初中数学八年级中位线定理基础讲义

【练】1、如图，在四边形 ABCD 中，Q 是 CD 上的一定点， P 是 BC 上的一动点，点 E 、 F 分别是 PA 、 PQ 的
中点，当点 P 在 BC 上移动时，线段 EF 的长度 ( )
A．先变大，后变小 B．保持不变
C．先变小，后变大
D．无法确定
2、如图，点 D、E、F、G 分别是 AB、OB、OC、AC 的中点，求证：四边形 DEFG 是平行四边形.
A．4.5
B．9
C．5.5
D．11
2、如图，在△ABC 中，点 M 为 BC 的中点，AD 为△ABC 的外角平分线，且 AD⊥BD，若 AB＝6，AC＝9，则 MD 的长为（ ）
A．3
B．
C．5
D．
【变】1、如图，BD、CE 是△ABC 的两条角平分线，AN⊥BD 于点 N，AM⊥CE 于点 M，连接 MN，若△ABC 的周长为 17，BC＝7，则 MN 的长度为（ ）
2、如图，△ABC 中，N 是 BC 边上的中点，AM 平分∠BAC，BM⊥AM 于点 M，若 AB＝8，MN＝2．则 AC 的
长为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
【练】1、如图，在 ABC 中，AB 17 ，BC 26 ，BD 平分 ABC ，AD BD ，点 E 是 AC 的中点，则线段 DE 的长为 ( )
【变】1、如图，△ABC 的中线 BE、CF 相交于 G，且 AB＝12，AC＝16，BC＝20，求 GC 的长．
2、如图， ABC 的周长为18cm ， BE 、 CF 分别为 AC 、 AB 边上的中线， BE 、 CF 相交于点 O ， AO 的延长 线交 BC 于 D ，且 AF 3cm ， AE 2cm ，求 BD 的长．（倍长 AO，连接 C，证 D 为 BC 中点）
A．
B．2
C．
D．3
3
2、（1）已知：如图 1，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点 A 作 AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是 F、G，
连接 FG，延长 AF、AG，与直线 BC 相交．求证：FG＝ （AB＋BC＋AC）．
（2）若 BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线，其余条件不变（如图 1），线段 FG 与△ABC 的三边又有怎样的 数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
【例 2】如图，在矩形 ABCD 中， P 、Q 分别是 BC 、 DC 上的点， E 、 F 分别是 AP 、 PQ 的中点． BC 12 ，
DQ 5 ，在点 P 从 B 移动到 C （点 Q 不动）的过程中，则下列结论正确的是 ( )
A．线段 EF 的长逐渐增大，最大值是 13 B．线段 EF 的长逐渐减小，最小值是 6.5 C．线段 EF 的长始终是 6.5 D．线段 EF 的长先增大再减小，且 6.5 EF 13
ED＝3，BG＝1，CF＝5，则△ABC 的周长是
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
E
D
BG
F
C
【练】1、如图，□ABCD 的周长为 40，BD＝14，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，则△DOE
的周长为
．
A O
D E
B
C
2、如图，D 是△ABC 内一点，BD⊥CD，E、F、G、H 分别是边 AB、BD、CD、AC 的中点．若 AD＝10，BD
中位线
【知识梳理】
1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
2、中位线的构造方法：①若有两个中点，连接这两个中点，形成中位线；②若有两个中点，取第三边的中点，
形成两条新的中位线；③若有一个中点，可延长另一边，构造中位线；④隐藏中点的方式：三线合一；平行
四边形对角线互相平分；角平分＋垂线→补全构中点.
【典题讲练】
【例 1】1、如图，在▱ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是边 BC 的中点，AB＝4，则 OE 的长是
．
2、若三角形的各边长分别是 8，10 和 16，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（ ）
A．34
B．30
C．29
D．17
3、如图，在△ABC 中，点 G，F 在边 BC 上，BD⊥AF 于 D，CE⊥AG 于 E，且 BD 平分∠ABC，CE 平分∠ACB，
2、如图， ABC 中，点 D 、 E 分别为 AB 、 AC 的中点，连接 DE ，线段 BE 、 CD 相交于点 O ，若 OD 2 ， 求 OC 的长．
4
3、如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 的中点，BM 的延长线交 AC 于 N．求证：AN＝ CN．（取 BN 中点 O）
A． 9
B．18
C． 27
D． 36
2
2、已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，P 为对角线 BD 的中点，M 为 AB 的中点，N 为 DC 的中点．求 证：∠PMN＝∠PNM．
【例 4】1、如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 上，且 DC＝AC，CE⊥AD，垂足为 E，点 F 是 AB 的中点．求证： EF∥BC．
＝8，CD＝6，则四边形 EFGH 的周长是（ ）
A．24
B．20
C．12
D．10
3、如图，BD ，CE 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线，已知 AG BD ，AF CE ．若 BF 2 ，ED 3 ，GC 4 ， 则 ABC 的周长为 ( )
A． 20 3
B．20
C．30
D．40
1
【例 5】已知 BD，CE 分别是△ABC 的中线，两线交于点 O．求证：BO＝2DO． （提示：方法 1，分别取 OB 和 OC 的中点 M、N，考虑四边形 DEMN 的形状；方法 2,延长 BD 到 F 使得 OF＝ OB，连接 AF，证 AF＝OC.）
A
E D
O
B
C
【练习】1、如图， ABC 的中线 BD 和 CE 相交于点 O ，则 OB 与 OD 的长度之比为 ．
【例 3】如图，在四边形 ABCD 中， AD BC ， E 、 F 、 G 分别是 AB 、 CD 、 AC 的中点，若 DAC 15 ， ACB 87 ，则 FEG 等于 ( )
A． 39
B．18
C． 72
D． 36
【练】1、如图，在四边形 ABCD 中， P 是对角线 BD 的中点， E ， F 分别是 AB ， CD 的中点， AD BC ， PEF 18 ，则 PFE 的度数是 ( )