新教材苏教版高中数学必修第一册第八章函数应用 精品教学课件

即函数的零点为-1,4.
2.选AC.当x<2时,由ex-1-1=0,解得x=1;
当x≥2时,由log3
x2 =10,得
3
即x2-1=3,解得x=2.
=x 21,1
3
所以f(x)的零点为1,2.
3.依题意得f (1=)0,即 a1+1-2a=0,解得a= .2
2
2
3
答案: 2
3
【解题策略】 函数零点的求法
() ()
提示:(1)×.函数需满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0,才能用二分法 求零点. (2)×.用二分法求出的函数零点可能是精确值,也可能是近似值.
2.下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是 ( )
【解析】选A.只有A中图象与x轴交点两侧的函数值不变号,都是正值,因此不能 用二分法.
3.(教材二次开发:例题改编)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的 函数值用二分法逐次计算,参考数据如表:
x
1 1.5
1.25
1.375
1.4375
f(x) -2 0.625 -0.984 -0.260
0.162
则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确到0.1)为________.
【思考】 函数的零点是点吗? 提示:不是,是使f(x)=0的实数x,是方程f(x)=0的根.
2.函数零点范围的判定 (1)条件:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线, 且有__f_(_a_)_f_(_b_)_<_0__; (2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点. (3)本质:利用函数的性质判断零点的存在性. (4)应用:判断零点的存在性、求参数的范围等.
令f(x)=ex+x-8,
因为f(1)=e+1-8=e-7<0,
f(2)=e2+2-8=e2-6>0,
所以x0∈(1,2),所以k=1.
1.函数f(x)=log2(2x+1)的零点是
()
A.1
B.0
C.(0,0)
【解析】选B.令log2(2x+1)=0,解得x=0.
D.(1,1)
2.(2020·淮安高一检测)已知m是函数f(x)= x -2x+2的零点,则实数m∈ ( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
【解析】选B.由f(x)= x -2x+2=0可得, x +2=2x. 作出函数y= x+2与y=2x的图象如图所示,
当0<x<1时,f(x)>0恒成立,没有零点,因为f(1)=1>0,f(2)= 2-2<0,故在(1,2) 上有零点, 结合图象可知, 当x>2时, x+2<2x,即y= x+2恒在y=2x的下方. 故m∈(1,2).
2
f(1)≥1,
所以
a a
2, 所以a≥3,
1或a 3,
当x<1时,f(x)= a-|x+1|的最大值为f(-1)=
2
综上所述,实数a的取值范围是[3,+∞).
>a 1,此时,与y=1有2个交点,
2
答案:[3,+∞)
【解题策略】 判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值. (2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断. (3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数. 则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
【思考】 函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0？ 提示：不一定，如f(x)=x2在区间(-1, 1)上有零点0， 但是f(-1)f(1)=1×1=1>0.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有
【解题策略】 关于函数零点个数的判断
(1)能直接求出零点的直接求零点判断; (2)利用函数的图象判断零点个数. ①原理:函数的零点个数⇐方程的根的个数⇐移项拆分为两个初等函数,函数交点 个数; ②关键:拆分成的两个函数应方便作图.
【变式探究】
(2020·宝鸡高一检测)已知函数f(x)= 数为 ( )
【典例】(2020·启东高一检测)已知函数f(x)=
a
2
x
1
,
x
1,
若函数
（2x a）2, x 1,
y=f(x)-1恰有4个不同的零点,则实数a的取值范围是____.
【思路导引】利用图象确定条件求范围.
【解析】因为函数y=f(x)-1恰有4个不同的零点,
所以函数y=f(x)与函数y=1有4个不同的交点, 所以当x≥1时,f(x)=(2x-a)2,需要与y=1有两个交点,故对称轴为x= a>1,且
3.(教材二次开发:练习改编)函数f(x)=ex+3x+1的零点所在的区间为( )
A.(-2,-1) C. ( 1，0)
2
B. (1， 1)
2
D. (0，1)
2
【解析】选B.函数f(x)=ex+3x+1是连续函数,
因为f(-1)=e-1-3+1<0f,( 1)＝e12 3 1 0,
2
2
故函数的零点所在的区间为 (1， 1).
f(1)=e-1- 3&g;0,f(e)=ee-e- 3>0,
2
2
可得f(x)在(0,1)内存在零点.
2.(2020·镇江高一检测)已知方程ex=8-x的解x0∈(k,k+1)(k∈Z),则k= ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.由方程ex=8-x可得ex+x-8=0,
3.(教材二次开发:练习改编)函数f(x)= ln x-6的零点是________. 【解析】令f(x)= ln x-6=0,则ln x=6,解得x=e6. 答案:e6
类型一 零点的概念及求法(数学运算)
【题组训练】
1.函数f(x)=x2-3x-4的零点是 ( )
A.-1,0
B.0,4
C.1,-4
D.-1,4
ex1 1，x＜2,
2.(多选题)已知函数f(x)=
log3
x2 1 ,
3
x
则f(x)的零点为
2，
A.1 B.-2 C.2
D.3
3.若函数f(x)=ax+1-2a的零点是 1 ,则a=________.
2
()
【解析】1.选D.根据题意,函数f(x)=x2-3x-4,
若f(x)=0,即x2-3x-4=0,解得x=-1或4,
C.(2,3)
D.(3,4)
【思路导引】代入端点值判断符号关系.
【解析】选B.函数f(x)=log8x-
1是连续增函数,因为
3x
f(2)=log82-
1＝1 63
1>01,可得f(1)f(2)<0,
66
所以函数f(x)的其中一个零点所在的区间是(1,2).
f 1 0 1＝ 1 0,
33
角度2 由零点所在的区间求范围
2.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2-2x(x≥0),则函数f(x)的零点个数
为
()
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2020·南通高一检测)函数y=f(x)是定义域为R,周期为2的函数,且当
x∈[-1,1)时,f(x)=1-x2;已知函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)-g(x)在区间
2.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,且其中的四组对应值如表,那么
在下列区间中,函数f(x)不一定存在零点的是 ( )
A.(1,2)
B.[1,3]
C.[2,5)
D.(3,5)
x
1
2
3
5
f(x)
3
-1
2
0
【解析】选D.由题表可知,f(1)=3,f(2)=-1,f(3)=2,f(5)=0. 由f(1)•f(2)<0,可知函数f(x)在(1,2)上一定有零点;则函数f(x)在[1,3]上一定有 零点; 由f(2)•f(3)<0,可知函数f(x)在(2,3)上一定有零点,则函数f(x)在[2,5)上一定有 零点; 由f(3)>0,f(5)=0,可知f(x)在(3,5)上不一定有零点. 所以函数f(x)不一定存在零点的区间是(3,5).
2
4.函数y=x2-bx+1有一个零点,则b=________. 【解析】因为函数有一个零点,所以Δ=b2-4=0, 所以b=±2. 答案:±2
5.(2020·南通高一检测)已知函数f(x)=|x2-5|-2,则函数F(x)=xf(x)-1的零点 的个数为________.
【解析】显然x=0不是函数F(x)的零点,
令F(x)=xf(x)-1=0,则f(x)= 1.
x
故函数F(x)的零点个数即为函数f(x)的图象与函数g(x)= 1的图象的交点个数,
x
在同一坐标系中作两函数图象如图:
由图可知,函数f(x)与函数g(x)的图象有5个交点,即函数F(x)有5个零点. 答案:5
8.1.2 用二分法求方程的近似解
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)任何函数的零点都可以用二分法求得. (2)用二分法求出的函数零点就是精确值.
12x类型三函数增长速度的应用数学建模直观想象角度11利用曲线描述函数变化规律典例当我们在做化学实验时常常需要将溶液注入容器中当溶液注入容器设单位时间内流入的溶液量相同时溶液的高度随着时间的变化而变化在图中请选择与容器相匹配的图象a对应
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点 8.1.2 用二分法求方程的近似解 P45
8.2 函数与数学建模
8.2.1 几个函数模型的比较 8.2.2 函数的实际应用
1.函数的零点 (1)概念:使函数y=f(x)的值为0的_实__数__x_. 零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系:
(2)本质:方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标. (3)应用:利用零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系,实现三种问题的相 互转化.
ln
x
1 2
x
3,
x＞1,
x 2
3x 2
,
x
1,
则函数f(x)的零点个
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.当x≤1时,
令f(x)=0,得x2+ 3 x=0,
2
解得x=- 3 或x=0;
2
当x>1时,令f(x)=0,得ln x- 1x+3=0,
2
故ln x+3= 1 x,
2
在同一直角坐标系中分别作出y=ln x+3,y= 1 x的图象如图所示,
3.选C.因为x∈[-1,1)时,f(x)=1-x2,且f(x)的周期为2, 所以当x∈[2k-1,2k+1)时,f(x)=1-(x-2k)2(k∈Z). 又函数y=f(x)-g(x)在区间[-7,10]内的零点的个数即为f(x)和g(x)=lg|x|的交 点个数,如图所示:
结合图象可得f(x)和g(x)=lg|x|的交点个数为15.
f(a)f(b)<0，则函数在区间(a,b)内有唯一的零点.
()
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上f(a)·f(b)>0,则在区间
(a,b)内一定没有零点.
()
(3)函数f(x)=x2-x+1有零点.
()
提示：(1)×.在区间(a，b)内至少有一个零点. (2)×.如f(x)=x2在区间(-1, 1)上有f(-1)f(1) =1×1=1>0但是在区间(-1, 1)上 有零点0. (3)×.因为方程x2-x+1=0的Δ=1-4=-3<0无根，所以函数没有零点.
[-7,10]内的零点个数为( )
A.11
B.13
C.15
D.17
【思路导引】1.求出零点再判断. 2.先求出x≥0时的零点,再利用奇偶性判断x<0时的零点. 3.利用函数y=f(x)的周期性结合图象求解.
【解析】1.选D.函数f(x)=x3-x=x(x+1)(x-1)=0,解得x=0或x=1或x=-1. 函数f(x)=x3-x的零点的个数是3. 2.选D.当x≥0时,f(x)=x2-2x=0可得,x=0或x=2,因为f(x)为奇函数, 所以f(-2)=-f(2)=0,从而函数f(x)有3个零点:0,2,-2.
【题组训练】
1.函数f(x)=ex-x- 3 (e=2.718 28…是自然对数的底数)一定存在零点的区间
2
是( )
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,e)
【解析】选B.f(x)=ex-x- 3为连续函数,
2
且f(-1)=e-1+1-3 <0,f(0)=1-0- 3 <0,
2
2
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根. (2)几何法:对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象 联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
类型二 零点个数的判断(数学运算、逻辑推理)
【典例】1.函数f(x)=x3-x的零点的个数是
()
A.0 B.1 C.2 D.3
2
观察可知,有1个交点,即f(x)=0在(1,+∞)上有1个解;综上所述,函数f(x)的零点个 数为3.
类型三 函数零点范围的判定(数学运算、逻辑推理)
角度1 判断零点所在的区间
【典例】(2020·菏泽高一检测)函数f(x)=log8x-
1 3x
的一个零点所在的区间
是( )
A.(0,1)
B.(1,2)