常微分方程主要内容复习

y'' py' qy 0
(3)
为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程
y'' py' qy f (x) ( f (x) 0) / (4)
为二阶常系数线性非齐次微分方程.
一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构
定理 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程 (3)的两个解，则 y C1 y1(x) C2 y2 (x)也是方程(3)的 解，其中C1, C2是任意常数.
y Ce ， P(x)dx (3)
其中C为任意常数.
2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解：
设 y C(x)e P(x)dx，
(4)
是方程(1)的解，其中C(x)为待定常数,
将(4)式求其对x的导数，得
dy C'(x)e P(x)dx P(x)C(x)e P(x)dx， dx 代入方程(1)中，得
d3y ( dt3

3
d2 dt
y
2

2
dy )， dt
如果采用记号D表示对自变量t的求导运算 d
则上述结果可以写为 xy Dy, x2 y Dy,
dt
x3 y D(D 1）(D 2）y,
xk y(k) D(D 1） (D k 1）y。
将上述变换代入欧拉方程，则可化为以t为自变量的 常系数线性微分方程，求出该方程的解后，把t换为
r1,2 i ( 0)
C2 sin x)
二阶常系数非齐次线形微分方程
二阶常系数非齐次线形微分方程的一般形式为：
y py qy f (x)
当 f (x) pm (x)ex 时，二阶常系数非齐次线形 微分方程具有形如 y* xkQm (x)ex
的特解，其中 Qm (x) 是与 Pm ( x) 同次（m
次）的多项式，而k按 是不是特征方程的根、
是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、 1或2。
当 f (x) Pm (x)ex cosx
或 f (x) Pm (x)ex sin x
时，
由欧拉公式知道，
分别是
方程的根、是特征方程的Leabharlann Baidu根依次取0或1。
方程
和
的特解y分 py别 q是y （Pm(x9)e）x co式sx的特解y的 p实y 部qy 和 Pm虚(x)e部x si。nx
欧拉方程
形如 xn y(n) p1xn1 y(n1) pn1xy pn y f (x) 的方程称为欧拉方程，其中 p1, p2 , pn 为常数。
两端积分得通解:

g
1
y
dy


f
x
dx
齐次方程
如果一阶微分方程
dy dx

f
(x,
y)
可以化成
dy dx



y x

的形式，则称此方程为齐次微分方程．
这类方程的求解分三步进行：
（1）将原方程化为方程
dy dx



y x

的形式．
（2）作变量代换 u y
x
以 u 为新的未知函数（注意，u 仍是 x 的函数），
Pm (x)ex cosx
和 Pm (x)ex的sin实x部
和虚部。Pm (x)e(i)x Pm(x)ex (cosx i sin x)
而方程
具有形如

y py qy的 P特m(x解)e(，i)x其(9)中
是与
同y*次 x（kQmm (x次)e(）i的)x 多项式，而k按Qm (x是) 不是P特m (征x)
不包含任意常数的解为微分方程特解.
可分离变量的微分方程
1．定义 形如
dy f x g y (1)
dx
的方程称为可分离变量的方程.
特点 -- 等式右端可以分解成两个函数之积， 其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数
2．解法:
分离变量得
1
g y dy

f
x dx
g y 0
ln x ，即得欧拉方程的解。
定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微 分方程(3)的两个线性无关的特解，则
y C1y1(x) C2 y2(x) (C1,C2为任意常数)
就是方程(3)的通解.
求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤： 1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根； 2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出 微分方程的通解.可使用下表:
u

y x
代回，便得到所
一阶线性微分方程
形如
dy P(x)y Q(x) dx
(1)
的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是连
dy
续函数，且方程关于y及 如果Q(x) 0，则称
dx
是一次的，Q(x)是自由项.
dy P(x) y Q(x) dx
为一阶线性非齐次方程，
如果Q(x) 0，即
欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的 阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。
解法：作变量替换 x et或t ln x, 将自变量x换成t，
则有
dy dx

dy dt
dt dx

1 x
dy dt
,
d2y dx2

1 x2
(
d2 dt
y
2

dy )， dt
同理，有
d3y dx3

1 x3
C' (x)e P(x)dx P(x)C(x)e P(x)dx
P(x)C(x)e P(x)dx Q(x)，
化简后，得 C'(x) Q(x)e P(x)dx，
将上式积分，得
C(x) Q(x)e P(x)dxdx C，
(5)
其中C为任意常数.
把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解为
就可以把齐次微分方程化为可分离变量的微分方 程来求解．
由
u y x
，得
y ux
两端求导，得 dy u x du
dx
dx
代入方程中，得 u x du (u)
dx
这是变量可分离的微分方程．分离变量并积分，
得

du
(u) u


dx x
（3）求出积分后，再以 求齐次方程的通解
y eP(x)dx ( Q(x)eP(x)dxdx C).
(6)
通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意
常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程
的通解，这种方法称为常数变易法.
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线性微分方程 二、 常系数线性齐次微分方程解的结构 三、 二阶常系数线性齐次微分方程的解法
dy P(x) y 0 (2) dx
为一阶线性齐次方程.
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:
1.先求
dy dx
P(x)y
0
(2)
的通解：
分离变量后得 dy P(x)dx y
任意常数写成ln C的形式，得
ln y P(x)dx ln C，
化简后，方程(2)的通解为
特征方程:
微分方程:
r2 pr q 0
y'' py' qy 0
的两个根r1,r2 两个不相等的实根
r1 r2 两个相等的实根 r1 r2
一对共轭复根
的通解
y C1er1x C2er2 x
y (C1 C2 x)er1x
y ex (C1 cos x
形如 y'' P(x)y' Q(x)y f (x)
(1)
的方程，称为二阶线性微分方程.当 f (x) 0 时，
方程(1)成为 y'' P(x)y' Q(x)y 0
(2)
称为二阶线性齐次微分方程，当 f (x) / 0 时，方程(1)
称为二阶线性非齐次微分方程.
当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程
微分方程的基本概念
含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程； 未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程; 未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；
微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分 方程的阶.
微分方程的解、通解与特解 能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程 的解.
如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即 不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分 方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.