2013届高考物理一轮复习之[名师点金]第4单元曲线运动万有引力第3讲万有引力定律及其应用课件新人教版
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T
M= 43 πR3ρ
知识建构
技能建构
由以上各式得ρ= G3T 2
代入数据解得:ρ=1.27×1014 kg/m3. 【答案】1.27×1014 kg/m3
知识建构
技能建构
一、万有引力与重力的关系
例1 据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质 量为地球质量的6.4倍,一个在地球表面重为600 N的人在这个行星 表面将变为重960 N.则该行星的半径与地球半径之比约为 ( )
第3讲 万有引力定律及其应用
知识建构
技能建构
一、开普勒行星运动定律
定律 开普勒第一定律 (轨道定律)
内容
图示
所有行星绕①太阳运动
的轨道都是②椭圆,③
太阳处在椭圆的一个焦 点上
知识建构
技能建构
(续表)
定律 开普勒第二定律 (面积定律)
开普勒第三定律 (周期定律)
内容
图示
对任意一个行星来说,
它与④太阳的连线在相
子星,观测到它的自转周期T= 310 s.问该中子星的最小密度应是多少
才能维持该星的稳定,不致因自转而瓦解.计算时星体可视为均匀球 体.(引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2 )
【解析】设中子星的密度为ρ,质量为M,半径为R,自转角速度为ω, 位于赤道处的小物块质量为m,则有
GRM2m =mω2R ω= 2
等的时间内扫过相等的 ⑤面积
所有行星轨道的⑥半长
轴的三次方跟它的公转
⑦周期的二次方的比值
都相等,即 a3 =k T2
知识建构
技能建构
注意:(1)开普勒定律虽然是根据行星绕太阳的运动总结出来的,但也 适用于卫星、飞船绕行星的运动.
(2)开普勒第三定律中的k是一个与运动天体无关的量,它只与被环绕 的中心天体有关,取决于中心天体的质量. 二、万有引力定律
A.0.5
B.2
C.3.2
D.4
知识建构
技能建构
【名师点金】在忽略行星自转的情况下,行星对人的万有引力等于 人所受到的重力.根据万有引力定律列式,代入行星质量之比,即可求 得行星半径之比.
【规范全解】由题意可知地球表面的重力加速度与行星表面的重
力加速度之比为 966000= 1254,由黄金代换可知:
知识建构
技能建构
(1)简述机器人是如何通过第二次测量物体在月球所受的重力F.
(2)试利用测量数据(用符号表示)求月球的半径和质量. 【名师点金】万有引力定律在天文上的典型应用就是计算天体的 质量、密度、半径,此时要紧扣两个关键:一是紧扣一个物理模型,就 是将天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动;二是紧扣一个物体 做圆周运动的动力学特征,即天体(或卫星)的向心力由万有引力提 供.
(2)在牛顿发现万有引力定律一百多年后,英国物理学家卡文迪许利 用扭秤装置巧妙地测出了引力常量,为万有引力定律的实际应用起 到实质性的作用.
知识建构
技能建构
(3)万有引力定律的“四性” ①相互性:万有引力同样遵循牛顿第三定律,质量很大和质量很小的 物体间的相互吸引力大小是相等的. ②普适性:存在于任何两个有质量的物体之间. ③客观性:正常情况下,F引很小,一般涉及天体运动时,才考虑万有引 力. ④特殊性:F引与m1、m2、r有关,与空间性质无关,与周围有无其他物 体无关.
器人上月球,实地采样送回地球,为载人登月及月球基地选址做准备. 设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行,飞船上备有以 下实验仪器:A.计时表一只;B.弹簧测力计一只;C.已知质量为m的物 体一个;D.天平一只(附砝码一盒).在飞船贴近月球表面时可近似看 成绕月做匀速圆周运动,宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形 轨道绕行N圈所用时间为t,飞船的登月舱在月球上着陆后,遥控机器 人利用所携带的仪器又进行第二次测量,科学家利用上述两次测量 数据便可计算出月球的半径和质量.若已知引力常量为G,则:
技能建构
(2)假设地球自转加快,即由mg=G MRm2 -mR 自2 知物体的重力将变小.当 mR 自2 =G MRm2 时,mg=0,此时地球上的物体无重力,但是它要求地球自
转的角速度ω自= G RM3 ,比现在地球自转角速度要大得多,同学们可以
自己计算其数值.
二、万有引力定律的直接应用
知识建构
M=
F3 t 4 16 4N4m3
知识建构
技能建构
方法概述
1.基本方法:把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动,其所需 的向心力由万有引力提供. 2.解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力,F引=mg,即G MRm2 =mg,得
GM=gR2.
知识建构
技能建构
技能建构
四、双星及多星问题 例4 宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统,四星系 统离其他恒星较远,通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已 观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳 定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上,均围绕正方形对角线的 交点做匀速圆周运动;另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三 角形的三个项点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,而第四 颗星刚好位于三角形的中心不动.设每个星体的质量均为m.试求二 种形式下,星体运动的周期T1和T2.
g地 R 地2=GM地,g行 R 行2=GM行可知
R行 R地
= 12 .
【答案】B
知识建构
技能建构
方法概述
1.重力是由万有引力产生的,由于地球的自转,地球表面的物体随地 球自转时需要向心力.重力实际上是万有引力的一个分力.另一个分 力就是物体随地球自转时需要的向心力.如图所示,由于纬度的变化, 物体做圆周运动的向心力F也不断变化,因而地球表面物体的重力随 纬度的变化而变化,即重力加速度g随纬度变化而变化,从赤道到两 极逐渐增大.通常的计算中因重力和万有引力相差不大,可认为两者
gR 2T2 4 2
.
知识建构
技能建构
(2)设月球表面处的重力加速度为g月,根据题意:
v0=g月 2t mg月=G Mr月2m
解得:M月= 2vG0tr2 .
【答案】(1) 3 gR42T2 (2 2)
2v0r 2 Gt
知识建构
技能建构
4.中子星是恒星演化过程的一种可能结果,它的密度很大.现有一中
力可以看成是F=G Mdm2,M挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与 半径为 R2 的小球对质点的引力F2之和,即F=F1+F2.
知识建构
技能建构
【规范全解】因半径为 R2 的小球质量M'= 43 π(R2 )3·ρ43= R2π( R)3M3·43
1
8= M
M 'm
பைடு நூலகம்
Mm
则F2=G (d R )2 =G 8(d R)2
技能建构
2.在赤道处,物体的万有引力分解的两个分力f向和mg刚好在一条直 线上,则有F=f向+mg.
所以,mg=F-f向=G MRm2 -mR 自2 .
(1)因地球自转角速度很小,G MRm2 ≫mR 自2,所以mg= GRM2m (一般情况下
不考虑自转带来的影响,认为重力等于万有引力).
知识建构
知识建构
技能建构
1.内容: 自然界中任何两个物体间都是相互吸引的,引力的大小跟⑧ 这两个物体的质量的乘积成正比,跟它们之间⑨距离的二次方成反 比.
m1m2
2.公式:F=⑩G r2 ,其中G= 6.67×10-11 N·m2/kg2叫做引力常量.引力 方向:沿两质点的连线指向 施力物体.
知识建构
技能建构
(2)天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动,其向心力由万有引力 提供,即F引=F向.
一般有以下几种表达形式:
①G Mr2m =m vr2 ;②G Mr2m =mω2r;③GM r2m =m4 T22 r.
知识建构
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3.天体质量和密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R. 由于G M Rm2 =mg,故天体质量M= gGR,2天体密度ρ= MV= 4MR=3 43GgR.
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1.关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是 ( ) A.所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值 都相等
C.离太阳越近的行星运动周期越大 D.行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 【解析】所有行星都沿不同的椭圆轨道绕太阳运动,太阳位于椭 圆轨道的一个公共焦点上,故A、D均错误;由开普勒第三定律知, 所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相 等,而且半长轴越大,行星运动周期越大,B正确,C错误. 【答案】B
知识建构
技能建构
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后,在月球表面某处以速度v0竖直 向上抛出一个小球,经过时间t,小球落回抛出点.已知月球半径为r,引 力常量为G,试求出月球的质量M月.
【解析】(1)根据万有引力定律和向心力公式:
G
M月M r2
=M月( 2T )2r
mg=G MRm2
解得:r= 3
3.适用条件:公式适用于 质点间的相互作用,当两个物体间的距离 远远大于物体本身的大小时,物体可视为质点.两个质量分布均匀的 球体间的万有引力可用公式求解,式中r即 两球心之间的距离;一个 均匀球体与球外一质点间的万有引力亦可用上式求解,r即质点到 球心的距离.
知识建构
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4.引力常量
(1)万有引力常量是宇宙普适恒量.它在数值上等于两个质量都是1 kg的物体相距1 m时相互吸引力的大小,G值十分微小,表明通常情况 下,一般两物体之间的万有引力非常小,但在质量巨大的天体之间,万 有引力具有较大的数值.
技能建构
例2 如图所示,在一个半径为R、质量为M的均匀球体中,紧贴
球的边缘挖去一个半径为 R2 的球形空穴后,对位于球心和空穴中心
连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大?
知识建构
技能建构
【名师点金】把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩 余部分对质点的引力之和.其中完整的均质球体对球外质点m的引
知识建构
技能建构
3.(2012年石景山模拟)我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动,科 学家对月球的探索会越来越深入.2009年下半年发射了“嫦娥1号” 探月卫星,2010年又发射了“嫦娥2号”.
(1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动 的周期为T,月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动,试求出月球 绕地球运动的轨道半径.
知识建构
技能建构
2.设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R(R是地球半径)处,
由于地球的引力作用而产生的重力加速度为g',则 gg' 为 ( )
A.1
B. 19
C. 14
D. 116
【解析】因为g=G RM2 ,g‘=G(R M3 R)2 ,所以 gg' = 116 ,即D选项正确.
【答案】D
3
知识建构
技能建构
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T、轨道半径r.
①由万有引力等于向心力,即G Mr2m=m 4Tr22,得出中心天体质量M= . 4 2r3
GT2
②若已知天体的半径R,则天体的平均密度ρ= MV =
4 3
M R3
3 r3
= GT2R3
.
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径r
知识建构技能建构一开普勒行星运动定律定律内容图示开普勒第一定律轨道定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆太阳处在椭圆的一个焦知识建构技能建构定律内容图示开普勒第二定律面积定律对任意一个行星来说它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积开普勒第三定律周期定律所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等即?k续表知识建构技能建构2开普勒第三定律中的k是一个与运动天体无关的量它只与被环绕的中心天体有关取决于中心天体的质量
知识建构
技能建构
【规范全解】(1)利用弹簧测力计测量物体m的重力F.
(2)在月球近地表面有:G MRm2 =m( 2T )2R
T= Nt
在月球表面有:G MRm2 =F
则有R=
4 F2 Nt 2 2 m,M=
.F3 t 4
16 4N4m3
【答案】(1)见解析
(2)R=
4
Ft 2 2N2m
相等.即mg=G Mr2m ,g=G Mr2 常用来计算星球表面重力加速度的大小.在
地球的同一纬度上,g随物体离地面高度的增大而减小,因为物体所
受引力随物体离地面高度的增大而减小,g'= (rGMh)2 .
注意:g=G Mr2 和g'=G (r Mh)2 不仅适用于地球,也适用于其他星球.
知识建构
等于天体半径R,则天体密度ρ= G3T.2可见,只要测出卫星环绕天体表
面运动的周期T,就可估测出中心天体的密度.
说明:不考虑天体自转,对任何天体表面都可以认为mg=G MRm2 ,从而得
出GM=gR2(通常称为黄金代换).其中M为该天体的质量,R为该天体 的半径,g为相应天体表面的重力加速度.
知识建构
2
2
所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力
Mm
F1=F-F2=G d 2
-G
Mm 8(d R
)2
2
=GMm
7d 2 8dR 8d 2 (d
2R2 R )2
.
2
7d 2 8dR 2R2
【答案】GMm 8d 2(d R)2 2
知识建构
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三、万有引力定律在天文学上的应用 例3 中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机
M= 43 πR3ρ
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由以上各式得ρ= G3T 2
代入数据解得:ρ=1.27×1014 kg/m3. 【答案】1.27×1014 kg/m3
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一、万有引力与重力的关系
例1 据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质 量为地球质量的6.4倍,一个在地球表面重为600 N的人在这个行星 表面将变为重960 N.则该行星的半径与地球半径之比约为 ( )
第3讲 万有引力定律及其应用
知识建构
技能建构
一、开普勒行星运动定律
定律 开普勒第一定律 (轨道定律)
内容
图示
所有行星绕①太阳运动
的轨道都是②椭圆,③
太阳处在椭圆的一个焦 点上
知识建构
技能建构
(续表)
定律 开普勒第二定律 (面积定律)
开普勒第三定律 (周期定律)
内容
图示
对任意一个行星来说,
它与④太阳的连线在相
子星,观测到它的自转周期T= 310 s.问该中子星的最小密度应是多少
才能维持该星的稳定,不致因自转而瓦解.计算时星体可视为均匀球 体.(引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2 )
【解析】设中子星的密度为ρ,质量为M,半径为R,自转角速度为ω, 位于赤道处的小物块质量为m,则有
GRM2m =mω2R ω= 2
等的时间内扫过相等的 ⑤面积
所有行星轨道的⑥半长
轴的三次方跟它的公转
⑦周期的二次方的比值
都相等,即 a3 =k T2
知识建构
技能建构
注意:(1)开普勒定律虽然是根据行星绕太阳的运动总结出来的,但也 适用于卫星、飞船绕行星的运动.
(2)开普勒第三定律中的k是一个与运动天体无关的量,它只与被环绕 的中心天体有关,取决于中心天体的质量. 二、万有引力定律
A.0.5
B.2
C.3.2
D.4
知识建构
技能建构
【名师点金】在忽略行星自转的情况下,行星对人的万有引力等于 人所受到的重力.根据万有引力定律列式,代入行星质量之比,即可求 得行星半径之比.
【规范全解】由题意可知地球表面的重力加速度与行星表面的重
力加速度之比为 966000= 1254,由黄金代换可知:
知识建构
技能建构
(1)简述机器人是如何通过第二次测量物体在月球所受的重力F.
(2)试利用测量数据(用符号表示)求月球的半径和质量. 【名师点金】万有引力定律在天文上的典型应用就是计算天体的 质量、密度、半径,此时要紧扣两个关键:一是紧扣一个物理模型,就 是将天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动;二是紧扣一个物体 做圆周运动的动力学特征,即天体(或卫星)的向心力由万有引力提 供.
(2)在牛顿发现万有引力定律一百多年后,英国物理学家卡文迪许利 用扭秤装置巧妙地测出了引力常量,为万有引力定律的实际应用起 到实质性的作用.
知识建构
技能建构
(3)万有引力定律的“四性” ①相互性:万有引力同样遵循牛顿第三定律,质量很大和质量很小的 物体间的相互吸引力大小是相等的. ②普适性:存在于任何两个有质量的物体之间. ③客观性:正常情况下,F引很小,一般涉及天体运动时,才考虑万有引 力. ④特殊性:F引与m1、m2、r有关,与空间性质无关,与周围有无其他物 体无关.
器人上月球,实地采样送回地球,为载人登月及月球基地选址做准备. 设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行,飞船上备有以 下实验仪器:A.计时表一只;B.弹簧测力计一只;C.已知质量为m的物 体一个;D.天平一只(附砝码一盒).在飞船贴近月球表面时可近似看 成绕月做匀速圆周运动,宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形 轨道绕行N圈所用时间为t,飞船的登月舱在月球上着陆后,遥控机器 人利用所携带的仪器又进行第二次测量,科学家利用上述两次测量 数据便可计算出月球的半径和质量.若已知引力常量为G,则:
技能建构
(2)假设地球自转加快,即由mg=G MRm2 -mR 自2 知物体的重力将变小.当 mR 自2 =G MRm2 时,mg=0,此时地球上的物体无重力,但是它要求地球自
转的角速度ω自= G RM3 ,比现在地球自转角速度要大得多,同学们可以
自己计算其数值.
二、万有引力定律的直接应用
知识建构
M=
F3 t 4 16 4N4m3
知识建构
技能建构
方法概述
1.基本方法:把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动,其所需 的向心力由万有引力提供. 2.解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力,F引=mg,即G MRm2 =mg,得
GM=gR2.
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技能建构
技能建构
四、双星及多星问题 例4 宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统,四星系 统离其他恒星较远,通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已 观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳 定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上,均围绕正方形对角线的 交点做匀速圆周运动;另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三 角形的三个项点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,而第四 颗星刚好位于三角形的中心不动.设每个星体的质量均为m.试求二 种形式下,星体运动的周期T1和T2.
g地 R 地2=GM地,g行 R 行2=GM行可知
R行 R地
= 12 .
【答案】B
知识建构
技能建构
方法概述
1.重力是由万有引力产生的,由于地球的自转,地球表面的物体随地 球自转时需要向心力.重力实际上是万有引力的一个分力.另一个分 力就是物体随地球自转时需要的向心力.如图所示,由于纬度的变化, 物体做圆周运动的向心力F也不断变化,因而地球表面物体的重力随 纬度的变化而变化,即重力加速度g随纬度变化而变化,从赤道到两 极逐渐增大.通常的计算中因重力和万有引力相差不大,可认为两者
gR 2T2 4 2
.
知识建构
技能建构
(2)设月球表面处的重力加速度为g月,根据题意:
v0=g月 2t mg月=G Mr月2m
解得:M月= 2vG0tr2 .
【答案】(1) 3 gR42T2 (2 2)
2v0r 2 Gt
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技能建构
4.中子星是恒星演化过程的一种可能结果,它的密度很大.现有一中
力可以看成是F=G Mdm2,M挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与 半径为 R2 的小球对质点的引力F2之和,即F=F1+F2.
知识建构
技能建构
【规范全解】因半径为 R2 的小球质量M'= 43 π(R2 )3·ρ43= R2π( R)3M3·43
1
8= M
M 'm
பைடு நூலகம்
Mm
则F2=G (d R )2 =G 8(d R)2
技能建构
2.在赤道处,物体的万有引力分解的两个分力f向和mg刚好在一条直 线上,则有F=f向+mg.
所以,mg=F-f向=G MRm2 -mR 自2 .
(1)因地球自转角速度很小,G MRm2 ≫mR 自2,所以mg= GRM2m (一般情况下
不考虑自转带来的影响,认为重力等于万有引力).
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1.内容: 自然界中任何两个物体间都是相互吸引的,引力的大小跟⑧ 这两个物体的质量的乘积成正比,跟它们之间⑨距离的二次方成反 比.
m1m2
2.公式:F=⑩G r2 ,其中G= 6.67×10-11 N·m2/kg2叫做引力常量.引力 方向:沿两质点的连线指向 施力物体.
知识建构
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(2)天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动,其向心力由万有引力 提供,即F引=F向.
一般有以下几种表达形式:
①G Mr2m =m vr2 ;②G Mr2m =mω2r;③GM r2m =m4 T22 r.
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3.天体质量和密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R. 由于G M Rm2 =mg,故天体质量M= gGR,2天体密度ρ= MV= 4MR=3 43GgR.
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1.关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是 ( ) A.所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值 都相等
C.离太阳越近的行星运动周期越大 D.行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 【解析】所有行星都沿不同的椭圆轨道绕太阳运动,太阳位于椭 圆轨道的一个公共焦点上,故A、D均错误;由开普勒第三定律知, 所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相 等,而且半长轴越大,行星运动周期越大,B正确,C错误. 【答案】B
知识建构
技能建构
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后,在月球表面某处以速度v0竖直 向上抛出一个小球,经过时间t,小球落回抛出点.已知月球半径为r,引 力常量为G,试求出月球的质量M月.
【解析】(1)根据万有引力定律和向心力公式:
G
M月M r2
=M月( 2T )2r
mg=G MRm2
解得:r= 3
3.适用条件:公式适用于 质点间的相互作用,当两个物体间的距离 远远大于物体本身的大小时,物体可视为质点.两个质量分布均匀的 球体间的万有引力可用公式求解,式中r即 两球心之间的距离;一个 均匀球体与球外一质点间的万有引力亦可用上式求解,r即质点到 球心的距离.
知识建构
技能建构
4.引力常量
(1)万有引力常量是宇宙普适恒量.它在数值上等于两个质量都是1 kg的物体相距1 m时相互吸引力的大小,G值十分微小,表明通常情况 下,一般两物体之间的万有引力非常小,但在质量巨大的天体之间,万 有引力具有较大的数值.
技能建构
例2 如图所示,在一个半径为R、质量为M的均匀球体中,紧贴
球的边缘挖去一个半径为 R2 的球形空穴后,对位于球心和空穴中心
连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大?
知识建构
技能建构
【名师点金】把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩 余部分对质点的引力之和.其中完整的均质球体对球外质点m的引
知识建构
技能建构
3.(2012年石景山模拟)我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动,科 学家对月球的探索会越来越深入.2009年下半年发射了“嫦娥1号” 探月卫星,2010年又发射了“嫦娥2号”.
(1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动 的周期为T,月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动,试求出月球 绕地球运动的轨道半径.
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2.设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R(R是地球半径)处,
由于地球的引力作用而产生的重力加速度为g',则 gg' 为 ( )
A.1
B. 19
C. 14
D. 116
【解析】因为g=G RM2 ,g‘=G(R M3 R)2 ,所以 gg' = 116 ,即D选项正确.
【答案】D
3
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(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T、轨道半径r.
①由万有引力等于向心力,即G Mr2m=m 4Tr22,得出中心天体质量M= . 4 2r3
GT2
②若已知天体的半径R,则天体的平均密度ρ= MV =
4 3
M R3
3 r3
= GT2R3
.
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径r
知识建构技能建构一开普勒行星运动定律定律内容图示开普勒第一定律轨道定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆太阳处在椭圆的一个焦知识建构技能建构定律内容图示开普勒第二定律面积定律对任意一个行星来说它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积开普勒第三定律周期定律所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等即?k续表知识建构技能建构2开普勒第三定律中的k是一个与运动天体无关的量它只与被环绕的中心天体有关取决于中心天体的质量
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【规范全解】(1)利用弹簧测力计测量物体m的重力F.
(2)在月球近地表面有:G MRm2 =m( 2T )2R
T= Nt
在月球表面有:G MRm2 =F
则有R=
4 F2 Nt 2 2 m,M=
.F3 t 4
16 4N4m3
【答案】(1)见解析
(2)R=
4
Ft 2 2N2m
相等.即mg=G Mr2m ,g=G Mr2 常用来计算星球表面重力加速度的大小.在
地球的同一纬度上,g随物体离地面高度的增大而减小,因为物体所
受引力随物体离地面高度的增大而减小,g'= (rGMh)2 .
注意:g=G Mr2 和g'=G (r Mh)2 不仅适用于地球,也适用于其他星球.
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等于天体半径R,则天体密度ρ= G3T.2可见,只要测出卫星环绕天体表
面运动的周期T,就可估测出中心天体的密度.
说明:不考虑天体自转,对任何天体表面都可以认为mg=G MRm2 ,从而得
出GM=gR2(通常称为黄金代换).其中M为该天体的质量,R为该天体 的半径,g为相应天体表面的重力加速度.
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2
2
所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力
Mm
F1=F-F2=G d 2
-G
Mm 8(d R
)2
2
=GMm
7d 2 8dR 8d 2 (d
2R2 R )2
.
2
7d 2 8dR 2R2
【答案】GMm 8d 2(d R)2 2
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三、万有引力定律在天文学上的应用 例3 中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机