北师大版数学必修5 单元质量评估(二)

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单元质量评估(二)
第二章 解三角形 (120分钟 150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在△ABC 中，已知a=5, B=105°, C=15°，求此三角形中最大的边长( )
5
(C)4 (D)3
2.(2011·锦州高二检测）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cosB ＝( ) (A)1
4
(B) 3
4
(C)
4
(D)
3
3.（2011·保定高二检测）在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则三角形必为( ) （A ）等腰三角形 （B ）正三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形
4.(2011·天津高考）如图，在△ABC 中，D 是边AC
上的点，且AB=AD ，BD ，
BC=2BD ，则sinC 的值为( )
(A)
3
(B)
6
(C)
3
(D)
6
5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2+c 2-bc ＝a 2，且a
b ，
则角C 的值为( )
(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°
6.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
7.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，角A=60°，且最大边长和最小边长是方程x 2-7x+11=0的两个根，则第三边的长为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
8.(2011·惠州高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若
(a 2+c 2-b 2则角B 的值为( )
(A)6π (B)3π (C)6
π或
56
π (D)3
π或
23
π
9.有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°（坡高不变），则斜坡长为________千米．( ) (A)1 (B)2sin10° (C)2cos10° (D)cos20°
10.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若c ，b ，B ＝120°，
则a 等于( )
11.（2011·永安高二检测）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111
，，，则此人( )
5810
（A）不能作出这样的三角形
（B）能作出一个锐角三角形
（C）能作出一个直角三角形
（D）能作出一个钝角三角形
12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c，角B＝30°，那么角C等于( )
(A)120° (B)105° (C)90° (D)75°
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）
13.(2011·安徽高考）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________.
14.在锐角三角形ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是________.
15.在△ABC中，已知sin2A＝sin2C+sin2sinCsinB，则角A的值为_______．
16.（2011·枣庄高二检测）在△ABC中，已知sinA∶sinB∶1，c2＝b2，则三内角A、B、C的度数依次是__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）在△ABC中，若角B＝30°，AB＝AC＝2，则△ABC的面积是多少？
18.（12分）在△ABC 中，sinA=
sinB sinC cosB cosC
++，判断这个三角形的形状.
19.（12分）某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向(如图)，由城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31公里，正沿公路向A 城走去，走了20公里后到达D 处，此时CD 间的距离为21公里，问这个人还要走多少公里才能到达A 城？
20.（12分）(2011·山东高考）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知
cosA 2cosC 2c a cosB b
--=
(1)求
sinC
sinA
的值；
（2）若cosB=14
，△ABC 的周长为5，求b 的长.
21.（12分）在△ABC 中，a 2=b(b+c)，求A 与B 满足的关系.
22.（12分）（2011·湖南高考）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC. （1）求角C 的大小；
（2sinA-cos(B+4
π
)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小.
答案解析
1.【解析】选B.由A+B+C=180°得A= 60° ，所以b 边最长.由正弦定理得
5
所以选B.
2.【解析】选B.∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac. 又由c ＝2a ，∴cosB ＝222
a c b
2ac +-
＝
2
2
22
2
a 4a ac
5a 2a 32ac
4a
4
+--=
=
.
3.【解析】选A.∵C=π-(A+B), ∴sinC=sin(A+B), ∴sin(A+B)=2cosAsinB ，
即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB,整理得sinAcosB-cosAsinB=0, 可得sin(A-B)=0,∴A=B.故选A.
4.【解析】选D.由题意知△ABD 是等腰三角形，
故cos
∠ADB=1
BD
2
AD
3
=
，
∴
sin ∠BDC=sin ∠ADB=3
.
在△BDC 中，由正弦定理知：B C B D sin B D C
sinC
=∠
∴
sinC=
BD sin BD C
1BC
236
∠=⨯
=
g .
5.【解析】选C.由b 2+c 2-bc ＝a 2
得b 2+c 2-a 2＝bc ， ∴cosA ＝222
b
b c 2bc
+-＝1
2
，∴A ＝60°.
又
a b ＝，∴
sinA sinB
，
∴sinB 3
sinA 3
2
＝1
2
，
∴B ＝30°，∴C ＝180°-A-B ＝90°.
6.【解析】选C.设三角形未知两边长分别为8t 和5t （t>0）， 根据余弦定理得(8t)2+(5t)2-2×8t ×5t ×cos60°=142 整理得t 2=4,解得t=2 所以另两边长分别为16和10.
三角形面积S= 1
2×16×10×sin60°.
7.【解析】选C.∵最大边长和最小边长是方程x 2-7x+11=0的两个根，则b+c=7,bc=11,
∴
==4.
8.【解析】选D.由2
2
2
a c b
2ac
+-=cosB 结合已知等式得cosB 〃tanB ＝2
，
∴B= 3π
或
23
π.
9.【解析】选C.如图，
∵∠CBD ＝A+∠ACB ＝20°，A=10° ∴∠ACB ＝10°.
∴AB ＝BC ＝1千米．由余弦定理，知
=2cos10°.
10.【解析】选D.由正弦定理得sin120sinC
︒
＝
，
∴sinC ＝1
2.又∵c =b,角C 为锐角，
∴C ＝30°，∴A ＝30°， ∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c
.故选D.
11.【解析】选D.根据题意，可设
1115810
，，三条高所在的边长为5x,8x,10x ，又设
边长为10x 的边所对的角为θ，则cos θ=()
()()2
22
5x 8x 10x 025x 8x
+-<⨯⨯，∴θ为钝角，
故要制作的三角形为钝角三角形.
12.独具【解题提示】由正弦定理将条件中边的等式转化为角的等式求解.
【解析】选A.∵a ，∴sin(180°-30°sin(30°+C)
(
2
sinC+1
2
cosC)，即sinC ＝cosC.∴tanC ＝.又0°<C<180°，
∴C ＝120°.
13.【解析】由于三角形的三边长构成公差为4的等差数列，
所以可设三边长分别为x-4,x,x+4,由一个内角为120°，知其必是最长边x+4所对的角. 根据余弦定理得
(x+4)2=x 2+(x-4)2-2x(x-4)〃cos120°
即2x 2-20x=0解得x=10或x=0,由题意知x>0,∴x=10,
∴S △ABC =1
2×10×6×sin120°.
答案：
14.独具【解题提示】由cosC ＞0及三角形两边之差小于第三边，求c 的范围. 【解析】∵cosC ＞0, ∴
2
2
2
a b c
2ab
+-＞0，∴0＜c ,
又∵c ＞b-a=1，∴1＜c .
答案:（1
15.【解析】在△ABC 中，根据正弦定理a b c sinA
sinB
sinC
＝
＝
＝2R ，得：sinA ＝
a 2R
，
sinB ＝b 2R
，sinC ＝
c 2R
，
∴
2
222
2
2
a
c
b
4R
4R
4R
4R
+
+
＝，
即：a 2＝c 2
+b 2
bc ，∴cosA ＝2
2
2
b c a
2bc
+-2
，且角A ∈(0，π)，∴A ＝
56
π.
答案:
56
π
16.独具【解题提示】sinA ∶sinB=a ∶
∶1,结合余弦定理a 2＝b 2+c 2-2bccosA ，
消去a 2再利用方程求解.
【解析】由题意知a b ，a 2＝b 2+c 2-2bccosA ，
得2b 2＝b 2+c 2-2bccosA ， 又c 2＝b 2
，
∴cosA 2
，A ＝45°，sinB ＝1
2，B ＝30°，∴C ＝105°.
答案:45°，30°，105°
17.独具【解题提示】已知两边及一边的对角解三角形时，要注意分类讨论．
【解析】由正弦定理得
A C A
B sinB
sinC
=，sinC=
ABsinB AC
2
=
.
∵AB>AC ，∴C ＝60°或120°.
当角C ＝60°时，S △ABC ＝12
AC 〃AB 〃sinA ＝1
2
×2×
sin90°＝
当角C ＝120°时，S △ABC ＝12
AC 〃AB 〃sinA ＝1
2
×2×
×sin30
所以△ABC 的面积是
独具【方法技巧】在解决三角形问题中，面积公式S=1
2
absinC=1
2
bcsinA=1
2
acsinB 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 18.【解析】应用正弦定理、余弦定理，可得 a=
2
2
2
2
2
2
b c
c a b
a b c
2ca
2ab
++-+-+
，
所以b （a 2-b 2）+c （a 2-c 2）=bc （b+c ）, 所以（b+c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b+c ）, 所以a 2=b 2-bc+c 2+bc,所以a 2=b 2+c 2. 所以△ABC 是直角三角形.
独具【方法技巧】三角形形状的判断
（1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角. （2）若等式两边是关于三角形的边或内角的正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.
如asinA+bsinB=csinC ⇔a 2+b 2=c 2⇔sin 2A+sin 2B ＝sin 2C
19.【解析】在△CDB 中，212＝202+312-2×20×31×cosB,解得cosB ＝2331
，
∴sin ∠ACB ＝sin(120°-B)
＝
62
.
设AD ＝x ，在△ABC 中，由正弦定理
20x 31sin A C B
sin60+∠︒
＝
，∴x ＝15.
答：这个人还要走15公里才能到达A 城．
20.【解析】（1）由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 所以
cosA 2cosC
2c a 2sinC sinA
cosB
b
sinB
---==
所以sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB 即有sin(A+B)=2sin(B+C)即sinC=2sinA 所以
sinC sinA
=2.
(2)由（1）知sinC sinA
=2，所以有c
a
=2,即c=2a.
又因为△ABC 的周长为5，所以b=5-3a 由余弦定理得：b 2=c 2+a 2-2accosB 即（5-3a ）2=(2a)2+a 2-4a 2×1
4
解得a=1或a=5(舍去） 所以b=2.
21.【解析】由已知a 2=b(b+c) ∴a 2=b 2+bc,移项得：b 2-a 2=-bc 由余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA, 移项得：2bccosA=b 2-a 2+c 2 ∴2bccosA=-bc+c 2,2bcosA=-b+c
由正弦定理：2〃2RsinBcosA=-2RsinB+2RsinC 2sinBcosA=-sinB+sinC=-sinB+sin(A+B) =-sinB+sinAcosB+sinBcosA sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B) ∴B=A-B 或B+（A-B ）=π（舍去） 即A 与B 满足的关系为A=2B
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- 11 - 独具【方法技巧】由正弦定理、余弦定理进行边角转化
一般的，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要多考虑用余弦定理；反之，若是遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则大多用正弦定理.
22.【解析】（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.
因为0<A<π,所以sinA>0.从而sinC=cosC.又cosC ≠0,所以tanC=1,则C=4π
. （2）由（1）知B=
34π-A.于是
4π
sinA-cos(π-A)
sinA+cosA=2sin(A+6
π
). 因为0<A<34
π,所以6π<A+6π<1112π, 从而当A+6π=2π,即A=3π时， 2sin(A+6π
)取最大值2．
4π)的最大值为2，此时A=3π,B=512π.。