性质, 考
查运算求解能力和推理论证能力.总分值10分.
解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11
C C n m n n m n n p m n
-+-+==
+. (2) 随机变量 X 的概率分布为:
随机变量 X 的期望为：
1
1
C 111(1)!
()C C (1)!()!n m n
m n
k n n
k n k n
m n
m n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑. 所以1(2)!1
(2)!
()C (1)!()!(1)C (2)!()!m n
m n
n n k n k n
m n
m n
k k E X n k n n n k n ++==++--<
=-----∑∑ 22
2
121(1C C C )(1)C n n n n n m n n
m n
n ----+-+=
++++-
122
2
1121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n n
m n
n ------+-+=
++++-
12
2
21(C C C )(1)C n n n n n m n n
m n
n ---+-+=
+++-
12
221(C C )(1)C n n m n m n n
m n
n --+-+-+=
=
+- 11
C (1)C ()(1)
n m n n
m n n n m n n -+-+==-+- ()()(1)
n
E X m n n <
+-.。