第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
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专题五 解析几何
第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线
1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点是
椭圆3xp2＋yp2＝1 的一个焦点，则 p＝(
)
A．2
B．3
C．4
D．8
解析：抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为p2，0，椭 圆3xp2＋yp2＝1 的焦点坐标为(± 2p，0)．
(2)双曲线ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程 y＝±abx. 3．抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 Fp2，0，准线方程 x＝－p2. (2)抛物线 x2＝2py(p＞0)的焦点 F0，p2，准线方程 y＝－p2.
因为 y′＝x，所以切线 DA 的斜率为 x1，故yx11＋－12t＝x1. 整理得 2tx1－2y1＋1＝0. 设 B(x2，y2)，同理可得 2tx2－2y2＋1＝0. 故直线 AB 的方程为 2tx－2y＋1＝0. 所以直线 AB 过定点0，12. (2)解：由(1)得直线 AB 的方程为 y＝tx＋12.
所以 x1＋32＝3x2＋32，则 x1＝3x2＋3.①
因为|y1|＝3|y2|，所以 x1＝9x2.② 由①，②得 x1＝92，x2＝12，故|AB|＝x1＋x2＋3＝8. 答案：B
4．(2018·天津卷)已知双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)
[变式训练] (1)已知椭圆 C：ay22＋1x62＝1(a＞4)的离心 率是 33，则椭圆 C 的焦距是( )
A．2 2 B．2 6 C．4 2 D．4 6 (2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两 条渐近线分别交于 A，B 两点．若F→1A＝A→B，F→1B·F→2B＝0， 则 C 的离心率为________．
4．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线 C：y＝x22，D 为直线 y＝ －12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.
(1)证明：直线 AB 过定点； (2)若以 E0，52为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为 线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积． (1)证明：设 Dt，－12，A(x1，y1)，则 x21＝2y1.
热点 1 圆锥曲线的定义与标准方程(自主演练) 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)． (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)． (3)抛物线：|MF|＝d(d 为点 M 到准线的距离)． 温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义 中隐含条件导致错误．
的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交
于 A，B 两点．设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离
分别为 d1 和 d2，且 d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.x42－1y22 ＝1
B.1x22 －y42＝1
C.x32－y92＝1
D.x92－y32＝1
解析：由 d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的 距离为 3，
所以 b＝3. 因为双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2， 所以ac＝2，所以a2＋a2 b2＝4，所以a2a＋2 9＝4，解得 a2 ＝3， 所以双曲线的方程为x32－y92＝1. 答案：C
[思维升华] 1．题目求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和 标准方程，另外焦点在不同坐标轴上，曲线方程有不同 的表示形式． 2．求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后 计算”．所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”， 就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值，最 后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
【例 1】 (1)(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，则点(4，0)到 C 的渐近线的距离为( )
A. 2
B．2
32 C. 2
D．2 2
(2)(2019·衡水中学检测)设 F1，F2 分别是椭圆 C：xa22＋
则 d1＝
t2＋1，d2＝
2 t2＋1.
因此，四边形 ADBE 的面积
S＝12|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3) t2＋1.
设 M 为线段 AB 的中点，则 Mt，t2＋12. 因为E→M⊥A→B，而E→M＝(t，t2－2)，A→B与向量(1，t)
平行，
解析：(1)由 e＝ac＝ 33，得 a＝ 3c. 所以 c2＝a2－b2＝3c2－16，所以 c2＝8. 因此焦距 2c＝4 2. (2)由F→1A＝A→B，得 A 为 F1B 的中点． 又因为 O 为 F1F2 的中点， 所以 OA∥BF2. 又F→1B·F→2B＝0，
由|MF2|＝6＜a＋c＝9，知点 M 在 C 的右支上．
由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以|MF1| ＝14.
答案：C
2．(2019·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联
盟联考)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分
热点 2 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为 e＝ac＝
1－ab22.
(2) 在 双 曲 线 中 ： c2 ＝ a2 ＋ b2 ； 离 心 率 为
e
＝
c a
＝
1＋ba22.
2．双曲线的渐近线
(1)双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程 y＝±bax.
D.14
解析：由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，
如图所示，设|F1F2|＝2c.
因为△PF1F2 为等腰三角形，
且∠F1F2P＝120°， 所以|PF2|＝|F1F2|＝2c. 因为|OF2|＝c，过 P 作 PE 垂直 x 轴，则∠PF2E＝60°， 所以 F2E＝c，PE＝ 3c，即点 P(2c， 3c)． 因为点 P 在过点 A 且斜率为 63的直线上， 所以2c＋3ca＝ 63，解得ac＝14， 所以 e＝14. 答案：D
由yy＝ ＝xt2x2＋，12，可得 x2－2tx－1＝0. 于是 x1＋x2＝2t，x1x2＝－1， y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1， |AB|＝ 1＋t2|x1－x2|＝ 1＋t2× （x1＋x2）2－4x1x2 ＝2(t2＋1)． 设 d1，d2 分别为点 D，E 到直线 AB 的距离，
程为 y＝±x.点(4，0)到 C 的渐近线的距离为 14＋1＝2 2.
法 2：离心率 e＝ 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近
线方程是 y＝±x，所以点(4，0)到 C 的渐近线的距离为
14＋1＝2 2.
(2)由|PF1|＋|PF2|＝2a，且|PF1|＝3|PF2|， 所以|PF1|＝32a，|PF2|＝a2.
by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且|PF1|
＝3|PF2|，若线段 PF1 的中点恰在 y 轴上，则椭圆的离心 率为( )
A.
3 3
B.
3 6
C.
2 2
D.12
解析：(1)法 1：由 e＝ac＝ 2，得 c＝ 2a.
又 b2＝c2－a2，得 b＝a，所以双曲线 C 的渐近线方
1．(2019·河南非凡联盟联考)已知双曲线 C：xa22－y92＝
1(a＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，一条渐近线与直线 4x＋3y＝0 垂直，点 M 在 C 上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝
() A．2 或 14
B．2
C．14
D．2 或 10
解析：由题意知3a＝34，故 a＝4，则 c＝5.
解析：双曲线x42－y22＝1 的右焦点坐标为( 6，0)，一
条渐近线的方程为 y＝ 22x，不妨设点 P 在第一象限，
由于|PO|＝|PF| 则点 P 的横坐标为 26，纵坐标为 22× 26＝ 23， 因此△PFO 的底边长为 6，高为 23，所以它的面积 为12× 6× 23＝342. 答案：A
2．圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)(焦点在 x 轴上)或ay22＋xb22 ＝1(a＞b＞0)(焦点在 y 轴上)． (2)双曲线：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 x 轴上)或 ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 y 轴上)． (3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p ＞0)．
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知 F1，F2 是椭圆 C：xa22＋by22＝ 1(a＞b＞0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A
且斜率为 63的直线上，△PF1F2 为等腰三角形，∠F1F2P ＝120°，则 C 的离心率为( )
A.23
B.12
C.13
由题意得p2＝ 2p，解得 p＝0(舍去)或 p＝8.
答案：D
2．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线 C：x42－y22＝1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO| ＝|PF|，则△PFO 的面积为( )
32 A. 4 C．2 2
32 B. 2 D．3 2
别为 F1，F2，离心率为12，过 F2 的直线与椭圆 C 交 8，则椭圆方程为( )
A.x42＋y32＝1
B.1x62＋1y22 ＝1
C.x22＋y2＝1
D.x42＋y22＝1
解析：由椭圆定义，△F1AB 的周长为 4a， 所以 4a＝8，a＝2. 由于 e＝ac＝12，得 c＝1，则 b2＝3. 故椭圆方程为x42＋y32＝1. 答案：A
3．(2019·广州一模)已知 F 为抛物线 C：y2＝6x 的焦
点，过点 F 的直线与 C 相交于 A、B 两点，且|AF|＝3|BF|，
则|AB|＝( )
A．6
B．8
C．10 D．12
解析：曲线 C：y2＝6x 的焦点 F32，0， 准线方程 x＝－32.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＝3|BF|，
因为线段 PF1 的中点在 y 轴上，且 O 为 F1F2 的中点， 所以 PF2∥y 轴，得∠PF2F1＝90°，
所以a22＋(2c)2＝32a2，则 a＝ 2c.
因此离心率
e＝ac＝
2 2.
答案：(1)D (2)C
[思维升华] 1．确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键 就是确立一个关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，再 根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式．建立关 于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 2．求双曲线渐近线方程关键在于求ba或ab的值，也可 将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．
所以 t＋(t2－2)t＝0，解得 t＝0 或 t＝±1. 当 t＝0 时，S＝3；当 t＝±1 时，S＝4 2. 因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2.
1．圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以 选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题．
2．直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其 是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高， 突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查．
第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线
1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点是
椭圆3xp2＋yp2＝1 的一个焦点，则 p＝(
)
A．2
B．3
C．4
D．8
解析：抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为p2，0，椭 圆3xp2＋yp2＝1 的焦点坐标为(± 2p，0)．
(2)双曲线ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程 y＝±abx. 3．抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 Fp2，0，准线方程 x＝－p2. (2)抛物线 x2＝2py(p＞0)的焦点 F0，p2，准线方程 y＝－p2.
因为 y′＝x，所以切线 DA 的斜率为 x1，故yx11＋－12t＝x1. 整理得 2tx1－2y1＋1＝0. 设 B(x2，y2)，同理可得 2tx2－2y2＋1＝0. 故直线 AB 的方程为 2tx－2y＋1＝0. 所以直线 AB 过定点0，12. (2)解：由(1)得直线 AB 的方程为 y＝tx＋12.
所以 x1＋32＝3x2＋32，则 x1＝3x2＋3.①
因为|y1|＝3|y2|，所以 x1＝9x2.② 由①，②得 x1＝92，x2＝12，故|AB|＝x1＋x2＋3＝8. 答案：B
4．(2018·天津卷)已知双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)
[变式训练] (1)已知椭圆 C：ay22＋1x62＝1(a＞4)的离心 率是 33，则椭圆 C 的焦距是( )
A．2 2 B．2 6 C．4 2 D．4 6 (2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两 条渐近线分别交于 A，B 两点．若F→1A＝A→B，F→1B·F→2B＝0， 则 C 的离心率为________．
4．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线 C：y＝x22，D 为直线 y＝ －12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.
(1)证明：直线 AB 过定点； (2)若以 E0，52为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为 线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积． (1)证明：设 Dt，－12，A(x1，y1)，则 x21＝2y1.
热点 1 圆锥曲线的定义与标准方程(自主演练) 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)． (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)． (3)抛物线：|MF|＝d(d 为点 M 到准线的距离)． 温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义 中隐含条件导致错误．
的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交
于 A，B 两点．设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离
分别为 d1 和 d2，且 d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.x42－1y22 ＝1
B.1x22 －y42＝1
C.x32－y92＝1
D.x92－y32＝1
解析：由 d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的 距离为 3，
所以 b＝3. 因为双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2， 所以ac＝2，所以a2＋a2 b2＝4，所以a2a＋2 9＝4，解得 a2 ＝3， 所以双曲线的方程为x32－y92＝1. 答案：C
[思维升华] 1．题目求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和 标准方程，另外焦点在不同坐标轴上，曲线方程有不同 的表示形式． 2．求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后 计算”．所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”， 就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值，最 后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
【例 1】 (1)(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，则点(4，0)到 C 的渐近线的距离为( )
A. 2
B．2
32 C. 2
D．2 2
(2)(2019·衡水中学检测)设 F1，F2 分别是椭圆 C：xa22＋
则 d1＝
t2＋1，d2＝
2 t2＋1.
因此，四边形 ADBE 的面积
S＝12|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3) t2＋1.
设 M 为线段 AB 的中点，则 Mt，t2＋12. 因为E→M⊥A→B，而E→M＝(t，t2－2)，A→B与向量(1，t)
平行，
解析：(1)由 e＝ac＝ 33，得 a＝ 3c. 所以 c2＝a2－b2＝3c2－16，所以 c2＝8. 因此焦距 2c＝4 2. (2)由F→1A＝A→B，得 A 为 F1B 的中点． 又因为 O 为 F1F2 的中点， 所以 OA∥BF2. 又F→1B·F→2B＝0，
由|MF2|＝6＜a＋c＝9，知点 M 在 C 的右支上．
由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以|MF1| ＝14.
答案：C
2．(2019·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联
盟联考)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分
热点 2 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为 e＝ac＝
1－ab22.
(2) 在 双 曲 线 中 ： c2 ＝ a2 ＋ b2 ； 离 心 率 为
e
＝
c a
＝
1＋ba22.
2．双曲线的渐近线
(1)双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程 y＝±bax.
D.14
解析：由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，
如图所示，设|F1F2|＝2c.
因为△PF1F2 为等腰三角形，
且∠F1F2P＝120°， 所以|PF2|＝|F1F2|＝2c. 因为|OF2|＝c，过 P 作 PE 垂直 x 轴，则∠PF2E＝60°， 所以 F2E＝c，PE＝ 3c，即点 P(2c， 3c)． 因为点 P 在过点 A 且斜率为 63的直线上， 所以2c＋3ca＝ 63，解得ac＝14， 所以 e＝14. 答案：D
由yy＝ ＝xt2x2＋，12，可得 x2－2tx－1＝0. 于是 x1＋x2＝2t，x1x2＝－1， y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1， |AB|＝ 1＋t2|x1－x2|＝ 1＋t2× （x1＋x2）2－4x1x2 ＝2(t2＋1)． 设 d1，d2 分别为点 D，E 到直线 AB 的距离，
程为 y＝±x.点(4，0)到 C 的渐近线的距离为 14＋1＝2 2.
法 2：离心率 e＝ 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近
线方程是 y＝±x，所以点(4，0)到 C 的渐近线的距离为
14＋1＝2 2.
(2)由|PF1|＋|PF2|＝2a，且|PF1|＝3|PF2|， 所以|PF1|＝32a，|PF2|＝a2.
by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且|PF1|
＝3|PF2|，若线段 PF1 的中点恰在 y 轴上，则椭圆的离心 率为( )
A.
3 3
B.
3 6
C.
2 2
D.12
解析：(1)法 1：由 e＝ac＝ 2，得 c＝ 2a.
又 b2＝c2－a2，得 b＝a，所以双曲线 C 的渐近线方
1．(2019·河南非凡联盟联考)已知双曲线 C：xa22－y92＝
1(a＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，一条渐近线与直线 4x＋3y＝0 垂直，点 M 在 C 上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝
() A．2 或 14
B．2
C．14
D．2 或 10
解析：由题意知3a＝34，故 a＝4，则 c＝5.
解析：双曲线x42－y22＝1 的右焦点坐标为( 6，0)，一
条渐近线的方程为 y＝ 22x，不妨设点 P 在第一象限，
由于|PO|＝|PF| 则点 P 的横坐标为 26，纵坐标为 22× 26＝ 23， 因此△PFO 的底边长为 6，高为 23，所以它的面积 为12× 6× 23＝342. 答案：A
2．圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)(焦点在 x 轴上)或ay22＋xb22 ＝1(a＞b＞0)(焦点在 y 轴上)． (2)双曲线：xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 x 轴上)或 ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 y 轴上)． (3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p ＞0)．
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知 F1，F2 是椭圆 C：xa22＋by22＝ 1(a＞b＞0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A
且斜率为 63的直线上，△PF1F2 为等腰三角形，∠F1F2P ＝120°，则 C 的离心率为( )
A.23
B.12
C.13
由题意得p2＝ 2p，解得 p＝0(舍去)或 p＝8.
答案：D
2．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线 C：x42－y22＝1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO| ＝|PF|，则△PFO 的面积为( )
32 A. 4 C．2 2
32 B. 2 D．3 2
别为 F1，F2，离心率为12，过 F2 的直线与椭圆 C 交 8，则椭圆方程为( )
A.x42＋y32＝1
B.1x62＋1y22 ＝1
C.x22＋y2＝1
D.x42＋y22＝1
解析：由椭圆定义，△F1AB 的周长为 4a， 所以 4a＝8，a＝2. 由于 e＝ac＝12，得 c＝1，则 b2＝3. 故椭圆方程为x42＋y32＝1. 答案：A
3．(2019·广州一模)已知 F 为抛物线 C：y2＝6x 的焦
点，过点 F 的直线与 C 相交于 A、B 两点，且|AF|＝3|BF|，
则|AB|＝( )
A．6
B．8
C．10 D．12
解析：曲线 C：y2＝6x 的焦点 F32，0， 准线方程 x＝－32.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＝3|BF|，
因为线段 PF1 的中点在 y 轴上，且 O 为 F1F2 的中点， 所以 PF2∥y 轴，得∠PF2F1＝90°，
所以a22＋(2c)2＝32a2，则 a＝ 2c.
因此离心率
e＝ac＝
2 2.
答案：(1)D (2)C
[思维升华] 1．确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键 就是确立一个关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，再 根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式．建立关 于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 2．求双曲线渐近线方程关键在于求ba或ab的值，也可 将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．
所以 t＋(t2－2)t＝0，解得 t＝0 或 t＝±1. 当 t＝0 时，S＝3；当 t＝±1 时，S＝4 2. 因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2.
1．圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以 选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题．
2．直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其 是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高， 突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查．