2017年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)含答案解析

2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（文
科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知复数z，满足（z﹣1）i=i﹣1，则|z|=（）
A
．B．C．2+i D．
2．已知集合A={x|log2x≤1}，B={x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣∞，2]B．（0，1]C．[1，2]D．（2，+∞）
3．已知=（2，m），=（1，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣2
4．已知直线y=k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的
取值范围为（）
A．[0，+∞）B．[0，] C．（0，] D．（，+∞）
5．执行如图程序，输出的结果为（）
A．513 B．1023 C．1025 D．2047
6．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）
A．42 B．65 C．143 D．169
7．刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）
A
．2 B．2+C．3+D．3+
8．已知f（x）=asinx+b+4，若f（lg3）=3，则f（lg）=（）
A．B．﹣C．5 D．8
9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）
A．ω=π
B．φ=
C．f（x）的单调减区间为（2k﹣，2k+），k∈Z
D．f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z
10．设函数f（0）x=sinx，定义f（1）x=f′[f（0）（x）]，f（2）（x）=f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）=f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）
A． B． C．0 D．1
11．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的
圆柱最大体积为（）
A．B．C．D．
12．已知P（x，y）（其中x≠0）为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则△PAB的面积为（）
A．B．
C．D．与点P的位置有关
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为．
14．在等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19=．
15．已知点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为．
16．已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c．（1）求cosC；
（2）若c=4，求△ABC的面积．
18．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶
图．
（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；
（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；
（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．
19．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？
（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距
离．
20．已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切．
（1）求圆心M的轨迹方程；
（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B 关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．
21．已知函数f（x）=ax+lnx．
（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．
请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．
（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；
（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．
【选修4-5：不等式选讲】
23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．
（Ⅰ）求m﹣n；
（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．
2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知复数z，满足（z﹣1）i=i﹣1，则|z|=（）
A
．B．C．2+i D．
【考点】复数求模．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：（z﹣1）i=i﹣1，∴﹣i•（z﹣1）i=﹣i•（i﹣1），∴z﹣1=1+i，∴z=2+i．
则|z|==．
故选：D．
2．已知集合A={x|log2x≤1}，B={x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣∞，2]B．（0，1]C．[1，2]D．（2，+∞）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求函数定义域求出集合A，解不等式求出集合B，
根据补集与交集的定义写出A∩（∁R B）．
【解答】解：集合A={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，
B={x|＞1}={x|﹣1＞0}={x|0＜x＜1}，
∴∁R B={x|x≤0或x≥1}，
∴A∩（∁R B）={x|1≤x≤2}=[1，2]．
故选：C．
3．已知=（2，m），=（1，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据题意，由向量、的坐标可得+2=（4，m﹣4），又由∥（+2），则有4×m=2×（m﹣4），解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，=（2，m），=（1，﹣2），
则+2=（4，m﹣4），
若∥（+2），则有4×m=2×（m﹣4），即m﹣4=2m，
解可得m=﹣4；
故选：A．
4．已知直线y=k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（）
A．[0，+∞）B．[0，] C．（0，] D．（，+∞）
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，直线y=kx﹣1过定点（0，﹣1），利用数形结合即可得到结论
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域阴影部分，
∵直线y=k（x+1）过定点D（﹣1，0），
∴由图象可知要使直线y=k（x+1）与区域Ω有公共点，
则直线的斜率k≤k BD，
由，得B（1，3），
此时k BD=，
故0＜k，
故选：C．
5．执行如图程序，输出的结果为（）
A．513 B．1023 C．1025 D．2047
【考点】程序框图．
【分析】执行循环体，依此类推，当n=11，不满足条件此时s=2047，退出循环体，从而输出此时的s即可．
【解答】第一次循环，x=3，i=2＜10，
第二次循环，x=7，i=3＜10，
第三次循环，x=15，i=4＜10，
第四次循环，x=31，i=5＜10，
第五次循环，x=63，i=6＜10，
第六次循环，x=127，i=7＜10，
第七次循环，x=255，i=8＜10，
第八次循环，x=511，i=9＜10，
第九次循环，x=1023，i=10≤10，
第十次循环，x=2047，i=11＞10，
输出x=2047，
故选：D．
6．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）
A．42 B．65 C．143 D．169
【考点】归纳推理．
【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．根据对角线条数的数据变化规律进行总结即得．【解答】解：可以通过列表归纳分析得到；
13边形有2+3+4+…+11==65条对角线．
故选B．
7．刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）
A
．2 B．2+C．3+D．3+
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图知该几何体是底面为正方形，
且一侧棱垂直于底面的四棱锥，结合图形求出它的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为正方形，
且一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；
根据图中数据，计算其表面积为
S=S正方形ABCD+S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD
=12
+×1×1+×1×+×1×+×1×1
=2+．
故选：B．
8．已知f（x）=asinx+b+4，若f（lg3）=3，则f（lg）=（）
A．B．﹣C．5 D．8
【考点】抽象函数及其应用；函数的值．
【分析】由已知中f（x）=asinx+b+4，可得：f（x）+f（﹣x）=8，结合lg=﹣lg3可得答案．
【解答】解：∵f（x）=asinx+b+4，
∴f（x）+f（﹣x）=8，
∵lg=﹣lg3，f（lg3）=3，
∴f（lg3）+f（lg）=8，
∴f（lg）=5，
故选：C
9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）
A．ω=π
B．φ=
C．f（x）的单调减区间为（2k﹣，2k+），k∈Z
D．f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出ω的值，可判断出A；
把点（，0）代入解析式化简后，由题意求出φ的值判断出B；由整体思想和正弦函数的单调性求出递减区间，判断出C；由整体思想和正弦函数的对称中心求出f（x）的对称中心，判断出D．
【解答】解：由图象得，A=1，T==1，则T=2，
由得，ω=π，则A正确；
因为过点（，0），所以sin（π+φ）=0，
则π+φ=kπ（k∈Z），φ=+kπ（k∈Z），
又|φ|＜π，则φ=或，所以f（x）=sin（πx）或f（x）=sin（πx+），则B错误；
当f（x）=sin（πx+）时，
由得，，
所以函数的递增区间是（2k﹣，2k+），k∈Z，则C正确；
当f（x）=sin（πx）时，由πx=kπ（k∈Z）得，x=k+（k∈Z），
所以f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z，则D正确；
故选B．
10．设函数f（0）x=sinx，定义f（1）x=f′[f（0）（x）]，f（2）（x）=f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）=f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）
A． B． C．0 D．1
【考点】导数的运算．
【分析】求函数的导数，得到函数导数具备周期性，结合三角函数的运算公式进行求解即可．
【解答】解：f（0）x=sinx，则f（1）x=cosx，f（2）（x）=﹣sinx，f（3）（x）=﹣cosx，f（5）x=sinx，则f（5）x=f（1）（x），即f（n+4）（x）=f（n）（x），
则f（n）（x）是周期为4的周期函数，
则f（1）（x）+f（2）（x）+f（3）（x）+f（4）（x）=sinx+cosx﹣sinx﹣cosx=0，
则f（1）=cos15°=cos
=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=，
故选：A．
11．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）
A．B．C．D．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【解答】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，
则由题意可得，
∴x=2﹣2r，
∴圆柱的体积为V（r）=πr2（2﹣2r）（0＜r＜1），
则V（r）≤π=
∴圆柱的最大体积为，此时r=，
故选：B．
12．已知P（x，y）（其中x≠0）为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则△PAB的面积为（）
A．B．
C．D．与点P的位置有关
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意，O，P，A，B四点共圆，∠APB=∠AOB，tan=2，sin
∠AOB=，求出|PA||PB|，即可得出结论．
【解答】解：由题意，O，P，A，B四点共圆，∠APB=∠AOB，tan=2，
sin∠AOB=，
设P（x，y），双曲线的渐近线方程为y=±2x，则|PA||PB|==，
∴△PAB的面积为•=．
故选C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．
【考点】圆的标准方程．
【分析】根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，由点M、N的坐标结合中点坐标公式可得C的坐标，又由2r=|MN|，结合两点间距离公式可得r的值，由圆的标准方程计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，
又由点M（2，0）、N（0，4）；则有，解可得，
又有2r=|MN|==，则r2=5；
故要求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．
14．在等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19=76．【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列通项公式得a1+9d=a10=4，再由等差数列的前n项和公式得
S19=（a1+a19）=19a10，由此能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，
∴，
解得a1+9d=a10=4，
S n为数列{a n}的前n项和，
则S19=（a1+a19）=19a10=76．
故答案为：76．
15．已知点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为e．【考点】对数的运算性质；基本不等式．
【分析】点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，可得，两边取对数可得lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=a lnb，可得lnt=lna•lnb，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，∴，可得lnb=2﹣lna，即lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．
令t=a lnb，∴lnt=lna•lnb≤=1，当且仅当lna=lnb=1，即a=b=e时取等号．
∴t≤e．
故答案为：e．
16．已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四
个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求解面积最大值时的点的坐标，利用焦点坐标，转化求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，可得c=1，
两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大，设在第一象限的交点为：（m，n），可得S=4mn，
≥2=，当且仅当时，mn≤，此时四边形的面积取得最大值，
解得m=，n=，可得双曲线的实轴长2a=﹣
===
，
双曲线的离心率为：=．
故答案为：．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c．（1）求cosC；
（2）若c=4，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由题意和正弦定理列出方程后，由二倍角的正弦公式化简后求出cosC；
（2）由条件求出b，由内角的范围和平方关系求出sinC，由余弦定理列出方程化简后求出a，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵B=2C，2b=3c，
∴由正弦定理得，，
则，即cosC==；
（2）∵2b=3c，且c=4，∴b=6，
∵0＜C＜π，cosC=，
∴sinC==，
由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，
则，
即a2﹣9a+20=0，解得a=4或a=5，
当a=4时，△ABC的面积S===，
当a=5时，△ABC的面积S===．
18．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶
图．
（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；
（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；
（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图．【分析】（Ⅰ）利用茎叶图能求出女生打分的平均分和男生打分的平均分，从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．
（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为0.45，由此能求出最高矩形的高．
（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出有女生被抽中的概率．
【解答】解：（Ⅰ）女生打分的平均分为：
=（68+69+75+76+70+79+78+82+87+96）=78，
男生打分的平均分为：
=（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）=69．
从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．
（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：
2人，4人，9人，4人，1人，
打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为：=0.45，
∴最高矩形的高h==0.045．
（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，
从中抽取3人，基本事件总数n==20，
有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，
∴有女生被抽中的概率p=1﹣=1﹣=．
19．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？
（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距
离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC，证明AD∥OP，即可证明AD∥平面MPC？
（Ⅱ）当点P为AB边中点时，利用等体积方法，即可求点B到平面MPC的距离．
【解答】解：（Ⅰ）在AB 边上存在点P ，满足PB=2PA ，使AD ∥平面MPC ． 连接BD ，交MC 于O ，连接OP ，则由题意，DC=1，MB=2，∴OB=2OD ， ∵PB=2PA ， ∴OP ∥AD ，
∵AD ⊄平面MPC ，OP ⊂平面MPC ， ∴AD ∥平面MPC ；
（Ⅱ）由题意，AM ⊥MD ，平面AMD ⊥平面MBCD ，∴AM ⊥平面MBCD ，
∴P 到平面MBC 的距离为，
△MBC 中，MC=BC=，MB=2，∴MC ⊥BC ，∴S △MBC =
=1，
△MPC 中，MP=
=CP ，MC=
，∴S △MPC =
=
．
设点B 到平面MPC 的距离为h ，则由等体积可得
，∴h=
．
20．已知动圆M 恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切． （1）求圆心M 的轨迹方程；
（2）动直线l 过点P （0，﹣2），且与点M 的轨迹交于A 、B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点． 【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．
【分析】（1）由题意可知圆心M 的轨迹为以（0，1）为焦点，直线y=﹣1为准线的抛物线，根据抛物线的方程即可求得圆心M 的轨迹方程；
（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y=kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则C （﹣x 2，y 2）．代入抛物线方，由韦达定理及直线直线AC 的方程为：y ﹣y 2=﹣
（x +x 2），把根与系数的关系代入可得4y=（x 2﹣x 1）x +8，
令x=0，即可得出直线恒过定点．
【解答】解：（1）∵动点M到直线y=﹣1的距离等于到定点C（0，1）的距离，
∴动点M的轨迹为抛物线，且=1，解得：p=2，
∴动点M的轨迹方程为x2=4y；
（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．
联立，化为x2﹣4kx+8=0，
△=16k2﹣32＞0，
解得k＞或k＜﹣．
∴x1+x2=4k，x1x2=8．
直线直线AC的方程为：y﹣y2=﹣（x+x2），
又∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，
∴4ky﹣4k（kx2﹣2）=（kx2﹣kx1）x+kx1x2﹣kx22，
化为4y=（x2﹣x1）x+x2（4k﹣x2），
∵x1=4k﹣x2，
∴4y=（x2﹣x1）x+8，
令x=0，则y=2，
∴直线AC恒过一定点（0，2）．
21．已知函数f（x）=ax+lnx．
（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（I）令f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，使用分离参数法求出a的范围；（II）令h′（x）=0，结合二次函数的性质和极值点的定义可判断h（x1）＜h（x2），
根据根与系数的关系化简|h（x1）﹣h（x2）|=﹣x12++2lnx1，求出右侧函
数的最大值即可证明结论．
【解答】解：（I）∵f（x）在区间（0，1）上单调递增，
∴f′（x）=a+≥0，x∈（0，1），
即a，
∵x∈（0，1），∴﹣＜﹣1，
∴a≥﹣1．
（II）证明：h（x）=﹣﹣ax﹣lnx，h′（x）=﹣x﹣a﹣，x∈（0，+∞）．令h′（x）=0得x2+ax+1=0，
∵函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），
∴方程x2+ax+1=0有两解x1、x2，且x1∈[，1），
∴x1•x2=1，x1+x2=﹣a，且ax1=﹣1﹣x12，ax2=﹣1﹣x22，x2∈（1，2]．
∴当0＜x＜x1时，h′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，h′（x）＞0，当x＞x2时，h′（x）＜0，
∴x1为h（x）的极小值点，x2为h（x）的极大值点，
∴|h（x1）﹣h（x2）|=h（x2）﹣h（x1）=﹣x22﹣ax2﹣lnx2+x12+ax1+lnx1
=x22﹣x12+ln=﹣x12++2lnx1，
令H（x1）=﹣x12++2lnx1，
则h′（x1）=﹣x1﹣+==﹣＜0，
∴H（x1）在[，0）上是减函数，
∴H（x1）≤H（）=﹣2ln2＜2﹣ln2，
即|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．
请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．
（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；
（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）先求出曲线C2方程，再求出参数方程；
（Ⅱ）将直线的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，化简整理，运用韦达定理，即可得到所求|MA|•|MB|的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，曲线C1的极坐标方程是ρ=1，直角坐标方程为x2+y2=1，
曲线C2方程为x2+y2=1，参数方程为（θ为参数）．
（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程x2+y2=1，
化简得5t2+t﹣8=0，
即有t1t2=﹣，
可得|MA|•|MB|=|t1t2|=．
【选修4-5：不等式选讲】
23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．
（Ⅰ）求m﹣n；
（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）讨论2x﹣3≥0或2x﹣3＜0，求出不等式|2x﹣3|＜x的解集，得出不等式x2﹣mx+n＜0的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；
（Ⅱ）根据a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）2的最小值，即可得出a+b+c的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当2x﹣3≥0，即x≥时，不等式|2x﹣3|＜x可化为2x﹣3＜x，
解得x＜3，∴≤x＜3；
当2x﹣3＜0，即x＜时，不等式|2x﹣3|＜x可化为3﹣2x＜x，
解得x＞1，∴1＜x＜；
综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；
∴不等式x2﹣mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，
∴方程x2﹣mx+n=0的两实数根为1和3，
∴，
∴m﹣n=4﹣3=1；
（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n=1，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）
≥（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）
=3（ab+bc+ca）=3；
∴a+b+c的最小值是．
2017年4月5日。