优秀教案双曲线及其标准方程

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高中青年数学教师优秀课教案:双曲线及其标准方程(一)
高中青年数学教师优秀课教案：双曲线及其标准方程（一）
教学目标：
（1）知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；
（2）过程与方法：通过定义及标准方程的深刻开采与探究，使学生进一步体验认识类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的不雅察与探究能力；
（3）情感态度与价值不雅：通过教师指导下的学生交流探索勾当，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题。

教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用
教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多电视台，一根拉链，小夹子
教学过程：
一、复习提问
师：椭圆定义是什么？
生：最简单的面内与两个定点的间隔之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆。

（幻灯片展示椭圆图形及其定义）
二、新课引入
1、设问
师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于常数的点的轨迹是什么？学生思虑（老师在黑板上画出两个点,使F1在左侧,F2在右侧.记=2c,2c>0）。

师：在椭圆里到两个定点的间隔的和这个常数是正数，那么，最简单的面内到两定点的差这个常数还一定是正数吗
生：不一定。

师：多是什么数呢？（学生甲回答：是正数，负数或零）师：当常数是零时动点的轨迹是什么？
生：是线段F1F2的中垂线。

老师做出的中垂线。

师：当常数是正数时的点的位置在什么地方？
生：在线段F1F2的中垂线的右侧。

师：当常数是负数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的左侧。

师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于非零常数的点的轨迹究竟是是什么呢？我们一路做一个实验来探索。

2、实验：（师生共同完成）
道具：一根拉链
详细作法：老师在拉开的拉链双侧各取一点打结（实验前已经丈量好，使两结之间的间隔小于两定点间的间隔），请两位同学协助将两点别离固定在定点F1，F2处，使拉链头在的上方。

将拉链头看作动点M,使M到F1的间隔比M到F2的间隔远。

师：|MF1|比|MF2|长多少？
请同学不雅察，将此中一侧拉链拉过来比较，学生可以很清楚的看到长出的部分。

在|MF1|
比|MF2|长出的地方用颜色鲜艳的小夹子做记号，在三次演示可以清楚的看到，在拉链的拉合中拉链头M到F1的间隔与到F2的间隔差始末是夹子到F1的间隔，间隔差记为2a（2a>0），当拉链头在的下方时，两次演示在拉链的拉合中，动点拉链头M到F1的间隔与到F2的间隔差始末是夹子到F1的间隔，即M到两定点的差始末是夹子到F1的间隔2a。

同学们通过演示不雅察得出,拉链头M到F1的间隔与它到F2的间隔的差始末是正常数.将粉笔放在拉链头处,随着拉链的开合做出一条曲线(在作图过程中要保持将拉链拉直),老师在图的下方板书：|MF1|-|MF2|=2a(a>0);
调换两拉链的固定点，仍然请两位同学协助将两点别离固定在定点F1，F2处，这时候拉链头M到F1的间隔比M到F2的间隔短，使拉链头在的上方。

同样在两次演示过程中提问：|MF1|比|MF2|短多少？让同学们不雅察，在拉链的拉合中,|MF1|始末比|MF2|短夹子到F2的间隔，记为2a（2a>0），当拉链头在的下方时结果相同.同学们很容易不雅察到在拉链的拉合过程中，拉链头到F1的间隔与它到F2的间隔的差始末是负常数,这个常数是2a的相反数，记为-2a。

将粉笔放在拉链头处,随着拉链的合开做出一条曲线(在作图过程中要保持将拉链拉直),画出中垂线的左侧的一条曲线。

在图的下方板书：|MF1|-|MF2|=-2a(a>0)。

师：我们将这两条曲线叫双曲线,此中的一条叫双曲线的一支. 在黑板上板书课题：8.3双曲线的定义及其标准方程。

师：比较每一条曲线满足的条件，这两支曲线，即双曲线上的动点M 满足的条件是什么？生：。

老师板书（2a>0）。

3、研究2a和2c的关系.
师:最简单的面内到两定点的间隔的差的绝对值为常数的动点的轨迹一定是双曲线吗?(原以为双曲线定义已经得到的同学们又开始思虑)
师:与椭圆类比,在椭圆里,到两个定点的间隔之和等于常数2a,只有这个常数2a大于两定点的间隔时,动点的轨迹才是椭圆,当两个定点的间隔之和等于两定点的间隔时,动点的轨迹是之间的线段。

在双曲线里,到两个定点的间隔差2a与两定点的间隔2c之间是否也有巨细关系呢? (同学们的视线又回到适才作出的双曲线图形上)
师:在适才所做的双曲线上任取一点M,它与构成为了三角学形, |MF1|与|MF2|的差也就是三角学形两边的差,同学们欣喜的喊到:三角学形两边的差小于第三边，2a<2c.(若点刚好是双曲线与所在直线的核心,没有构成三角学形，同学们仍然很容易得到2a<2c.)
师:当2a=2c时，动点的轨迹是什么？还是双曲线吗?(同学们不雅察思虑)
师:动点可能在所在的直线以外吗?
生:不可能
师:那么它一定在所在的直线上,它的轨迹是什么呢?同学们细心肠不雅察,兴奋地回答:以为端点的两条向外射线。

师:当2a>2c时，动点有轨迹吗？(若动点在之间,到F1与F2的间隔的差在变化,不是定值,并且的总长为2c,动点到F1与F2的间隔的差的绝对值2a不可能大于2c.
生:当2a>2c时，动点没有轨迹.
师:现在请同学们给出双曲线的准确定义.
生(自信地):最简单的面内到两定点的间隔的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线用投影仪展示双曲线图形及其定义,核心,焦距概念。

三、新课讲解
1、双曲线定义：最简单的面内到两定点的间隔的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即，（2a〈2c）叫双曲线的核心，=2c(2c>0)叫做焦距。

强调：“最简单的面内”、“间隔的差的绝对值”、“常数2a小于”
2、双曲线的标准方程：
师：与求椭圆的标准方程类似，我们根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程。

求曲线方程的基本步骤是什么？
生：（1）建系；（2）设点；（3）列式;（4）化简
老师在投影仪上演示求双曲线标准方程的过程中，同学们在练习本上书写求双曲线标准方程的过程。

提醒同学们需要注意（1）紧紧抓住双曲线定义列式；（2）在化简
到，结合双曲线定义中2a<2c，则c2-a2是正数，与椭圆的标准方程的化简中令b2=a2-c2对比，可以令b2=c2-a2 ，使化简后的标准方程美不雅简洁，最后得到，当核心在轴上，核心是的双曲线标准方程是，
若坐标系的选取不同，核心在轴上，则核心是，由双曲线定义得：
师：与核心在轴的双曲线方程
比较，它们结构有什么异同点？
生：结构相同，只是字母x，y交换了位置。

师：求核心在轴上的双曲线方程，只需把核心在轴上的双曲线标准方中ｘ，ｙ互换即可。

得
3、双曲线的标准方程的独特的地方：
（1）双曲线的标准方程有核心在x轴上和核心y轴上两种：
核心在轴上时双曲线的标准方程为：( , )；
核心在轴上时双曲线的标准方程为：( , )
(2) 有关系式成立，且此中a与b的巨细关系:可以为
4、怎样根据双曲线的标准方程判断核心的位置:
从椭圆的标准方程不难看出,椭圆的核心位置可由方程中含字母、项的分母的巨细来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是核心所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断核心所在的位置，即项的系数是正的，那么核心在轴上；项的系数是正的，那么核心在轴上四、例题讲解
例1 判断下列方程是否表示双曲线.
①方程
②方程
例2 已知双曲线的核心为F1( -5 , 0 ),F2( 5 , 0 )，双曲线上一点P到F1、F2的间隔的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
五、课堂练习
1、a=4,b=3,核心在x轴上;
2、双曲线上一点P到F1的间隔为15,求点P到F2的间隔?
6、小结
1、双曲线的定义及其两类标准方程.是核心在轴上，核心在轴上有关系式成立
2、将双曲线的定义及其两类标准方程与椭圆的定义及其两类标准方程列表对比
七、课后作业
八、板书设计
8．3双曲线及其标准方程（一）
例题２：（解答过程）
=2c ( 2c > 0 )
(2a>0)
2a < 2c
教案说明
一、授课内容数学本质和教学目标定位
通过老师创设情景、启发诱导，师生共同动手实验，使学生经历直不雅感知，不雅察发现，归纳类比，抽象概括，符号表示，运算求解数据处理，反思建构等思维过程，进一步体验认识类比发现法及数形结合等思想方法的运用，提高学生的实践，不雅察，思虑，探究能力,特别是提高类比发现能力；通过教师指导下的师生交流探索勾当，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题，体会数学的科学价值、应用价值、人类社会文化价值，体会数学的系统性、严密性，崇尚数学的理性精神。

对本节课的教学目标从以下几个方面进行定位：（1）知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的深刻开采与探究，使学生进一步体验认识类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的不雅察与探究能力；（3）情感态度与价值不雅：通过教师指导下的学生交流探索勾当，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题，促进学生的数学交流能力，发展学生的创造力，培养学生提出问题的习惯和能力，培养独立思虑，积极探索的习惯。

依据教学目标和学生的认知规律，把理解和掌握双曲线的定义及其标准方程确定为本节课的重点，把对双曲线的定义的理解和掌握确定为本节课的难点。

二、学习本内容的基础及今后作用本节教材所处的地位作用
双曲线的定义及其标准方程内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程，以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例2、例3及几个变式例题。

双曲线在社会出产、日常生活和科学技术上有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对圆锥曲线研究内容的进一步深化和提高。

通过对椭圆的学习，学生已经对“由已知条件求曲线的方程，再从所得方程来研究曲线的几何性质”的解析法有了进一步的认识，为双曲线的学习在数学思想、方法等方面打好了基础，做好了铺垫。

而在双曲线的学习中，如果把双曲线的定义及其标准方程研究透彻、清楚了，不仅很容易解决双曲线的定义及其标准方程（2）中的例2、例3及几个变式例题，而且对双曲线的简单性质的学习打下了坚实基础。

通过对双曲线的定义及其标准方程的学习，对已经学过的椭圆及其标准方程会有更深的理解，对抛物线的学习就会顺理成章,对圆锥曲线部分的解题的有很大帮助，以是这节课在本章中起着承前启后的作用。

双曲线的定义与椭圆的定义相比困难程度增大，以是这节课在本章中的地位很是重要。

三、教学诊断分析
学生在学习了椭圆后，利用类比发现法，学习本节教材中的下列知识点是比较容易的：
1、用求曲线方程的一般方法确定求双曲线的标准方程的基本步骤；
2、应用双曲线定义求双曲线的标准方程；
3、双曲线方程的化简。

在本节教材中，较难理解的地方主要集中在双曲线的定义部分：
1、为何在拉链的拉合过程中拉链头到两个定点的间隔之差的绝对值为定值。

2、为何在定义中对差这个常数要加绝对值；
3、为何2a<2c ；
4、当2a=2c时的图像还是双曲线吗？
5、当2a>2c呢?
四、教学独特的地方和预期效果分析
1、通过实验，让学生主动参与、积极体验认识。

教材中虽然有拉链，有双曲线的图像, 但那是静态的，为何在拉链的拉合过程中拉链头到两个定点的间隔之差的绝对值为定值,学生对本质并没有一个直不雅的理解; 本人用几何画板或动画去做双曲线，不如直接实验得心应
手，经过多次考虑决定用拉链画出双曲线的图像，变抽象为直不雅。

（1）通过实验中的多次演示，以小夹子作为参照物，让学生清楚的看到在拉链的拉合中拉链头M到F1的间隔与到F2的间隔差始末是定值，并且这个定值随着拉链固定点的调换，可正可负，互为相反数。

（2）把拉链头看作动点M,先使M到F1的间隔比M到F2的间隔远，即|MF1|-|MF2|=2a(a>0);将粉笔放在拉链头处,随着拉链的开合做出中垂线右侧一条曲线。

调换两拉链的固定点，这时候拉链头M到F1的间隔比M到F2的间隔短，即|MF1|-|MF2|=-2a(a>0)，将粉笔放在拉链头处,随着拉链的合开画出中垂线的左侧的一条曲线。

这两条曲线叫双曲线,此中的一条叫双曲线的一支. 这两支曲线，即双曲线上的动点M 满足的条件是（2a>0）。

对定义中绝对值的理解就很是直不雅了。

（3）研究2a和2c的关系.在实验的过程中，能用拉链画出双曲线，现实上是需要条件的。

在绘图之前，我已经将两定点的间隔以及差的绝对值的巨细关系定好了，即2a<2c，以保证不仅能画出双曲线，而且使画出的双曲线比较美不雅。

结合图形，与椭圆类比设问：在椭圆里，在双曲线里,到两个定点的间隔差2a与两定点的间隔之间是否也有巨细关系呢? 在双曲线上任取一点M,它与构成为了三角学形, |MF1|与|MF2|的差也就是三角学形两边的差,三角学形两边的差小于第三边，2a<2c.(若点刚好是双曲线与所在直线的核心,同学们仍然很容易得到2a<2c) 然后设问：到两个定点的间隔差为定值的点的轨迹一定是双曲线吗?又对2a=2c的情况做讨论，同学们经过老师的引导和细心肠不雅察,得到这时候的图像是以为端点的两条向外射线。

当2a>2c时，动点没有轨迹.
2、以类比发现思维作为教学的主线(1) 双曲线的定义与椭圆定义类比, (2)双曲线的标准方程与椭圆的标准方程类比⑶双曲线和椭圆中,2a与2c的意义及巨细关系的类比(4)核心在x 轴上的方程与核心在y轴上的方程类比。

3、结合投影仪等形式，加大一堂课的信息容量，提高教学的直不雅性和意见意义性，提高课堂效益。

4、教师创设和谐、愉悦的环境进行引导，用激发兴趣、自主探究的讲解讨论相结合，使学生始末处于问题探索研究状态之中，促进学生说、想、做，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题.进行主动探究学习，形成师生相互作用的教学氛围。

老师捕捉住学生发言中的闪光点和思维的火花，对学生的积极体现给予鼓励和肯定。

预期教学实效：
1、学生对双曲线的定义中的要害词：差，绝对值，2a<2c有很是清晰的理解，对双曲线的标准方程及其标准方程中a，b，c的关系有了深刻的认识，对例1和例2的解决水到渠成。

2、对椭圆的定义和双曲线的定义的区别和联系有深刻的理解；对椭圆的两个标准方程与双曲线的两个标准方程的形式有了清晰的认识。

能结合各自定义说出各自标准方程中的a，b，c的关系。

3、加强了学生的代数运算能力的培养，使学生更深层次到体验认识了类比发现法、化归、数形结合、分类讨论及分析与综合等数学思想方法，为双曲线的定义及其标准方程（2）的学习打下了坚实的基础，为下一节《双曲线的几何性质》的学习即"由数到形"作了坚实铺垫和准备。