沪科版八年级数学上课本复习讲义

八年级数学上期末课本复习讲义
第十二章平面直角坐标系小结
一、平面内点的坐标特征
1、各象限内点P（a ，b）的坐标特征：
第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0 （说明：一、三象限，横、纵坐标符号相同，即ab>0；二、四象限，横、纵坐标符号相反即ab<0。

）
2、坐标轴上点P（a ，b）的坐标特征：
x轴上：a为任意实数，b=0；y轴上：b为任意实数，a=0；坐标原点：a=0，b=0
（说明：若P（a ，b）在坐标轴上，则ab=0；反之，若ab=0，则P（a ，b）在坐标轴上。

）
3、两坐标轴夹角平分线上点P（a ，b）的坐标特征：
一、三象限：a=b；二、四象限：a=－b
二、对称点的坐标特征
点P（a ，b）关于x轴的对称点是（a ，－b）；
关于y轴的对称点是（－a ，b）；
关于原点的对称点是（－a ，－b）
三、点到坐标轴的距离
点P（x ，y）到x轴距离为∣y∣，到y轴的距离为∣x∣
四、（1）横坐标相同的两点所在直线垂直于x轴，平行于y轴；
（2）纵坐标相同的两点所在直线垂直于y轴，平行于x轴。

五、点的平移坐标变化规律
坐标平面内，点P（x ，y）向右（或左）平移a个单位后的对应点为（x＋a，y）或（x －a，y）；点P（x ，y）向上（或下）平移b个单位后的对应点为（x，y＋b）或（x，y－b）。

（说明：左右平移，横变纵不变，向右平移，横坐标增加，向左平移，横坐标减小；上下平移，纵变横不变，向上平移，纵坐标增加，向下平移，纵坐标减小。

简记为“右加左减，上加下减”）
六、在平面直角坐标系中求图形的面积
常用“割补法”。

割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，然后相加即可。

补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的那些部分。

【例1】（2006，苏州）在图2的直角坐标系中，△ABC的顶
点都在网格点上，其中，A•点坐标为（2，－1），则△ABC的面积
为_______平方单位．
解析：△ABC的面积可以看作一个长方形的面积减去三个直角
三角形的面积。

3×4－
111
311324
222
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=5．所以填5．
【点拨】1）“补”的思想；2）三角形的面积公式：“底乘高除以2”你还记得吗？
【例2】如图，在四边形ABCD中，A、B、C、D的四个点的坐标分别为（0，2）（1，0）（6，2）（2，4），求四边形ABCD的面积。

分析：四边形ABCD可以分成三角形ADC与三角形ABC。

解：三角形ADC的面积为
1
62
2
⨯⨯=6，
三角形ABC的面积为
1
62
2
⨯⨯=6，
所以四边形ABCD的面积为6+6=12．
【点拨】1）“割”的思想；2）三角形的底和高要一眼看出。

【例3】在直角坐标系中，已知点A（－5，0），点B（3，
0），△ABC的面积为12，试确定点C的坐标特点．
解：设点C的纵坐标为b，则根据题意，
得
1
2
×AB×│b│=12．
∵AB=3+5=8，
∴
1
2
×8×│b│=12．∴b=±3．
∴点C的纵坐标为3或－3，即点C在平行于x轴且到x轴的距离为3的直线上．
【点拨】1）数形结合是解答此类题的较好方法，最好画个图看看。

2）考虑要全面，不要漏掉纵坐标为－3的情况。

1234567
-1o
1
2
3
4
5
6
-1
-2
x
y
C
D
A
B
3）如果在该题加一个条件“点C 在y 轴上”，那么点C 的坐标就是（0，3）或（0，－3）。

第十三章 一次函数
一、函数的概念
在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯 一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量 ，y 是x 的函数。

思考：下面２个图形中，哪个图象是y 关于x 的函数
二、函数有几种表示方式？
正方形的面积S 与边长 x 的函数关系为：S=x 2
(x ＞
0)
（1）解析式法 （2）列表法 （3）图象法
三、确定函数自变量的取值范围
1、自变量以整式形式出现，自变量的取值范围是全体实数；
2、自变量以分式形式出现，自变量的取值范围是使分母不为0的数；
3、自变量以偶次方根形式出现，自变量的取值范围是使被开方数大于或等于0（即被开方数≥0）的数；
自变量以奇次方根形式出现，自变量的取值范围是全体实数。

4、自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，自变量的取值范围是使底数不为0的数。

（说明：（1）当一个函数解析式含有几种代数式时，自变量的取值范围是各个代数式中自变量取值范围的公共部分；
（2）当函数解析式表示具有实际意义的函数时，自变量取值范围除应使函数解析式有意义外，还必须符合实际意义。

）
四、 一次函数
1、 一般形式：y=k x ＋b （k 、b 为常数，k ≠0），当b=0时，y=k x （k ≠0），此时y 是x 的正
比例函数。

2、一次函数的图像与性质
3、确定一次函数图像与坐标轴的交点
（1）与x 轴交点：)0,(k
b
-，求法：令y=0，得k x ＋b=0，再解方程，求x ；
（2）与y 轴交点：（0，b ），求法：令x=0，求y 。

4、确定一次函数解析式———待定系数法
确定一次函数解析式，只需x 和y 的两对对应值即可求解。

具体求法为： （1）设函数关系式为：y=k x ＋b ； （2）代入x 和y 的两对对应值，得关于k 、b 的方程组；
（3）解方程组，求出k 和b 。

5、k 和b 的意义 （1）∣k ∣决定直线的“平陡”。

∣k ∣越大，直线越陡（或越靠近y 轴）；∣k ∣越小，直线越平（或越远离y 轴）；
（2）b 表示在y 轴上的截距。

（截距有正负之分）
6、由一次函数图像确定k 、b 的符号 （1）直线上升，k>0；直线下降，k<0；
（2）直线与y 轴正半轴相交，b>0；直线与y 轴负半轴相交，b<0
7、两条直线的位置关系
222111b x k y l b x k y l +=+=：和直线：直线
{{有无数交点）
与重合（与）
（没有交点）与平行（与）
（有且只有一个交点）
与相交（与）（21212121212121212
1212
1321l l l l l l l l l l l l k k k k b b k k b b ⇔⇔⇔≠===≠
8、x=a 和y=b 的图象
x=a 的图象是经过点（a ，0）且垂直于x 轴的一条直线； y=b 的图象是经过点（0 ，b ）且垂直于y 轴的一条直线。

9、由一次函数图像确定x 和y 的范围
（1）当x >a （或x<a ）时，求y 的范围。

求法：直线x=a 右侧（或左侧）图象所对应的y 的取值范围。

（2）当y >b （或y<b ）时，求x 的范围。

求法：直线y=b 上方（或下方）图象所对应的x 的取值范围。

（3）当a <x <b 时，求y 的范围。

求法：直线x=a 和x=b 之间的图象所对应的y 的取值范围。

（4）当a <y<b 时，求x 的范围。

求发：直线y=a 和y=b 之间的图象所对应的x 的取值范围。

例如：如图
10、一次函数图象的平移 设m >0，n>0
（1）左右平移：直线y=k x ＋b 向右（或向左）平移m 个单位后的解析式为y=k （x －m ）＋b
或y=k （x ＋m ）＋b 。

（2）上下平移：直线y=k x ＋b 向上（或向下）平移n 个单位后的解析式为y=k x ＋b ＋n 或y=k x ＋b －n
（说明：规律简记为“左加右减，上加下减”，左右对x 而言，上下对y 而言。

）
11、由图象确定两个一次函数函数值的大小
三、二元一次方程组的图象解法（略）
关于学习一次函数部分的必背知识点
一开始接触“函数”这个概念时还是非常陌生的。

因为转眼望去，前面的单元基本是“小学”和“初一”接触过得。

而对于“函数”来说确是几乎“一无所知”。

只知道初一老师说过“可能性”和“函数”有着密切的关系。

翻开这个单元时，真的有点“丈二和尚摸不着头脑”。

下面就把一次函数的一些基础知识进行总结，所有的有关一次函数的试题都是以这些知识为基础的深入和变换。

一次函数的性质
1.y 的变化值与对应的x 的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k≠0)（k 为任意不为零的实数b 取任何实数）
2.当x=0时，b 为函数在y 轴上的截距。

3.k 为一次函数y=kx+b 的斜率,k=tg 角1(角1为一次函数图象与x 轴正方向夹角) 一次函数的图像及性质
1．作法与图形：通过如下３个步骤
（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]； （2）描点；
（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道２点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x 轴和y 轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P （x ，y ），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y 轴交点的坐标总是（0，b)，与x 轴总是交于（-b/k ，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：
y=kx时
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线必通过原点,经过一、三象限
当b＜0时，直线必通过三、四象限。

y=kx+b时：
当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限。

当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限。

当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）
确定一次函数的表达式
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

一次函数在生活中的应用
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

设水池中原有水量S。

g=S-ft。

一次函数部分是历届中考的重要部分，有些同学对这一部分有抵触心理，感觉很难学很害怕学，因此学习过后成绩也很不理想，其实只要牢记这些基础知识再加以灵活的运用，相信一次函数也就没那么可怕了！
第十四章三角形中的边角关系
一、三角形的分类
1、按边分类：
2、按角分类：
不等边三角形直角三角形
三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形
钝角三角形
二、三角形的边角性质
1、三角形的三边关系：
三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。

2、三角形的三角关系：
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。

三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°。

3、三角形的外角性质
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

三、三角形的角平分线、中线和高
（说明：三角形的角平分线、中线和高都是线段）
四、命题
1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题。

2、命题分类
真命题：正确的命题 命题
假命题：错误的命题
3、互逆命题
4、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子，称为反例。

原命题：如果p ，那么q ；
逆命题：如果q ，那么p 。

（说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。

）
第十五章 全等三角形
全等三角形
一、性质：
1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2：全等三角形有哪些性质？
（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

二、判定：
1、“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS ） ABC 和△DEF 中 ∵ AB=DE
∠B=∠E
BC=EF ∴△ABC ≌△DEF 2、ASA ） 在△ABC 和△DEF 中 ∵ ∠B=∠E BC=EF
∠C=∠F
∴△ABC ≌△DEF
3、“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS ） 在△ABC 和△DEF 中
∵
∠B=∠E ∠C=∠F AB=DE
∴△ABC ≌△DEF
4、“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS ）
在△ABC 和△DEF 中
∵ AB=DE
BC=EF
AC=DF
∴△ABC ≌△DEF
HL ）
在Rt △ABC 和
Rt △DEF 中
∵ AB=DE
AC=DF ∴ Rt △ABC ≌Rt △DEF
三、方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
找第三边 （1）：已知两边---- 找夹角
找是否有直角
找这边的另一个邻角(ASA) 已知一边和它的邻角—— 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) (2): 已知一边一角---
已知一边和它的对角—— 找一角(AAS)
已知角是直角，找一边(HL) (3): 已知两角--- 找两角的夹边(ASA)
找夹边外的任意边(AAS)
要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。

（割）
2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。

（补）
如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由。

四、学习全等三角形应注意以下几个问题：
1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；
2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”、“余角”、 “补角”、“外角”等等。

第十六章 轴对称图形与等腰三角形
一、轴对称图形与轴对称
1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。

这条直线叫做对称轴。

（说明：轴对称图形的对称轴可以是一条，可能是多条或无数条。

）
2、轴对称：如果一个图形沿着一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称。

这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点叫做对称点。

3、轴对称性质：
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段。

（2）如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线
1、定义：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。

2
∵直线l垂直平分AB，点P在l上∴ PA=PB
3、
∵ PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、性质：（1）等腰三角形两个底角相等。

简称“等边对等角”。

推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角等于60°。

（2）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边。

（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一）
3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。

简称“等角对等边”。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

四、等边三角形
1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、性质：等边三角形的三边相等；三个角都相等，每一个内角等于60°。

3、判定：（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60°的三角形是等边三角形。

五、角的平分线
1、性质：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。

2、判定：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

六、直角三角形
1、定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。

2、性质：（1）边性质：两直角边的平方和等于斜边的平方。

（勾股定理到下学期会学到）
（2）角性质：两个锐角互余。

3、含30°角的直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。