2020-2021学年浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题(解析版)

12．已知函数 ，则 ___________； 的零点为___________.
【答案】2
【解析】第一空直接代入即可；第二空需分情况讨论（1）当 时，（2）当 时，（3）当 时， 依次类推即可.
【详解】
解： ，
（1）当 时， ，
（2）当 时， ， ，不合题意，舍去；
（3）当 时， ， ，不合题意，舍去；
20．已知 中，角 所对的边分别是 ，满足 .
（1）求证： ；
（2）若 ，且 ，求 的内切圆半径.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）由正余弦定理，结合已知条件可得 ，进而有 ，由三角形内角性质即可证 ；（2）由已知条件知 ，结合（1）的结论有 为直角三角形进而求内切圆半径；
【详解】
（1）证明：由
【详解】
先设等差数列 的公差为 ，因为 存在最大值，所以 ；
则 ，
函数 的对称轴为 ，
因为 的取值不确定，所以对称轴位置不确定，则函数 最值不确定；
故CD都不正确；
又 ，所以 也是等差数列，且 ，即数列 单调递减，因此最大项为 ，故A正确，B错误；
故选：A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列前n项和的性质，属于常考题型.
（2）由（1）可得： ，利用错位相减法求得 ，利用单调性，得到最大整数n的值.
【详解】
（1）设 的公差为d，则有 ，
即
又由 ，得
解得 或 (舍去)，故
（2）由（1）可得：
两式相减得：
又 单调递增， ，
所以使得 成立的最大整数 .
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列通项公式的求解，错位相减法求和，属于简单题目.
【答案】
【解析】直接用余弦定理可求 .设 ， ， 中，用正弦定理得出 ； 中， ； 中， ，再用两角差的正弦公式求出 ，则 可求.
【详解】
解： ，
设 ， ，
中， ，
中， ，
中， ，
，
是边 上一点，所以 ，
，
故答案为： ； .
【点睛】
考查用正余弦定理以及两角差的正弦公式求三角形的边长和比值，基础题.
三、填空题
【详解】
不等式组 ，的可行域如图所示阴影部分：
由直线方程 知：a表示点 与点P 所确定直线的斜率，
如图所示： ，
所以实数 的取值范围为
故选：C
【点睛】
本题主要考查线性规划求范围，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
7．下列函数图象中，不可能是函数 的图象的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据函数解析式，得到 ，都有 ，可排除B；再结合 的取值，可确定ABD可能取到.
【详解】
因为 ， ，
所以 ， ，则 ；
即数列 的奇数项和偶数项分别成以 为公比的等比数列，
则当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ；
因此 ；
则
.
故答案为： ； .
【点睛】
本题主要考查等比数列基本量的运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
14．已知 中，角A，B，C所对的边分别是 ，已知 ， 是边 上一点，且 ，则 =___________； =___________.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别，属于常考题型.
8．已知数列 是无穷等差数列， 是其前n项和，若 存在最大值，则（）
A．在 中最大的数是
B．在 中最大的数是
C．在 中最大的数是
D．在 中最大的数是
【答案】A
【解析】先设等差数列 的公差为 ，根据题中条件，得到 ，结合等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得出结果.
A． B．
C．存在 ，有 D．对于任意 ，有
【答案】B
【解析】先将不等式化为 ，推出 或 ，得到对任意 ，不等式 恒成立；令 ，得到 ，画出不等式对应的平面区域，结合图形，即可得出结果.
【详解】
由 得 ，
所以 或 ，
即 或 ，
因为 的解集为 或 ；
又对任意 ，不等式 恒成立
所以 的解集必然包含 ，
即对任意 ，不等式 恒成立；
得 ，即
，即
又 ，
或 (舍去)
（2）由 ，得 ，
，
，
， ， .
因为 ，可知
有 内切圆半径
【点睛】
本题考查了正余弦定理的应用，及三角恒等变换求三角形内角关系，并由直角三角形三边与内切圆半径关系求半径；
21．已知函数 .
（1）若 ，写出 的单调区间(不要求证明)；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】C
【解析】利用函数的奇偶性定义和单调性的定义以及结合函数的解析式判断.
【详解】
A.因为 ，所以是奇函数，故错误；
B.因为 ，所以是奇函数，故错误；
C.因为 ，所以是偶函数，
设 ，且 ， ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以函数在 上单调递增，故正确；
D.因为 ，所以是偶函数，
，在 上不单调，故错误；
【答案】D
【解析】利用三角函数平移的知识逐一判断即可.
【详解】
函数 的图象向左平移 得到的是函数 的图象，故A正确；
函数 的图象向右平移 得到的是函数 的图象，故B正确；
函数 的图象向左平移 得到的是函数 的图象，
然后再关于 轴对称后得到的是 的图象，故C正确；
函数 的图象向左平移 得到的是函数 的图象，
令 ，
则只需 ，即 ，
画出 所表示的平面区域如下：
由图像可得，对于平面区域内的点 ，都有 ， ，则A错，B正确；
平面区域在 和 的上方，
则 恒成立， 恒成立；故CD错误；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由不等式恒成立求参数范围的问题，转化为线性规划的问题求解，利用数形结合的方法，即可得出结果.
二、双空题
16．设 ，当 取得最小值 时，函数 的最小值为___________.
【答案】10
【解析】 表示点 与点 距离的平方，而点 是直线 上任一点，点 （ ）是反比例函数 在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得 ，从而得 ，再利用绝对值三角不等式可求出函数 的最小值
【详解】
解： 表示点 与点 距离的平方，
3、 ，故C错误；
4、 在 上单调递增，故 ，故D错误；
故选：B
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性比较大小，注意各对应函数在区间中的单调性，结合已知参数的关系比较函数值大小；
5．将函数 的图象经过以下变换后可得函数 的图象，其中不正确的是（）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 ，再作关于 轴对称D．向左平移 ，再作关于 轴对称
17．已知数列 满足： ， ，若正整数 使得 成立，则 ___________.
【答案】2019
【解析】根据 可得 且 ，结合已知条件的等式成立，即可求 的值；
【详解】
知： 且 ，则：
，
，而 ，
∴ ，即得 .
故答案为：2019
【点睛】
本题考查了利用数列递推式，结合等式成立求数列的项数，注意结合已知等式中乘积形式、平方形式转化递推式求参数；
四、解答题
18．已知函数 .
（1）求 的最小正周期及 的值；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）最小正周期 ， ；（2） .
【解析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式化简函数式，即可求最小正周期及 的值；（2）利用复合函数求值域方法求 的范围；
【详解】
（1）由题意知： ，有 ，
∴ ，
（2）
.
【点睛】
然后再关于 轴对称后得到的是 的图象，故D不正确；
故选：D
【点睛】
本题考查的是三角函数图象的变换，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
6．若函数 的图象上存在点 ，满足不等式组 ，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先画出不等式组 可行域，然后根据a表示点 与点P 所确定直线的斜率求解.
而点 是直线 上任一点，
点 是反比例函数 在第四象限上的点，
当 是斜率为 的直线与 相切的切点时，
点 到直线 的距离即为 的最小值，
由 ，
，
所以 ，
当且仅当 取等号，
所以函数 的最小值为10，
故答案为：10
【点睛】
此题考查两点间的距离公式以及导数几何意义的应用，考查绝对值三角不等式的应用，考查分段函数，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题
2020-2021学年浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由交集的定义直接求解即可
【详解】
解：因为集合 ， ，
所以 ，
故选：D
【点睛】
此题考查集合的交集运算，属于基础题
2．已知角 的顶点与原点O重合，始边与 轴的非负半轴重合，将 的终边按顺时针方向旋转 后，过点 ，则 等于（）
本题考查了三角函数的性质，利用二倍角公式、辅助角公式化简函数式，进而求周期、函数值，以及区间内的值域；
19．已知数列 是公差为正的等差数列， 是 和 的等比中项， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ， 是数列 的前n项和，求使得 成立的最大整数n.
【答案】（1） ；（2）最大整数为 .
【解析】（1）设 的公差为d，利用 是 和 的等比中项，得到等量关系式，整理得出 ，求得 ，结合 ，求得 ；
【详解】
因为 ，
若 ，则 ， ，所以 ，
故函数 的图象不可能是C；
若 ，则 ；又 ，所以函数 是奇函数，图象关于原点对称，且当 时， ；当 时， ，其图象与A相同；
若 ，则 ，又 ，则函数 是偶函数，图象关于 轴对称；当 时， ；当 时， ，当 时， ，所以其图象可能是B选项；
若 ，则 ，又 ，所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称；且 ；当 时， ；当 时， ，当 时， ，其图象可能是D选项.
【答案】（1）单调递减区间为： ，单调递增区间为： ；（2） .
【解析】（1）依题意求出函数解析式，画出函数图象，即可得到函数的单调区间；
（2）记 ，则由题意得对任意 ， ，即 ，所以 ，可得 且 对任意 恒成立，从而求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1）当 时， ，函数图象如下所示，
所以 的单调递减区间为： ；单调递增区间为：
11．已知向量 ，若 ，则 ___________；若 ，则 =___________.
【答案】2或
【解析】由 可得 ，从而可求得 的值；由 可得 ，从而可求得 的值
【详解】
解：因为向量 ，且 ，
所以 ，解得 或 ；
因为向量 ，且 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：2或 ；
【点睛】
此题考查由向量平行或垂直求参数，属于基础题
（4）当 时， ， ， ，
，不合题意，舍去；
综合以上，有 时， 无零点.
故答案为：2； .
【点睛】
考查求分段函数值以及复合分段函数的零点，难题.
13．已知数列 中， ， ，则 ___________；设数列 的前 项的和为 ，则 =___________.
【答案】
【解析】根据题中条件，得到 ， ，则列 的奇数项和偶数项分别成以 为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式，即可得出结果.
15．已知 为正实数，且 ，则 的最小值为___________.
【答案】3
【解析】利用已知条件，结合“1”代换构造 ，进而应用基本不等式求最值，即可求 的最小值；
【详解】
知： 当且仅当 等号成立，
∴ ，即有 ，
故答案为：3
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，根据已知条件构造基本不等式形式求最值，然后求参数范围；
9．在 中， ， ， 是 的外接圆的直径，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先将 ，转化为 ，然后利用正弦定理和余弦定理整理得： ，进而再利用余弦定理求得角A，边a和外接圆的半径，然后建立直角坐标系，设 ，利用平面向量的数量积的坐标运算求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
由正弦定理和余弦定理得： ，
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性判断，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.
4．已知 ，则下列不等式正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用函数 、 、 的单调性比较函数值大小，即可知正确选项；
【详解】
由 ，
1、 为递增函数，故 ，故A错误；
2、 在 上单调递减，故 ，故B正确；
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用三角函数的定义以及诱导公式即可求解.
【详解】
的终边按顺时针方向旋转 后，过点 ，
所以 ，即 ，
即 .
故选：A
【点睛】
本题考查了三角函数的定义以及三角函数的诱导公式，需熟记公式，属于基础题.
3．下列函数中，既是偶ห้องสมุดไป่ตู้数，又在 上单调递增的是（）
A． B． C． D．
整理得： ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
由余弦定理得 ，
解得 ，
所以 ，
解得 ，
建立如图所示直角坐标系：
设 ，且 ，则 ， ，
所以 ，
，
令 ，
则 ，
，
故选：D
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理以及平面向量的数量积运算，还考查了转化化归的思想，数形结合思想和运算求解的能力，属于中档题.
10．已知对任意 ，不等式 恒成立，则（）