2008年高考理科数学试题及参考答案(广东卷)

2008年高考数学广东理科试卷含详细解答
一. 选择题（本大题共8小题，共0分）
1. （2008年广东理1）已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
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题目ID：
44905c72-eced-4edd-a8ef-20026aee4e05
答案：
C
难度：
B
考查点：
复数的模，复数
解析：
，而，即，
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
复数的模，复数
2. （2008年广东理2）记等差数列的前项和为，若，，则（）
A.16
B.24
C.36
D.48
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题目ID：
b4ff9601-6867-400e-b82e-a38db8c2c7ac
答案：
D
难度：
B
考查点：
数列
解析：
，，故
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
数列
3. （2008年广东理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名
学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )
A.24
B.18
C.16
D.12
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题目ID：
a807cd59-2a5b-4ef6-a1a2-2bd99a075e86
答案：
C
难度：
C
考查点：
分层抽样
解析：
依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各
个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
分层抽样
4. （2008年广东理4）若变量满足则的最大值是( )
A.90
B.80
C.70
D.40
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题目ID：
-78a0-4a87-a0e8-875c6e817bdf
答案：
C
难度：
C
考查点：
简单的线性规划问题，不等式
解析：
画出可行域（如图），在点取最大值
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
简单的线性规划问题，不等式
5. （2008年广东理5）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）
A. B. C. D.
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题目ID：
834f4469-408d-4049-a901-adbd613afc19
答案：
A
难度：
C
考查点：
空间几何体的三视图，立体几何
解析：
解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
空间几何体的三视图，立体几何
6. （2008年广东理6）已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，
则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
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题目ID：
a8b7ce9f-1d8f-4178-bc65-c01798cde3eb
答案：
D
难度：
C
考查点：
逻辑联结词，真值表
解析：
不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有为真命题
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
逻辑联结词，真值表
7. （2008年广东理7）设，若函数，有大于零的极值点，则( )
A. B.
C. D.
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题目ID：
cf-f916-4040-9873-f72a3
答案：
B
难度：
C
考查点：
函数与导数
解析：
，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。

当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
函数与导数
8. （2008年广东理8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则( )
A. B. C. D.
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题目ID：
d7862d00-1ae2-4b93-8f91-f2192e2012a6
答案：
B
难度：
C
平面向量
解析：
此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的加减法
则易得答案B.
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
平面向量
二. 填空题（本大题共7小题，共0分）
9. （2008年广东理9）阅读图3的程序框图，若输入，，则输出________，
i=________
（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）
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题目ID：
a67fd87d-f908-48bc-912b-60bcb
答案：
12 3
难度：
C
程序框图，算法与框图
解析：
要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍数12，即此时有。

点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
程序框图，算法与框图
10. （2008年广东理10）已知（k 是正整数）的展开式中，的系数小于120，则________．
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题目ID：
c30ef329-4bbd-40b9-8d6c-8683b9c66f36
答案：
1
难度：
C
考查点：
二项展开式的通项，二项式定理，计数原理
解析：
按二项式定理展开的通项为，
我们知道的系数为，即，也即，
而是正整数，故只能取1。

点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
二项展开式的通项，二项式定理，计数原理
11. （2008年广东理11）经过圆的圆心，且与直线垂直的直
线方程是________ ．
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题目ID：
a84b8f8c-153f-4e36-b58e-114ad25fff20
答案：
难度：
C
考查点：
直线的点斜式方程，圆的标准方程，直线与圆的方程，平面解析几何
解析：
易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
直线的点斜式方程，圆的标准方程，直线与圆的方程，平面解析几何
12. （2008年广东理12）已知函数，，则的最小正周期是________．
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题目ID：
66b1c02a-5651-4e63-bec9-4a8763ca0178
答案：
难度：
D
考查点：
正、余弦函数的周期性，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，三角函数
解析：
,
所以函数的最小正周期
点拨：
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
正、余弦函数的周期性，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，三角函数
13. （2008年广东理13）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别
为，，则曲线与交点的极坐标为
________．
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题目ID：
2c4015c1-2f78-4cac-baaa-aadb4
答案：
难度：
C
考查点：
极坐标与平面直角坐标的互化，坐标系与参数方程
解析：
解方程组得,即两曲线的交点为
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
极坐标与平面直角坐标的互化，坐标系与参数方程
14. （2008年广东理14）（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程
有实根，则的取值范围是________．
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题目ID：
4b4d9755-f560-4c96-9ebc-ed6c3c4a2acb
难度：
C
考查点：
不等式选讲
解析：
方程即,左边在数轴上表示点到原点和的距离的和，
易见（等号成立），而右边的最大值是，所以方程有解
当且仅当两边都等于，可得实数的取值范围为
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
不等式选讲
15. （2008年广东理15）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2 ．AC 是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=________
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题目ID：
a5942b21-e46f-4945-b1e8-86dfdd6a4eb8
答案：
难度：
C
考查点：
暂无
解析：
如图，我们知道,由相似三角形的性质我们有
,即。

点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
暂无
三. 解答题．（本大题共6小题，共0分）
16. （2008年广东理16）已知函数，的最大值是1，其图像经过点．
（1）求的解析式；（2）已知，且，，求
的值．
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题目ID：
c5d2452e-a6cd-49f4-84ec-1abecda1bd08
答案：
(1)依题意有,则,将点代入得,
而,,,故;
(2)依题意有,而,
,。

难度：
C
考查点：
两角和与差的余弦公式，三角恒等变换，三角函数
解析：
暂无
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
两角和与差的余弦公式，三角恒等变换，三角函数
17. （2008年广东理17）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6
万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果
此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
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题目ID：
2168e793-b979-4195-b262-3bbcb8
答案：
的所有可能取值有6,2,1,-2;,
,
故的分布列为:
(2)
(3)设技术革新后的三等品率为,则此时1件产品的平均利润为
依题意,,即,解得所以三等品率最多为
难度：
C
考查点：
离散型随机变量的分布列，随机变量的数学期望
解析：
暂无
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
离散型随机变量的分布列，随机变量的数学期望
18. （2008年广东理18）设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得
为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
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题目ID：
f2bc1ffb-c29f-431f-82a0-5542a76878c2
答案：
(1)由得,
当得,G点的坐标为,
,,
过点G的切线方程为即,
令得,点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为, 即,即椭圆和抛物线的方程分别为和;
(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个, 同理以为直角的只有一个;
若以为直角,则点在以为直径的圆上,而以为直径的圆与抛物线有两个交点。

所以以为直角的有两个;
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。

难度：
C
考查点：
椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，抛物线的标准方程，圆锥曲线与方程，平面解析几何
解析：
暂无
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，抛物线的标准方程，圆锥曲线与方程，平面解析几何
19. （2008年广东理19）设，函数，，
，试讨论函数的单调性．
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题目ID：
fa-17ee-464d-af38-a832
答案：
对于,
当时,函数在上是增函数;
当时,函数在上是减函数,在上是增函数;
对于,
当时,函数在上是减函数;
当时,函数在上是减函数,在上是增函数。

难度：
D
考查点：
分段函数，利用导数研究函数的单调性，函数与导数
解析：
暂无
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
分段函数，利用导数研究函数的单调性，函数与导数
20. （2008年广东理20）如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．
（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；
（3）当时，求的面积．
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题目ID：
c5dd1244-a556-4aed-a4ef-ba0c
答案：
(1)在中,,
而PD垂直底面ABCD,
,
在中,,即为以为直角的直角三角形。

设点到面的距离为,由有,即
,;
(2),而,即,,
,是直角三角形;
(3)时,,
即,
的面积
难度：
D
考查点：
直线与平面所成的角，立体几何
解析：
暂无
点拨：
暂无
解题方法：
暂无
思想方法：
暂无
涉及知识：
直线与平面所成的角，立体几何
21. （2008年广东理21）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；
（3）若，，求的前项和．
答案：
(1)由求根公式,不妨设,得
,
(2)设,则,由
得,
消去,得,是方程的根,由题意可
知,
①当时,此时方程组的解记为
即、分别是公比为、的等比数列,
由等比数列性质可得,, 两式相减,得
,,
,
,即,
②当时,即方程有重根,,
即,得,不妨设,由①可知
,,
即,等式两边同时除以,得,即
数列是以1为公差的等差数列,
,
综上所述,
(3)把,代入,得,解得。