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高中数学选择题的解题方法与技巧

题型特点概述

选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%左右，高考数学选择题的基本特点是：

(1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一．

(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力．目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．

数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．

解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段．

高中数学选择题的解题方法与技巧

解题方法例析

题型一直接对照法

直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．

例1设定义在R上的函数f(x)满足f(x)•f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于

( C)

A．13 B．2 C.13

2 D.

2

13

思维启迪:先求f(x)的周期．

解析∵f(x＋2)＝13

f(x)，

∴f(x＋4)＝

13

f(x＋2)

＝

13

13

f(x)

＝f(x)．

∴函数f(x)为周期函数，且T＝4.

∴f(99)＝f(4×24＋3)＝f(3)＝13

f(1)＝

13

2.

探究提高直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法

时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有

的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分析条件得到f(x)是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键．

变式训练1 函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )

， 若f (1)＝－5，则f (f (5))的值为

( D )

A ．5

B ．－5 C.15 D ．－15 解析 由f (x ＋2)＝1f (x )，得f (x ＋4)＝1f (x ＋2)

＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的函数，所以f (5)＝f (1)＝－5，

从而f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1f (－1＋2)

＝1f (1)＝－15.

例2 设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有 一个公共点，则双曲线的离心率为 ( D )

A.54 B ．5 C.52 D.5 思维启迪: 求双曲线的一条渐近线的斜率即ba 的值，尽而求离心率．

解析 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，这条直线与抛物线y ＝x 2＋1

相切，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx y ＝x 2＋1，整理得x 2－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2－4＝0，解得

k ＝±2，即b a ＝2，故双曲线的离心率e ＝c a ＝

c 2

a 2＝a 2＋

b 2

a 2＝1＋(

b a )2＝ 5.

探究提高 关于直线与圆锥曲线位置关系的题目，通常是联立方程解方程组．本题即是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率．

变式训练2 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)，以C 的右

焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是( B )

A．a B．b C.ab D.a2＋b2

解析x2

a2－

y2

b2＝1的其中一条渐近线方程为：y＝－

b

a x，即bx＋ay＝0，

而焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离d＝|b×a2＋b2|

a2＋b2

＝b.故选B

题型二概念辨析法

概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”．

例3已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，给出下列条件，①a＝k b(k∈R)；②x1x2＋y1y2＝0；③(a＋3b)∥(2a－

b)；④a·b＝|a||b|；⑤x21y22＋x22y21≤2x1x2y1y2.

其中能够使得a∥b的个数是( D )

A．1 B．2 C．3 D．4

解析显然①是正确的，这是共线向量的基本定理；②是错误的，这是两个向量垂直的条件；③是正确的，因为由(a＋3b)∥(2a－b)，可得

(a＋3a)＝λ(2a－b)，当λ≠1

2时，整理得a＝

λ＋3

2λ－1b，故a∥b，当λ＝

1

2

时也可得到a∥b；④是正确的，若设两个向量的夹角为θ，则由a·b ＝|a||b|cos θ，可知cos θ＝1，从而θ＝0，所以a∥b；⑤是正确的，