高中数学几种排列组合综合问题的解法ppt课件

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例5（2） 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前 考,有多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以 共有 C233 C213种 C取110 法.
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,
可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为
一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元
素内部也可以作排列.
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3.除法消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再 消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置 排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不
相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的
元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素
的202空0/4/档15 之中即可.
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2.捆绑法
相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的 排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素， 然后再进行整体排列.
C42C21C11 6 A22
种分法；
⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，
有3!＝6种给法.
∴共有6×6＝36种不同的发包方式.
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• 练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种 数．
（1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．
变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个， 再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题.
将10个小球串成一串，截为4段有 C93 84
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少 种站法？
解法1：将5个人依次站成一排，有 A55 种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数 A22
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A55 A22
543
A53
解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，
有 A53 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
n! (n m)!
4.组合数公式:
Cn m
An m Am m
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
n!
m!(n m)!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的
为202排0/4列/15 问题,与顺序无关的为组合问题.
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1.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一
般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以
例2 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
解：（1）分两步进行：
♀♀♀♀♀♀
第一步，把甲乙排列(捆绑)： 有A22＝2种捆法甲 乙
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A55＝120种排法
共有2 120＝240种排法
几个元素必须相邻时,先 捆绑成一个元素，再与 其它的进行排列.
解 43人中任抽5人的方法有C45种3 ,正副班长,团支部书书记至
少有1人在内的抽法有
种. C453 C450
结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的
反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排
除.
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• 互斥分类--分类法 • 先后有序--位置法 • 反面明了--排除法 • 相邻排列--捆绑法 • 分隔排列--插空法
单的、具体的问题来求解.
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•5.另两种转化模型 法
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例5（1） 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币 10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法? 分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题 的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但 是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容 易解决问题.
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分组（堆）问题
分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分； ②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分； ⑤有序等分；⑥有序局部等分.)
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆, 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
• 。。。。。。。。。。。
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小结:
本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解题 技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法,排异 法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以选取不 同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可 以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确地解题. 在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如:分类讨论 思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中注意掌握.
种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有84种 .
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变： 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
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变 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不 相邻，共有多少种不同的坐法？
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊 的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所 涉及问题是排列问题.
解 先排学生共有 A种88 排法,然后把老师插入学生之间 的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有
③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘
法原理作积.
④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当
作元素个数作全排列.
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分组（堆）问题
有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每 个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发 包方式？
解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：
⑴先将四项工程分为三“堆”，有
解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多 少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排, 在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一 个,即可将白球分成8份,显然有 C种171 不同的放法,所以名 额分配方案有 种C17.1
结论3 隔板转化模型法:对于某些较复杂的、或较抽
象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简
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变 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有 多少种不同的排法?
分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制, 因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将 她们看成是一个元素来解决问题.
解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 一个人,与5个男生作全排列,有 A种66 排法,其中女生内部 也有 种A排33 法,根据乘法原理,共有 种A不66 A同33 的排法.
解：所有这样的直线共有 A73 210 条， 其中不过原点的直线有 A61 A62 180 条，
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
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变： 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、 团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
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6.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一
种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解 答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
例6. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直 线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标 原点的直线有_________条.
解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
将16个小球串成一串，截为4段有 C135 455
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种 .
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n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
几种排列组合综合问题的解法
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1.排列的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.
3.排列数公式: Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
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巩固练习
1.将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则不同的投法 的种数是（ B ）
A. 34
B. 43
C. A43
D.
C
3 4
2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出
3 种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种
植，不同的种植方法共有（ B ）
A44 A77
种A 排法.
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→ 1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B共有
C51 (51)(81)
C141
条不同的路径.
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4. 隔板法：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例4. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种.
解 不加任何限制条件,整个排法有 种A99,“语文安排在数 学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相 等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种12 .A99 结论5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与 否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出 全体,就可以得到所求.
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∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A53 1 A53
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变式：如下图所示,有5 解: 如图所示
B
横8竖构成的方格图,从
A到B只能上行或右行
也共可有以多看少作条是不同的路线?
1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B
④顺序一定的排列，
A
将一条路经抽象为如下的一个
有
A11 11
排法(5-1)+(8-1)=11格:
解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀
↑ ↑ ↑ ↑↑ ↑
例1 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的一般人排列： 有A55 =120种排法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插空)：
有A62 =30种插入法
共有120 30＝3600种排法
几个元素不能相邻 时,先排一般元素， 再让特殊元素插空.