平面向量的数量积练习题

§5.3 平面向量的数量积

一、选择题

1．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，

则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0.

答案：D

2．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2

解析 ∵a·c ＝a·⎣⎢⎡⎦

⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a·a a·b b ＝a·a －⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2a·b a·b ＝a 2－a 2＝0， 又a ≠0，c ≠0，∴a ⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π2，故选D.

答案 D

3. 设向量a r =（1.cos θ）与b r =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ ）

B 12

C .0 D.-1 解析 22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=r r r r Q 正确的是C. 答案C

4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )．

A ．－4

B ．4

C ．－2

D ．2

解析 设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投

影的乘积，而cos θ＝a ·b |a ||b |＝－23，

∴|a |cos θ＝6×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－23＝－4. 答案 A

5．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大

值为( )． A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2

解析 由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0，及(a －c )(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，

故|a ＋b －c |≤1.

答案 B

6．已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a·b x ＋1在x

∈R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( )

A.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π6 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2 D.⎝ ⎛⎦

⎥⎤π6，π 解析 ∵f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a·b x ＋1在x ∈R 上有极值，∴f ′(x )＝0有两不相等的

实根，∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a·b ＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a |2－8a·b ＞0，即a·b ＜12|a |2，∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |，|a |＝3|b |，

∴cos 〈a ，b 〉＜12|a |2|a ||b |＝32，∵0≤〈a ，b 〉≤π，

∴π6＜〈a ，b 〉≤π.

答案 D

7．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是

( )．

A.P 1P 2→·P 1P 3→

B.P 1P 2→·P 1P 4→

C.P 1P 2→·P 1P 5→

D.P 1P 2→·P 1P 6→

解析 由于P 1P 2→⊥P 1P 5→，故其数量积是0，可排除C ；P 1P 2→与P 1P 6→的夹角是2π3，

故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，

则P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→||P 1P 3→|cos 30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→||P 1P 4→|cos 60°＝a 2. 答案 A

二、填空题

8．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a －3b |等于________． 解析 ∵|a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝10－6×cos60°＝7，∴|a －3b |＝7. 答案 7

9.已知向量(3,2)a =-r , (31,4)a m m =--r ，若a b ⊥r r ，则m 的值为 ．

解析 ,3(31)(2)(4)0,1a b a b m m m ⊥∴⋅=-+--=∴=r r r r

Q

答案 1

10．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.

解析 设a 与b 夹角为θ，由题意知|a |＝1，|b |＝1，θ≠0且θ≠π.由a ＋b 与向量k a －b 垂直，得

(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k |a |2＋(k －1)|a ||b |cos θ－|b |2＝0，(k －1)(1＋cos θ)＝0. 又1＋cos θ≠0，∴k －1＝0，k ＝1.

答案 1

11．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a ·b ＝0，

则实数k 的值为________．

解析 由题意知：a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0, 化简可求得k ＝54.

答案 54