2005年辽宁省大连市初中毕业学业测验数学测试题及答案(课改区)2

2005 年大连市初中毕业升学一致考试
数学（课改地区）
本试卷满分150 分。

考试时间120 分钟。

一、选择题：（本题共8 小题，每题3 分，共 24 分）
说明：下面各题都给出代号为A、 B 、C 、 D 的四个答案，请把唯一正确的答案代号填到题后的括号内。

1．在平面直角坐标系中，以下各点在第二象限的是（）
A、（2，1）
B、（ 2，－ 1）
C、（－ 2， 1） D 、（－ 2，－ 1）
2．以下各式运算正确的选项
是（）
A 、x3x2x5B、 x3x2x C、 x3x2x6D、 x3x2x
3．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°， AB ＝5， AC ＝ 3，则 sinB 的值是（）
343
D 、4
A 、B、C、
3
554
4．已知两圆的半径分别为 1 和 4，圆心距为3，则两圆的地址关系是（）
A 、外离B、外切C、订交 D 、内切
5．张华同学的身高为 1.6M ，某一时辰他在阳光下的影长为2M ，与他周边的一棵树的影长为 6M ，则这棵树的高为（）
A 、 3.2M B、 4.8M C、 5.2M D 、 5.6M
6．要检查某校初三学生周日的睡眠时间，采用检查对象最合适的是（
A 、采用一个班级的学生B、采用 50 名男生
C、采用 50 名女生
D、随机采用50 名初三学生7．如图 1， A 、C、 B 是⊙ O 上三点，若∠ AOC ＝40°，则
∠ ABC 的度数是（）
A 、 10°B、 20°C、40°D、 80°
8．图 2 是甲、乙、丙三人玩跷跷板的表示图（支点在中点处），则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的选项是（）
乙 40kg甲40 50
A 甲丙 50kg
4050
图 2
）
O B
A C
图 1
4050
B 4050
二、填空题（本题共
6 小题，每题 3 分，共 18 分）
说明：将以下各题结果填到题后的横线上。

9．若是水位上升 1.2M ，记作＋ 1.2M ，那么水位下降
0.8M 记作 _______M 。

1 10 ．方程
1的解为 ________。

x
11．若点（ 2，1）在双曲线 y
k 上，则 k 的值为 _______。

x
12．甲、乙两班各有 45 人，某次数学考试成绩的中位数
分别是 88 分和 90 分，若 90 分及 90 分以上为优秀，则优秀人数多的班级是 ____________。

13．如图 3， AB 是⊙ O 的直径， AC 是⊙ O 的切线，且 AB ＝ AC ，则∠ C 的度数是 ____________。

14．如图 4，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为 2，则图中阴影部分的面积是 ________。

B
O
C
A
图 3
三、解答题（本题共 5 小题，其中
15、 16 题各 8 分， 17、 18 题
图 4
各 9分，19题 10分，共 44分）
x 2
2 x 1 x 2
x 1 ，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论x
15 ．已知 y
1
x
1
1 x 2
x
为何值， y 的值不变。

16．如图 5， AB ∥ CD ，AB ＝ CD ，点 B 、 E 、 F 、D 在一条直线
上，∠ A ＝∠ C ，求证： AE ＝ CF 。

A
D
F
说明：证明过程中要写出每步的证明依照
B
E
C
图 5
17．某企业的年产值在两年内从 1000 万元增加到 1210 万元，求平均每年增加的百分率。

18．为认识某中学男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所获取的数
据整理后，画出频数分布直方图（如图 6），图中从左到右依次为第 1、2、3、 4、5 组。

（ 1）求抽取了多少名男生测量身高。

（ 2）身高在哪个范围内的男生人数最多？（答出是 16人数
第几小组即可）
12 （ 3）若该中学有 300 名男生，请估计身高为 170cm
10
及 170cm 以上的人数。

6
身高（ cm ）
O 154.5
164.5 174.5 179.5
159.5 169.5
图 6
19．在数学活动中，小明为了求
如图 7－ 1 所示的几何图形。

1 1
1
1
2 22
2
3
2
4
1
2
n
的值（结果用 n 表示），设计
1
（ 1）请你利用这个几何图形求
1
22
1 1 1 1 1 的值为 __________ 。

2 22
3
24
2n
2
（ 2）请你利用图 7－ 2，再设计一个能求
1 1 1 1 1 的值的几何图形。

2
22
3
24
2n
2
2
1 1
23
24
图 7-1 图 7-2
四、解答题（本题共
4 小题，其中 20、 21 题各 7 分， 22、 23 题各 8 分，共 30 分）
20．有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢。

（ 1） 这个游戏可否公正？请说明原因；
（ 2） 若是你认为这个游戏不公正，那么请你改变游戏规则，设计一个公正的游戏；若
是你认为这个游戏公正，那么请你改变游戏规则，设计一个不公正的游戏。

21．如 8，△ ABC 和△ A ’B ’C ’关于直 MN 称，
M
△ A ’B ’C ’和△ A ’’B ’’C ’’关于直 EF 称。

A
A ’
（ 1） 画出直 EF ；
（ 2）
直 MN 与 EF 订交于点 O ， 研究∠ BOB ’’
B ’
B
C B ’’
A ’’ 与直 MN 、 EF 所 角 α 的数量关系。

C ’
N C ’’
8
22．如 9－ 1、 9－2、 9－3、⋯、 9－ n ， M 、 N 分 是⊙ O 的内接正三角形 ABC 、正方 形 ABCD 、正五 形 ABCDE 、⋯、正 n 形 ABCDE ⋯的 AB 、BC 上的点， 且 BM=CN ，
OM 、ON 。

F
A
A D
E
G
E
OD O
O
A O
D
A M
M
M N M N N BN
C
C
C
B C
B
B
9－ n
9－ 1
9－ 2
9－ 3
（ 1）求 9－ 1 中∠ MON 的度数；
（ 2） 9－ 2 中∠ MON 的度数是 _________ ， 9－3 中∠ MON 的度数是 _________；
（ 3） 研究∠ MON 的度数与正 n 形 数 n 的关系（直接写出答案） 。

y （ M ）
23．甲 在弯路作刹 ，收集到的数据以下表所示：
35
4
速度 x （千 M/ 小 ） 0 5 10 15
20 25 ⋯
刹 距离 y （ M ）
3 2
15 6
35 ⋯ 6
4
4
4
15 （ 1） 用上表中的各 数据（ x ，y ）作 点的坐 ，
4
在图 10 所示的坐标系中画出甲车刹车距离y（M ）与
X （千 M/时）速度 x（千 M/ 时）的函数图象，并求函数的解读式。

（2）在一个限速为 40 千 M/ 时的弯路上，甲、乙两车相向
而行，同时刹车，但还是相撞了。

事后测得甲、乙两车的
刹车距离分别为12M 和 10.5M ，又知乙车的刹车距离y（ M ）与速度 x（千 M/ 时）满足
函数 y 1
x ，请你就两车的速度方面解析相撞的原因。

4
y
24．已知 A 1、 A 2、A 3是抛物线y
1 x2上的三点，
2
A 1
B 1、 A 2B 2、 A3 B3分别垂直于 x 轴，垂足为 B 1、 B2、B3，直线 A 2B 2交线段 A 1A 3于点 C。

（1）如图 11－ 1，若 A 1、 A 2、 A 3三点的横坐标依
次为 1、 2、 3，求线段 CA 2的长。

A 3
C
A 1 A 2
O B 1B2 B3x 图 11-1
（ 2）如图11－ 2，若将抛物线
12y y x 改为抛物线
12
A 3
y x2x 1，A 1、 A 2、 A 3三点的横坐标为连续
C 2
整数，其他条件不变，求线段CA 2的长。

A 2
1A 1
（ 3）若将抛物线y x2改为抛物线 y ax2bx c ，x
2
O B1 B2 B3
A 1、 A 2、A 3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，
请猜想线段 CA 2的长（用 a、 b、c 表示，并直接写出答案）。

图 11-2
y
25．如图 12， P 是 y 轴上一动点，可否 存在平行于 y 轴的直线 x ＝ t ，使它与直线 y=x
y ＝ x 和直线 y
1 x
2 分别交于点 D 、 E
2
（ E 在 D 的上方），且△ PDE 为等腰直角三
角形。

若存在，求 t 的值及点 P 的坐标； O 若不存在，请说明原因。

图 12
A
D
26．如图 13－ 1，操作：把正方形 CGEF 的对角线
CE 放在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上（ CG ＞ BC ）， B C
取线段 AE 的中点 M 。

研究：线段 MD 、 MF 的关系，并加以证明。

1
y= － 2 x ＋ 2
x
F
M
E
G
说明：（ 1）若是你经历屡次研究，没有找到解决问题
图 13-1
的方法，请你把研究过程中的某种思路写出来（要求
F
E
最少写 3 步）；（ 2）在你经历说明（ 1）的过程此后，
A
M
D
能够从以下①、②、③中采用一个补充或更换已知条件，
B
C
G
完成你的证明。

图 13-2
注意：采用①完成证明得 10 分；采用②完成证明得
7 分；采用③完成证明得
5 分。

① DM 的延 交 CE 于点 N ，且 AD ＝NE ；
② 将正方形 CGEF 点 C 逆 旋 45°（如 13－ 2），
其他条件不 ；③在②的条件下且 CF ＝2AD 。

A
D
F
附加 ： 将正方形 CGEF 点 C 旋 任意角度后
（如 13－ 3），其他条件不 。

研究： 段 MD 、
B
C
M
MF 的关系，并加以 明。

E
G
13－ 3
2005 年大连市初中毕业升学一致考试 数学参照答案及评分标准 （ 改地区）
一、
（本 共 8 小 ，每小 3 分，共 24 分）
1． C 。

2.D 。

3.A 。

4.D 。

5.B 。

6.D 。

7.B 。

8.C 。

二、 填空 （本 共
6 小 ，每小
3 分，共 18 分）
9．－ 0.8； 10。

x ＝ 1； 11。

2； 12。

乙班； 13。

45°； 14。

2π
三、 解答 （本 共
5 小 ，其中 15、1
6 各 8 分， 17、 18 小 各 9 分， 19 10
分，共 44 分）
x 2 2x 1 x 2
x 1
15．解：∵ y
x 2 1
x 1
1
x
x 1
2 x(x 1) 1
＝
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3 分
1)(x 1)
x 1 1 ( x x
x
1
2 x
1
1
＝
5 分
1)(x 1) x( x 1) 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
( x x
1 1 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分
＝
x x
＝ 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7 分
因此，在右 代数式有意 的条件下，不
x 何 ， y 的 不 。

⋯⋯
8 分
16． 明：方法一：∵
AB ∥ CD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1 分
∴∠ B ＝∠ D （两直 平行，内 角相等）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3 分
又∵ AB ＝ CD ，∠ A ＝∠ C ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
∴△ ABE ≌△ CDF （ASA ）。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
∴ AE=CF （全等三角形 相等） 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
方法二： AD 、BC 。

∵ AB ∥ CD ， AB ＝CD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
∴四 形 ABCD 是平行四 形（一 平行且相等的四 形是平行四 形） 。

∴ AD ∥ BC ， AD ＝
BC （平行四 形 平行且相等）
∠ BAD ＝∠ DCB （平行四 形 角相等） 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 ∴∠ CBF ＝∠
ADE （两条直 平行，内 角相等） 。

⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
又∵∠ BAE ＝∠ DCF ，∴∠ EAD= ∠ FCB 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
∴△ AED ≌△ CFB （ASA ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 ∴ AE=CF （全等三角形 相等）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
17．解： 平均每年增 的百分率
x 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1 分
依照 意，得 1000（1＋ x ） 2＝ 1210⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
1 x 1.1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分
解 个方程，得
x 1 ＝0.1＝ 10％，x 2＝－ 2.1。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7 分
由于增 率不能够 数，因此 x ＝－ 2.1 不吻合 意，因此吻合本 要求的
x
0.1＝ 10％⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
答：平均每年增 的百分率
10％⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9 分
18．解：（ 1） 6＋ 10＋ 16＋ 12＋ 6＝ 50（名）。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
答：抽取了
50 名男生 量身高。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3 分
（ 2）3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
（ 3）
12 6
18 0.36 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7 分
50
50
300× 0.36＝ 108（名）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
估 身高 170cm 及 170cm 以上的人数 108 名。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9 分
19．解：（ 1）1
1
4 分
2 n 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
（ 2）如
1－1 或如 1－ 2 或如 1－ 3 或如 1－4 等， 形正确。

⋯⋯
10 分
1
1
1
1
2
2
22 23
1
2
1
1 1
2 4 1 2 4
2
23
2
12 1
2 23
1 1
23
2 2
1
2
四、 解答 （本 共 4 小 ，其中 20、 21 各 7 分， 22、 23 各 8 分，共 30 分）
20．解：（ 1）不公正。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1 分
因 抛 两枚硬 ，所有机遇均等的 果 ：
正正，正反，反正，反反。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
因此出两个正面的概率
1
，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分4
21
4 分
出一正一反的概率。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
42
因二者概率不等，因此游不公正。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）游一：若出两个相同面，甲；若出一正一反（一反一
正），乙⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分游二：若出两个正面，甲；若出两个反面，乙；若出
一正一反，甲、乙都不。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分21．解：（ 1）如 2， B’B’’。

⋯⋯⋯ 1 分
A M E
作段 B’B ’’的垂直均分 EF。

⋯⋯⋯ 2 分A’
直 EF 是△ A’B ’C’和△ A’’B’’C’’的称。

⋯ 3 分 B ’
（ 3） B ’O。

B B’’A’’
∵△ ABC 和△ A’B’C’关于 MN 称，
C C’
∴∠ BOM= ∠ B ’OM ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯N C’’5 分
又∵△ A’B ’C’和△ A’’B’’C’’关于 EF 称，F 2
∴∠ B ’OE＝∠ B’’OE。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∴∠ BOB ’’=∠ BOM+ ∠B ’OM+ ∠ B ’OE+ ∠ B’’OE
=2（∠ B ’OM ＋∠ B’OE）
＝ 2α 。

即∠ BOB ’’＝2α ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
22．解：（ 1）法一：OB、OC。

∵正△ ABC 内接于⊙ O，∴∠ OBM= ∠OCN ＝ 30°，
∠BOC=120 °。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分又∵ BM=CN ， OB=OC ，∴△ OBM ≌△ OCN 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴∠ BOM ＝∠ OCN 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
∴∠ MON= ∠BOC=120 °。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
法二： OA 、OB。

∵正△ ABC 内接于⊙ O，∴ AB=AC ，∠ OAM= ∠ OBN=30 °,
∠ AOB=120 °。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
又∵ BM ＝ CN，∴ AM=BN ，又∵ OA=OB
∴△ AOM ≌△ BON 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
∴∠ AOM= ∠BON 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
∴∠ AON= ∠ AOB=120 °.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
（ 2）90°， 72°．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
（ 3）MON 360
8 分。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
n
23．解：（ 1）如 3，画正确。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
y（ M ）
2
∵ 象 点（ 0， 0）、（ 10， 2）、（ 20， 6），
∴ c ＝ 0。

2 100a 10b 0
3 分
∴
400a 20b ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 0
a
1
100
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
解得
4 分
b
1
10
∴函数的解 式 y
1 x
2 1 x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
100
10
（ 2）∵ y ＝12，∴ y
1 x
2 1 x ＝ 12，解得 x 1＝ 30，
100 10
x 2＝－ 40（不吻合 意，舍去）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分 又∵ y 乙＝ 10.5，∴
1
x
10.5 ， x ＝ 42。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7 分
4
因 乙 速度 42 千 M/ ，大于 40 千 M/ ，
因此，就速度方面原因，乙 超速， 致两 相撞。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
五、 解答 与附加 （本 共
3 小 ，其中 24、 25
各 12 分， 26
10 分，共 34
分，附加
5 分，但全卷累 不超
150 分）
24．解：（ 1）方法一：∵ A 1 、A 2、 A 3 三点的横坐 依次
1、2、 3，
∴A 1B 1=
1
1
2
1
，A 2B 2＝
1
2
2
2 ，A 3B 3＝
1
3
2
9
⋯1分
2 2
2 2
2
直 A 1A 3 的解 式 y ＝ kx ＋ b 。

1
k b
k 2
∴
2
解得
3
9 3k b
b
2
2
∴直 A 1A 2 的解 式 y
2x
3。

2
∴ CB ＝ 2× 2－ 3
＝ 5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
2
2
2
∴ CA 2=CB 2－ A 2B 2= 5
－ 2＝ 1。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3 分
2
2
方法二：∵ A 1、 A 2、A 3 三点的横坐 依次
1、 2、 3，
∴A 1B 1=
1
1
2
1
，A 2B 2＝ 1
2
2
2 ，A 3B 3＝
1
3
2
9
⋯1分
由已知可得 A 1B 1∥A 3B 3，
∴CB 2＝
1
（ A 1B 1＋ A 3B 3）＝
1
（
1
＋9
）＝
5。

⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
2
2 2 2 2
∴ CA 2=CB 2－ A 2B 2= 5 － 2＝ 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3 分
2
2
（ 2）方法一： A 1、 A 2、A 3 三点的横坐 依次 n － 1、 n 、 n ＋ 1。

A 1
B 1= 1
(n
1)2
( n 1) 1 ， A 2 B 2= 1
n 2
－ n ＋ 1，
2
2
A 3
B 3=
1 (n ＋ 1)2
－（ n ＋ 1）＋ 1。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
2
直 A 1A 3 的解 式 y ＝kx ＋ b
(n 1)k b
1 ( n 1)2
(n 1) 1
∴
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
1
( n 1)2
(n 1)k b
( n 1) 1
2
k n 1
解得 1 2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分
b 2 n 2
∴直 A 1A 3 的解 式 y
(n 1)x 1 n 2
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
2 2
∴ CB 2＝ n （n － 1）－
1
n 2＋ 3 ＝ 1 n
2
－ n ＋ 3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
2 2
2
2
∴ CA 2= CB 2－ A 2B 2=
1 2 － n ＋ 3 －
1 2
1 。

⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
2 n 2 2 n ＋ n － 1＝
2
方法二： A 1、 A 2、 A 3 三点的横坐 依次
n － 1、 n 、 n ＋ 1。

1
2
1
2
A 1
B 1=
( n 1) ( n 1)
1，A 2B 2=
n － n ＋ 1，
2
1
2
A 3
B 3= (n ＋ 1)2
－（ n ＋ 1）＋ 1。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
2
由已知可得 A 1B 1∥A 3B 3，
∴ CB 2 ＝ 1
（ A 1B 1 ＋A 3B 3）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分
2
1
n 1
= 1 1 n 1 n 1 1 2 n 1 1 ⋯⋯ 7 分
2
2 2
2
= 1 n
2
n
3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
∴ CA 2= CB 2 －A 2B 2= 1
n 2
－ n ＋ 3 － 1
n 2
＋ n －1＝ 1。

⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
2
2
2 2
（ 3）
当 a ＞ 0 ， CA 2 ＝a ；当 a ＜0 ， CA 2＝－ a 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
25．解：存在。

方法一：当 x ＝ t ， y ＝ x ＝t 、当 x ＝ t ， y
1
x 2
1
t 2 。

2
2
∴ E 点的坐 （ t ，
∵E 在 D 的上方，∴
1 t
2 ）， D 点坐 （ t ， t ）。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
2 1
t 2 t
3 t
4。

⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
DE
2 ，且 t ＜ 2
2 3
∵△ PDE 等腰直角三角形，
∴PE ＝ DE 或 PD=DE 或 PE=PD 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
若 t ＞ 0，PE=DE ，
3 t 2 t 。

2
∴ t
4 , 1
t 2 8 。

∴ P 点坐 （ 0， 8
）。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
5 2 5 3
5
若 t ＞ 0，PD=DE ， 2 t ，
t
4
2 4
∴ t。

∴ P 点坐 （ 0，
）。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分
5
5 3 t
若 t ＞ 0，PE=PD ，即 DE 斜 ，∴
2 2t 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
2
∴ t
4 ，∴ DE 的中点的坐 （ t ， 1 t 1），
7
4
∴ P 点坐 （ 0， 8
）。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
7
3
若 t ＜ 0，PE=PD ，由已知得
DE= － t ， 2
t ，
t
2
t ＝ 4＞ 0（不吻合 意，舍去） ，此 直 x ＝ t 不存在。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
若 t ＜ 0，PE=PD ，即 DE 斜 ，由已知得
DE=－ 2t ，
3 t 2 2t ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11 分
2
∴ t
4, 1
t
1 0 。

∴ P 点坐 （ 0，0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
4
上所述：当
t ＝ 4
，△ PDE 等腰直角三角形，此
P 点坐 （ 0， 8
）或
5
5
（ 0， 4
）；当 t
4 ，△ PDE 等腰直角三角形，此 P 点坐 （ 0，
8
）；
5
7
7
当 t ＝－ 4 ，△ PDE 等腰直角三角形，此
P 点坐 （ 0， 0）。

方法二： 直 y
1 2 交 y 于点 A ，交直 y ＝ x 于点 B ， B 做 BM 垂
x
2
直于 y ，垂足 M ，交 DE 于点 N 。

∵ x ＝ t 平行于 y ，∴ MN ＝ t 。

⋯ 1 分
y
x
4
x
∵
y 1
x 2
解得
3
∴B 点坐 （ 4， 4
），
4
3 3
2
y
3
∴ BM ＝ 4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
3
当 x ＝0 ， y
1
x 2
2 ，∴ A 点坐 （ 0，2），∴ OA=2 。

⋯⋯⋯⋯
3 分
2
∵△ PDE 等腰直角三角形， ∴PE ＝ DE 或 PD=DE 或 PE=PD 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
如 4，若 t ＞ 0， PE=DE 和 PD=DE ，∴ PE ＝ t ， PD ＝ t ，∵ DE ∥ OA ，
DE BN
y
∴△ BDE ∽△ BOA ，∴ ⋯⋯⋯ 5分
OA
BM
t
4 t
4
A
E
y=x
∴
3。

∴ t ＝ B
2
5 M
1
4
3
N y= － 2 x ＋2
O
D
当 t ＝ 4
， y
1
x 2
8
, y x
4 。

x
5
2 5
5
∴P 点坐 （ 0， 8 ）或（ 0， 4
）。

⋯ 6 分
5
5
若 t ＞ 0，PD=PE ，即 DE 斜 ，∴ DE=2MN=2t 。

∵ DE ∥OA ，∴△ BDE ∽△ BOA ∴
DE
BN ⋯7 分
4
OA
BM
y
4
E
2MN
MN
4
y=x
3
∴
4 ,∴ MN ＝ t ＝ ，
A
2
3
7
N
B
1 8
1
x ＋ 2
DE 的中点的 坐
M
y= －
2 t 1
7。

O
4
x
∴ P 点的坐 （ 0， 8
）⋯⋯⋯⋯⋯⋯
D
8 分
7
如 5，若 t ＜ 0， PE=DE 或 PD=DE ， ∵ DE ∥OA ，
∴△ BDE ∽△ BOA ∴
DE
BN
⋯⋯⋯⋯ 9 分
OA
BM
DE ＝－ 4（不吻合 意，舍去） ，此 直 x ＝t 不存在。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
若 t ＜ 0，PE=PD ，即 DE 斜 ，∴ DE=2MN= －2t 。

∵ DE ∥OA ，∴△ BDE ∽△ BOA ∴
DE
BN
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11 分
OA BM
2MN
4 MN 1
3
∴
4 ，∴ MN ＝ 4，∴ t ＝－ 4， t 1 0 。

2
4
3
∴ P 点坐 （ 0， 0）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
上所述：当
t ＝ 4 ，△ PDE 等腰直角三角形，此 P 点坐 （ 0， 8
）或
5
5
（ 0， 4
）；当 t
4 ，△ PDE 等腰直角三角形，此 P 点坐 （ 0，
8
）；
5
7
7
当 t ＝－ 4 ，△ PDE 等腰直角三角形，此 26．关
系是： MD=MF ， MD ⊥ MF 。

法一：如 6，延 DM 交 CE 于 N ，
FD 、 FN 。

∵正方形 ABCD ，∴ AD ∥ BE ， AD=DC P 点坐 （
A
B
0， 0）。

F
1
D5 6
3
M 4
2E
C N ∴∠ 1＝∠ 2。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1 分
又∵ AM=EM ，∠ 3＝∠ 4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
∴△ ADM ≌△ ENM ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
∴ AD=EN ， MD=MN 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 ∵ AD=DC ，∴ DC=NE 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
又∵正方形 CGEF ，
∴∠ FCE= ∠ NEF=45 °， FC=FE ，∠ CFE=90 °。

A
又∵正方形 ABCD ，∴∠ BCD ＝90°。

∴∠ DCF= ∠NEF=45 °，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 B
∴△ FDC ≌△ FNE 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7 分
∴ FD=FN ，∠ 5＝∠ 6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分 ∵∠ CFE ＝ 90°，∴∠ DFN ＝ 90°。

⋯⋯⋯ 9 分
又∵ DM=MN ，∴ MD=MF ， DM ⊥ MF 。

⋯⋯⋯ 10 分
法二：如 7， AC 、 FD ，延 DM 交 CE 于 N ， CM 并延 交 FE 于
H 。

G
6
F
D
H
1
3
M
4 2 E
C
N
G
7
∵正方形 ABCD ，∴ AD ∥BE 。

∴∠ 1＝∠ 2。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
∵ AM=EM ，∠ 3＝∠ 4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2 分
∴ MD=MN 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
∵ AC 和 CE 分是正方形 ABCD 和 CGEF 的角，
∴∠ ACB= ∠ FEC=45 °，∠ FCN＝ 45°，
∴ AC ∥ EF。

同理可△ ACM ≌△ EHM 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
∴ CM=MH 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
∵正方形 ABCD 和正方形 CGEF，
∴∠ DCN ＝∠ CFH=90 °，
∴ MC ＝MD ＝ MN ＝ MF ＝ MH 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分
∴点 D、 C、 N 、F 在以点 M 心， MD 半径的上，
∠ FDN= ∠ DFM 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分
∴∠ FDN ＝∠ FCN ＝45°，∴∠ FDN ＝∠ DFM ＝ 45°。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
∴ MD=MF ， DM ⊥ MF 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分法三：如 7，同法二出 MC ＝ MD ＝ MN ＝ MF ＝ MH 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
∴∠ MCN= ∠ MNC ，∠ MCF= ∠ MFC 。

∵∠ DMC ＝∠ MCN ＋∠ MNC=2 ∠MCN ，
∠ FMH ＝∠ MCF ＋∠ MFC ＝2∠ MCF 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
∴∠ DMC+ ∠ FMH=2 ∠ MCN+ ∠ MCF ＝2（∠ MCN+ ∠MCF ）
＝ 2∠ FCE=90 °⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
∴∠ DMF ＝ 180°－ 90°＝ 90°，∴ DM ⊥ FM 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分
思路一：
∵正方形 ABCD 、 CGEF，∴ AB=BC=CD=AD ，
∠ B=∠ BCD= ∠ CDA= ∠ BAD ＝ 90°
CF=EF=EG=CG ，∠ G=∠ GEF=∠ EFC= ∠ FCG=90 °，
∠FCE= ∠ FEC=45 °⋯⋯ 1 分
∴∠ DCF= ∠ FEC。

⋯⋯ 2 分
思路二：
延 DM 交CE于N。

∵正方形 ABCD 、 CGEF，∴ AD ∥ CE，∴∠ DAM= ∠ NEM 。

⋯⋯ 1 分
又∵∠ DMA ＝∠ NME ，AM=EM ，
∴△ ADM ≌△ ENM 。

⋯⋯ 2 分
思路三：
∵正方形 CGEF，∴∠ FCE= ∠FEC＝ 45°。

⋯⋯ 1 分
又∵正方形ABCD ，∴∠ DCF=180 °－∠ DCB －∠ FCE＝ 45°，
∠ DCF＝∠ FEC＝ 45°⋯⋯ 2 分
取条件①
明：如 6，∵正方形 ABCD ∴ AD ∥ BE ，AD=DC ，
∴∠ 1＝∠ 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
∵ AD=NE ，∠ 3=∠ 4，
∴△ ADM ≌△ ENM 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
∴ MD=MN 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3 分
又∵ AD=DC ，∴ DC=NE 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
又∵正方形 CGEF ，∴ FC=FE ，∠ FCE= ∠ FEN ＝45°。

∴∠ FCD= ∠ FEN=45 °。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 ∴△ FDC ≌△ FNE 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分 ∴ FD=FN ，∠ 5＝∠ 6，∴∠ DFN= ∠ CFE ＝ 90°。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7 分 ∴ MD=MF ， MD ⊥ MF 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
取条件②
明：如
8，延 DM 交 FE 于 N 。

∵正方形 ABCD 、 CGEF ，
∴ CF=EF ， AD=DC ，∠ CFE=90 °， AD ∥ FE ∴∠ 1＝∠ 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
又∵ MA ＝ME ，∠ 3＝∠ 4 ∴△ AMD ≌△ EMN ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
∴ MD=MN ，AD=EN 。

∵ AD=DC ，∴ DC=NE 。

⋯⋯⋯ 3 分
又∵ FC=FE ，∴ FD=FN 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
又∵∠ DFN=90 °，∴ FM ⊥ MD ， MF=MD 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5 分
取条件③
N 明：如 8，延 DM 交 FE 于 N 。

F
4
2
∵正方形 ABCD 、 CGEF ，
∴ CF=EF ， AD=DC ，∠ CFE=90 °， AD ∥ FE A 1
3
M
∴∠ 1＝∠ 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分
D
又∵ MA ＝ME ，∠ 3＝∠ 4
B
C
∴△ AMD ≌△ EMN ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
∴ AD=EN ，MD=MN ，∵ CF=2AD ， EF=2EN ， 8
∴ FD=FN 。

又∵∠ DFN ＝90°，∴ FM ⊥ MD ， MF=MD 。

⋯⋯⋯⋯⋯附加 ：
法一：如 9，延 DM 到 N ， A
3
D F
使 MN=MD ， FD 、 FN 、EN ，
1
延 EN 与 DC 延 交于点 H 。

B
C
M 2
∵ MA=ME ，∠ 1＝∠ 2，MD=MN ，
7
4
∴△ AMD ≌△ EMN
5
N
8
H
6
∴∠ 3＝∠ 4， AD=NE 。

又∵正方形 ABCD 、CGEF ，
G
∴ CF=EF ， AD=DC ，∠ ADC ＝ 90°，
9
∠ CFE= ∠ADC= ∠FEG= ∠ FCG ＝ 90°。

∴ DC=NE 。

∵∠ 3＝∠ 4，∴ AD ∥ EH 。

∴∠ H ＝∠ ADC ＝ 90°。

∵∠ G ＝ 90°，∠ 5＝∠ 6，∴∠ 7＝∠ 8。

E
G
3 分
E
∵∠ 7＋∠ DCF＝∠ 8＋∠ FEN＝ 90°
∴∠ DCF＝∠ FEN 。

∵FC=FE，∴△ DCF≌△ NEF。

∴FD=FN ，∠ DFC= ∠ NFE 。

∵∠ CFE＝ 90°，∴∠ DFN ＝90°。

∴FM⊥ MD ， MF=MD 。

证法二：如图9，过点 E 作 AD 的平行线分别交DM 、 DC 的延长线于N、
H ，连结 DF、 FN 。

∴∠ ADC= ∠ H，∠ 3＝∠ 4。

∵ AM=ME ，∠ 1＝∠ 2，
∴△ AMD ≌△ EMN
∴DM=NM ，AD=EN 。

∵正
方形 ABCD 、 CGEF，
∴AD=DC ， FC=FE ，∠ ADC ＝∠ FCG＝∠ CFE＝ 90°， CGFE。

∴∠ H＝ 90°，∠ 5= ∠NEF ， DC=NE 。

∴∠DCF＋∠7＝∠5＋∠7＝90°
∴∠ DCF＝∠ 5＝∠ NEF 。

∵ FC=FE，∴△ DCF≌△ NEF。

∴FD=FN ，∠ DFC= ∠ NFE 。

∵∠ CFE=90 °，∴∠ DFN ＝ 90°。

∴FM⊥ MD ， MF=MD 。