杭州市初中数学青年教师教学基本功评比解题能力竞赛题

杭州市初中数学青年教师教学基本功评比
解题能力竞赛题
1.（满分15分）
(1)请你用几种不同的分割方法，将正三角形分别分割成四个等腰三角形（要求，徒手画出正三角形、画出分割线，并标出必要的角的度数）．
(2)如图，是某学生按题（1）要求画出的一种分割图，请简述你将如何讲解？
第1题
2. （满分15分）已知ABCD 是矩形，以C 为圆心，CA 为半径画一个圆弧分别交AB ， AD 延长线于点E ，点F ，连接EB ，FD ，若把直角∠BCD 绕点C 旋转角度θ(0 < θ < 90°)，使得该角的两边分别交线段AE ，AF 于点P ，点Q ，则CQ 2+CP 2等于（ ）
A ．2QF ⋅PE
B ．QF 2 + PE 2
C ．(QF + PE )2
D ．QF 2 + P
E 2 +Q
F ⋅PE
（1）请用你认为最简单的方法求解（注意：是选择题）；
（2）请用几何方法证明你的选择是正确的；
（3）建立一个直角坐标系，用代数方法证明你的选择是正确的．
3. （满分15分）如图，已知圆柱底面半径为r ， SA 是它的一条母线，长为l . 设从点A 出
发绕圆柱n 圈到点S 的最短距离为m (n 为正整数） .
(1) 用r 与l 表示m 可得m
= （注意：是填空题）. (2) 写出你得出题（1）结论的详细过程.
(第2题)
（第3题）
4. （满分15分）如图，七个边长均为1的等边三角形分别用①至⑦表示．给出命题：如果移出其中1个三角形，再把某些三角形整体作一次位置变换，那么一定可以与位置未变的三角形拼成一个正六边形．
(1) 设位置变换为平移变换，试通过具体操作说明命题是正确的（分别写出：移出哪个三角形？哪些三角形组成的图形作平移，及平移的方向和平移的距离）；
(2) 设位置变换为旋转变换，请列举出能使命题成立的所有情况（分别写出：移出哪个三角形？哪些三角形组成的图形作旋转，旋转的方向、角度，并在图中标上字母表示旋转中心；
(3) 将移出的三角形作相似变换，使之放置在某个位置时，能盖住正六边形，问：相似比能否等于3.14? 请说明理由．
（第4题）
5. （满分20分）图形既关于点O中心对称，又关于AC，BD轴对称. 已知AC = 10，BD = 6，点E，M是线段AB上的动点. 称互相对称的一对三角形组成的图形为“蝶形”，称以点O 为圆心，且过蝶形其它顶点的圆为蝶形的外接圆．
设点O到EF和MN的距离分别为h1和h2，且h1+ h2 = k（0< k <10）．
记△OEF与△OGH组成的蝶形O–EFGH的面积为SⅠ，△OMN与△OPQ组成的蝶形O–MNPQ的面积为SⅡ．
(1) 不妨设h1 < h2, 试比较SⅠ与SⅡ的大小；
(2) 当蝶形O–EFGH和蝶形O–MNPQ的外接圆相同，且图形不重合时，这对蝶形构成“最美蝶形”，试证明最美蝶形的面积S= SⅠ+ SⅡ不存在最值．
(第5题)
6. （满分15分）如图所示的八个点处各写一个数字，已知每个点处所写的数字等于和这个
点有线段相连的三个点处的数字的平均数，求证：这八个数相等．
7．（满分20分）在等腰Rt△ABC中，∠C =90︒，AC = 1，过点C作直线l∥AB .
(1)以点A为圆心，AB长为半径作圆，圆与直线l相交于点F1，F2，分别作F1M，F2N 垂直于直线BC，点M，N是为垂足，连结，F1M，F2N, 并作AH垂直于l于H.
①求线段F1M和F2N的长度；
②图中哪三个三角形的面积相等？试写出，并给予证明；
(2) F是l上的一个动点（不与C重合），点F到直线BC的距离为t．设AF＝x（2
x≥），
试求出
t关于x的函数关系式，并求出当2
x=时的t的值．
第6题
(第7题)
8.(满分5分)。